重难点专题01 勾股定理中常见的6大题型（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

重难点专题 勾股定理中常见的6大题型 重难点一 利用勾股定理求线段的长 1.牢记勾股定理：（a为斜边，b，c为直角边）找到直角，分清斜边与直角边直接套公式； 2.对于不在同一直角三角形中的线段可通过线段的转化将其转化在同一个三角形中，再利用勾股定理求解. 1．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 2．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据中点，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴； 故选C． 3．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 _______________ ． 【答案】15或12.5或18 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想． 分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质，分别求解即可解决问题． 【详解】解：在中，， ∴， ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 如图，作于点H， 则 ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的值为15或12.5或18． 故答案为：15或12.5或18． 5．如图，和都是等腰直角三角形，，直角的顶点在的斜边上，若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到．连接，根据等腰直角三角形的性质证明，得，根据勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 在中，由勾股定理得到，，据此得到方程，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 7．如图，，，，．求的长． 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：在中，，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴． 重难点二 判断是否是直角三角形 1.可通过计算三角形的三边是否满足，若满足，则为直角三角形，反之，不是直角三角形； 2.可通过计算三角形的三个角，看看是否有直角，有直角则为直角三角形，反之，则不是直角三角形. 速记技巧：一找直角边，二算平方和， 三来比一比，相等直角成. 8．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 9．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A． B．7，24，25 C．2，3，4 D． 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 【详解】A．最长线段为，，，，不能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B．最长线段为25，，，，能构成直角三角形，故B选项符合题意； C．最长线段为4，，，，不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D．最长线段为3，，，，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意． 10．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、C、D，根据三角形内角和定理可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A．三个内角之比为 B．有一边的中线等于这边的一半 C．三边之比为 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为， ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形，故符合题意； B、如图，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 故三角形是直角三角形，不符合题意； C、∵三边之比为， 设三边长分别为， ∴， ∴三角形为直角三角形，故不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 12．一个三角形三边长的比是，这个三角形_____________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】是 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长的比是， ∴设三角形三边长分别为，，，， 又∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：是． 13．一个三角形三边满足，则这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式． 先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可． 【详解】∵ ∴， 即， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 14．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是______三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 重难点三 勾股定理在网格图中的应用 1.以线段为斜边，把要算的线段当作直角三角形的斜边； 2.画水平、竖直直角边，过线段两端点画横线、竖直，交出直角三角形； 3.数格子定长度，得到.水平直角边与竖直直角边，代入勾股定理计算； 4.求角度可将所求角转化到同一个三角形中，结合求线段长求解. 速记口诀：网格求角不算量，先求边长判形状， 直角四十五度，勾股逆定理来帮忙。 15．如图，点在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长均为1．下列关于边长的说法，正确的是（　　） A．长是有理数，长均为无理数 B．三边长均为无理数 C．为直角三角形 D．为等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，无理数的识别，等腰三角形的定义，利用勾股定理求出的长，即可判断A、B、D，再利用勾股定理的逆定理即可判断C． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴长是有理数，长均为无理数，故A说法正确，B说法不正确； ∵， ∴不是直角三角形，故C说法不正确； ∵互不相等， ∴不是等腰三角形，故D说法不正确； 故选：A． 16．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 17．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 18．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 19．如图，在的正方形网格中，_________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理. 求出，可知． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴. 故答案为：． 20．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点A、B均在格点上．分别在图甲、图乙中各找一个格点C，使得是以为一腰，顶角分别为直角和钝角的等腰三角形，并直接写出的面积． 【答案】作图见解析，；或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，三角形的分类等知识点． 根据网格特征直接取点，即可作出等腰直角三角形，即可求解面积；取点，由勾股定理得，且符合顶角为钝角． 【详解】解：如图点即为所求； ∴的面积．     如图点即为所求； 的面积或的面积． 22．如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 23．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题考查网格中求线段长、判断三角形是直角三角形及网格中求三角形面积等知识，熟练掌握在网格中由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）由图可知，即可得到答案； （2）由图可知，、、，从而得到即可得到答案； （3）由（2）知，是直角三角形，根据三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：； （2）解：直角三角形， 理由如下： 由图可知，、、， ， 则， 是直角三角形； （3）解：由（2）知，是直角三角形， ， 故答案为：． 重难点四 勾股定理在折叠问题中的使用 1. 标出已知边长，把题目给的长度标在图上 2. 根据折叠的性质找出折叠前后的相等的边或角； 3. 设出未知数x，用含x的式子表示其它边长，利用勾股定理列出方程； 4. 解方程即可求解 技巧口诀：折叠问题找全等，直角三角形来藏身， 设未知，表三边，勾股定理列方程. 24．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 25．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 26．如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为，则长方形纸的面积为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 由最后一个图可知即为长方形纸的长，由折叠的性质知，由勾股定理得，计算即可． 【详解】如图，由最后一个图可知即为长方形纸的长， 由折叠可知， ∴ ∴长方形纸的面积为 ， 故选：A． 27．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 28．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 29．如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 30．如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由长方形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由长方形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 31．如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 32．如图，长方形中，点是上的一点，将沿折叠后得到，且点在长方形内部．已知． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，延长交于，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，在中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质可得，设 在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由计算得出结果即可； （3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据计算得出结果即可； 【详解】（1）四边形ABCD是长方形，， ， ， ， ， ． （2）由题意可知，， ∴， 又∵将沿折叠，点D的对称点恰好点O， ∴， ∴， ∴， 设则， 在中，根据勾股定理得， ∴ 解得x＝2． ∴ ∴四边形ABFE的面积是； （3）由(2)知， ∴ ∵将沿折叠，点C的对称点恰好为点O， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵， 在中， 解得 即 ∴ ∴四边形BEFG的面积是． 重难点五 勾股定理解决与面积有关的问题 1. 看图找到直角三角形，分清直角边、斜边； 2. 把面积转化为边长的平方； 3. 利用列出算式求解； 技巧口诀：面积问题勾股连，平方就是面积源， 直角边上面积和，等于斜边那一片。 33．如图，在中，．，，，若点D在内部，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握勾股定理及其逆定理．过点D作于点E，过点D作于点F，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，根据，即可求出结果． 【详解】解：过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 34．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， ∵中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，， ∴ ∴， 即 ∵， ∵， ∴ ∴阴影部分的面积， 故选：A． 35．如图，在中，， ，且，点分别是线段的中点，则面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、三角形的面积等，熟练掌握勾股定理解等腰直角三角形的解题的关键． 先证明为等腰直角三角形，再结合运用勾股定理求出，然后通过点分别是线段的中点，得出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵在中，， ， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，，， ∴根据勾股定理：，即，解得：（负值舍去）， ∴． ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 故选：C． 36．如图，在中，，则正方形的面积是________； 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积， 故答案为：20． 37．已知某等边三角形的边长为a，则其面积为________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形“三线合一”求长度是解题的关键． 求出等边三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，是等边三角形，过点A作交于点D， ∵的边长为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 39．如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）利用勾股定理逆定理，即可得证； （2）勾股定理求出，进而求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即． （2）解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． ． 重难点六 与弦图有关的计算 1. 看图分清楚大小正方形的边长； 2. 标出已知量：边长、面积、直角边、斜边、写在图上； 3. 套公式计算斜边长、直角边长； 4. 面积=总面积-空白面积. 速记口诀：弦图是个直角三，中间一个小正方， 大面减四三角，小面边长差来算。 40．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 41．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据两个图形面积相等，列式，即可求解； 【详解】解：根据题意，列式可得：， 故选：A 42．我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接，若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题意得，利用三角形的面积公式求得，由，推出，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 43．勾股定理有很多种证明方法，我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股定理．在Rt△ABC中，已知AB＝2BC，分别以AB，BC，AC为边，按如图所示的方式作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI．其中HI与BD交于点N，设四边形ABNI的面积为S1，△CHN的面积为S2，则＝__________________． 【答案】/2.2 【分析】如图，连接IG，过点H作HP⊥IG于P，交BD于Q，设BC=a，则AB=2a，根据正方形性质可证得△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB，得出S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=a2，S正方形BGPQ=a2，S正方形ACHI=5a2，再证得△DNI≌△QNH（AAS），可求得：S2=a2，S1=a2，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接IG，过点H作HP⊥IG于P，交BD于Q， 设BC=a，则AB=2a， ∵四边形ABDE、四边形BCFG和四边形ACHI是正方形， ∴I、G、F在同一直线上， ∴AE=AB=2a，BG=BC=a，∠ABC=∠BAE=∠AEI=∠CAI=∠D=90°， ∴∠IAE+∠BAI=∠BAI+∠CAB=90°， ∴∠IAE=∠CAB， ∴△AIE≌△ACB（ASA）， 同理可得：△IAG≌△HIP≌△CHQ≌△AIE≌△ACB， ∴S△IAG=S△HIP=S△CHQ=S△AIE=S△ACB=×a×2a=a2， ∵∠GBQ=∠BGP=∠GPQ=90°，BG=GP=a， ∴四边形BGPQ是正方形， ∴S正方形BGPQ=a2， ∴S正方形ACHI=5a2， ∵ID=QH=a，∠D=∠HQN=90°，∠DNI=∠QNH， ∴△DNI≌△QNH（AAS）， ∴DN=NQ=a， ∴S△HNQ=×a×a=a2， ∴S2=S△CHN=S△CHQ+S△HNQ=a2+a2=a2， ∴S1=S四边形ABNI=S正方形ACHI-S△ACB-S△CHN=5a2-a2-a2=a2， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积和正方形面积等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形． 44．综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3)，，证明见解析 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3） 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 45．【问题情境】 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①，已知直角三角形纸片较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，利用此图可以验证勾股定理吗？ (1)【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积．用含字母a，b，c的式子可以表示为_______，化简可证得勾股定理；． (2)【初步运用】 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，试求的值． (3)【实际应用】 如图②，若较短的直角边BC长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到一个“数学风车”．若以AB为边的正方形面积为61，求这个风车的外围周长． 【答案】(1) (2) (3)这个风车的外围周长为 【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题； （2）根据正方形的面积公式和（1）的结论代入可求值； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，一个直角三角形的面积为：， 根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，可得：； 故答案为：． （2）解：∵大正方形的面积是13．小正方形的面积是1， ∴， ∴． 由（1），得， ∴，即， ∴． （3）解：∵以为边的正方形面积为61， ∴． 在中，， ∴． 由题意知， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故这个风车的外围周长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 勾股定理中常见的6大题型 重难点一 利用勾股定理求线段的长 1.牢记勾股定理：（a为斜边，b，c为直角边）找到直角，分清斜边与直角边直接套公式； 2.对于不在同一直角三角形中的线段可通过线段的转化将其转化在同一个三角形中，再利用勾股定理求解. 1．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 2．如图，在中，，点D、E分别为中点，若，，则的长为（　　） A．9 B．7 C．6 D．8 3．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    4．如图，中，，点D为斜边上动点．连接，在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，的长为 _______________ ． 5．如图，和都是等腰直角三角形，，直角的顶点在的斜边上，若，则的值为_____________． 6．如图，在中，，垂足为，，，，求的长． 7．如图，，，，．求的长． 重难点二 判断是否是直角三角形 1.可通过计算三角形的三边是否满足，若满足，则为直角三角形，反之，不是直角三角形； 2.可通过计算三角形的三个角，看看是否有直角，有直角则为直角三角形，反之，则不是直角三角形. 速记技巧：一找直角边，二算平方和， 三来比一比，相等直角成. 8．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 9．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A． B．7，24，25 C．2，3，4 D． 10．的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 11．下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A．三个内角之比为 B．有一边的中线等于这边的一半 C．三边之比为 D． ∵ ∴， ∴， ∴， 故三角形是直角三角形，不符合题意； C、∵三边之比为， 12．一个三角形三边长的比是，这个三角形_____________（填“是”或“不是”）直角三角形． 13．一个三角形三边满足，则这个三角形是______三角形． 14．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是______三角形． 重难点三 勾股定理在网格图中的应用 1.以线段为斜边，把要算的线段当作直角三角形的斜边； 2.画水平、竖直直角边，过线段两端点画横线、竖直，交出直角三角形； 3.数格子定长度，得到.水平直角边与竖直直角边，代入勾股定理计算； 4.求角度可将所求角转化到同一个三角形中，结合求线段长求解. 速记口诀：网格求角不算量，先求边长判形状， 直角四十五度，勾股逆定理来帮忙。 15．如图，点在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长均为1．下列关于边长的说法，正确的是（　　） A．长是有理数，长均为无理数 B．三边长均为无理数 C．为直角三角形 D．为等腰三角形 16．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 18．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 19．如图，在的正方形网格中，_________． 20．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为________． 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点A、B均在格点上．分别在图甲、图乙中各找一个格点C，使得是以为一腰，顶角分别为直角和钝角的等腰三角形，并直接写出的面积． 22．如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 23．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的面积为 ． 重难点四 勾股定理在折叠问题中的使用 1. 标出已知边长，把题目给的长度标在图上 2. 根据折叠的性质找出折叠前后的相等的边或角； 3. 设出未知数x，用含x的式子表示其它边长，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解 技巧口诀：折叠问题找全等，直角三角形来藏身， 设未知，表三边，勾股定理列方程. 24．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 25．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 26．如图，将长方形纸按如图所示的方式折叠，若设长方形纸的宽为，则长方形纸的面积为（   ） A． B． C．2 D．3 27．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 28．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 29．如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为_________． 30．如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 31．如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 32．如图，长方形中，点是上的一点，将沿折叠后得到，且点在长方形内部．已知． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，延长交于，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． 重难点五 勾股定理解决与面积有关的问题 1. 看图找到直角三角形，分清直角边、斜边； 2. 把面积转化为边长的平方； 3. 利用列出算式求解； 技巧口诀：面积问题勾股连，平方就是面积源， 直角边上面积和，等于斜边那一片。 33．如图，在中，．，，，若点D在内部，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 34．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 35．如图，在中，， ，且，点分别是线段的中点，则面积是（   ）． A． B． C． D． 36．如图，在中，，则正方形的面积是________； 37．已知某等边三角形的边长为a，则其面积为________（用含a的代数式表示）． 38．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 39．如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 重难点六 与弦图有关的计算 1. 看图分清楚大小正方形的边长； 2. 标出已知量：边长、面积、直角边、斜边、写在图上； 3. 套公式计算斜边长、直角边长； 4. 面积=总面积-空白面积. 速记口诀：弦图是个直角三，中间一个小正方， 大面减四三角，小面边长差来算。 40．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B．C． D． 41．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（   ） A． B． C． D． 42．我国最早对勾股定理进行证明的是数学家赵爽，他用4个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成了一个大正方形，如图所示，人们称这个图为“赵爽弦图”，连接，若，，则___________． 43．勾股定理有很多种证明方法，我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股定理．在Rt△ABC中，已知AB＝2BC，分别以AB，BC，AC为边，按如图所示的方式作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI．其中HI与BD交于点N，设四边形ABNI的面积为S1，△CHN的面积为S2，则＝__________________． 44．综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 45．【问题情境】 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①，已知直角三角形纸片较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，利用此图可以验证勾股定理吗？ (1)【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积．用含字母a，b，c的式子可以表示为_______，化简可证得勾股定理；． (2)【初步运用】 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，试求的值． (3)【实际应用】 如图②，若较短的直角边BC长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到一个“数学风车”．若以AB为边的正方形面积为61，求这个风车的外围周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $