函数的概念及性质讲义-2026届高考数学二轮复习

函数的概念与性质 【题型1 求函数的定义域】 规律与方法 求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】求函数定义域化简集合A，解指数函数不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】对于集合A：，所以，解得或， 所以或， 对于集合B：可得，所以， 所以或. 3．（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域为. 4.（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立；当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型2 求函数的值域】 规律与方法 求函数值域的七种方法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： 如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 1．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域、具体函数的定义域、交集的概念及运算 【详解】由题可知，，所以． 2.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、交集的概念及运算 【分析】求出集合、，利用交集的定义可得集合. 【详解】， 对于，则，解得， 故，所以， 故选：D. 3．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 4．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得.故选：B 5.（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【详解】因为，所以，所以，故 6.（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据值域求参数的值或者范围 【分析】求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意，定义域为R， 因为恒成立，所以， 当且仅当，即时取等号， 则的值域为，且在R上单调递增， 由，得， 因为，使得， 所以，即， 令，则，解得或（舍）， 所以，解得， 则实数的最小值为. 7.（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率、分段函数的值域或最值 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 【题型3 分段函数】 规律与方法： 常见题型：1.分段函数求值2.分段函数求参数3.分段函数求最值（值域） 解题方法：分类讨论、图象法 1.（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值、求分段函数解析式或求函数的值、求函数值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2.（25-26高二上·云南昆明·期末）设函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况解不等式即可； 【详解】当时，，易知为单调递增函数，故，满足； 当时，，解得， 故不等式的解集为， 3.（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 4.（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得；若，存在最大值； 若，则当时，的最大值为，所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 5.（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】分段函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参）、根据值域求参数的值或者范围 【分析】先分别求出，函数的值域，在由条件可得出答案． 【详解】当时，，故， 令，得 当时，，得函数在上单调递增， 当时，，得函数在上单调递减， 故得最大值为，当时，； 当时，，因此当时，， 当时，函数， 由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论： （1）．若，则， 当时，，不符合范围是的子集的要求， 因此不满足题意； （2）．若，函数的图象是开口向下的抛物线， 且对称轴为 故当时，函数在对称轴处取得最大值： 且 由题意得 因为，解得：； （3）若，函数的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为，     故在上单调递减，且 故，这不符合范围是的子集的要求； 综上，的取值范围是． 故选：A． 【题型4 函数的单调性及应用】 规律与方法 判断函数单调性(单调区间）的常用方法 ①定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得出结论。 ②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可以作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间。 ③复合函数法：根据“同增异减”判断，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，内、外层函数的单调性不同时，为减函数。 ④导数法：先求导，再利用导数的正负，确定函数的单调性(单调区间）。 ⑤性质法：a.在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减 1.（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C. 2.（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 则，即， 又因为函数在上为增函数，且函数在上为增函数， 则有，因，则可得，解得， 故实数的取值范围是，即的最小值为. 3.（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系、复合函数的单调性、研究对数函数的单调性 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 4.（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. 5.（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 【题型5 函数的奇偶性及应用】 规律与方法 1、求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值对应的自变量转化到已知解析式的区间，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可. 2、求参数：由定义或定义的等价关系式 (奇函数)与(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组)求解. 1.（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【详解】因为是奇函数，所以， 又为定义在上的奇函数，则，故. 2.（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数值、指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. 3.（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、由奇偶性求参数 【详解】因为是奇函数，所以当时，有， 又因为当时，有，所以， 根据恒等式可知：，， 所以． 4．（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】设，函数定义域为，则，即为奇函数， 其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0， ，故.故选：D. 5．（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为奇函数，为偶函数，所以， ， 因为 所以 ， 即，所以, 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于 D， ，故D错误.故选：C. 6.（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ； ． 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 【题型6 函数的周期性与对称性应用】 规律与方法 1.函数周期性的常用结论及应用（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 2.轴对称①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 3.点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 4. 对称与周期： ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【解析】因为.故选：B. 2.（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 3．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【解析】，① ，即，所以， 所以函数的图象关于对称， 令，则，所以， 令，，又，所以， 又，，② 即函数的图象关于直线对称， 且由①和②，得， 所以，则函数的一个周期为4，则， 所以.故选：C 4.（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.51 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 【题型7 函数性质的综合应用】 规律与方法 1.单调性与奇偶性：（1）比较大小 （2）解不等式 2.四种性质综合：（1）先判断周期性、对称性 （2）通过一段函数的图象分析整个函数的性质 1.（2026·福建厦门·二模）设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 3.（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 4.（2026·广东惠州·二模）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】，则， ，即， 由，，则在上单调递增， 由，得， 根据函数单调性可得， ，，在上恒成立， 即，， 解得. 5.（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 6.（2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 7.（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由对称性研究单调性、判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 【题型8 抽象函数的性质应用】 规律与方法 1、抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： （1）……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； （2）通过的变换判定单调性； （3）令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； （4）换为确定周期性. 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 1.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 2.（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 3．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【答案】C 【解析】对A，令，则，得，故A错误； 对B，令，得， 由整理可得， 将变换为，则， 故，故，故是奇函数，故B错误； 对C，设，则， 且， 故，则. 又，是奇函数，故是增函数，故C正确； 对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.故选：C 4．（23-24高三下·河南郑州·月考）（多选）已知函数满足，，则（ ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【答案】ABD 【解析】令，则，即，A正确， 令，则无意义，即的定义域不为R，C错误； 由可知， 令，则，即，故，B正确； ， 故，即的周期为4，D正确，故选：ABD 5．（2024·安徽安庆·二模）（多选）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】对A：令，则有，故，故A正确； 对B：令，，则有，故，故B错误； 对C：令，则有，其中，， 令，，即有对、，当时，恒成立， 即函数为减函数，故C正确； 对D：令，则有，又， 故，故函数的图象关于点对称，故D正确.故选：ACD. 6.（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 7．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数基本性质的综合应用、求等差数列前n项和 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 课后作业： 1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）下列函数中，定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、具体函数的定义域 【详解】函数的定义域和值域均为，所以选项A正确； 函数的定义域为R，值域为，所以选项B错误； 函数的定义域为，值域为R，所以选项C错误； 函数的定义域为，值域为R，所以选项D错误. 2．（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，，然后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由于集合表示函数的定义域，可知， 集合表示函数的值域，可知， 因此，故A正确. 3.（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】判断函数的单调性，即可判断ABC的正误；结合分段函数的单调性以及奇偶性的判断，可判断D. 【详解】对于A，由于在R上单调递减，故在R上单调递减，A错误； 对于B，， 由于在上单调递增，故在上单调递增， 则在上单调递增， 故在上单调递减，B错误； 对于C，由可得， 当时，，此时在上单调递减，C错误； 对于D，令，当时，，在上单调递增， 再判断函数的奇偶性： 当时，令，当时，， 则时，，则； 时，，则； 即可知为奇函数，D正确. 4.（2026·陕西咸阳·模拟预测）若函数为奇函数，则实数（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义列方程，结合指数幂的运算求解. 【详解】，则， 由于是奇函数，则， 即， 则， 解得. 5.（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.68 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意，结合，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 6.（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 7.（2025·山东·一模）若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、由对数（型）的单调性求参数、分段函数的值域或最值 【分析】根据函数的单调性求解函数的值域，结合分类讨论对数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，单调递减，此时， 当时，，若，则在单调递增，此时， 因此要使的值域是，故，解得， 当，则在单调递减，此时， 此时无法满足的值域是，故不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：A 8.（25-26高三上·陕西·月考）已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、根据分段函数的单调性求参数 【详解】因为函数在R上单调递减， 所以. 因为， 所以函数是偶函数，它的图象关于纵轴对称，因此选项D不符合； 对于选项A：由函数的图象可知，不符合，故本选项不符合题意； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项B符合； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项C符合. 9.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，且，，，则，，的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】对数的运算、比较正弦值的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】使用作商法结合对数换底公式比较出的大小关系，再由对数函数的增减性确定的大小关系，进而确定题设条件中的定义域，从而确定在该范围内的增减性，由此求解即可. 【详解】由题意得，，， 则，所以， 因为，即，，所以， 因为在上，单调递增，单调递增，所以单调递增， 所以. 10.（2026·河北沧州·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数的图象关于点对称， 由，得， 即，又函数在上单调递减， 所以，即，解得或， 即. 11.（多选 2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判断BC. 【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误； 且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误； 对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确； 对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数， 当时，则在上单调递减，故C正确. 12（多选 2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【难度】0.6 【知识点】求幂函数的解析式、对数型复合函数的单调性、根据值域求参数的值或者范围、抽象函数的定义域 【分析】对A，先求函数的定义域，再根据“同增异减”法则，判断单调减区间；对B，先确定的值，再将已知点代入函数求出，进而计算；对C，列不等式，求解得到的定义域；对D，因为函数的值域为，所以需保证能取到所有正实数，分和两种情况讨论 【详解】对A，函数，，解得或 因为复合函数同增异减，外层是增函数，内层减区间为， 结合定义域得的单调减区间为，不是，因此A错误； 对B，根据幂函数定义，形如的函数是幂函数，因此系数， 因为函数过，所以，解得； 因此​，B正确； 对C，因为的定义域为，所以对，满足，解得，即的定义域为，C正确； 对D，因为值域为R，所以需能取到所有正实数， 当时，真数为，是一次函数，可取所有正实数，符合条件； 当时，真数为二次函数，需满足开口向上，且判别式，解得， 综上的取值范围是，D正确. 13.（多选 2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【难度】0.42 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 14.（多选 2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．函数在上单调递增 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 【答案】AD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用赋值法可判断A，利用单调性的定义可判断B，结合单调性和定义域可判断C，利用奇函数的定义可判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，A正确； 对于B，对任意，设，则，因为当时，， 所以， , 即，因此在上单调递减，B不正确； 对于C，，由可得， 由B选项可得，解得， 又，所以，故解集为，C不正确； 对于D，令，由可得定义域为； 又，所以为奇函数，D正确. 15.（2026·河北保定·二模）已知函数，则 ______ 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、求分段函数值 【详解】. 16．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 17.已知定义在R上的函数在区间上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知及偶函数性质得的图象关于直线对称，且，结合区间单调性和对称性求不等式的解集. 【详解】因为定义域为R，且为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，得，时，得， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 18.（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的连续函数，．若为奇函数，为偶函数，且，则________． 【答案】 【难度】0.38 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据函数的奇偶性得出周期，利用周期性求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 因为为偶函数，所以， 则， 所以， 则， 所以函数的一个周期为4， 则．又， 所以， 因为， 所以，， 所以， 则． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质 【题型1 求函数的定义域】 规律与方法 求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． . 4.（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【题型2 求函数的值域】 规律与方法 求函数值域的七种方法 1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． 2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合． 3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围. 4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)． 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数， 形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法 6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如： 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： 如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； 如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 1．（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，则（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知函数的值域是，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 6.（2026·山东济宁·一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7.（2026·广东惠州·二模）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【题型3 分段函数】 规律与方法： 常见题型：1.分段函数求值2.分段函数求参数3.分段函数求最值（值域） 解题方法：分类讨论、图象法 1.（2026·山东烟台·一模）已知函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 设函数，则不等式的解集为________. 3.（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 函数的单调性及应用】 规律与方法 判断函数单调性(单调区间）的常用方法 ①定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得出结论。 ②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可以作出，可由图象的升、降判断它的单调性或写出单调区间。 ③复合函数法：根据“同增异减”判断，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，内、外层函数的单调性不同时，为减函数。 ④导数法：先求导，再利用导数的正负，确定函数的单调性(单调区间）。 ⑤性质法：a.在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减 1.（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.（2026·福建·二模）已知函数为增函数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4.（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数的奇偶性及应用】 规律与方法 1、求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值对应的自变量转化到已知解析式的区间，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可. 2、求参数：由定义或定义的等价关系式 (奇函数)与(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组)求解. 1.（2026·江西上饶·二模）已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 2.（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．1 D．9 4．（2022·全国·模拟预测）若的最大值和最小值分别为，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6.（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则_____，______． 【题型6 函数的周期性与对称性应用】 规律与方法 1.函数周期性的常用结论及应用（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 2.轴对称①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 3.点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 4. 对称与周期： ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ） A．4 B．16 C． D． 2.（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 3．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ） A．506 B．1012 C．2024 D．4048 4.（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【题型7 函数性质的综合应用】 规律与方法 1.单调性与奇偶性：（1）比较大小 （2）解不等式 2.四种性质综合：（1）先判断周期性、对称性 （2）通过一段函数的图象分析整个函数的性质 1.（2026·福建厦门·二模）设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 4.（2026·广东惠州·二模）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 6.（多选 2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 7.（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8 抽象函数的性质应用】 规律与方法 1、抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： （1）……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； （2）通过的变换判定单调性； （3）令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； （4）换为确定周期性. 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论; （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或; ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. 1.（多选 2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 2.（多选 2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 3．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 4．（23-24高三下·河南郑州·月考）（多选）已知函数满足，，则（ ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 5．（2024·安徽安庆·二模）（多选）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ） A． B． C．函数为减函数 D．函数的图象关于点对称 6.（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1．（25-26高三下·陕西西安·开学考试）下列函数中，定义域和值域相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川达州·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026·湖北荆州·一模）下列函数中，是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·陕西咸阳·模拟预测）若函数为奇函数，则实数（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 5.（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 6.（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.（2025·山东·一模）若函数（且）的值域是，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·陕西·月考）已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（   ） A．B．C． D． 9.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，且，，，则，，的大小关系为（） A． B． C． D． 10.（2026·河北沧州·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11.（多选 2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 12（多选 2026·河南洛阳·模拟预测）下列选项中说法正确的是（    ） A．函数的单调减区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 13.（多选 2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 14.（多选 2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．函数在上单调递增 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 15.（2026·河北保定·二模）已知函数，则 ______ 16．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 17.已知定义在R上的函数在区间上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_______ 18.（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的连续函数，．若为奇函数，为偶函数，且，则________． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $