精品解析：山东淄博市高青县2025—2026学年第二学期期中考试 八年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，计算判别式的值后即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得系数 ，，． ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 3. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的对角线相互平分且垂直是解题的关键． 根据菱形的对角线相互平分且垂直，可得，，，然后由勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，对角线相交于点，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 4. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【详解】A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项正确； D.，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方完成配方，即可求解． 【详解】解：∵ 移项得， 配方：两边加1（一次项系数2的一半的平方），得 即 故选B． 6. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．利用线段的和差得出边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为： ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 7. 如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点，根据勾股定理可求得的长，再利用菱形的面积可求得的长，再次根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则， ，， ， 当点与点重合时，的值最小， 四边形为菱形，、， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 8. 关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程根的定义，对于说法①，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根；对于说法②，通过已知条件推导、与的关系，再代入目标方程计算判别式；对于说法③，将已知根代入原方程，再验证目标值是否满足新方程． 【详解】解：对于①，无实数根， ； 方程的判别式， 也无实数根，故①正确； 对于②，， ，代入得，化简得； 将、代入，得； ，两边除以得， 其判别式， 有两个相同的实数根，故②正确； 对于③，是的根， ； 将代入，得， 是的根，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 若关于的一元二次方程的一个根为，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，由是方程的一个根，代入方程即可求出参数． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， 解得 ， 故答案为：1． 10. 如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 设，是方程的两个根，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，，掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，得到，，再计算的值，然后利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程） 12. 如图，在四边形中，，若平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积 【答案】（1） ∵，， ∴四边形 为平行四边形 ∵ ∴， ∵ 平分    ∴ ∴ ， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质结合的周长求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形 是菱形 ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 13. 已知一个长方形的长，宽． （1）求这个长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【小问1详解】 解：这个长方形的周长； 【小问2详解】 解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根、，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程为， ∴ ， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先利用根与系数的关系得到，再由得到关于k的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 15. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B， ∵DF＝DC， ∴AB＝DF， 在△ABE和△DFA中，， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∴AE＝BC； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC，再通过证明△ABE≌△DFA（AAS），可得AE＝AD，即可得证AE＝BC． （2）根据△ABE≌△DFA，可得BE＝AF＝4，AE＝BC，再根据勾股定理求出BC的长度，最后根据EC＝BC﹣BE求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA， ∴BE＝AF＝4，AE＝BC， ∵∠B＝90°， ∴AE＝＝＝5， ∴BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、矩形的性质是解题的关键． 16. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1） ∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2） ∵AE平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，即可求得，，再由可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 3. 如图，在菱形中，对角线相交于点，，则的长是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 若关于的一元二次方程的一个根为，则________． 10. 如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 11. 设，是方程的两个根，则等于_______． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程） 12. 如图，在四边形中，，若平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积 13. 已知一个长方形的长，宽． （1）求这个长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根、，且，求k的值． 15. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 16. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 17. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $