5.1轴对称及其性质（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

第五章 图形的轴对称 5.1 轴对称及其性质 章节导读 轴对称现象在生活中广泛存在:无论是气势恢宏的大型建筑还是生活中随处可见的各种标志，无论是传统的民间艺术还是现代的工业设计，都不乏轴对称的身影。你能发现生活中的轴对称图形吗?对于轴对称，你有怎样的认识? 本章将在小学学习的基础上，进一步研究轴对称的性质，从轴对称的视角探索等腰三角形、线段和角的一些性质，开展搜集、欣赏、设计轴对称图案的活动。在这一过程中，你将感知并描述平面图形轴对称的规律，积累研究平面图形性质的经验，初步形成合乎逻辑地思考、表达与交流的习惯，发展空间观念、几何直观和推理能力等。 学 习 目 标 1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念及意义；(重点) 2.能够识别轴对称图形和成轴对称的图形，并能指出它们的对称轴；(重点) 3.经历探索轴对称的性质的过程，理解轴对称的性质； 4.会画与已知图形成轴对称的图形，会利用轴对称的性质进行简单的计算以及解决实际问题.(难点) 情境引入 观察图中的图片和图形，它们有什么共同特点？ 你还能举出一些类似的例子吗？与同伴进行交流. 它们都具有对称性. 新知探究 探究一：轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 轴对称图形的概念 右图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A'重合，称点 A关于对称轴的对应点是点A'。类似地，线段 AB 关于对称轴的对应线段是线段 A'B'，∠B关于对称轴的对应角是∠B'. 对称轴是一条直线. 新知探究 对应点：点B与点B'，点C与点C'； 对应线段：AC 与 A'C，BC 与 B'C等； 对应角：∠BAC与∠B'A'C，∠ACB与∠A'CB'等. 你还能在图中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗? 1.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看做是轴对称图形的是(　 　) 新知探究 A 你能画出下列各图形中的对称轴吗？哪一个图形的对称轴最多？ 新知探究 圆的对称轴最多，有无数条. 新知探究 确定对称轴的条数： 知识归纳 一个轴对称图形的对称轴可能有1条，也能有多条，还可能有无数条. 通过对所给图形的直观感知，分析图形的特征，依据轴对称图形的概念，确定出对称轴的条数. 新知探究 2.观察下面的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴. 解:如图所示. 观察下图中的每组图案，你发现了什么？与同伴进行交流. 新知探究 探究二：两个图形成轴对称 每组图案中的两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合. 新知探究 两个图形成轴对称： 知识归纳 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴. 新知探究 B D C A 3.下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？ 新知探究 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系： 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 联系 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.可以互相转化. 知识归纳 下图是一个轴对称图形,直线l是它的对称轴.观察这个图形,回答下列问题: 新知探究 探究三：轴对称的性质 (1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系?为什么? (2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系?说说你的理由. 解:(1)任意选一组对应线段，如选择AD与A'D'，则AD=A'D'，因为沿对称轴折叠后它们能够互相重合. (2)任意选一组对应角，如选择∠1与∠2，则∠1=∠2，因为沿对称轴折叠后它们能够互相重合. 新知探究 (3)连接对应点A与A',线段 AA'与对称轴之间有什么关系?连接其他任意一组对应点再试一试. (3)线段 AA'被对称轴垂直平分. 其他任意一组对应点所连线段也被对称轴垂直平分. 如图，将一张长方形纸对折,然后用笔尖扎出数字“14”,将纸打开后铺平. 新知探究 在铺平的图中： (1)两个“14”之间有什么关系？ 关于直线l对称. 新知探究 连接对应点的线段均垂直于对称轴l且被对称轴l平分，如：线段AA′，EE′等. (2)对应线段相等，如：AB=A′B′，CD=C′D′等. 对应角相等，如：∠1=∠2，∠D=∠D′等. (2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流. 新知探究 轴对称的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 提示：(1)关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形，但全等图形不一定成轴对称. (2)成轴对称的两个图形的对应线段所在的直线有以下3种位置关系：①平行；②重合；③相交，且交点在对称轴上. (3)若对应点所连线段被某一直线垂直平分，则此直线为这两点的对称轴. 知识归纳 新知探究 4.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　) A．130° B．150° C．40° D．65° 解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°-150°-40°-40°＝130°. A 下图是一个轴对称图形的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半. 新知探究 解:如图所示，延长AO至 A'，使 OA'=OA;延长BN至B'，使NB'=NB;依次连接 MA'，MB'，A'B'，A'P，B'P。这样画出的图形就是这个图形的另一半. A′ B′ 新知探究 (1)找:找出已知图形的关键点（如端点、顶点或拐点）; (2)画:过关键点关于对称轴的对应点; (3)连:按已知图形的顺序依次连接相应的对应点. 画轴对称图形的步骤： 知识归纳 新知探究 5.下图是一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴,画出这个图案的另一半. 解:如图所示. 下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出每个图形的对称轴． 例1 典例分析 如图所示，画出与△ABC关于直线l成轴对称的三角形. 例2 典例分析 解:如图所示,△A'B'C'即为所求. 如图所示,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.若ED=4 cm,FC=1 cm,∠BAC=76°,∠EAC=58°. (1)求BF的长; (2)求∠CAD的度数; (3)连接EC,线段EC与直线MN有什么关系? 例3 典例分析 解:(1)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称,ED=4 cm, 所以BC=ED=4 cm, 所以BF=BC-FC=4-1=3(cm). (2)因为△ABC与△ADE关于直线MN对称,∠BAC=76°, 所以∠EAD=∠BAC=76°, 所以∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58°=18°. (3)直线MN垂直平分线段EC. 巩固练习 2.下列选项中，直线l是四边形的对称轴的是( ) 1.下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是(　　) C C 巩固练习 3.如图所示是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线),小亮改变①的位置,将①分别摆放在图中左,下,右的位置(摆放时无缝隙不重叠),还能拼接成不同的轴对称图形的个数为(　　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 B 4.如图所示，△AOB与△COB关于边OB所在的直线对称，AO的延长线交BC于点D若∠BOD=46°，∠C=20°，则∠ADC等于( ) A.30° B.45° C.52° D.72° D 巩固练习 5.如图所示的4个图形中，对称轴条数不少于2的是 (填序号). ①②④ 6.校安全教育要从认识安全标志人手,下列标志(如图所示)的图案部分不是轴对称图形的是 (填序号). ②⑥ 9.如图所示,直线AC是四边形ABCD的对称轴,若AC=10 cm,BD=8 cm,则阴影部分的面积为　　　　.  巩固练习 8.右图中的两个四边形关于某直线对称,根据图形提供的条件,可得x=　　　,y=　　　.  80° 3 20 cm2 7.如图所示,各组图形中的右边图形与左边图形成轴对称的是 . ①⑥ 巩固练习 10.如图所示的是由四个相同的小正方形组成的图形,请你在3个图形中的不同位置分别添加一个小正方形,使它成为一个轴对称图形. 解:如图所示. 11.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度. (1)作四边形ABCD关于直线m的对称图形; (2)求四边形ABCD的面积. 巩固练习 解:(1)如图所示,四边形A'B'C'D'即为所求. (2)四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=×4×1+×4×3=8. 12.如图所示,在△ABC中，∠A=90°，D为AC上一点，E为BC上一点,点A和点E关于BD所在的直线对称，点B和点C关于DE所在的直线对称。求∠ABC 和∠C的度数。 巩固练习 解:因为点A和点E关于 BD所在的直线对称， 所以∠ABD=∠EBD， 即∠ABC=2∠ABD =2∠EBD， 又点 B和点C关于 DE所在的直线对称， 所以∠EBD=∠C,所以∠ABC=2∠C， 因为∠A = 90°， 所以∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°， 所以∠C=30°，所以∠ABC=2∠C=60°. 课堂小结 轴对称及其性质 轴对称图形 两个图形成轴对称 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等，对应角相等. 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴. 作业布置 1.必做题：习题5.1第1~5题。 2.探究性作业：习题5.1第6题。 感谢聆听! $