重庆复旦中学教育发展共同体2025-2026学年八年级下学期期中考卷数学试卷

**基本信息**：以真实情境与问题解决为导向，融合物流行程、手工制作等生活实例及“折竹抵地”古算题，考查函数应用、几何推理等核心能力，凸显数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|函数表示、平行四边形性质、勾股定理|第1题通过医疗、气象等情境辨析函数表示方法，考查抽象能力| |填空题|6/24|四边形外角和、网格作图、古算应用|第13题“折竹抵地”问题，将传统文化与勾股定理结合，体现文化传承| |解答题|9/86|函数图像分析、几何证明、综合实践|第23题手工收纳盒容积探究，通过建模与数据分析考查应用意识；第24题数形结合求代数式最值，培养逻辑推理能力|

重庆复旦中学教育发展共同体2025-2026学年度下期期中考试 初2027届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱。 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分。请将答案工整地书写在答题卡上 命题人： 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1.下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（ ） A. 记录某病人一天内不同时刻的体温 B. 反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C. 用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D. 展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 2.如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B.1 C. D. 3.在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4.有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （1题图） （5题图） （6题图） 5.在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 6.如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是△ABC的中位线，点F在上，且，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 1.5 8.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（     ） A． B． C． D． （7题图） （8题图） 9.某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示.其中正确的结论有（   ） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距；②甲、乙两地之间的距离为； ③快递车从甲地到乙地的速度为；④图中点B的坐标为. A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 10. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②AG=AB；③；④．其中正确的是（　　） A ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ （9题图） （10题图） 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A＋∠C＝________. 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是 ． (第11题) (第12题) 13.古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是 ． (第13题) (第14题) 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ． (第15题) (第16题) 16. 如图，在△ABC中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，∠BAN=∠ ,的长度存在最小值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17.在△ABC中，已知AB= ,AC=2,BC=,延长BC到点D，使CD=6,连接AD，请求出AD的长度. (17题图） 18. 在四边形ABCD中，若AB∥CD,∠A=∠C,求证：四边形ABCD是平行四边形. (18题图） 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．重庆复旦外语校校门到操场是一段“之”字形下坡道路，数学抽象如图所示，其中线段AB、BC两段之字路，初二年级的数学兴趣小组同学设计了一个数学问题，通过手机智能工具测量出校门口A点到操场水平线DE垂直高度AD=14米，拐点B到操场水平线垂直高度BE=5米，B点到AD的水平距离DE=40米，道路下端点C到AD的水平距离CD=27米，请你运用所学知识作图分析来求出道路AB和BC的总长度大约是多少米?(最后数据只要求精确到米) （17题图） 20.如图，在中，点E在上，且平分． (1) 请用尺规过A点作BE的垂线AF交BE于点O,交BC于点F,连接EF.(保留作图痕迹，不写作法 (2) 求证：四边形是菱形． （18题图） 21.某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动.如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶，两个社团同时出发且匀速行驶.已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象.观察函数图象回答下列问题： “书法社”骑自行车的速度为           求图象中a与b的值; 请请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义. 22.如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，作EF⊥BC于F,（1）求证：四边形ABFE是正方形. 【问题探究】 （2）如图2，连接AC交BE于G． ①发现：用勾股定理去探究与AG2有何关系，并说明理由. 【学以致用】②若EG=2,AG=3,请求出BG的长. (图1) (图2) 23.综合与实践 手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗? 【建立模型】如图①，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为xcm的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求V的最大值. 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究. 写出V关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. ②列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是          . ③如图②，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象. 【解决问题】利用函数图象回答： ①长方体盒子的容积最大约为多少结果保留整数 ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值结果保留一位小数 24.著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． （24题图） 25. 【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． （第1页/共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育发展共同体2025-2026学年度下期期中考试 初2027届数学试题参考答案 1、 选择题： C D B B C A D B D C 2、 填空题： 11.180° 12. 13.12 14.4 15. 16.∠CAF, 3、 解答题 17.【答案】AD= 【分析】考查了学生对勾股定理的逆定理和勾股定理的关系的理解和应用. 【详解】∵AB= ,AC=2,BC= ∴AC2+BC2=4+ = ,AB2= ∴AC2+BC2=AB2 ∴∠ACB=90° （4分） ∴∠ACD=90° ∵AC=2,CD=6 ∴AD= = （8分） 18.【分析】考查了学生对平行四边形的判定的基本方法掌握情况，会作简单辅助线来完成推理证明过程. 【详解】连接BD ∵ AB∥CD ∴∠ABD=∠BDC （2分） 在△ABD和△CDB中 ∵ ∴△ABD≌△CDB(AAS) （4分） ∴AB=CD ∵ AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 （8分） 19.【答案】AB+BC=41+55米. 【分析】考查勾股定理的实际应用，会构造直角三角形并用勾股定理来进行计算，并能用勾股数进行估算，是解题的关键. 【详解】作BF⊥AD于F， ∵∠E=∠D=∠DFB=90° ∴四边形BEDF是矩形 （ 4分） ∴DE=BF=40,BE=DF=5 ∵CD=27 ∴EC=40-27=13 ∵∠E=90°,BE=5 ∴52+132=BC2 ∴BC= （6分） ∵AD=14,DF=5 ∴AF=9 ∵∠BFA=90°,BF=40 ∴AB2= =41 （8分） ∴AB+BC=41+55 ∴道路总长度约为55米. （10分） 20.（1）利用尺规作菱形产生垂线（2分），标记点，连接线段EF（4分）. （2） 利用菱形的判定方法多种方法来证明皆可条件清楚过程合理（10分）. 21.（1） （2） (3) P(9, ),它表示“书法社”和“音乐社”同学相遇的时间和距离社区文化站的距离. 22.【分析】考查正方形的证明方法，以及在特殊三角形中运用勾股定理来探究线段之间的数量关系,会充分运用图形性质,构造直角形,代数运算推理来解决问题. (1)证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠ABC=90° ∵EF⊥BC ∴∠BFE=90° ∴四边形ABFE是矩形 ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE=45° ∴∠ABE=∠AEB=45° ∴AB=AE ∴矩形ABFE是正方形. (2))①BG2+EG2=2AG2证明：连接AF交BE于O,设BG= ,EG= ,AG= ∵四边形ABFE是正方形 ∴AO=BO=EO,∠AOG=90° ∴AO2+OG2=AG2 ∵AO= OG== ∴ += ∴ ∴BG2+EG2=2AG2 ② ∵EG=2,AG=3由 ①可知 ∴BG2+22=232 ∴BG= 23.【答案】【小题1】 解：由题意，得 画出函数的大致图象如答图所示. 【小题2】 ①由函数图象可知，长方体盒子的容积最大约为答案不唯一 ②由函数图象可知，当时，x的值可约为 （答案不唯一，范围在均可）或 24.【答案】(1)10 (2)①；② 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【规范解答】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 25.【答案】（1）9；（2）见解析；（3）补全图形见解析， 【解析】 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）解：根据题意补全图形如图所示： 连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $