3.1 函数的概念及其表示-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（word教师用书）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示这一高考核心模块，涵盖函数定义、定义域、值域、解析式及分段函数等考点，按“概念本质-表示方法-应用拓展”逻辑架构知识体系。通过表格梳理基础概念，提炼定义域求法、解析式求解等方法策略，结合2025年联考真题精讲，形成“考点梳理-方法指导-真题演练”闭环教学，助力学生突破抽象函数定义域、分段函数分类讨论等难点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如用换元法、待定系数法推导函数解析式时，强调逻辑推理与符号表达的严谨性，在分段函数不等式求解中引导学生通过分类讨论构建解题框架。设置基础巩固与能力提升分层针对训练，配合即时反馈机制，能高效提升学生规范解题能力，为教师精准把控复习进度、落实核心素养目标提供实用教学支持。

第一节　函数的概念及其表示 1．函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的__实数集__，如果对于集合A中__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应，那么就称f：__A→B__为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 __y＝f(x)__，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的__取值范围A__叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 2.同一个函数的概念 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 判断两个函数是否相同，要抓住以下两点：①定义域是否相同；②对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有__解析法__、图象法和列表法． 4．分段函数 在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的__对应关系__，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 一个分段函数的解析式要把每一段都写在同一个大括号内，各段函数的定义区间端点应不重不漏． 1．常见的函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (5)y＝loga x(a>0且a≠1)的定义域为{|x|x>0}． (6)y＝tan x的定义域为 . (7)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 　 求函数的定义域 (1)(2025·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为(　　) A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3] C. [－1,3] D．[－1,0)∪(0,3] (2)(2025·华南师范大学附属中学月考)已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[0,1] B．(0,1) C．[0,1) D．(0,1] 【解析】　(1)要使函数有意义，x需满足解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．故选B. (2)由函数f(x)的定义域为[－1,1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1；又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0.所以函数g(x)的定义域为(0,1)，故选B. 【答案】　(1)B　(2)B 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解．对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． [针对训练] 1．函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(　B　) A．(2，＋∞) B．(1,2) C．(0,2) D．[1,2] 解析：要使函数有意义，则解得1<x<2.所以函数f(x)＝＋ln(2x－x2)的定义域为(1,2)．故选B. 　函数的解析式 (1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________． (2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________． (3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________． 【解析】　(1)(换元法)令＋1＝t， 得x＝，因为x＞0，所以t＞1， 所以f(t)＝lg， 即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)． (2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3. 所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2， 所以解得 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3. (3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，① 将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，② 由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x， 所以f(x)＝2x. 【答案】　(1)f(x)＝lg(x＞1) (2)f(x)＝x2－x＋3　(3)f(x)＝2x 求函数解析式的常用方法 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) [针对训练] 2．(2025·广东濠江金山中学高三月考)已知f＝，则f(x)＝(　A　) A. B．－ C. D．－ 解析：令t＝，得x＝， 所以f(t)＝＝，所以f(x)＝，故选A. 　分段函数及其应用 角度一　分段函数求值 已知函数f(x)＝则f的值是(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 【解析】　因为>0，所以f＝log2＝－2，又因为－2<0，所以f＝f(－2)＝3－2＝. 【答案】　C 角度二　根据分段函数求参数的值 已知f(x)＝若f(a)＝2，则a的取值为(　　) A．－1或2 B．±1或2 C．－1 D．2 【解析】　因为f(a)＝2，所以当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；当a<0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1.综上，a的取值为－1或2.故选A. 【答案】　A 角度三　根据分段函数解不等式 (2025·甘肃武威第六中学高三模拟)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<2的x的取值范围是(　　) A．(－4,3)　　 B．(－5,2) C．(－3,4) D．(－∞，－3)∪(4，＋∞) 【解析】　因为f(x)＝ 所以f(x＋1)＝ 当x≥－1时，f(x＋1)<2即log2(x＋2)<2，解得x<2，所以－1≤x<2；当x<－1时，f(x＋1)<2即<2，解得x>－5，所以－5<x<－1.综上，当f(x＋1)<2时，x的取值范围是(－5,2)．故选B. 【答案】　B 1．分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值； (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果综合起来． [针对训练] 3．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　D　) A．(1，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 4．(2025·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝__8__. 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝， 解得a＝，则f＝f(4)＝8； 当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解． 学科网（北京）股份有限公司 $