精品解析：北京市第十三中学分校2025---2026学年第二学期期中 八年级 数学试卷

2025——2026学年度北京市第十三中学分校 第二学期期中 八年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第I卷共2页，第Ⅱ卷共6页． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3．在试卷（包括第I卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第I巻 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 当时，总有 C. 图象不经过第四象限 D. 随的增大而增大 4. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（ ） A. 2，4，6 B. 1 C. 1 D. 4，5，6 5. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形，让同学们按以下步骤完成画图： （1）画出的中点，连接； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； （3）以为边画正方形，点在边上． 在画出的图中有一条线段的长是．这条线段是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 7. 如图1所示，正方形中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 8. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 9. 在平面直角坐标系中，点，之间的距离为___________． 10. 如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 11. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝15，且AH：AE＝3：4，那么△DFC周长等于___． 12. 小颖现有存款300元，为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式为___ ． 13. 已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 14. 有一张长方形纸片中，点和点分别在边和上，将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处，连接交于点，已知的长度为___________． 15. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（本大题共10个小题，第17题16分，第18~20题每题5分，第21~22题每题6分，第23题7分，第24题5分，第25题7分，第26题6分．） 16. 计算下列各式的值． （1） （2） （3） （4） 17. 已知一次函数图象经过点(3，5)，(-4，-9)． （1）求这个一次函数解析式，并画出这个函数图象； （2）判断点P(m+1，2m+1)是否在这函数图象上，请说明理由． 18. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 20. 如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． （1）小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． （2）请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 21. 在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． （1）比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： （2）化简二次根式： （3）若，解方程． 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，　 　，　 　；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 24. 在中，，点是上一点，连接，过点作的垂线，过点作的平行线，两条直线交于点． （1）如图1，点和点重合时，直接写出线段与线段的数量关系； （2）点运动到图2所示的位置． ①依题意补全图形； ②（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，图形任意两点距离的最大值记为．若对于图形上任意一点，点都满足或，则称点是图形的远距点．如果图形上任意点都是图形的远距点，则称图形是图形的远距图形． （1）已知点． ①下列各点中，线段的远距点是___________； ②如果直线是线段的远距图形，直接写出的取值范围； （2）已知，正方形的四个顶点分别为，，，．点，以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形，若的边上存在正方形的远距点，且不是正方形的远距图形，直接写出正方形边长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度北京市第十三中学分校 第二学期期中 八年级 数学试卷 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第I卷共2页，第Ⅱ卷共6页． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟． 3．在试卷（包括第I卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 第I巻 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义“对于每一个确定的x值，存在唯一y值与之对应”进行判断即可． 【详解】解：由函数定义可知：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是； 其中选项A、C、D均可能会有2个交点，故错误，而选项B中只有一个交点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．被开方数是小数，不是最简二次根式； B．被开方数是分数，不是最简二次根式； C．被开方数含能开的尽的因数9，不是最简二次根式； D．是最简二次根式． 故选：D． 3. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 当时，总有 C. 图象不经过第四象限 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括点是否在图象上、函数值的范围、图象经过的象限以及函数的增减性． 【详解】解：选项A：将代入，得，故点不在图象上，错误． 选项B：当时，，则，恒成立，正确． 选项C：因，，图象经过第一、二、四象限，故经过第四象限，错误． 选项D：，故随的增大而减小，错误． 故选：B 4. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（ ） A. 2，4，6 B. 1 C. 1 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理处理：计算判断较小的两边的平方和是否等于第三边的平方即可． 【详解】解：A、，2，4，6不能作为直角三角形三边长，不合题意； B、，1不能作为直角三角形三边长，不合题意； C、，1，，能作为直角三角形三边长，符合题意； D、，4，5，6不能作为直角三角形三边长，不合题意； 故选C． 5. 若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 6. 如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形，让同学们按以下步骤完成画图： （1）画出的中点，连接； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点； （3）以为边画正方形，点在边上． 在画出的图中有一条线段的长是．这条线段是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的边长为知，由是的中点知，继而得，， ，即可得出答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ． ∵是的中点， ． ． ． ． ∴长是的线段是． 7. 如图1所示，正方形中，点E是边的中点，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→E的路线匀速运动到点E停止，设点P的运动路程为x，，图2是点P运动时y随x变化关系的图像，根据图中的数据，可知点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用开始为0，到最大值为，也就是P到达B点时，即,从而求得边长，由点E是边的中点可知,即当点P在点E时，点P的运动路程为，，再由勾股定理可求得,最后求得y即可解答 【详解】解：根据图2可知， 当点P到A点时，， 当点P到B点时，，，即则 当点P到E点时，点P的运动路程为,，由勾股定理可得,则 所以点Q的坐标为 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形中的动点问题，找到图中的关键点及对应的关键数是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 8. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 9. 在平面直角坐标系中，点，之间的距离为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式即可求解． 【详解】解：． 10. 如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的值的自变量的取值范围，即在两直线交点的右侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 11. 如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝15，且AH：AE＝3：4，那么△DFC周长等于___． 【答案】36 【解析】 【分析】根据勾股定理得出AH与AE的值，得到DF和CF，进而解答即可． 【详解】解：∵AB=15，AH：AE=3：4， 设AH为3x，AE为4x， 由勾股定理得：AB2=AH2+AE2=（3x）2+（4x）2=（5x）2， ∴5x=15， ∴x=3， ∴DF=AE=12，CF=AH=9，CD=AB=15， ∴△DFC周长等于12+9+15=36， 故答案为：36． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得x的值． 12. 小颖现有存款300元，为赞助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式为___ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，根据存款总金额=现已存款300元+每月20元×月数列出函数关系式即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 13. 已知点，，直线与线段有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直线过坐标原点，分别求出直线经过端点和端点时的值，即可确定的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ，解得，此时取最大值． 将代入，得 解得，此时取最小值． 直线与线段有公共点， ． 14. 有一张长方形纸片中，点和点分别在边和上，将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处，连接交于点，已知的长度为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，关键是灵活运用矩形与翻折的性质，通过证明三角形全等得到对应边相等，再结合勾股定理建立方程求解．根据矩形的性质得到对边相等、四个角都是直角，结合翻折的性质得到对应边、对应角相等，先利用勾股定理求出的长度，再通过证明得到相关线段的长度，最后在中利用勾股定理列方程，进而求出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ，， 将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处， ，，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， 的长度为． 故答案为：． 15. 如图，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点，在上取点，使得，连接． 设，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明，推出，，推出，再利用等腰三角形的性质，可以判定①正确；连接，根据，可以判定②错误；是内部的射线且，可得，推出，推出，推出，故③正确． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，故①正确， 连接，则， ，， ， ， ，故②错误， 是内部的射线且， ， ， ， ，故③正确． 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共10个小题，第17题16分，第18~20题每题5分，第21~22题每题6分，第23题7分，第24题5分，第25题7分，第26题6分．） 16. 计算下列各式的值． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先将带分数化为假分数，再计算二次根式的乘除即可； （3）先计算括号里面和除法，再计算加减即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 【小问3详解】 解：原式． 【小问4详解】 解：原式． 17. 已知一次函数图象经过点(3，5)，(-4，-9)． （1）求这个一次函数解析式，并画出这个函数图象； （2）判断点P(m+1，2m+1)是否在这函数图象上，请说明理由． 【答案】（1）y=2 x -1，图见解析 （2）点P(m+1，2m+1)在这函数图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）把x =m+1代入解析式，判断结果是否等于2m+1，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为y=k x+b，依题意，得 ， ∴ ， ∴一次函数解析式为y=2 x -1， 列表如下： x 0 1 y -1 1 画出图象，如下图： 【小问2详解】 解：点P(m+1，2m+1)在这函数图象上． 在y=2 x -1中当 x =m+1时， y=2(m+1)-1= 2m+1， ∴点P(m+1，2m+1)在这函数图象上． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 18. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到，结合已知条件，推出，由勾股定理的逆定理证明． （2）设，，利用垂直平分线性质和勾股定理建立方程，求出的值，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理的逆定理得， ． 【小问2详解】 解：设，则， ， 由（1）知， 是直角三角形，， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得（）， ． 19. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子的总长度为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 20. 如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． （1）小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． （2）请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【答案】（1）路线1较短， （2）当时，路线2较短 【解析】 【分析】(1) 分别求出两种路线的长度的平方，利用作差法比较大小． (2) 用表示两种路线的长度的平方，通过作差法建立不等式，求解的范围． 【小问1详解】 解：由题意，圆柱底面半径，高， 路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为， ， 路线2：， ， ， 又， ， ， 路线1较短． 【小问2详解】 解：圆柱底面半径为，高为， 路线1：， 路线2：， ， ， ， ， 当路线2较短时，， 即， ， ， ， 又， ， ． 21. 在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． （1）比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： （2）化简二次根式： （3）若，解方程． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意将写成的形式，即可得出，的值； （2）将转化为的形式，即可化简； （3）将转化为的形式，转化为，化简，并解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ，． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 22. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示． （1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，　 　，　 　；（填“＞”，“＝”或“＜”） ②当函数值时，求自变量x的值； ③在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值； ④若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②或；③；④. 【解析】 【分析】(1)描点连线即可； (2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x-1|进行求解即可； ③由图可知时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】(1)如图所示： (2)①，， A与B在上，y随x的增大而增大，； ，， C与D在上，观察图象可得， 故答案为，； ②当时，，(不符合)， 当时，，或； ③，在的右侧， 时，点关于对称， ， ； ④由图象可知，. 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 将代入中，解得， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴且． 24. 在中，，点是上一点，连接，过点作的垂线，过点作的平行线，两条直线交于点． （1）如图1，点和点重合时，直接写出线段与线段的数量关系； （2）点运动到图2所示的位置． ①依题意补全图形； ②（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由； ③用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①补图见解析；②仍然成立，理由见解析；③ 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）①根据题意即可作图； ②过点作交直线于点，再证明即可； ③对、、运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点和点重合时，由题意得，，， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：①如图，即为所求： ②（1）中的结论仍然成立，理由如下： 过点作交直线于点，则 ∵， ∴， ∴为等腰三角形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ③，证明如下： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴ 同理在等腰中有， ∴ ∵在中，，且 ∴，即． 25. 在平面直角坐标系中，图形任意两点距离的最大值记为．若对于图形上任意一点，点都满足或，则称点是图形的远距点．如果图形上任意点都是图形的远距点，则称图形是图形的远距图形． （1）已知点． ①下列各点中，线段的远距点是___________； ②如果直线是线段的远距图形，直接写出的取值范围； （2）已知，正方形的四个顶点分别为，，，．点，以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形，若的边上存在正方形的远距点，且不是正方形的远距图形，直接写出正方形边长的取值范围． 【答案】（1）①，，②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①先求出线段的最大距离，结合定义判断各点是否为线段的远距点； ②根据直线过定点，结合远距图形的定义，通过分析直线经过的临界位置，求出的取值范围； （2）先求出正方形的最大距离，明确远距点的条件；再结合等腰直角三角形的顶点坐标，分析的边上存在正方形的远距点、且不是远距图形的临界位置，通过数形结合的方法和几何关系求出正方形边长的取值范围． 【小问1详解】 解：①线段的端点，，最大距离， ， 远距点需对上任意，满足或 ， 即远距点需满足或或 ， ∴，满足要求；，不满足要求； ∴线段的远距点是，； ②由①可知，线段的远距点需满足或或 ，如图所示， 即图示长方形范围外的点（包括长方形边上的点）都是线段的远距点， ∵，令，则， 即过定点， ∴当时，点为临界点， 令，则， 解得， ； 当时，点为临界点， 令，则， 解得， ∴； 的取值范围为或； 【小问2详解】 解：∵正方形顶点，，，， ∴， ∴正方形任意两点最远距离为对角线长度，即，边长， ∴正方形的远距点需对正方形边上任意点，满足或， 即远距点满足或 ，如图所示， 即图示长方形范围外的点（包括长方形边上的点）都是正方形的远距点， 则，， ∴，， 为斜边，为等腰直角三角形，点，则轴 ，设交y轴于点H，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ； 边上存在正方形的远距点，且不是正方形的远距图形， 即边上同时存在正方形的远距点和非远距点， ∴①如图，当点K在线段上时， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴ 解得， ； ②如图，当点S在长方形的边上时， 则， ∵ ， 解得， ； 综上所述，当正方形边长的取值范围为时，的边上存在正方形的远距点，且不是正方形的远距图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $