2023-2024学年人教A版2019必修第二册高一下学期数学同步10.1.4概率的基本性质（知识点+5题型）

10.1.4概率的基本性质 知晓结构体系 1夯实必备知识 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 2提升学科能力 一、题点一 互斥事件的概率公式应用 1．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 2．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 3．已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 4．设事件是互斥事件，且，则 . 5．已知事件与事件互斥，若，，那么 . 二、题点二 对立事件的概率公式应用 6．已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 7．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 8．已知事件A与B互斥，且，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关则1，4号灯就会亮，只要打开开关则2，3号灯就会亮，只要打开开关则3，4号灯就会亮，只要打开开关则2，4号灯就会亮.开始时，，，，四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开，，，这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 10．设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（    ） A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 三、题点三 概率加法公式的应用 11．已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 12．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（    ） A． B． C． D． 14．已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 15．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 . 四、题点四 有关概率的综合问题 16．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是 . 17．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ． 18．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 19．某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率： (1)只喜欢打羽毛球； (2)至少喜欢以上一种运动； (3)只喜欢以上一种运动； (4)以上两种运动都不喜欢. 20．每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 21．为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 22．从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 23．根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： AQI 级别 一级 二级 三级 四级 五级（A） 五级（B） 现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示． (1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数； (2)若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率； (3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.4概率的基本性质 知晓结构体系 1夯实必备知识 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A) ≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 2提升学科能力 一、题点一 互斥事件的概率公式应用 1．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【详解】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 2．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（    ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6 【答案】A 【分析】利用互斥事件和并事件概率公式，就可以得到方程组来求解各互斥事件概率，即可得到结果. 【详解】设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率为P(B)，摸出白球的概率为P(C)， 所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9， 且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1， 所以P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6， P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1， 所以P(B)＋P(C)＝0.7. 故选：A. 3．已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案. 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 4．设事件是互斥事件，且，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解. 【详解】事件是互斥事件，且，所以. 故答案为： 5．已知事件与事件互斥，若，，那么 . 【答案】0.8 【分析】根据概率的基本性质计算. 【详解】. 故答案为：0.8. 二、题点二 对立事件的概率公式应用 6．已知随机事件和互斥，且，，则事件的对立事件的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【分析】借助互斥事件的概率公式及对立事件的定义计算即可得． 【详解】根据题意，因为，事件和互斥， 所以， 所以， 所以事件的对立事件发生的概率为. 故选：D. 7．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【答案】B 【分析】利用互斥事件性质以及已知数据代入公式计算即可求得，再由对立事件性质可得. 【详解】由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得， 又和对立，可得，解得. 故选：B 8．已知事件A与B互斥，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由事件互斥及概率的性质判断各项的正误即可. 【详解】由事件A与B互斥，则，，A错，B对； 由，，故C、D错. 故选：B 9．已知，，，四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关则1，4号灯就会亮，只要打开开关则2，3号灯就会亮，只要打开开关则3，4号灯就会亮，只要打开开关则2，4号灯就会亮.开始时，，，，四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开，，，这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型以及对立事件的概率关系列式计算可得解. 【详解】由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，共有种， 其中只有打开开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮， 所以2号灯灯亮的概率为. 故选：D. 10．设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（    ） A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用对立事件、互斥事件的概率公式逐项判断即得. 【详解】对于A，事件与事件互斥，则，A正确； 对于B，事件与事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定为1，B错误； 对于C，事件与事件对立，则事件与事件互斥，有，C正确； 对于D，事件与事件对立，事件是必然事件，则，D正确. 故选：ACD 三、题点三 概率加法公式的应用 11．已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以， 所以. 故选：B 12．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答. 【详解】依题意，，，而，A不正确； ，，B不正确； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，C正确； 因，，则，即D不正确. 故选：C 13．盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出肉馅包子和豆沙馅包子的个数，即可求得素馅包子的个数. 【详解】由题意可知，肉馅包子的个数为， 从中随机取出个，不是豆沙馅包子的概率为，则该包子是豆沙馅包子的概率为， 所以，豆沙馅包子的个数为，因此，素馅包子的个数为. 故选：C. 14．已知事件与事件互斥，如果，，那么 . 【答案】/ 【分析】根据互斥得到，计算，得到答案. 【详解】事件与事件互斥，则，， 故. 故答案为：. 15．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据对立事件可得，利用“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为A，B互为对立事件，则，且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 四、题点四 有关概率的综合问题 16．保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是 . 【答案】#0.4 【分析】根据给定条件，利用列举法计算古典概率，再用互斥事件的概率公式计算作答. 【详解】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有： ，共5个，它们等可能， 最多输入2次就能开锁的事件， 输入1次能开锁为事件， 第2次输入才能开锁为事件， 事件是事件和事件的和，且它们互斥， ，， 则， 最多输入2次就能开锁的概率是. 故答案为：. 17．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为 ． 【答案】 【分析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案. 【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件， 又， 所以. 故答案为：. 18．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的的基本事件有（个）， 事件发生所包含的的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 19．某班级有45%的学生喜欢打羽毛球，80%学生喜欢打乒乓球；两种运动都喜欢的学生有30%.现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率： (1)只喜欢打羽毛球； (2)至少喜欢以上一种运动； (3)只喜欢以上一种运动； (4)以上两种运动都不喜欢. 【答案】(1)0.15 (2)0.95 (3)0.65 (4)0.05 【分析】（1）首先表示出A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”，然后根据题意求得      ，从而即可求解. （2）根据和事件的计算公式即可求解. （3）根据上一问求得，再利用事件的关系即可求解. （4）利用对立事件的公式即可求解. 【详解】（1）设：A＝“喜欢打羽毛球”，B＝“喜欢打乒乓球”       只喜欢打羽毛球： （2）至少喜欢以上一种运动： ＝ （3）只喜欢以上一种运动： ＝ （4）以上两种运动都不喜欢： ＝ 20．每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率和为求解出的值，根据频率分布直方图中的数据可求睡眠时间不小于9小时的频率； （2）先根据频率分布直方图先求各睡眠时间段的频率并以此作为概率，然后根据对立事件的概率求解出结果. 【详解】（1）因为， 所以； 该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为： . （2）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为： ，，，，， 用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，， 记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 则. 21．为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表： 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.32 0.28 0.18 0.12 求该选手射击一次： (1)命中9环或10环的概率； (2)至少命中8环的概率； (3)命中不足8环的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件概率加法得结果； （2）根据互斥事件概率加法得结果； （3）根据对立事件概率关系求结果. 【详解】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A， 由互斥事件的加法公式得 . （2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B， 由互斥事件概率的加法公式得. （3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件， 即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 . 22．从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出既能被2整除也能被3整除的数的个数，再由古典概型求解即可； （2）先由古典概型求出，再由求解即可； （3）由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴； （2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，， ； （3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件， 则． 23．根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： AQI 级别 一级 二级 三级 四级 五级（A） 五级（B） 现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示． (1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数； (2)若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率； (3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为）的关系式为．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率． 【答案】(1)150； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算作答； （2）对一级和五级（B）的5个数据编号，利用列举法结合古典概率计算作答； （3）求出经济损失S不超过600元对应值出现的天数即可求解作答. 【详解】（1）依题意，该城市这30天AQI的平均数为： ． （2）一级有2个数据，记为P、Q，五级（B）有3个数据，记为C、D、E， 从中选取两个有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE，共10种可能， 一级和五级（B）数据恰均被选中有PC、PD、PE、QC、QD、QE，共6种可能． 记“一级和五级（B）数据恰均被选中”为事件M，则． （3）设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失不超出600元”为事件N，分两种情况： 当时，，此时概率为； 当时，由，得， 此时概率为． 综上，由互斥事件的概率公式可得． 所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$