第16章 二次根式 归纳与提升&新趋势提能练 新情境·新题型·新思维-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（沪科版·新教材）

第16章归纳与提升 思维导图梳理 二次根式一形如 的式子 概念 (1)被开方数不含 最简二次根式 -(2)被开方数中不含 -(a)2= (a≥0) 性质 (a>0), 次 (a=0), 式 (a<0) 乘法一√a.√b= (a≥0，b≥0) 运算 除法- 6 (a≥0，b>0) 加减法一先把各个二次根式化成 ,再把同类二次根式合并 混合运算一在二次根式的运算中，实数的运算性质和运算法则同样适用 核心考点突破 考点个二次根式的有关概念及性质 6.下列计算正确的是 1.（芜湖期末)下列式子中，不属于二次根式 A.5√2-3√2=2 B.3+√2=3√2 的是 ( C.√3X√7=√2I D.√/15÷5=5 A.√-2 B.√a 7.若x为实数，则在（√2一1）□√2的“口”中，分 C.√5 n后 别添加运算符号后，使得运算结果最小的符 号是 () 2.下列运算正确的是 ( A.+ B.- C.× D.÷ A.√(-10)z=-10B.(-√/10)2=10 8.(潜山期中)已知x十y=-9,xy=9,则 C.√a2=a D4-2号 、任+y层的值是 () 3.(北京中考)若√3x一3在实数范围内有意义， A.6 B.-6 C.3 D.-3 则实数x的取值范围是 9.比较大小：一3√6 -4√5.（填“>”“<” 4.(准南田家庵区期中)实数a,b在数轴上对应 或“=”) 点的位置如图所示，则化简√(a-1) 10.若√7的小数部分为a,则(4十a)a的值为 √(a十b)的结果是 11.计算： b-1 1 考点2二次根式的运算及大小比较 1(2-)×6, 5.下列根式中，不是最简二次根式的是( A.15 B.√27 C.3 D.√2 第16章二次根式12 考点3二次根式的应用 6； 13.情境题安全教育)交警为了估算肇事汽车在 出事前行驶的速度，总结出经验公式= l6√df,其中v表示车速（单位：km/h),d 是汽车刹车后车轮滑过的距离（单位：m),f 是摩擦因数.某日，在一段限速为60km/h 的公路上，发生了一起两车追尾事故，交警 (3)(V5-1)2+5+√20 赶到后，经过测量，得出d=20,f=1.2,则 √5 估计肇事汽车在出事前行驶的速度为 km/h,该汽车 (填“超速” 或“没超速”). 14.如图，小明家有一块长方形空地ABCD,长 BC为√72m,宽AB为√32m,现要在空地 中挖一个长方形的水池（阴影部分），其余 (4)(3-√7)(3+√7)+√2(2-√2)： 部分种植草莓.其中长方形水池的长为 (√10+1)m,宽为（√10-1）m. (1)求长方形空地ABCD的周长； (2)已知小明家种植的草莓售价为8元/kg, 且每平方米产草莓15kg,若小明家将 所种的草莓全部销售完，则销售收入为 12.先化简，再求值：2(a十√3)(a-√)一a(a- 多少元？ √2)+6，其中a=√2-1. 13数学八年级下册沪科版 新趋势提能练 新情境·新题型·新思维【聚焦课标】 1.新趋势过程纠错若x<2,化简√2一4x十4十 3.新趋势规律探究)小丽根据学习“数与式”积 4一x|,小明的解答过程如下： 累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探 解：原式=√/（x一2)+(4-x)…第一步 究下列二次根式的运算规律，下面是小丽的 =x一2十4一x…第二步 探究过程，请补充完整： =2. 第三步 (1)具体运算，发现规律： (1)小明的解答过程从第 步开始出 等式1+=2得： 现错误，错误的原因是用错了性质： (2)写出正确的解答过程. 等式33+=4,得 等式4： (2)观察、归纳，得出猜想： 等式n(n为正整数)可表示为 ,并证明你的猜想； 2.新趋势类比探究课堂上，老师出了一道题， (3)应用运算规律： 比较一2与号的大小小明的解法如下： 3 计算：V99+而×V199+×4硬× 解，19-2-2=19-4 √10I. 33 3 .42=16<19,.√/19>4..√19-4>0. 19-4>0.19-2 3 3 3 我们把这种比较大小的方法称为作差法， (1)根据上述材料填空：（填“>“<”或“=”） ①若a-b>0,则ab; ②若a-b=0,则ab; ③若a-b<0,则ab; (2)利用作差法比较。一3与的大小。 2 提示 请完成易精章侧（一）[第16章] 第16章二次根式14参考答案 第16章二次根式 16.1二次根式及其性质 1.C2.D3.1(答案不唯一，整数x≤7即可) 4.解：(1)要使√2x-3有意义，则2x-3≥0，解得x≥1.5..当x≥1.5时，√2x-3有 意义.(2)要使√2一x有意义，则2一x≥0，解得x≤2.∴当x≤2时，√2一x有意义. (3),x为任何实数都有x2+1>0,.当x为一切实数时，√x+1有意义.(4)要使 V有意义则2红0解得公2当之时一有意义 5.B 6.解：)原式=14.(2)原式=-号.(3)原式=7.()原式=18， 7.C 8.解：(1)原式=一8.(2)原式=|-0.361=0.36.(3)原式=|π-3|=x-3.(4)原式= l√7-√10=√/10-√7. 9.B10.B11.x>3且x≠512.(1)√10d(2)√255 13解：1)源式-号一引+宁-（号-古）十方合(2原式=20-3×号-18 14.解：(1)2-x≥0(2)2-x≥0，x≤2..x-3<0..原式=(3-x)-(2-x)=3 -x-2+x=1.(3)由题意，得5-3<c<5十3，即2<c<8.又c-5≥0，.c≥5..5≤ c<8.“c为偶数，c-6.原式-√（分-4）+(V5)2-合c-4+c-5 号×6-4+6-5=2. 16.2二次根式的运算 1.二次根式的乘除 第1课时二次根式的乘法 1.B2.D3.(1)2√2I(2)34.20 5.解：1)原式=V100=10.(2)原式=-号×②：=-1.(3)原式=√号×6=0， (4)原式=-18√8×2=-72. 6.B7.B 8.解：(1)原式=√49×√121=7×11=77.(2)原式=√100×√5=10√5.(3)原式= √14X14X4×2=√14X√4X√2=14X2X√2=28√2.(4)原式=√9·√·√元· √y=3·x·√x·y=3xyWa. 9.B10.D11.102 12.解：(1)原式=9X(-若)×18x5=-名18×3=-27.(2)原式=号× 号×V瓜×V×V丽-号×V20X15x8-号VX5X5X3X16X- V2X5×3×-7×120=60. 1 13.解：(1)长方形彩纸的面积为4√3×2√6=24√2(cm).(2)正方形彩纸的面积为 24√2×√10=48w5(cm2). 14.解：(1)7×9(2)第⑦个等式为√(4n2+1)2-(4n)产=(2n-1)(2n+1).证明如下： √(4n2+1)2-(4n)7=√(4n2+1-4n)(4n2+1+4m)=√(2n-1)2(2n+1)7= √(2n-1)·√(2n+1)=(2n-1)(2n+1). 第2课时二次根式的除法 1.11535(2)含冬号82225 3.鄉：1原式=V5=⑧=3.(2)原式=√层÷=√层X3=6.(3)原式 =号V/=×2=子原式V241号-√24x是-3w区. 4.C 5解：1原式-平，(2)原式=.(3)原式=号（0原式--- √9a3a2 6.(1)W52√5(2)(wW5)22√5 1新原式-得-华5因原式-汽 - 8.C9.2☒ 10.c 3 11.解：5√6=√5X√6=√25X6=√150,6√5=√62×√5=√36X5=√180. √150<√180，∴.5√6<6√5. 12.D13.214.不能 50源原式-号V-号×号-1式-×4× 1 2W6X12× 3/36=18. 16.解：登山者在海拔hm处看到的水平线的距离为d=8√号 h m,在海拔2hm处看 /2h 到的水平线的距离为d,=8√5m, /2h d2 d 8√三-反.“他看到的水平线的距离是 h 8N5 原来的√2倍. 17.(1)W5-√5(2)> 2.二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 1.B2.√6（答案不唯一） 3.解：(1)√32=4√2,2√18=6√2，∴.√32和2√18是同类二次根式.(2)√0.03 -V厚-当：。丽和√厚是同类二衣根式 4.A5.(1)3√3(2)0 6.解：1原式=5.2)原式=3v7-7=2反.（③原式=2v5-5+45=5v5. 7.解：(1)③(2)原式=3√2+3√3+5√2=8√2+3√3. 8.C9.B10.12√211.-√5+4√2 12解：1)原式=i-35+2+25=8E-点.(2)原式=号×+×2v而 5 +5x2=+0+2√10=310.(3)原式=23-2-5+22=3+区. 5 13.解：√12+√27=5W5=√7(dm).√12+v√12=4W3=√48(dm).:9=√8I> √7万，7=√49>√48>√27，∴.能够在这块木板上裁出一个面积为27dm2和两个面 积均为12dm2的正方形木板. 14.解：(1①原式=6×写-5×5-2,6+2×25=26-5-2v6+5=0.(2)设原 一2 慝中的■是a,则原式-a·写-5×写-2v5+2×25-9 3 5 3a-5-26+ 万-号。-55，解得a=只∴原题中的“是号 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.B3.(1)a(a-2)(2)6 4.解：(1)原式=(W2)2-(w6)2=2-6=-4.(2)原式=1-2√3+3十2√3=4. 5.B6.(1)3√6(2)2 7.解：(1)原式=2√3-√3=√3.(2)原式=(3√2-2√2)×2√2=√2×2√2=4.(3)原式 =5√2×2√2-√6X3÷2=10×2-3=17.(4)原式=2-√3+2√3-3=-1十√3. (5)原式=3V3×2×22-6W2=12√2-62=6√2. 3 8.B9.C10.2 11,解：(1)原式=(3√3×3√6+4V2-4√2)÷√2=27√2÷√2=27.(2)原式=（33 3×5)÷B×25-4+45+5)=25÷×25-(9+4同=45-9-45=-9. 12.解：x=√5+1，y=√3-1，.x十y=√3+1+√3-1=2V3,xy=(W3+1)(W3-1)= (W3)2-12=3-1=2.(1)x2y十xy2=xy(x+y)=2×23=4V3.(2)x2+y2=(x+y)2 -2xy=(2V3)2-2×2=12-4=8. 13.解：设x=√4十7-√4-√7.两边平方，得x2=(√4十√7-√4-√7)2= (√4+√7)2-2√(4十√7)(4-√7)+（√4-√7）2=4十√7-6+4-√7=2..x=±2. :√4+√7>√4-√7，∴.√4+√7-√4-√7>0.√4+√7-√4-√7=√2. 专题特训二次根式中常见的化简求值技巧【安徽热点·回归教材】 1.12.93.D4.B5.-2c 6.解：由数轴可知a<0<b<c,c|>|a>|bl,.a-b<0,b-c<0,a+c>0..原式=b -a+c-b+3(a+c)=b-a+c-b+3a+3c=2a+4c. 7怎：m=3后，=3+5，m十=6，m=六+-0=是-是 m n mn 4 8.2025 9.解：，x=√6+2，y=√6-2，∴.x+y=√6+2十√6-2=2√6，xy=(W6+2)(w6-2)=6 -4=2..x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=(2√6)2-3×2=24-6=18. 10.解：x十 是=3(+)°=x++2=5+左0+2后 √x 【延伸问】士1 第16章归纳与提升 思维导图梳理 瓜(a≥0)分母能开得尽方的因数或因式aa0-aVa瓜√侣 最简二 次根式 核心考点突破 1.A2.B3.x≥14.1+b5.B6.C7.B8.B9.>10.3 1.解：10原式=12厄-亿-11v.(2)原式=26-号+号6-号=号6-名尽， (3)原式=5-25+1+5+2四=6-25+V5+2=8-5.(4)原式=9-7+22- √5w√5 2=2√2， 一3 12.解：原式=2(a2-3)-a2十√2a十6=2a2-6-a2十√2a十6=a2十√2a.当a=√2-1 时，原式=(W2-1)2+√2(w2-1)=3-2√2+2-√2=5-3√2. 13.32√6超速 14.解：(1)由题意，得长方形空地ABCD的周长为2(BC十AB)=2(√72+√32)= 20V2(m).(2)由题意，得S四边形AcD=BC·AB=√72×√32=48(m2),S水港=（√10+ 1)(√10-1)=9(m2),∴.S种撤苹得=S四边形AcD-S水施=39(m2)..39×15×8=4680 (元).答：小明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元. 新趋势提能练新情境·新题型·新思维【聚焦课标】 1.解：(1)二√a=|a=-a(a<0)(2)x<2,∴x-2<0,4-x>0.∴.原式= √/(x-2)7+(4-x)=2-x+4-x=6-2x. 2.解：1)0>@=③<(2)-3-3=⑧-6.：6=36>19，V19<6. 2 2 2 丽-6<06<0.∴店3<2 2 2 3.解：V4什后-5VV+=a+1W乐 证明如下：左边= m+2n=入√n+2 1 n+2 √罗-(+1V压=右边小猪想成立.（3原式=160√可 ×20V2而×V4o2×voi=10×20)×(√而×v1o)×(√2而×v4o2) 20000√2. 第17章一元二次方程及其应用 17.1一元二次方程 1.D2.C3.a≠24.A5.A 6.解：(1)原方程化成一般形式为4x2+3x一2=0，二次项系数为4，一次项系数为3，常 数项为一2.(2)原方程化成一般形式为x2一7x=0,二次项系数为1，一次项系数为 -7,常数项为0.(3)原方程化成一般形式为3x2十2x一4=0，二次项系数为3，一次项 系数为2，常数项为一4. 7.B8.3 9.解：把x=一4代入方程的左右两边，得左边=(-4)2+(-4)=12，右边=8-（一4) =12.左边=右边，.-4是该方程的根.同理可得，2是该方程的根，一3，一2，一1， 0,1,3,4都不是该方程的根. 10.A11.x2-20.x-100=012.B13.B 14.解：根据题意，得(18-3x)(6-2x)=60,整理，得x2一9x十8=0. 15.解：(1)1(2)当x=a时，a2-a-1=0,.a2-a=1..原式=-a3+a2+a2+2025 =-a(a2-a)+a2+2025=a2-a+2025=1+2025=2026. 16.解：(1)-2x2-3x十2=0(2)是，理由如下：：cx2+bx十a=0的“友好方程”为a.x2 +bc+c=0,当x=号时，方程左边=)a十号6十6.“x=3是方程cx2+bc十a=0的 一个解，∴9c+36十a=0.∴号a十子叶c=0.方程左边=右边.∴号是该方程的“友 好方程”的一个解. 17.2一元二次方程的解法 第1课时直接开平方法 1.c2D3.(13-32号-分4D5x-1=2x-1=-23-1 6.解：(1)整理，得(x一3)2=9.开平方，得x一3=士3..原方程的根是x=6,x2=0. (2)整理，得(x十1)2=2.开平方，得x十1=士√2.∴.原方程的根是x=一1十√2，x2= -1-√2 7.A8.C9.A10.x1=2,x2=-4 4 11.解：(1)整理，得x2一36=64.移项，得x2=100.开平方，得x=士10..原方程的根 是x=10,x2=一10.(2)整理，得(x十2)2=11.开平方，得x十2=士√1工.原方程的 根是x1=√1I-2,x2=一√/I-2. 第2课时配方法 1.D2a42(2)-5:(3号音（④号号3A 4.解：(1)移项，得x2-10x=-8.配方，得x2-10x+52=-8+52,即(x-5)2=17.开 平方，得x-5=士√17.∴原方程的根是x1=5-√17，x2=5+√17.(2)配方，得x2+ 7x+(径)-是+（仔）°，即(x+子)-9.开平方，得x+子-±3.“原方程的根 是=一=一号 5.A6.C 7.解：(1)二次项系数化为1，得x2+2x=3.配方，得x2+2x+12=3+12,即(x十1)2= 4.开平方，得x十1=士2..原方程的根是x1=1,x2=一3.(2)移项、二次项系数化为 1,得x2-4x=6.配方，得x2-4x+22=6+22,即(x-2)2=10.开平方，得x-2= 士√10.∴原方程的根是x=2十√10，x2=2-√10.(3)移项、二次项系数化为1，得 2-2x=台配方，得2-2x+1=专+1，即(x-1)=子开平方，得x-1 土原方程的根是=1计=1一四 3 8.A9.A10.x1=2026,x2=-2024 11.解：(1)移项，得x2十2√2x=-1.配方，得(x十√2)2=1.开平方，得x十√=士1. ∴原方程的根是x1=一√2+1，x2=一√2-1.(2)整理，得3x2+2x=一1.二次项系数 化为1，得2+号x=-子配方，得(x+）°-号”-号<0原方程无实数根 12解：1=5=日(2)士(3)二次项系数化为1，得-5=-1配方， 得(x一号)》‘-岩开平方，得x一号-土号原方程的根是五=5，=日·经检 验，五=5，=号都是原方程的解.)中猎想结论正确。 专题特训配方法的运用【通性通法】 1.C 2.解：(1)11(2)3-x2+2x=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.(x-1)2≥0，∴.-(x -1)2≤0..-(x-1)2+4≤4.∴.3-x2+2x的最大值为4. 3.解：a-b=3x2+36-(2x2+10x)=x2-10x+36=(x-5)2+11.(x-5)2≥0， .(x-5)2+11>0..a-b>0.a>b. 4.解：(1)，x2+2xy+5y2+4y十1=0，∴.x2+2xy十y2+4y2+4y+1=0..(x十y)2+ (2y+102=0.x十y=0,2y+1=0,解得x=名y=-名∴xy=-子(2)：公+8 =10a+8b-41,.a2-10a+25+b-8b+16=0..(a-5)2+(b-4)2=0..a-5=0, b-4=0,解得a=5,b=4.,△ABC是等腰三角形，∴c=5或4.当c=5时，△ABC的 周长为5+4+5=14；当c=4时，△ABC的周长为5+4+4=13.综上所述，△ABC的 周长为14或13. 5.解：原式=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x y)(x-3y). 第3课时公式法 1.B2.C3.A4.4-3-5 5.解：(1)a=1,b=1,c=-1,.b6-4ac=12-4×1×(-1)=5>0.代入求根公式，得 x=5.:原方程的根是=15，=15.（2)：a=2,b=7,c=0,6 2×1 2 2 5 -4ac=7-4×2×0=49>0.代人求根公式，得x=二7志)4型=7±7：原方程的 2×2 4 根是a=0,=-子.(3)将原方程化为一般形式，得32-5x十1=0.“a=3,6 -5,c=1,2-4ac=(-5)2-4×3X1=13>0.代入求根公式，得x=二（-5)告图 2×3 =5±区.“原方程的根是4=5+区，4=5二√国 6 6 6.解：(1)一(2)将原方程化为一般形式，得x2一5x+3=0.,a=1,b=-5,c=3,.2 一4c=(-5)2-4×1×3=13>0.代入求根公式，得x=5. 2×1 原方程的根是x =5+,3,,=5=, 2 2 7.D8.A9.-3±√T 10.解：(1)将原方程化为一般形式，得4x2-4x-3=0.,a=4,b=一4，c=一3，.b一 4e=(一4-4X4X(一3》=64>0.代入求根公式得E=结g-告号，原方程 2×4 的根是=号，=-分，(2)将原方程化为一般形式，得2+2z-1=0.”a=2,6= 2,c=-18-4ac=22-4×2×(-1)=12>0.代入求根公式，得x=二2结厘= 2×2 二2生5.：原方程的根是=二15，x=二12 4 2 2 11.解：(1)：∠ACB=90,BC=号，AC=b,·AB=√BC+AC=V√ @于孤：BD-号AD=AB-BD=T4,(2)方程可化为r+a-心 2 2 =0,.d2-4×1×(-by=a2+46>0.“z=二a±@+，即西= 2 -a+√a2+4b ，，=二a一@+证.AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不 2 2 能表示方程的负根.（合理即可） 第4课时因式分解法 1.A2.B3.A 4.解：(1)提取公因式，得x(3x一1)=0.因此，有x=0或3x一1=0.∴.原方程的根是x1 =0,=子.(2)移项、提取公因式，得(x+1D(x-2)=0.因此，有x十1-0或x一2 0..原方程的根是x=一1，x2=2. 5.(x-2)2x1=x2=2 6.解：(1)将原方程化为一般形式，得y2十10y+25=0.把方程左边分解因式，得(y十 5)2=0.∴原方程的根是y1=y2=一5.(2)把方程左边分解因式，得(2x一1十x)(2x一1 一)=0.因此，有32-1=0或x-1=0.“原方程的根是五=了=1， 7.D 8.解：(1)把方程左边分解因式，得(x-3)(x十1)=0.因此，有x-3=0或x十1=0. 原方程的根是x1=3,x2=一1.(2)把方程左边分解因式，得(x一1)(x一6)=0.因此， 有x一1=0或x一6=0..原方程的根是x1=1,x2=6. 9.C10.A11.10或14 12.解：(1)移项、提取公因式，得(x十2)(x-3)=0.因此，有x十2=0或x一3=0.原 方程的根是x1=一2，x2=3.(2)将原方程变形，得(7x一4)(-3x十16)=0.因此，有7x -4=0或-3z十16=0.“原方程的根是=号，=9(3)将原方程化为一般形式， 得x2-3x-10=0.把方程左边分解因式，得(x十2)(x-5)=0.因此，有x十2=0或x -5=0..原方程的根是x1=一2，x2=5. —6