第18章 勾股定理及其逆定理 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第18章质量评估 (时间：120分钟满分：150分) 宝 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=5,AC=6, 则AB的长为 ( A.4 B.√/11 C.23 D.√61 2.以下列线段a,b,c的长为边，能构成直角三角形的是( A.a=3,b=4,c=6 B.a=5,b=6,c=7 C.a=6,b=8,c=9 D.a=7,b=24,c=25 3.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，且∠A: i ∠B:∠C=1:1：2,则下列说法错误的是 ( A.∠C=90 B.a2=62-c2 C.c2=2a2 D.a=b 4.如图，阴影部分为一个正方形，此正方形的面积是 A.16 B.8 C.4 D.2 45 E (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,DE⊥AB于点 E.若CD=3,BD=4,则BE的长为 ( ) A.5 B.√7 C.√6 D.2 6.如图，A(8,0),C(一2,0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧， 交y轴正半轴于点B,则点B的坐标为 ( ) A.(0,5) B.(5,0) C.(6,0 D.(0,6) 7.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于2AC的长 新 为半径作弧（孤所在圆的半径都相等），两弧相交于M,N两 点，直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若 BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为 ( A.9 B.8 C.7 D.6 VN a (第7题图) (第8题图) (第9题图) —13 8.在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10 尺)，中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离 地面 ( ) A.4尺 B.3.6尺 C.4.5尺 D.4.55尺 9.如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方 形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直 角三角形的两直角边分别为a和b,那么(a十b)2的值为( A.25 B.28 C.16 D.48 10.如图，一个透明的长方体玻璃鱼缸，长AD=80cm,高AB= 60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包 屑，G在水面线EF上，且EG=60c,一只蚂蚁想从鱼缸外 的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的 最短路线长为 ( A.60√2cm B.80 cm C.20√41cmD.100cm (第10题图) (第13题图) (第14题图) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.若a,3,4是一组勾股数，则a的值为 12.一艘帆船由于风向原因先向正东方向航行了24km,然后向 正北方向航行了10km,这时它离出发点 km. 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=60°，BC=4,D为AB的中点，点 E在边AC上，且∠AED=30°，则ED的长为 14.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,AB=6,CD=10. (1)OA2+OB2+OC2十OD2的值为 (2)若BC=8,则AD的长为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，在边长为1的正方形网格中，点A,B,C分别在格点上， 连接AB,AC,BC.求证：AB⊥AC. 14 16.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8m(AC= 8m)处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长17m,云梯底部距 地面3m(AE=3m),发生火灾的住户窗口距离地面有多高 (BD的长)？ D 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，在△ABC中，D为BC上一点，AC=4,CD=3,AD=5, AB=2√/13. (1)求证：∠C=90°； (2)求BD的长 18.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理 的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下 到AB'C'D'的位置，连接CC,设AB=a,BC=b,AC=c,请利 用四边形BCCD'的面积验证勾股定理：a2+b=c2. D B'c A a -15 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.某科技公司展示了首款人形通用机器人H1.乐乐的爸爸是机 器人研发工程师，其中一次机器人H1的跑步测试方案如下： 如图，在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着DB方向滑下，同 时机器人H1从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处 与乐乐相遇，并且机器人H1的跑步速度与乐乐的下滑速度 相同.已知滑梯的高度CD=3m,滑梯底部与机器人H1的出 发点之间的距离AC=9m.问：机器人H跑步多少米后与乐乐 相遇？ 20.如图，观察图形，分析下列各式，然后解答问题. 0A5=12+(V①)2=2，S,= 1 2 A 0A号=12+(W②)2=3，S,=2 0A=1+(3)-4,S,= 2 … (1)OA的长为 (2)请用含n(n是正整数，n≥2)的等式表示上述变化规律： OA = ,Sm-1= (3)求S+S号+S+…十S的值. 16 六、（本题满分12分） 21.如图，在△ABC中，BC=2,AC=4,AB的垂直平分线DE交 AB于点D,交AC于点E,交BC的延长线于点F,连接AF, AD=√5. (1)求证：∠BCA=90°； (2)求AF的长. 七、（本题满分12分） 22.如图，四边形ABCD为某街心花园的平面图，经测量AB= BC=45√2m,AD=30√3m,CD=60√3m,且∠B=90°. (1)求∠DAB的度数 (2)若射线BE为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不 计)，工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道 路BE的车辆通行情况.已知摄像头能监控的最远距离为 30√3m,请问在道路BE上，且与点B距离105√2m的一 辆车能否被摄像头监控到？请说明理由， 17 八、（本题满分14分） 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=16,D是 AC上一点，CD=3,点P从点B出发沿射线BC方向以每秒 2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为t,连接AP. (1)当t=4时，AP的长为 (2)当△ABP是以AB为底的等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP于点E,则在点P运动的过程中，当t 为何值时，DE=CD? —18—13.B14.68.58915.C 16.(1234号36号8210(2)28,30,32)(38,40) 质量评估 第16章质量评估 1.C2.B3.C4.A5.C6.C7.C8.C9.D10.C11.√6（答案不唯一） 12.<13.-2y514.(107(22 2 15.解：1)原式=2×3V厄-5V厄+合×42=6厄-5厄+2厄=3巨.(2)原式=- √⑧+2√2=3-2√2+2√2=3. 16.解：(1)①(2)正确的计算过程如下：原式=8-4√6+3+12-1=22-4√6. 17.解：原式=2(a2-3)-a2+6a+6=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a.a=√2-1，.原 式=(W2-1)2+6(W2-1)=2-2√2+1+6√2-6=4√2-3. 18.解：由数轴可知，-1<a<0<1<b,.a一1<0，a十b>0,1-b<0..原式=|a-1 -|a+b1+11-b1=-(a-1)-(a+b)-(1-b)=-a+1-a-b-1+b=-2a. 19.解：d2-d=7×√30-12-7X√20-12=21√2-14√2=7√2(cm).答：d2与d 的差为7√2cm. 2a解1+-号82V+京+D=1+-《V+ V+对+高-√什+而-1+日0-器 21.解：(1)设长方形场地的长为5xm,则其宽为2xm根据题意，得5x·2x=800.解 得x=45,或x=-4√5（不符合题意，舍去）..5x=5×4√5=20√5,2x=2×4√5= 8√5.答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20W5m,8√5m.(2)设正方形的边长为 ym,则y2=900.解得y=30,或y=一30（不符合题意，舍去）.∴原正方形的周长为30 ×4=120(m).由(1)，得新长方形的周长为(205+8√5)×2=56√5(m).:120= √14400,56√5=√15680，且14400<15680，∴.120<56√5.∴.栅栏围墙不够用. 2.解：1)6(2)由题意，得a5-)=4.a5-后 4后=25+25.(3)由题意，得 (3十√3)(6十√3m)=12,整理，得3√3m十3m=-6√3-6，∴.(3√3+3)m=-2(3√+ 3)..m=-2. 23.解：(1)m2+3n22mm(2)7421(答案不唯一)(3)，a+6√3=(m+n √3)2=m2+3n2十2√3mn,∴a=m2+3m2,2mn=6..mn=3.:a,m,n均为正整数， .m=3,n=1或m=1,n=3.当m=3,n=1时，a=32+3×12=9+3=12.当m=1,n= 3时，a=12+3×32=1+27=28.综上所述，a的值为12或28. 第17章质量评估 1.D2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.C9.C10.D 1.x-2x=0(答案不唯-)12.a>-413.-314.(1)(5-2)(2)5+√④ 15.解：(1)：a=2,b=3,c=-1,∴.b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0.代入求根公式， 得x=一3，，厘=-3±区：原方程的根是西=-3+厘，4=3一应 2X2 4 4 4 (2)把方程左边分解因式，得(x一3)(x一3十2x)=0.因此，有x一3=0或3.x一3=0. 原方程的根是x1=3,x2=1. m一3≠0， 16.解：(1)由题意，得{ 解得m=-3.(2)将m=一3代入原方程，得-6x2+ m2-7=2, -25 12x-3=0,解得-1+号=1- 2 17.解：设这条线路共有x个站点.根据题意，得x(x一1)=56，整理，得x2一x一56=0， 解得=8，x2=一7（不合题意，舍去）.答：这条线路共有8个站点. 18.(1)解：把x=1代入方程x2+(m十3)x十3m=0,得1十m十3+3m=0,解得m= -1.(2)证明：.△=(m+3)2-4×3m=m2+6m+9-12m=m2-6m+9=(m-3)2≥ 0,∴.无论m取何实数，该方程总有实数根. 19.解：(1)关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x十a2一a一2=0有两个不相等的实 数根，∴.△=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,解得a<3..a为正整数，∴.a=1或a= 2.(2)x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,·x+x2-x1x2=(x+x2)2-3x1x2 16.∴.[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,解得a=-1,a2=6.由(1)知a<3,.a=-1. 20.解：根据题意，得(100-5x)(40一2x)=640×4,解得x1=4,x2=36(不合题意，舍 去).答：彩色纸带的宽度为4cm. 21.解：134(2)将=6，a=10代入方程，得a6-)-6=66-b), 解得 a(10-b)-10=10(10-b), 6-5.“方程12(x一5)-x=(x一5)符合表中各方程的规律，是第@个方程，(3)第n a=12, 个方程是2(n十2)(xn-1)-x=x(x-n-1),方程的解是x1=n十2，x2=2(n十1). 22.解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.根据题意，得150(1十x)2=216.解得 x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%.(2)设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根据题意，得(y一30(60-气0 ×5)=10000.整理，得y2-130y+4000=0,解得=80，y=50.,要让顾客得到实 惠，y=50.答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 23.解：(1)①将x-10x十3=0变形为x3-(9十1)x十3=0，x3-9x-x十3=0. ∴.(x3-9x)-(x-3)=0.∴.x(x十3)(x-3)-(x-3)=0..(x-3)(x2十3x-1)=0. “x-3=0或2+3x-1=0.“原方程有三个根：x1=3,4=3,压，x4 2 -3+√.②设x2=y,则x=y,于是原方程可变形为+3y-4=0,解得y=1,% =一4.，x2≥0，y=一4舍去.当y=1时，x2=1,x=士1.∴原方程有两个根：x1= 1,x2=-1.(2)x2-2x-1=0,.x2-2x=1.x-2x3-3x=x2(x2-2x)-3x=x2 -3x=x2-2x-x=1-x.解方程x2-2x-1=0,得x1=1十√2，x2=1-√2.：x>0, .x=1+√2.∴.x-2x3-3x=1-x=1-(1+√2)=-√2. 第18章质量评估 1.B2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.D9.B10.D11.512.2613.23 14.(1)136(2)6W2 15.证明：AC=12+32=10,AB2=12+32=10,BC=22+42=20,.AC+AB2=20 =BC.∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.∴.AB⊥AC 16.解：由题意，知AC⊥BD,CD=AE=3m,AC=8m,AB=17m.在Rt△ABC中，由 勾股定理，得BC=√AB-AC=l5m,∴.BD=BC十CD=18m.答：发生火灾的住户 窗口距离地面18m. 17.(1)证明：，AC+CD2=42+32=25,AD2=52=25,∴.AC十CD2=AD2,.△ACD 是直角三角形，且∠C=90°.(2)解：在Rt△ACB中，∠C=90°，.BC=√AB2-AC= W(2√13)2-4=6..BD=BC-CD=6-3=3. 18.解：易得Rt△CD'A≌Rt△ABC,.AC=AC=c,CD'=AB=a,AD'=CB=b, ∠CAD'=∠ACB.:'∠ACB+∠CAB=90°，.∠CAD'+∠CAB=90°..∠CAC= —26 90∴Sa影cm=2Sca+Saam=2X7ab叶分C=合a+b6叶a,d2+6=. 19.解：设机器人H1跑步xm后与乐乐相遇，则AB=xm,BC=(9一x)m.,机器人 H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，.DB=AB=xm.在Rt△BCD中，∠C=90°， .BD2=BC+CD2.∴x2=(9-x)2十32，解得x=5..机器人H1跑步5m后与乐乐 相遇. 20.解：1w5(2)1+(Vm)n(3):8=,=号，s=是 2 4,…, 8=-9∴++8+…+筑=+是++…+9-明 21.(1)证明：DE垂直平分AB,.AB=2AD=2√5.，在△ABC中，BC=2,AC=4, ∴.BC+AC=22十4=20=AB2..AC⊥BC,即∠BCA=90°.(2)解：DF是线段 AB的垂直平分线，∴.BF=AF.∴，CF=BF-BC=AF-2.在Rt△ACF中，CF2+AC =AF2,∴.(AF-2)2+42=AF2..AF=5. 22.解：(1)连接AC.在Rt△ABC中，AB=BC=45√2m,∠B=90°，.AC= V√AB2+BC=90m,∠CAB=∠ACB=45°.：在△ACD中，AC+AD2=902+ (30√3)2=10800，CD2=(60√3)2=10800，.AC+AD2=CD.∴.△ACD是直角三 角形，且∠CAD=90°.·∠DAB=∠CAD+∠CAB=135°.(2)这辆车不能被摄像头监 控到.理由如下：过点D作DM⊥DA,交BE于点M.由(1)知∠DAB-135°，∴·∠DAM =180°-∠DAB=45°.DM⊥DA,.∠ADM=90°.∴.∠AMD=90°-∠DAM=45°. ∴.DM=DA=30√3m.点A,M为摄像头在道路BE上能监控的最远位置.在 Rt△ADM中，AM=√AD2+D=30√6m.∴.BM=AB+AM=(45√2+30√6)m. 105√2>45√2+30√6，.这辆车不能被摄像头监控到. 23.解：(1)8W2(2)在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=8√5.·△ABP是以AB为 底的等腰三角形，AP=BP=2t.∴.PC=BC-BP=16一2t.在Rt△PAC中，AP2= AC+PC,.(2)2=82+(16-2t)2,解得t=5.(3)AC=8,CD=3,.AD=AC-CD =5,DE=CD=3.:DE⊥AP,∠AED=90°..AE=√AD2-DE=4.分两种情况 讨论：①如答图①，当点P在线段BC上时，连接PD.:DE⊥AP,∴.∠PED=90°= ∠ACB.在R△PDE和RAPDC中，DE=CD, (PD=PD, △PDE≌△PDC(HL).∴.PE= PC=16-2t.∴.AP=AE+PE=20-2t.在Rt△APC中，AP2=AC+PC,即(20- 2t)2=82+(16-2)2,解得t=5.②如答图②，当点P在线段BC的延长线上时，连接 PD.同理可得△PDE≌△PDC(HL),.PE=PC=2t-16.∴.AP=AE+PE=2t-12. 在Rt△APC中，AP2=AC+PC,即(2t-12)2=82+(2t-16)2,解得t=11.综上所 述，在点P运动的过程中，当t的值为5或11时，DE=CD. 答图① 答图② 期中质量评估 1.C2.B3.D4.D5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.53 12.x(x-1)=7213.6-2√514.(1)②(2)2或0 15.解：(1)原式=4√5+3√5-2√2+4√2=7√5+2√2.(2)原式=(2√6+5√2)÷√2- 2√3=2√3+5-23=5. 16.解：(1).a=2,b=-4,c=-5,∴.b2-4ac=(-4)2-4×2×(-5)=56>0.代入求 根公式，得工一生-2生压西-+，，-2二匹（2)移项，得-6z 2×2 2 2 2 —27