08 应用专练(四)与勾股定理有关的简单计算及应用（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

应用专练（四）与勾股定理有关的简单计算及应用 (时间：40分钟满分：80分) 1.（8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点4.(10分)如图，在边长为1的正方形网格 D,AC=5,BC=9,AD=4,求AB的长. 中，四边形ABCD的顶点均在格点上. (1)求证：△ACD是直角三角形； (2)求四边形ABCD的面积. 2.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，根据图 中所标数据，求阴影部分（长方形）的面积. 15 cm As cm 8 cm 5.(10分)某品牌婴儿车的简化结构示意图 3.(8分)某校在一次消防演练中，消防车按 如图所示.根据安全标准，需满足BC」 如图①所示的方式停放，20m长的云梯 CD,现测得AB=CD=6dm,BC=3dm, AB需要到21m高的宿舍楼OM的点M AD=9dm,其中AB与BD之间由一个 处，其示意图如图②所示，已知云梯的底 固定为90°的零件连接（即∠ABD=90), 端A到地面的距离AA'是3m,与宿舍楼 通过计算说明该车是否符合安全标准。 OM的水平距离AC是6m.云梯的长度够 吗？请说明理由 图① 图② ·15· 6.(10分)小丽在物理实验课上利用“光的反 8.(14分)综合与实践 射演示器”直观呈现了光的反射原理.如 小明在延时课上进行了项目式学习实践 图，她用激光笔从量角器左边边缘点C处 探究，并绘制了如下表格 发出光线，经量角器圆心O处（此处放置 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高 平面镜)反射后，反射光线落在右边光屏 课题 度AD BE上的点D处（点B也在量角器的边缘 41 上，A,O,B三点共线，CA⊥AB,BE⊥ 模型 AB).小丽在实验中记录的数据如下： 抽象 D AC=8cm,AB=16cm.依据记录的数 ①测得水平距离DE为15m; 据，求量角器的半径OB的长. ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝 测量 线AB的长为17m; D 数据 ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为 1.6m 说明点A,B,E,D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题： (1)求风筝离地面的垂直高度AD; (2)若想要风筝沿DA方向再上升12m, 则在DE的长度不变的前提下，小明 应该再放出多少米线？ 7.(12分)如图，已知E为长方形纸片ABCD 的边CD上一点，将纸片沿AE折叠，点D 的对应点D'恰好在线段BE上.已知 AD=3,DE=1. (1)求证：AB=BE; (2)求AB的长. ·16·14.解：(1)设所求方程的根为y,则y=3xx=兰.把x=号代人已知方程，得（兰) +兰-1=0.化简，得y+3y一9=0.故所求方程为y+3y-9=0.(2)设所求方程的 根为y,则y=子x=子把x=代入已知方程，得a(号）-6：子+c=0.化简， y 得cy2-by十a=0.故所求方程为cy2-by十a=0. 应用专练（三）一元二次方程的实际应用 1.解：(1)400(1+x)400(1+x)2(2)根据题意，得400(1+x)2=576,解得x1=0.2 =20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：九、十两个月的销售量的月平均增长率为20%. 2.解：(1)(x-1)合x(红-1)(2)根据题意，得22(x-1)=45,解得a=10,&= 1 一9（不合题意，舍去）.答：共有10家公司参加商品交易会. 3.解：设每个A型吉祥物的售价为x元，则每个B型吉祥物的售价为(x十20)元.根据 题意，得40002800=5.解得x=80,x4=140.经检验，x=80,4=140都是原方 x+20x 程的根，但x2=140不合题意，∴·x=80.∴·x十20=100.答：每个A型吉祥物的售价为 80元，每个B型吉祥物的售价为100元. 4.解：(1)(12-x)(12-2x)(2)根据题意，得(12-x)(12-2x)=32,解得x1=4,x2 =14.又12一2x>0,.x<6..x=4.答：该长方体盒子的高为4cm 5.解：(1)根据题意，得x·502工=200，解得x=20,2=30.当x=20时，50，工-10， 3 3 符合题意：当x=30时，50=号，不合题意，合去.答：养鸡场的长应为20m(2)不 能.理由如下：根据题意，得x…50=210.整理，得2-50z+630=0.“△=（一50） -4×1×630=-20<0,.该方程无实数根.∴.养鸡场的面积不能达到210m2. 6.解：(1)每件衬衫的价格每降低2元，月销售量可增加40件(2)每件衬衫的价格降 低了x元(3)设每件衬衫的价格降低了x元.根据题意，得(80一50-x(200+乏×40)= 7920.整理，得x2一20x十96=0，解得x1=8,x2=12.又，要让顾客得到更大的实惠， x=12.∴.80一x=68.答：定价为每件68元时，才能使这个月的利润达到7920元. 阶段小测（二） 1.B2.A3.D4.A5.B6.C7.x2-3x+2=08.a>99.227 10.(1)(8-t)(2)4-2√3 11.解：由题意，得△=b-4ac=(-8)2-4×1×(3m+1)=60-12m=0,解得m=5. .原方程为x2-8x十16=0，解得x1=x2=4. 12.解：设共有x个队伍参加比赛.根据题意，得())=5X3,解得=6,2=一5 2 (不合题意，舍去).答：共有6个队伍参加比赛. 13.(1)证明：由题意，得△=[-(2a-1)]2-4(a2-a)=4a2-4a+1-4a+4a=1>0, 无论x取何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由题意，得x1+x2=2a一1， x1x2=a2-a.x1(x2+1)+x2(x1+1)=2x1x2+x1十x2=7,.2(a2-a)+2a-1=7, 解得a=土2. 14.解：(1)设y关于x的函数关系式为y=x十b,把(0,200)，(10,300)代人，得 200=b, k=10, 解得 300=10k十b, ∴y关于x的函数关系式为y=10x十200.(2)由题意，得 1b=200. (10x十200)(100-x-60)=8910,整理，得x2-20x十91=0，解得x1=7,x2=13.,要 使优惠力度最大，∴.x=13..100一13=87（元）.答：每件商品的售价应该定为87元. (3)能.，要保证商品的利润率不低于成本价的50%，.100一60一x≥60×50%，解得 x≤10.由题意，得(100-60一x)(10x十200)=9000，整理，得x2一20x+100=0,解得 -43 x1=x2=10.,∴.100一x=90.答：在保证每件商品的利润不低于成本价50%的前提下， 该商店每天能获得9000元的利润，此时每件商品的售价为90元. 易错章测（二） 1.A 2.A【易错点拨】一元二次方程化成一般形式时，需要把各项移至等号左边. 3.C 4.D【易错点拨】本题易对等式两边同时除以x一2而致错。 5.D6.B7.x=2,x2=-2 8.士8【易错点拨】本题易忽略一个正数的平方根有两个而致错. 9.510.(1)x=0,x2=2(2)x1=4,x2=-2 11.解：(1)整理，得5x(x一1)+2(x-1)=0.把方程左边分解因式，得(x一1)(5x十2) =0.因此，有x-1=0或5x十2=0.∴原方程的根是=1，=-号.(2②)：a=3,6= -7,c=2,-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0.代人求根公式，得x=二（-7)吉西 2×3 -7告5：原方程的根是=2，=分（3)整理，得-4=-配方，得（x一2》- 1.开平方，得x一2=士1，.原方程的根是x1=3,x2=1. 12.解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为工.根据题意，得2(1十x)= 2.88,解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.答：前三季度该品牌汽车销售 量的平均增长率为20%. 13.(1)解：设一次项系数为a,则原方程为x2十ax-6=0.把x=一2代入，得4-2a一6 =0,解得a=一1..一次项系数为一1.(2)证明：设一次项系数为b,则原方程为x2十 bx一6=0.，△=62-4×（一6）=6+24>0，.这个方程总有两个不相等的实数根. 14.解：(1)3x(60-x)(2)根据题意，得(30+3x)(60-x)=3600,解得x1=20,x2 =30.要更有利于减少库存，∴x=30.答：每件商品应降价30元.【易错点拨】注意 (2)中题干中说的“更有利于减少库存”. 15.解：(1)方程有两个实数根，∴.△=[-2(k-1)]2一4k2=4k2一8k十4-4k2=-8k 十4>0，解得≤受.(2)根据题意，得西十=2(-1)，=.由1)可知≤号， .2(k-1)<0,即x1十x%<0.∴.|x1十x21=-(x1十x2)=x1x2-1..-2(k-1)=k2 一1，解得1=1（不合题意，舍去），k2=一3..k的值为-3. 应用专练（四）与勾股定理有关的简单计算及应用 1.解：AD⊥BC,AC=5,AD=4,.CD=√AC-AD=3..BD=BC-CD=6.在 Rt△ABD中，AB=WAD+BD2=213, 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=15cm,.AB=√AC+BC=17cm .阴影部分的面积为17×3=51(cm). 3.解：云梯的长度够.理由如下：由题意，得CO=AA'=3m,OM=21m,∴.CM=OM- CO=18m.在Rt△ACM中，AM=/AC2+CM=6√10m.6√10<20，∴.云梯的长 度够. 4.(1)证明：根据题意，得AC=√4+2=2√5，CD=√22+1=√5，AD=√32十4= 5.:AC十CD2=25=AD2,∴.△ACD是直角三角形.(2)解：S四边形ABCD=S△ABc十S△4cD =×4X4+7×5×25=13. 5.解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm,AD=9dm,∴.BD=AD2-AB2=45. BC=3dm,CD=6dm,∴.BC+CD2=45.∴.BC+CD2=BD2.∴.△BCD是直角三 角形，且∠BCD=90°..BC⊥CD..该婴儿车符合安全标准. 6.解：：CA⊥AB,∠CAO=90°.设OB=OC=xcm,则OA=AB-OB=(16-x)cm. 在Rt△AC0中，AC+OA2=OC,.82+(16-x)2=x2,解得x=10.∴.OB=OC= -44 10cm.,∴.量角器的半径OB的长为10cm. 7.(I)证明：由折叠的性质，得∠DEA=∠DEA.:四边形ABCD是长方形，∴.CD∥ AB.∠DEA=∠EAB.∴∠D'EA=∠EAB..AB=BE.(2)解：：四边形ABCD是 长方形，∴∠D=90°.由折叠的性质，得∠EDA=∠D=90°，AD=AD=3,D'E=DE =1,∴∠AD'B=90°.设AB=x,则BE=x,∴.BD'=BE-D'E=x-1.在Rt△ABD' 中，由勾股定理，得AD/+BD2=AB,即32+(x-1)2=x2,解得x=5,.AB=5. 8.解：(1)过点B作BC⊥AD于点C.易得CD=BE=1.6m,BC=DE=15m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB2-BC=8m,.AD=AC+CD=9.6m.答： 风筝离地面的垂直高度AD为9.6m.(2)风筝沿DA方向再上升12m后，AC=12+ 8=20(m),此时风筝线AB的长为√202+15=25(m)..25-17=8(m).答：小明应 该再放出8m线. 易错章测（三） 1.A【易错点拨】忽略勾股数的前提是正整数而致错， 2.C【易错点拨】要对主要方向敏感，正东、正北成90°. 3.A 4.C【易错点拨】注意圆心A在-1处而非原点. 5.C 6.C【易错点拨】注意题目条件“经过4个侧面缠绕一圈”，因而本题不需要进行分类 讨论。 7.A8.1509.2010.(1)5(2)169 11.解：AD⊥AC,AC=20,AD=15,.CD=√AC+AD=25..BD=BC-CD=7. 12.解：在Rt△ABC中，：'∠CAB=90°，BC=17m,AC=8m,∴.AB=√BC2-AC= 15m.:CD=10m,.AD=√CD-AC=6m..BD=AB-AD=9m.答：船向岸边 移动了9m. 13.解：(1)AB⊥BC.理由如下：在△ABC中，：AB2+BC=722+962=14400,AC= 1202=14400,.AB2+BC=AC..△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.∴AB⊥ BC.(2):AB∥CD,∴.∠BCD=∠ABC=90°.在Rt△BCD中，BC=96m,CD=40m, 由勾股定理，得BD=√BC+CD=104m.∴.AB十BD=72+104=176(m),AC+CD =120+40=160(m).176>160,.路线A-C-D更短. 14.解：(1)4(2)由题意，得BP=2tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB=90°时，点 P与点C重合，则BP=BC=4cm,.2t=4,解得t=2.②当∠BAP=90°时，如图，CP =BP-BC=(2t-4)cm,AC=3cm.在Rt△ACP中，AP2=AC+CP2=32+(2t- 4)2,在Rt△ABP中，AP2=BP2-AB2=(2t)2-52,∴.32+(2t-4)2=(2t)2-52,解得t -得综上所述，当△ABP为直角三角形时1的值为2或号 几何专练（五）与多边形有关的内外角计算问题 1.解：设这个多边形的边数为n.根据题意，得180°(n-2)一360°=540°，解得n=7.7一 3=4(条).∴.从这个多边形的一个顶点可以引4条对角线. 2.解：设∠1=x°，∠2=2x°，∠3=3x°，∠4=4x°.根据题意，得x十2x十3.x十4x=360, 解得x=36.∴.∠1=36°，∠2=72°，∠3=108°，∠4=144°..∠BAD=180°-∠1= 144°，∠ABC=180°-∠2=108°，∠BCD=180°-∠3=72°，∠ADC=180°-∠4=36. .∠BAD:∠ABC:∠BCD:∠ADC=4:3:2：1. 3.解：：1520°=8×180°+80°=(10-2)×180°+80°，.该多边形的边数为10，多加的 外角的度数为80°. -45