第二章 第1节 函数的概念及其表示-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关教参

第二章 A艺考文化课导师 8“码”上答提 ·题型讲解·错题收录 ·作业批改·复习精讲 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示 课程标准 核心素养 考情聚焦 以理解函数的概念，会求一些简单函 1.了解构成函数的要素，会求一些简 数的定义域为主，常与不等式相结合求函 1.函数的概念，感悟和发展数 单函数的定义域和值域，了解映射 数的定义域、值域.函数解析式的求解与 学抽象的素养， 的概念 应用是函数内容的基础，注意换元法、待 2.函数的解析式，提升逻辑推 2.在实际情境中，会根据不同的需要 定系数法等数学思想方法的运用.分段函 理和数学运算的素养。 选择恰当的方法（如图象法、列表 数主要涉及的是与其相关的函数值、方程 3.函数的定义域，发展数学抽 法、解析法)表示函数，理解函数图 或不等式，该部分内容高考中多以选择题 象和提升逻辑推理的素养。 象的作用 或填空题的形式考查，难度不会太大，属 4.分段函数及应用，提升逻辑 3.通过具体实例，了解简单的分段函 于低中档题.主要考查考生的函数与方程 推理和数学运算的素养。 数，并能简单应用 思想、数形结合思想、分类讨论思想以及 运算求解的能力 口夯实引必备知识 对应学生用书P16 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.函数的定义域、值域 1.函数与映射的概念 (1)在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的 类别 函数 映射 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈A}叫 做函数的值域。 两个集合 设A,B是两个非 设A,B是两个非空 (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 A、B 空数集 集合 一致，则这两个函数为相等函数， 如果按照某种确 3.函数的表示法 如果按某一个确定 定的对应关系f, 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 的对应关系∫，使对 使对于集合A中 4.分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对 对应关系 于集合A中的任意 的任意一个数x, 应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种 f:A→B 一个元素x,在集合 在集合B中都有 函数称为分段函数 B中都有唯一确定 唯一确定的数 重要结论 的元素y与之对应 f(x)和它对应 1.函数是特殊的映射，是A,B为非空数集的映射，其 称f:A→B为从 称f:A→B为从集合 特征为：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B 名称 集合A到集合B A到集合B的一个 中对应元素的唯一性. 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和 的一个函数 映射 对应关系完全一致 函数y=∫(x), 3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集， 记法 映射f:A→B x∈A 其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由 几部分组成，但它表示的是一个函数 ·29· 艺考生文化课百日冲关·数学 [自主诊断] 解析：B [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 f(()-2=3 打“”，错误的打“×”. 9.) (1)函数是建立在其定义域到值域的映射.( ) 3.下列图象可以表示以M={x0≤x≤1}为定义域， (2)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个 以N={y0≤y≤1}为值域的函数的是 ( 交点 ( (3)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t-2t是同一 函数 E.J 1 (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函 数是相等函数， 解析：C[由选项知A值域不是[0,1]，B定义域 (5)f()=卫与g(x)= 1(x≥0)， 2 表示同一 -1(x<0) 不是[0,1]，D不是函数，只有C符合题意.] 函数. ( ) 4.函数y=f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义 (6)若A=R,B={x|x>0},f:2→y=|x|,其对应 域是 ;值域是 ;其中只与x的一 是从A到B的映射， ( ) (4)×(5)× 个值对应的y值的范围是 答案：(1)/(2)× (3)、/ (6)× ……中…5…t…… [小题查验] ……4 1.函数y=√ln(1-x)的定义域为 2 ( ) …1 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] -30123 解析：B[由人≥0， 。解得0≤x<1,所以函数 答案：[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5] 1-x>0 y=√ln(1-x)的定义域为[0,1).] (Vxx>0 5.(2024·上海卷)已知函数f(x)= (l0g2x,x>0, (1,x≤0 2.已知函数f(x)= 3,x≤0， 则(()的 则f(3) 值是 解析：因为3>0，所以f(3)=√3. A.9 B.9 C.-9 D.- 1 答案：√3 跃升|关键能力 对应学生用书P17 层级突破素养提升 考点一 函数的概念（自主练透） [题组集训门 2.下列各组函数中，表示同一函数的是 1.下列所给图象是函数图象的个数为 A.f(x)=|xl,g(x)=√ B.f(x)=√，g(x)=(W)2 C.fx)=22-1 x-1,g()=x十1 (2 D.f(x)=√+1·√-1，g(x)=√2-1 解析：A[对于Ag(x)=x,.f(x)=g(x),A A.1 B.2 C.3 D.4 符合题意； 解析：B[①中当x>0时，每一个x的值对应两 对于B,f(x)=|x,g(x)=x(x≥0)， 个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x=x ∴两函数的定义域不同，B不符合题意； 时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一 对于C,f(x)=x十1(x≠1)，g(x)=x十1， 两函数的定义域不同，C不符合题意； 个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.] ·30· 上篇：第二章函数、导数及其应用 对于D,f(x)=√x+1·x-1(x+1≥0且x-1 ③中函数的值域为（一∞，十∞），值域关于原，点对 ≥0)，f(x)的定义域为{xx≥1}， 称，故③符合题意； g(x)=√22-1(x2-1≥0)， ④中函数的值域为R,值域关于原点对称，故④符 g(x)的定义域为{xx≥1，或x≤-1}. 合题意； ∴两函数的定义域不同，D不符合题意.] ⑤中函数f(x)=2sinx一1的值域为[-3,1]，不 3.设函数f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D,都 关于原点对称，故⑤不符合题意. 存在y∈D,使得f(y)=一f(x)成立，则称函数 答案：②③④ f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数： /题后反思/ ①f)=:@f)=@f)=1n(2x+3: 函数的三要素 ④f(x)=2-2;⑤f(x)=2sinx-1. 定义域、值域、对应法则.这三要素不是独立的， 其中是“美丽函数”的序号有 值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当 解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在 且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同 着y,使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函 一函数.特别值得说明的是，对应法则是就效果 数值f(y)互为相反数，即f(y)=一f(x).故只有 而言的（判断两个函数的对应法则是否相同，只 当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函 要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变 数”的条件. 量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是 ①中函数的值域为[0，十∞)，值域不关于原点对 否相同)不是指形式上的.即对应法则是否相 称，故①不符合题意； 同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表 ②中函数的值域为（一∞，0）U(0,十∞)，值域关于 示的，要看化简后的形式才能正确判断. 原点对称，故②符合题意； 考点二 求函数的解析式（课堂共研） [典例](1)已知f(√E+1)=x+2√，则f(x)= .所求二次函数的解析式为f(x)=一4x2十42十7. 法二（利用顶点式）： (2)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)= 设f(x)=a(x-m)2+n. 一1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式 .f(2)=f(-1), 为 (3)定义在（一1,1）内的函数f(x)满足2f(x)一 ·抛物线的对称轴为x=2十(-1)1 2 21 f(-x)=lg(x+1),则函数f(x)的解析式 为 .m= .又根据题意函数有最大值8，.n=8. [解析](1)法一：设t=√E+1,则x=(t-1)2, t≥1，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t y-f)-a(e-2)+8 2t+1+2t-2=t-1.故f(x)=x2-1,x≥1. 法二：，x十2√元=（√）2+2√元+1-1 :f2)=-1.2-+8=-1 =(元+1)2-1， 解得a=一4， .f(W元+1)=(WE+1)2-1, √E+1>1, f)=-4气-2)+8=-4+4+7. 即f(x)=x2-1,x≥1. 法三（利用零，点式）： (2)法一（利用一般式）： 由已知f(x)十1=0两根为x1=2,x2=一1， 设f(x)=ax2+bx十c(a≠0). [4a+2b+c=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), [a=-4; 由题意得 a-b+c=-1, 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 解得b=4, 4ac-B=8, c=7. Aa 又函数有最大值y=8,即a(-2a_1）-a=8. ·31· 艺考生文化课百日冲关·数学 解得a=一4或a=0(舍). .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, .所求函数的解析式为f(x)=-4x2十4x十7. 即ax+(5a+b)=2x+17, (3)当x∈(-1,1)时， 有2f(x)-f(-x)=1g(x+1). ① 因此应有2， 解得0=2， 5a+b=17 b=7. 以一x代替x得，2f(一x)一f(x)=lg(一x十1). ③ 故f(x)的解析式是f(x)=2x十7. 由①②消去f(-x),得 答案：2x十7 f)=号lgx+1)+lg1-),x∈(-1，D. 2已知（二+=gx,则f)的解析式为 [答案](1)x2-1(x≥1) (2)f(x)=-4x2十4x+7 解析：令2十1=，得= 2 8f)-号1e(x+1D+7e1-a.E(-1,n 代入得f()=1g二' 1方法指导/ 又x>0,所以t>1, 函数解析式的求法 数fm的解折式是f)=g,号>1D (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替 答案：f)=lg2（x>1) 代g(x),便得f(x)的解析式. 3.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x)= (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、 2)-1，则fx)= 二次函数)，可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可 解析：在f)=2f)丘-1中，将x换成 用换元法，此时要注意新元的取值范围， (4)消去法：已知关于f(x)与 )(-)的 表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等 )=2)-1. 式组成方程组，通过解方程组求出f(). [跟踪训练] )=2ra…F-1. 1.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)一2f(x-1) 解得f)=号+3 =2x十17，则f(x)= 解析：因为f(x)是一次函数， 答案：号+日 可设f(x)=a.x十b(a≠0)， 考点三 函数的定义域（多维探究） [命题角度1]求给定函数解析式的定义域 [典例2](2025· 聊城二模)函数f(x)=+ 1-x-1 [典例1] 函数f(x)= (a>0且a≠1) √I一x的定义域是 a2-1 x≠0， 的定义域为 [解析] 依题意 解得x∈（一∞，0） 11-x≥0， x-1≥0， 0≤x≤2， [解析] 得 U(0,1]. (a-1≠0， (x≠0， [答案](-∞，0)U(0,1] 解得0<x≤2， [命题角度2]求抽象函数的定义域 故所求函数的定义域为(0,2]. [典例3]已知函数f(x)的定义域为（一1,0），则函 [答案](0,2] 数f(2x+1)的定义域为 ( ) ·32· 上篇：第二章函数、导数及其应用 A.(-1,1) [命题角度3]已知定义域确定参数问题 D(2 [典例4幻 若函数f(x)=√2+aa-1的定义域为 C.(-1,0) R,则a的取值范围为 [解析]B[由函数f(x)的定义域为（一1,0），则 [解析]因为函数f(x)的定义域为R,所以 使函数f(2x十1)有意义，需满足一1<2x十1<0， 2+2ara-1≥0对x∈R恒成立，则x2+2ax-a≥ 解得一1<x<一 2,即所求函数的定义战 0恒成立.因此有△=(2a)2+4a≤0，解得-1≤a≤ 0,故a的取值范围为[-1,0]. [答案][-1,0] [互动探究] 1,已知函数f(2x十1)的定义域是（一1,0），则f(x) /规律总结/ 的定义域为 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 解析：由已知x∈(-1,0)，所以2x+1∈（一1,1）， (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不 故f(x)的定义域为(-1,1). 等式（组）求解. 答案：(-1,1) (2)抽象函数 2.已知f(2)的定义域是[-1,1]，则f(1og2x)的定义 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合 域为 函数f(g(x)的定义域由a≤g(x)≤b求出. 解析：由已知x∈[-1,1，所以2∈[22小故 ②若已知函数f(g(x)的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域. f)的定义城为[2,2]所以在画数y=(og:) (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义， 中，2≤logx≤2，即log2V2≤1ogx≤log影4，所以 又要考虑实际问题的要求 提醒：(1)如果所给解析式较复杂，切记不要化 √2≤x≤4，故f(1og2x)的定义域为[V2,4]. 简后再求定义域. 答案：[2,4] (2)所求定义域须用集合或区间表示. 考点四 分段函数及应用（多维探究） [命题角度]求函数值、值域（最值） 时，f(x)∈(-1,6].故当x∈[-2,2]时，f(x)∈ 1+log2(2-x),x<1, [-4,6]. 1.设函数f(x) 2-1,x≥1， 答案：[-4,6] 则f(-2)+f(1og212)= 规律总结/ A.3 B.6 C.9 D.12 分段函数“两种”题型的求解策略 解析：C[根据分段函数的意义， (1)根据分段函数的解析式求函数值 f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3.又log212>1, 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定 ∴f(1og,12)=2,-D=2b%,5=6,因此f(-2)十 相应的解析式代入求解. f(1og212)=3+6=9.] (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或 2.定义新运算“④”：当a≥b时，a①b=a;当a<b时，a 范围 ④b=b.设函数f(x)=(1①x)x-(2①x),x∈ 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意 [-2,2],则函数f(x)的值域为 检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 （x-2,x∈[-2,1]， 的自变量的取值范围. 解析：由题意知，f(x)= {z3-2,x∈(1,2]， 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类 讨论 当x∈[-2,1]时，f(x)∈[-4，-1]；当x∈(1,2] ·33·