10.1.4 概率的基本性质（分层作业，4大知识点）高一数学人教A版必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 知识点一 概率基本性质辨析 1．（24-25高一下·河南·月考）已知事件互斥，且，则（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【解析】由题可知.故选：. 2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得．故选：B 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知事件互斥，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 解得.故选：D 4．（25-26高一上·贵州遵义·期末）（多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 【答案】BD 【解析】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确.故选：BD 知识点一 互斥事件的概率计算 1．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为.故选：A. 2．（24-25高一下·新疆巴州·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 【答案】B 【解析】由互斥事件的概率加法公式可知，事件命中的环数大于8环的概率为.故选：B 3．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为， 则选出两只鞋包含了6种， 其中事件包含了4种， 事件包含了2种，事件包含了2种， 故，则A错误； ，，，，故BC错误； ，故D正确.故选：D 4．（24-25高一下·河南驻马店·月考）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)两种规则获奖的概率一样大，理由见解析 【解析】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. （3）两种规则获奖的概率一样大. 三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，， ，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，， ，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点， . 所以规则二获奖的概率， ∴所以两种规则获奖的概率一样大. 知识点二 对立事件的概率计算 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（    ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【答案】C 【解析】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是.故选：C. 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以.故选：. 3．（24-25高一下·河北邯郸·月考）（多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（    ） A．“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C．“丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D．“甲或乙被录用”的概率为 【答案】ABD 【解析】由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊）， （乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，故A正确； 其中“甲，乙，丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）， （甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），共7种， 故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为．故B正确； 其中“丁，戊至多有一人被录用”的对立事件“丁，戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有 （甲，丁，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共3种， 故“丁，戊至多有一人被录用”的概率为．故C错误； 其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有 （丙，丁，戊）这1种，故“甲或乙被录用”的概率为1－．选项D正确． 故选：ABD. 4．（25-26高一上·河南南阳·月考）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为，1个小品节目为， 则按任意次序排出一个节目单的样本空间是： bamn，banm，bman，bmna，bnam，bnma，mabn，manb，mban，mbna，mnab，mnba， nabm，namb，nbam，nbma，nmab，nmba，共24件， 设事件A：两个歌唱节目相邻，事件A包含的样本点有 abmn，abnm，bamn，banm，mabn，mban，mnab，mnba，nabm，nbam，nmab，nmba，共12个， 则；即两个歌唱节目相邻的概率是. （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后， 则事件B的对立事件：舞蹈和小品排在中间， 而事件包含的样本点有，共4件， 所以 知识点一 复杂事件的概率计算 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件含有： 共12个样本点，故． （2）记事件为第局甲胜，，由题意知， 记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立，则 ， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为． 3．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】(1)；(2)①；② 【解析】（1）把抽取2张卡片的结果记为， 其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1：  依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． （2）抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 4．截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙3支队伍分到，，三个小组． (1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率； (2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当甲球队分到A组时，乙、丙两支球队分到的小组有 ，，，，，，，，共9种情况． 同理，当甲球队分到B组或C组时，乙、丙两支球队分到的小组也分别有9种情况， 故甲、乙、丙三支球队的分组情况共有（种）． 又因为甲、乙、丙三支球队分到同一小组有，，和共3种情况， 所以甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率为． （2）方法一  当甲、乙两支球队都分到A组而丙球队分到B组或C组时有2种情况． 同理，当甲、乙两支球队都分到B组或C组而丙球队不与它们一组时也分别有2种情况． 故甲、乙两支球队同组，而丙球队不与它们一组的概率为． 同理，甲、丙两支球队同组，而乙球队不与它们一组的概率也为， 乙、丙两支球队同组，而甲球队不与它们一组的概率也为． 又因为上述三种情况互斥，所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为． 方法二  甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的对立事件 是甲、乙、丙三支球队都分到不同小组和甲、乙、丙三支球队都分到同一小组． 甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的情况有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6种， 所以甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的概率为． 所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.1.4 概率的基本性质 知识点一 概率基本性质辨析 1．（24-25高一下·河南·月考）已知事件互斥，且，则（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 2．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知事件互斥，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·贵州遵义·期末）（多选）对于概率的基本性质，下列选项正确的是（    ） A．如果事件A与事件B互斥，那么 B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C．如果，则 D． 知识点一 互斥事件的概率计算 1．（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·新疆巴州·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 3．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期末）现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南驻马店·月考）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 知识点二 对立事件的概率计算 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（    ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 2．（25-26高一上·江苏南京·月考）某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北邯郸·月考）（多选）若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（    ） A．“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点 B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为 C．“丁、戊至多有一人被录用”的概率为 D．“甲或乙被录用”的概率为 4．（25-26高一上·河南南阳·月考）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 知识点一 复杂事件的概率计算 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 2．（24-25高一下·云南昆明·期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件A=“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 3．（24-25高一上·河南南阳·期末）某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． (1)为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； (2)为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 4．截至2022年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20届．中国女子国家足球队在参赛的15届亚洲杯中共获得9次冠军、2次亚军和3次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，将甲、乙、丙3支队伍分到，，三个小组． (1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率； (2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $