小升初专题4 四则运算的意义和法则（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题4 四则运算的意义和法则 知识点01：四则运算的意义 整数、小数和分数同样适用如下运算： 加法的意义：把两个数合成一个数的运算。 减法的意义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。 小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。 分数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。 除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另外一个因数的运算。 知识点02：四则运算法则： 整数 小数 分数 加法 ①相同数位对齐。 ②从低位算起。 ③加法中满几十就向前一位进几。减法中不够减时，就从前一位退，退几就当几十。 ①相同数位对齐（小数点对齐）。 ②从低位算起。 ③按整数加、减法计算。④结果中的小数点，和相加、减的数里的小数点对齐。 ①同分母分数（分数单位相同的分数）相加、减，分母不变，分子相加、减。②异分母分数（分数单位不同的分数）相加、减，先通分（化成分数单位相同的分数），然后计算。③结果能约分的要约分。 减法 乘法 ①从个位乘起，先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数。 ②用因数哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就和哪一位对齐。 ③再把几次乘得的积加起来。 ①按整数乘法法则先求出积。 ②看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ①分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 ②有整数的把整数看成分母是1的假分数。 ③有带分数的，通常先把带分数化成假分数。 除法 从被除数的最高位除起，除数有几位，就看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；如果哪一位上不够商1，就在那一位上写“0”占位。每次除得的余数必须比除数小。 除数是整数时，按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照整数除法的计算方法进行计算。 甲数除以乙数(0 除外)，等于甲数乘乙数的倒数。 知识点03：四则运算各部分之间的关系： 各部分之间的关系 加法 加数+加数=和；一个加数=和-另一个加数 减法 被减数-减数=差；被减数=减数+差；减数=被减数-差 乘法 因数×因数=积；一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数÷除数=商；被除数=除数×商；除数=被除数÷商 在有余数除法中，各部分有以下关系： 被除数=除数×商+余数 除数 = （被除数 - 余数）÷商 知识点04：和的变化规律： （1）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也加上（或减去）这个数。 （2）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数反而减去（或加上）这个数，那么它们的和不变。 知识点05：差的变化规律： （1）如果被减数加上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也加上（或减去）这个数。 （2）如果被减数不变，减数加上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或加上）这个数。 （3）如果被减数和减数同时加上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。 知识点06：积的变化规律： （1）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也乘（或除以）这个数。 （2）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或乘）这个数，那么它们的积不变。 知识点07：商的变化规律： （1）没有余数的除法。 ①如果被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也乘（或除以）这个数。 ②如果被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或乘）这个数。 ③如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。 （2）有余数的除法。 在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时乘（或除以）这个数。 【例1】甲数除以乙数商是50，余数是8．把被除数和除数同时扩大10倍，商是( )，余数是( )． 1．m÷n＝9……2（n≠0），如果m和n同时扩大到原来的10倍，这时余数是( )。 2．A÷B＝3……3，如果A、B同时缩小到原来的，这时商是( )，余数是( )。 3．∶＝（    ）%＝（    ）÷16＝（    ）（填小数）。 【例2】数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的算理，小明所在的小组写出这样一组算式： 他们发现：整数乘法算理与小数乘法算理之间有着密切的联系。请你想一想：分数乘法的算理是不是也与整数、小数乘法算理之间有着密切的联系？并完成填空。 （____________）（____________）。 1．在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 2．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 3．a，b，c表示连续自然数时有如下规律： ，（） 应用你发现的规律计算： ( )。 4．5÷（    ）（    ）（    ）%。 【例3】在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有( )个黑球。 1．把9个桔子平均分成3份，每份是这些桔子的，有　 　个，其中的2份是这些桔子的，有　 　个。 2．( )的是27，90千克减少后是( )千克。 3．40千克的20%是( )；( )的是18吨；比2米少米是( )米。 4．一条公路，已修和未修的比是5∶4，未修的占这条公路的，比已修的少（    ）%。 5．现有A、B两枚均匀的六面体骰子。设小明掷A骰子，朝上的数字为x，小亮掷B骰子，朝上的数字为y，则满足x＋y＝7的可能性大小为( )。 6．个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中标出的数据，瓶中水的体积占瓶子容积的。 一、填空题 1．王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是( )元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是( )元。 2．自2016年3月1日起，微信对个人用户的零钱提现功能开始收取手续费。每位用户终身享受1000元免费提现额度。超出部分目前按0.1%收取手续费。小明妈妈从未提现过，此时想将微信零钱里15000元提现，那么将收取手续费( )元。 3．一台台式电脑原价是4800元，为了促销，每台降价25%，每台降价( )元，每台台式电脑现在的售价是( )元。 4．已知银行的年利率是2.25%，王奶奶将50000元存入银行，存两年定期。两年后，王奶奶可以拿到利息( )元。（只列式不计算） 5．一包糖果重千克，10包这样的糖果重( )千克；1千克这样的糖果有( )包。 6．手工课上，小红从一张长5分米，宽4分米的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形，这张彩纸的损耗率是( )。（损耗率＝未利用的部分÷全部的量×100%） 7．近年来，国产机器人技术日益先进，某新型号机器人在待机状态下耗电量比旧型号低了20%，在电池容量相同的情况下，新型号机器人使用时间与旧型号相比可提升( )%。 8．小明三天读完一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了8页，余下64页没有读，这本书有________页。 9．比40米多是( )，15千克比( )千克少25%。 10．把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是( )厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 11．光辉小学有男教师24人，比女教师人数少40%，女教师有( )人。 12．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.833           15米/秒( )50千米/小时 ﹣7( )﹣5.5        5米的( )1米的 13．60m2比( )少，96dm比( )dm多。 14．我们在《科学》中知道，空气是由多种气体混合而成的，其中氧气大约占空气体积的21%，氮气大约占空气体积的78%。一个正方体的空纸箱，棱长是5分米，里面大约有氧气( )升，有氮气( )升。（纸箱厚度忽略不计） 15．比20千克多是( )千克，20千克比( )千克少。 二、选择题 16．王叔叔的月工资是4800元，扣除3500元后的部分按3%的税率缴纳个人所得税，王叔叔缴纳税后得到（    ）元。 A．39 B．144 C．4761 D．4656 17．小明想买一双运动鞋，甲店打八折销售，乙店满100元减20元。这双鞋标价350元，在（    ）店购买更加划算。 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 18．一种商品现价90元，比原价降低了10元，降低了（    ）。 A． B．10% C．9% D．1% 19．原价10元/瓶的一款饮料，甲超市“买三送一”，乙超市打七五折，丙超市“每满100元减20元”，妈妈要买10瓶这款饮料，选择（    ）超市更划算。 A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙 20．有浓度为的盐水700克，为了制成浓度为的盐水，从中要蒸发掉（    ）克水。 A．100 B．200 C．250 D．300 21．在小学数学的学习中，我们经常用一些巧妙的方法，将看似复杂的问题化繁为简。以下几个常见的问题中，哪个不能使用“假设法”来解决？（    ） A．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？ B．已知（a、b、c均不为0），将a、b、c按从大到小的顺序排列。 C．单独做一项工作，甲需要5天，乙需要4天，两人合作需要几天？ D．一个三角形的面积是48cm2，底是10cm，高是多少？ 22．已知算式2.7×□.6（□代表一个数字），下面四个数中可能是它得数的是（    ）。 A．1.05 B．6.2 C．15.12 D．27.92 23．在含盐30%的盐水中，加入15克盐和35克水，此时盐水含盐的百分率（    ）。 A．大于30% B．小于30% C．等于30% D．无法比较 24．在下面四杯糖水中，最甜的一杯糖水是（    ）。 A．11g糖配成100g糖水 B．91g水加入9g糖 C．含糖率为10% D．糖与水的比是1∶10 25．相同时间内，甲走的路程比乙多，下列表述正确的是（    ）。 A．甲与乙速度比是 B．甲走的路程与速度成反比例 C．乙走的路程比甲少 D．乙走的路程是甲的 26．一件商品先提价，再恢复原价，应降价（    ）。 A． B． C． D． 27．体育用品商店有篮球和排球共50个，其中篮球占60%，当卖出一批篮球后，篮球占现存总数的37.5%，卖出了（    ）个篮球。 A．15 B．16 C．17 D．18 28．妈妈带了200元去超市购物，选的商品有一袋大米37元、一桶油39元、一个电吹风102元。下列（    ）情况下，估算比精确计算更有价值。 A．营业员将每种商品价钱输入收款机时 B．妈妈考虑带的钱够不够时 C．妈妈被告知要付多少元时 D．营业员要找回妈妈钱时 29．甲、乙、丙三位评委为“中华经典诵读大赛”3号选手打分，甲、乙两位评委所打分数的平均分是8.8分，乙、丙两位评委所打分数的平均分是8.4分，甲、丙两位评委所打分数的平均分是8.9分。该选手的最后得分是（    ）。 A．8.4 B．8.6 C．8.7 D．8.9 30．自然数（0除外）、、、满足，则、、、中最小的一个是（    ）。 A． B． C． D． 31．巧算：（    ）。 A． B． C． D． 32．如图所示，每个小正方形大小相同，若空白部分的面积是，则阴影部分面积为（    ）。 A．25 B．30 C．40 D．55 三、计算题 33．直接写出得数。 2.9－2.09＝              0.125×40＝              48.48÷48＝                                                          34．直接写出得数。 ×＝            ×0.75＝            8÷0.125＝            ×＝ 3.14×8＝           0.1×0.2×0.3＝       0.1÷0.4÷2.5＝       0×＋＝ 35．直接写出得数。 ＋＝          －＝          ×＝        ÷＝ 1÷＝          ×＝          0×＝         ÷＝ 1.2×＝         ×＝         ÷＝         2－＝ 30%×20＝       1÷25%＝       ＋25%＝      60%÷＝ 36．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                                                            37．脱式计算，能简算的要简算。 ×＋×                      1.25×＋1.2÷ 47×（－）×19                    0.25×[（－）÷] 38．怎样简便就怎样算。 （1）       （2）      （3） 39．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 17.85－（4.3＋7.85）            40．脱式计算，能简算的要简算。 （1）（＋）×12         （2）×＋×         （3）÷÷ （4）×370%＋630%×＋440%        （5）×（＋）÷        （6）2026× 四、解答题 41．王大爷用菜籽榨菜籽油，其中油的质量是80千克，菜饼的质量是170千克，这些菜籽的出油率是多少？ 42．某植物园购进了一批松树苗，第一次种了80棵，成活了70棵，又补种了20棵，全部成活。种的松树苗的成活率是多少？ 43．某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 44．淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 45．李师傅开车去送货，全程355千米。其中315千米是高速，平均速度90千米/小时，其它道路平均速度只有50千米/小时。李师傅送这趟货全程需多少时间？ 46．温州江心屿是市民喜爱的热门打卡点。 (1)小宇家到“江心屿”全程12.5千米，他用某打车平台出行的方式前往该景点，那么一共需要车费多少元？ 行驶距离 某平台出行计价方式 10千米以内（含10千米） 起步价10元 超过10千米部分 每千米3元（不足1千米的按1千米计算） (2)从江心屿的地步行至地，小舟需要24分钟，小宇需要40分钟，他们分别从、两地出发，相向而行，多少分钟可以相遇？ 47．一种大米，原来每千克为9.0元，现在促销，单价降低了20%。原来买20千克大米的钱，现在能买多少千克？ 48．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来有20人参与，这时参加的同学与未参加的人数的比是3∶4。六年级一共有多少人？ 49．据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 50．低碳生活是指生活作息所消耗的能量要减少，从而减少碳的排放，特别是二氧化碳的排放。如少看1小时电视，就可以减少0.096千克碳的排放。某小学有800名学生，如果每名学生每天少看1小时电视，一个月（按30天计算）就能减少多少千克碳的排放？ 51．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 52．一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 53．一个工程队修一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了余下的40%，第三天修了12米，三天正好修了全长的80%，这条水渠全长多少米？ 54．甲乙丙三人各有一些金币，甲拿出他的金币的，乙拿出他的金币的，丙拿出他的金币的，然后将三人拿出的金币平均分成三份，甲乙丙各取一份，结果甲乙丙三人手中的金币数依次占金币总数的、、。问：金币总数至少是多少？ 55．是否存在8个分子为1，分母为互不相同的正奇数的分数，这8个分数相加，结果等于？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 56．某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 四则运算的意义和法则 知识点01：四则运算的意义 整数、小数和分数同样适用如下运算： 加法的意义：把两个数合成一个数的运算。 减法的意义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算。 小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。 分数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。 除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另外一个因数的运算。 知识点02：四则运算法则： 整数 小数 分数 加法 ①相同数位对齐。 ②从低位算起。 ③加法中满几十就向前一位进几。减法中不够减时，就从前一位退，退几就当几十。 ①相同数位对齐（小数点对齐）。 ②从低位算起。 ③按整数加、减法计算。④结果中的小数点，和相加、减的数里的小数点对齐。 ①同分母分数（分数单位相同的分数）相加、减，分母不变，分子相加、减。②异分母分数（分数单位不同的分数）相加、减，先通分（化成分数单位相同的分数），然后计算。③结果能约分的要约分。 减法 乘法 ①从个位乘起，先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数。 ②用因数哪一位上的数去乘，乘得的积的末位就和哪一位对齐。 ③再把几次乘得的积加起来。 ①按整数乘法法则先求出积。 ②看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 ①分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 ②有整数的把整数看成分母是1的假分数。 ③有带分数的，通常先把带分数化成假分数。 除法 从被除数的最高位除起，除数有几位，就看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；如果哪一位上不够商1，就在那一位上写“0”占位。每次除得的余数必须比除数小。 除数是整数时，按照整数除法的计算方法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照整数除法的计算方法进行计算。 甲数除以乙数(0 除外)，等于甲数乘乙数的倒数。 知识点03：四则运算各部分之间的关系： 各部分之间的关系 加法 加数+加数=和；一个加数=和-另一个加数 减法 被减数-减数=差；被减数=减数+差；减数=被减数-差 乘法 因数×因数=积；一个因数=积÷另一个因数 除法 被除数÷除数=商；被除数=除数×商；除数=被除数÷商 在有余数除法中，各部分有以下关系： 被除数=除数×商+余数 除数 = （被除数 - 余数）÷商 知识点04：和的变化规律： （1）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也加上（或减去）这个数。 （2）如果一个加数加上（或减去）一个数，另一个加数反而减去（或加上）这个数，那么它们的和不变。 知识点05：差的变化规律： （1）如果被减数加上（或减去）一个数，减数不变，那么它们的差也加上（或减去）这个数。 （2）如果被减数不变，减数加上（或减去）一个数，那么它们的差反而减去（或加上）这个数。 （3）如果被减数和减数同时加上（或减去）同一个数，那么它们的差不变。 知识点06：积的变化规律： （1）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，那么它们的积也乘（或除以）这个数。 （2）如果一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数反而除以（或乘）这个数，那么它们的积不变。 知识点07：商的变化规律： （1）没有余数的除法。 ①如果被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，那么它们的商也乘（或除以）这个数。 ②如果被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），那么它们的商反而除以（或乘）这个数。 ③如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变。 （2）有余数的除法。 在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），那么它们的商不变，余数也同时乘（或除以）这个数。 【例1】甲数除以乙数商是50，余数是8．把被除数和除数同时扩大10倍，商是( )，余数是( )． 【答案】 50 80 1．m÷n＝9……2（n≠0），如果m和n同时扩大到原来的10倍，这时余数是( )。 【答案】20 2．A÷B＝3……3，如果A、B同时缩小到原来的，这时商是( )，余数是( )。 【答案】 3 0.3 【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 A÷B＝3……3，如果A、B同时缩小到原来的，即被除数、除数同时除以10，商不变，余数应同时除以10。 【详解】余数：3÷10＝0.3 A÷B＝3……3，如果A、B同时缩小到原来的，这时商是3，余数是0.3。 3．∶＝（    ）%＝（    ）÷16＝（    ）（填小数）。 【答案】8；37.5；6；0.375 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此化成最简单的整数比；把最简单的整数比写成分数；根据比与除法的关系：比的前项相当于被除数，后项相当于除数，把比写成除法；根据商不变的性质：被除数和除数都乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，求出第三空；用比的前项除以后项，求出比值，结果用小数表示；根据小数化成百分数的方法：小数点向右移动两位，添上百分号。据此解答即可。 【详解】∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶8 3∶8＝ 3∶8＝3÷8＝0.375＝37.5% 3∶8＝3÷8＝（3×2）÷（8×2）＝6÷16 所以∶＝＝37.5%＝6÷16＝0.375。 【例2】数学课上，老师带领大家“回头看”乘法计算的算理，小明所在的小组写出这样一组算式： 他们发现：整数乘法算理与小数乘法算理之间有着密切的联系。请你想一想：分数乘法的算理是不是也与整数、小数乘法算理之间有着密切的联系？并完成填空。 （____________）（____________）。 【答案】 3 7 【分析】观察两组算式发现，都是先将两个因数拆分成“计数单位个数×计数单位”的形式，再根据乘法交换律和乘法结合律，分别将计数单位个数相乘、计数单位相乘，最后将这两个乘积再相乘。 在中，因数的计数单位是，且有3个这样的计数单位，可以表示为：；因数的计数单位是，且有7个这样的计数单位，可以表示为：；所以可以转换成，再将算式根据乘法交换律和乘法结合律转换成与整数乘法算式和小数乘法算式一样的形式，所以分数乘法的算理与整数、小数乘法算理相同，据此解答。 【详解】根据分析可知： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝21× 即＝＝21×。 所以分数乘法的算理与整数、小数乘法算理相同，都可以拆分成“计数单位个数×计数单位”的形式，再分别将计数单位个数相乘、计数单位相乘，最后将这两个乘积再相乘。 1．在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ ② 【分析】由，根据“商×除数＝被除数”可得； 由，根据等式的性质，等式的两边同时乘，左右两边仍然相等，可得； 由，计算得，所以根据等量的等量相等，可以得出。 【详解】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 由，可得，依据是等量的等量相等。 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是（②）。 2．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 【分析】假设，分别确定a、b、c的值，比较即可。 【详解】 则， ， ， 因为，即，所以最大的是，最小的是。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是1的两个数互为倒数。 3．a，b，c表示连续自然数时有如下规律： ，（） 应用你发现的规律计算： ( )。 【答案】 【分析】观察示例，根据示例，将中的加数拆成示例中的形式，再利用乘法分配律进行合并，中间抵消，最后只需要算出即可。 【详解】 【点睛】关键是根据示例中的方法将算式进行转化，从而降低算式难度，算出结果。 4．5÷（    ）（    ）（    ）%。 【答案】20；12；6；25 【分析】将题目里给定的分数化为小数0.25： 把0.25看作商，根据除数＝被除数÷商，求得除数； 根据分数的基本性质，先求得分子1扩大了几倍，分母就同样扩大几倍，再减去分母4，可得变化后分母中括号里的数； 把0.25看作比值，根据比的前项＝后项×比值，求得比的前项； 最后把0.25的小数点向右移动两位，同时添上百分号，化为百分数。 【详解】＝0.25 5÷0.25＝20 （1＋3）÷1×4－4 ＝4÷1×4－4 ＝16－4 ＝12 24×0.25＝6 0.25＝25% 【点睛】需要熟悉百分数、分数、小数之间互化的规律，且能够熟练应用相关性质，是解题关键。 【例3】在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有( )个黑球。 【答案】7 【分析】假设摸出绿球的可能性等于，即盒子中球的总个数的是绿球的个数，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出盒子中球的总个数，然后减去盒子中红球和绿球的个数，即为盒子中黑球的个数；因为拿出绿球的可能性小于，所以用求出的黑球个数加1即可。 【详解】（个） （个） （个） 即，要使拿出绿球的可能性小于，那么至少有7个黑球。 【点睛】解答本题的关键在于理解：当摸出绿球的可能性等于时黑球的个数加1即为所求黑球的最小个数。 1．把9个桔子平均分成3份，每份是这些桔子的，有　 　个，其中的2份是这些桔子的，有　 　个。 【答案】，3，，6 【分析】把这此桔子的个数看作单位“1”，把它平均分成3份，每份是这些桔子的，求每份有多少个，用这些桔子的个数除以平均分成的份数；求2份是多少个，表示2个，即，求2份的个数，用1份的个数乘2。 【详解】1÷3＝ 9÷3＝3（个） ×2＝ 3×2＝6（个） 【点睛】此题是考查分数的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。求每份的个数，根据平均分除法的意义，用总个数除以平均分成的份数。 2．( )的是27，90千克减少后是( )千克。 【答案】 45 60 【分析】（1）把要求的数看成单位“1”，它的对应的具体的数量是27，用除法求出单位“1”的量； （2）把90千克看成单位“1”，要求的数是它的1﹣，用乘法计算得解。 【详解】27÷＝45 90×（1﹣） ＝90× ＝60（千克） 答：45的是27，90千克减少后是60千克。 故答案为：45，60 【点睛】解答此题的关键是分清单位“1”的区别，如果是求单位“1”的百分之几是多少，用乘法计算；如果是已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”的量，用除法计算。 3．40千克的20%是( )；( )的是18吨；比2米少米是( )米。 【答案】 8 45 1 【分析】（1）求40千克的20%数是多少用乘法； （2）求多少吨的是18吨用除法； （3）求多少米比2米少米，用减法。 【详解】（1）40×20%＝8； （2）18＝45（吨）； （3）2－＝1（米）。 【点睛】求一个数的几分之几是多少用乘法，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。 4．一条公路，已修和未修的比是5∶4，未修的占这条公路的，比已修的少（    ）%。 【答案】；20 【分析】根据题意，已修和未修的比是5∶4，即已修的长度占5份，未修的长度占4份，这条公路的全长占（5＋4）份；用未修的长度除以全长，求出未修的占这条公路的几分之几； 求未修的比已修的少百分之几，先用减法求出少的份数，再除以已修的份数即可。 【详解】4÷（5＋4） ＝4÷9 ＝ （5－4）÷5×100% ＝1÷5×100% ＝0.2×100% ＝20% 未修的占这条公路的，比已修的少20%。 5．现有A、B两枚均匀的六面体骰子。设小明掷A骰子，朝上的数字为x，小亮掷B骰子，朝上的数字为y，则满足x＋y＝7的可能性大小为( )。 【答案】 【分析】根据题意，每个骰子有6种可能，因此总结果为6×6＝36种。而x＋y＝7的可能情况（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6种。用可能出现的几种情况除以总的可能情况，算出结果即可。 【详解】6×6＝36（种） x＋y＝7的可能情况有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6种。 6÷36＝＝ 所以，则满足x＋y＝7的可能性大小为。 6．个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中标出的数据，瓶中水的体积占瓶子容积的。 【答案】 【分析】因为瓶子的容积不变，瓶中水的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的容积相等； 设瓶子的底面积是S，水的高度是12cm，根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出水的体积； 倒放时空余部分的高为（20－14）cm，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出空余部分的容积，再加水的体积，即是瓶子的容积； 然后用水的体积除以瓶子的容积，求出瓶中水的体积占瓶子容积几分之几。 【详解】设瓶子的底面积是S。 水的体积：12×S＝12S（cm3） 倒放时空余部分的容积：（20－14）×S＝6S（cm3） 瓶子的容积：12S＋6S＝18S（cm3） 12S÷18S＝ 瓶中水的体积占瓶子容积的。 一、填空题 1．王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是( )元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是( )元。 【答案】 12a 1.2a 【分析】一年有12个月，去年每月租金a元，用去年每月租金×12个月，求出去年全年的租金。已知今年每月的租金涨20%，把去年每月的租金看作单位“1”，则今年每月的租金占去年每月租金的（1＋20%），用去年每月租金乘（1＋20%），求出今年每月的租金。 【详解】a×12＝12a（元） a×（1＋20%） ＝a×（1＋0.2） ＝a×1.2 ＝1.2a（元） 所以王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是12a元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是1.2a元。 2．自2016年3月1日起，微信对个人用户的零钱提现功能开始收取手续费。每位用户终身享受1000元免费提现额度。超出部分目前按0.1%收取手续费。小明妈妈从未提现过，此时想将微信零钱里15000元提现，那么将收取手续费( )元。 【答案】14 【分析】根据题意，用需要提现的钱数减去免费的提现额度，就是需要付手续费的部分。根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，所以再乘0.1%，就是手续费多少元。 【详解】（15000－1000）×0.1% ＝14000×0.1% ＝14000×0.001 ＝14（元） 那么，将收取手续费14元。 3．一台台式电脑原价是4800元，为了促销，每台降价25%，每台降价( )元，每台台式电脑现在的售价是( )元。 【答案】 1200 3600 【分析】“降价25%”是指降价的金额是原价的25%，根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法”，用原价×25%得到降价的金额，再用原价减去降价的金额得到现在的售价。 【详解】4800×25% ＝4800×0.25 ＝1200（元） 4800－1200＝3600（元） 因此，一台台式电脑原价是4800元，为了促销，每台降价25%，每台降价1200元，每台台式电脑现在的售价是3600元。 4．已知银行的年利率是2.25%，王奶奶将50000元存入银行，存两年定期。两年后，王奶奶可以拿到利息( )元。（只列式不计算） 【答案】 【分析】根据利息＝本金×年利率×存期，题中本金为50000元，年利率为2.25%，存期为两年，代入即可求解。 【详解】50000×2.25%×2 5．一包糖果重千克，10包这样的糖果重( )千克；1千克这样的糖果有( )包。 【答案】 4 //2.5 【分析】求几个相同加数的和用乘法计算。用乘10即可； 求一个数里包含几个另一个数，用除法计算。用1除以即可。 【详解】＝4（千克） ＝ ＝（包） 一包糖果重千克，10包这样的糖果重4千克；1千克这样的糖果有包。 6．手工课上，小红从一张长5分米，宽4分米的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形，这张彩纸的损耗率是( )。（损耗率＝未利用的部分÷全部的量×100%） 【答案】20% 【分析】小红从一张长5分米，宽4分米的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的边长是以宽为边长的正方形是4分米，剩余部分是长为4分米，宽为5－4＝1分米的长方形，根据长方形面积＝长×宽，求出未利用的部分和全部的面积，再用未利用的部分÷全部的量×100%求出损耗率。 【详解】4×（5－4） ＝4×1 ＝4（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 4÷20×100% ＝0.2×100% ＝20% 所以手工课上，小红从一张长5分米，宽4分米的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形，这张彩纸的损耗率是20%。 7．近年来，国产机器人技术日益先进，某新型号机器人在待机状态下耗电量比旧型号低了20%，在电池容量相同的情况下，新型号机器人使用时间与旧型号相比可提升( )%。 【答案】25 【分析】根据题意，假设旧型号机器人待机状态下耗电量为1，电池容量也为1。根据公式：使用时间＝电池容量÷耗电量，那么旧型号机器人的使用时间为1÷1＝1。因为新型号机器人在待机状态下耗电量比旧型号低20%，所以新型号机器人待机状态下耗电量为1×（1－20%）＝1×0.8＝0.8，又因为电池容量相同仍为1，则新型号机器人的使用时间为1÷0.8＝1.25。求新型号机器人使用时间比旧型号提升的百分比，就是求新型号比旧型号多的使用时间占旧型号使用时间的百分比，即（1.25－1）÷1×100%＝0.25×100%＝25%。据此解答。 【详解】假设旧型号机器人待机状态下耗电量为1，电池容量也为1。 旧型号机器人的使用时间：1÷1＝1 新型号机器人待机状态下耗电量： 1×（1－20%） ＝1×0.8 ＝0.8 新型号机器人的使用时间：1÷0.8＝1.25 （1.25－1）÷1×100% ＝0.25×100% ＝25% 所以在电池容量相同的情况下，新型号机器人使用时间与旧型号相比可提升25%。 【点睛】本题可通过赋值法，假设旧型号机器人待机状态下耗电量为1，电池容量也为1，分别求旧、新型号机器人的使用时间，再根据“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的方法计算。 8．小明三天读完一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了8页，余下64页没有读，这本书有________页。 【答案】 120 【分析】设全书总页数为 页，根据题意，第一天读了 页，第二天比第一天多读 8 页，即读了 页，余下 64 页为第三天所读页数。三天读完全书，因此总页数等于三天所读页数之和，列出方程求解。 【详解】解：设这本书有 页，第一天读了 页，第二天读了 页，第三天读了 64 页。 所以这本书有 120 页。 9．比40米多是( )，15千克比( )千克少25%。 【答案】 50米 20 【分析】第1空，把40米看作单位“1”。要求的数是单位“1”的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 第2空，把要求的数看作单位“1”。15千克是单位“1”的（1－25％），根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 【详解】 ＝ ＝50（米） ＝ ＝20（千克） 所以，比40米多是50米，15千克比20千克少25%。 10．把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是( )厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】 31.4 2464.9 【分析】分析圆柱的高：圆柱的侧面展开后是一个正方形，说明圆柱的底面周长和高是相等的。已知圆柱底面半径r＝5厘米，根据圆的周长公式（其中π通常取3.14），可以算出底面周长，也就是圆柱的高。 分析圆柱的体积：圆柱的体积公式为，我们已经求出了高h，且已知半径r＝5厘米，将其代入公式就能算出体积。 【详解】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（厘米） 3.14×52×31.4 ＝3.14×25×31.4 ＝78.5×31.4 ＝2464.9（立方厘米） 把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是31.4厘米，这个圆柱的体积是2464.9立方厘米。 11．光辉小学有男教师24人，比女教师人数少40%，女教师有( )人。 【答案】40 【分析】这里把女教师人数看作单位“1”，男教师人数比女教师人数少40%，也就是男教师人数是女教师人数的（1－40%），根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法”，用男教师的人数÷（1－40%）即可求出女教师的人数。 【详解】24÷（1－40%） ＝24÷60% ＝24÷0.6 ＝40（人） 因此，光辉小学有男教师24人，比女教师人数少40%，女教师有40人。 12．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.833           15米/秒( )50千米/小时 ﹣7( )﹣5.5        5米的( )1米的 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）将化成小数，进行除法计算，＝5÷6＝0.8333…，与0.833比较大小。从高位到低位依次对比：0.8333…和0.833的个位、十分位、百分位、千分位均相同，0.8333…的万分位是3，而0.833的万分位可看作0，3＞0，因此0.8333…＞0.833，即＞0.833。 （2）根据1千米＝1000米，将50千米/小时换算成以米/小时为单位的数，要乘进率1000；再根据1小时＝60分，1分＝60秒，得出1小时＝3600秒，将以米/小时为单位的数换算成以米/秒为单位的数，要除以进率3600，再与15米/秒比较。 （3）先把负数统一成相同小数位数的形式，再从最高位（整数部分）开始依次对比数位上的数字；数位上数字越大，对应的负数反而越小。 （4）根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别列出算式，再根据整数乘分数的法则，整数与分子相乘的积作分子，分母不变，比较结果的大小。 【详解】（1）＝5÷6＝0.8333… 因为0.8333…＞0.833，所以＞0.833； （2）50×1000÷3600 ＝50000÷3600 ≈13.89（米/秒） 因为15米/秒＞13.89米/秒，所以15米/秒＞50千米/小时； （3）﹣7＝﹣7.0，比较整数部分，7.0的整数部分是7，5.5的整数部分是5，因为7＞5，所以﹣7＜﹣5.5； （4）5×＝ 1×＝ 因为＝，所以5米的＝1米的。 13．60m2比( )少，96dm比( )dm多。 【答案】 75m2/75平方米 64 【分析】求60m2比哪个数少20%，把要求的数看作单位 “1”； 则60m2是这个数的（1−20%）。已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，所以这个数为60除以（1−20%）。 求96dm比哪个数多，把要求的数看作单位 “1”； 则96dm是这个数的（1＋）。已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法，所以这个数为96除以（1＋）。 【详解】60÷（1−20%）。 ＝60÷80% ＝60÷ ＝60× ＝75（m2） 96÷（1＋） ＝96÷ ＝96× ＝64（dm） 所以，60m2比75m2（75平方米）少，96dm比64dm多。 14．我们在《科学》中知道，空气是由多种气体混合而成的，其中氧气大约占空气体积的21%，氮气大约占空气体积的78%。一个正方体的空纸箱，棱长是5分米，里面大约有氧气( )升，有氮气( )升。（纸箱厚度忽略不计） 【答案】 26.25 97.5 【分析】根据题意，先根据正方体的体积计算公式求出空纸箱的体积，由于纸箱厚度忽略不计，其体积数值上等于内部容积，再将体积单位换算为容积单位，最后分别用容积乘氧气和氮气所占的体积百分比，即可得到两种气体的体积，据此解答 【详解】正方体体积：5×5×5＝25×5＝125（立方分米） 纸箱容积：125（立方分米）＝125（升） 氧气体积：125×21%＝125×0.21＝26.25（升） 氮气体积：125×78%＝125×0.78＝97.5（升） 15．比20千克多是( )千克，20千克比( )千克少。 【答案】 25 25 【分析】第一个空，已知千克数是单位“1”，所求千克数是已知千克数的（1＋），已知千克数×所求千克数对应分率＝所求千克数； 第二个空，所求千克数是单位“1”，已知千克数是所求千克数的（1－），已知千克数÷对应分率＝所求千克数。 【详解】20×（1＋） ＝20× ＝25（千克） 20÷（1－） ＝20÷ ＝20× ＝25（千克） 二、选择题 16．王叔叔的月工资是4800元，扣除3500元后的部分按3%的税率缴纳个人所得税，王叔叔缴纳税后得到（    ）元。 A．39 B．144 C．4761 D．4656 【答案】C 【分析】用总工资4800元减去3500元再乘个人所得税的税率3%即可求出缴纳的税款，用总工资4800元减去缴纳的税款即可求出王叔叔缴纳税后得到的钱数。 【详解】4800－（4800－3500）×3% ＝4800－1300×3% ＝4800－39 ＝4761（元） 即王叔叔缴纳税后得到4761元。 故答案为：C 17．小明想买一双运动鞋，甲店打八折销售，乙店满100元减20元。这双鞋标价350元，在（    ）店购买更加划算。 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别计算出两家店的实际钱数，比较即可。 甲店：将标价看作单位“1”，几折就是百分之几十，标价×折扣＝实际钱数； 乙店：标价包含几个100元，就从标价里减去几个20元是实际钱数。 【详解】甲店：350×80%＝350×0.8＝280（元） 乙店：350÷100＝3（个）……50（元） 350－20×3 ＝350－60 ＝290（元） 280＜290 在甲店购买更加划算。 故答案为：A 18．一种商品现价90元，比原价降低了10元，降低了（    ）。 A． B．10% C．9% D．1% 【答案】B 【分析】需先求商品原价，再用降低的金额除以原价计算降低的百分比。已知商品现价90元，比原价降低了10元，说明原价等于现价加上降低的金额。降低的百分比是指降低的金额占原价的百分之几，也就是用降低的金额除以原价乘100%。 【详解】原价金额：90＋10＝100（元） ×100%＝10% 因此，降低了10%。 故答案为：B 19．原价10元/瓶的一款饮料，甲超市“买三送一”，乙超市打七五折，丙超市“每满100元减20元”，妈妈要买10瓶这款饮料，选择（    ）超市更划算。 A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙 【答案】B 【分析】已知饮料原价10元/瓶，需购买10瓶，甲超市：根据“买三送一”的规则，先算出10瓶里能凑出几组“买三送一”，剩余不足一组的按原价购买，求出需付款的瓶数和总花费；乙超市：七五折即按原价的75%计费，用总价乘折扣率求出实际花费；丙超市：先算出10瓶的原价总价，再根据“每满100元减20元”的规则求出优惠后的花费。对比三家超市的实际花费，金额最小的就是最划算的选择。 【详解】甲超市：10÷4＝2（组）……2（瓶） （2×3＋2）×10 ＝（6＋2）×10 ＝8×10 ＝80（元） 乙超市：10×10×75% ＝100×75% ＝75（元） 丙超市：10×10－20 ＝100－20 ＝80（元） 75＜80 所以选择乙超市更划算。 故答案为：B 20．有浓度为的盐水700克，为了制成浓度为的盐水，从中要蒸发掉（    ）克水。 A．100 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】根据题意分析，700克浓度为25%的盐水中含盐为700×25%＝175（克），制成浓度为35%的盐水，因含盐量不变，那么浓度为35%的盐水应该是175÷35%＝500（克），用浓度为25%的盐水质量减去浓度为35%的盐水质量即可求出蒸发掉的水量。据此解答。 【详解】700×25%＝175（克） 700－700×25%÷35% ＝700－175÷35% ＝700－500 ＝200（克） 所以要蒸发掉200克水。 故答案为：B 21．在小学数学的学习中，我们经常用一些巧妙的方法，将看似复杂的问题化繁为简。以下几个常见的问题中，哪个不能使用“假设法”来解决？（    ） A．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？ B．已知（a、b、c均不为0），将a、b、c按从大到小的顺序排列。 C．单独做一项工作，甲需要5天，乙需要4天，两人合作需要几天？ D．一个三角形的面积是48cm2，底是10cm，高是多少？ 【答案】D 【分析】鸡兔同笼问题，可以通过假设全是鸡或者全是兔，通过脚的数量差异计算鸡兔数量，属于假设法的应用； 假设a×＝b×＝c×的乘积都为1，直接计算出a、b、c的值，再进行比较即可； 假设工作总量为单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲、乙的工作效率后，再求出两人的合作效率，最后求出两人合作所需的时间； 已知三角形的面积和底，求高，根据三角形的面积公式：底×高÷2，直接可以求出三角形的高，据此解答。 【详解】A．鸡兔同笼问题中，假设全是鸡或全是兔，如假设全是鸡，脚的数为35×2＝70（只），比实际少94－70＝24（只），每只兔比鸡多4－2＝2（只）脚，兔的数量为24÷2＝12（只），鸡的数量为35－12＝23（只），可以用假设法； B．假设等式结果为1，a×＝1，a＝1÷＝1×2＝2，b×＝1，b＝1÷＝1×3＝3，c×＝1，c＝1÷＝1×4＝4，4＞3＞2，则c＞b＞a，可以用假设法； C．假设工作总量为1，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，甲效率为1÷5＝，乙效率为1÷4＝，合作效率为：＋＝＋＝，合作时间为：1÷＝1×＝（天），可以用假设法； D．根据三角形的面积＝底×高÷2，已知面积和底求高时，直接通过公式变形：高＝面积×2÷底，48×2÷10＝96÷10＝9.6（cm），直接公式计算，不可用假设法。 故答案为：D 22．已知算式2.7×□.6（□代表一个数字），下面四个数中可能是它得数的是（    ）。 A．1.05 B．6.2 C．15.12 D．27.92 【答案】C 【分析】首先，根据小数乘法规则，因数2.7有一位小数，因数□.6有一位小数，积应有两位小数。选项B：6.2只有一位小数，不符合规则，排除。其次，计算积的最小值和最大值：当□＝0时，2.7×0.6＝1.62；当□＝9时，2.7×9.6＝25.92。选项A：1.05小于1.62，不可能；选项D：27.92大于25.92，不可能；选项C：15.12在范围内，且当□＝5时成立，符合条件。 【详解】A．1.05 ＜ 1.62（最小值），不可能，此选项错误。 B．积应有两位小数，但6.2只有一位小数，不符合小数乘法规则，不可能，此选项错误。 C．15.12在1.62和25.92之间，且当□＝5时，2.7×5.6＝15.12，成立，此选项正确。 D．27.92 ＞ 25.92（最大值），不可能，此选项错误。 故答案为：C 23．在含盐30%的盐水中，加入15克盐和35克水，此时盐水含盐的百分率（    ）。 A．大于30% B．小于30% C．等于30% D．无法比较 【答案】C 【分析】假设出原来盐水的质量，根据“盐的质量＝盐水的质量×含盐率”求出原来盐的质量，现在盐水的含盐率＝（原来盐的质量＋新加入盐的质量）÷（原来盐水的质量＋新加入盐的质量＋新加入水的质量）×100%，由此求出此时盐水含盐的百分率，最后根据计算结果找出正确的选项，据此解答。 【详解】假设原来盐水的质量是100克。 （30%×100＋15）÷（100＋15＋35）×100% ＝（30＋15）÷150×100% ＝45÷150×100% ＝0.3×100% ＝30% 所以，此时盐水含盐的百分率等于30%。 故答案为：C 【点睛】分析题意求出现在盐的质量和盐水的质量，并掌握一个数占另一个数百分之几的计算方法是解答题目的关键。 24．在下面四杯糖水中，最甜的一杯糖水是（    ）。 A．11g糖配成100g糖水 B．91g水加入9g糖 C．含糖率为10% D．糖与水的比是1∶10 【答案】A 【分析】根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%，分别求出这四杯糖水的含糖量，含糖量最高的就最甜。 【详解】A．含糖率＝11÷100×100%＝0.11×100%＝11%； B．糖水质量＝91＋9＝100（g），含糖率＝9÷100×100%＝0.09×100%＝9%； C．含糖率为10%； D．把糖看作1份，水看作10份，则糖水有1＋10＝11份，含糖率＝1÷11×100%≈9.09%。 因为11%＞10%＞9.09%＞9%，所以最甜的是A杯糖水。 故答案为：A 25．相同时间内，甲走的路程比乙多，下列表述正确的是（    ）。 A．甲与乙速度比是 B．甲走的路程与速度成反比例 C．乙走的路程比甲少 D．乙走的路程是甲的 【答案】D 【分析】A．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋），时间相同，则甲与乙的速度比等于甲与乙的路程比，据此求出甲与乙的速度比； B．路程＝速度×时间，路程一定，速度与时间成反比，时间一定，路程与速度成正比； C．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋）＝，乙走的路程比甲少的部分为，据此用可求出乙走的路程比甲少几分之几； D．把乙走的路程看作单位“1”，则甲走的路程为乙的1×（1＋），据此求出甲、乙的路程，然后用乙走的路程除以甲走的路程即可； 【详解】A．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ ∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝5∶4 则甲与乙速度比是5∶4，选项说法错误； B．甲走的路程与速度的商一定，所以甲走的路程与速度成正比例，选项说法错误； C．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ 乙走的路程比甲少，选项说法错误。 D．假设乙走的路程为1 甲走的路程为： 1×（1＋） ＝1× ＝ 1÷＝1×＝ 则乙走的路程是甲的，选项说法正确； 故答案为：D 【点睛】本题考查正反比例的判定以及分数乘法的应用，明确正反比例的定义是解题的关键。 26．一件商品先提价，再恢复原价，应降价（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把原价看作单位“1”。提价后的价格是原价的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，算出提价后的价格。根据求一个数是另一个数的几分之几，用提价后的价格减去原价的差除以提价后的价格即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，再恢复原价，应降价。 故答案为：C 【点睛】用提价后的价格减去原价的差除以提价后的价格即可算出应降价的分率。 27．体育用品商店有篮球和排球共50个，其中篮球占60%，当卖出一批篮球后，篮球占现存总数的37.5%，卖出了（    ）个篮球。 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】先把原来的总数50个看作单位“1”，算出排球的数量，卖出一批篮球后，把新的总数看作单位“1”，此时排球数量不变，用排球数量除以其现在所对应的分率，也就是1－37.5%，求出现在的总数，两次总数相减就是卖出的篮球数量。据此解答即可。 【详解】排球： 50×（1－60%） ＝50×0.4 ＝20（个） 现总： 20÷（1－37.5%） ＝20÷0.625 ＝32（个） 卖出篮球：50－32＝18（个） 即卖出了18个篮球。 故答案为：D 【点睛】解答此题的关键是根据题意，判断出排球数量不变，再找出对应量，列式解答即可。 28．妈妈带了200元去超市购物，选的商品有一袋大米37元、一桶油39元、一个电吹风102元。下列（    ）情况下，估算比精确计算更有价值。 A．营业员将每种商品价钱输入收款机时 B．妈妈考虑带的钱够不够时 C．妈妈被告知要付多少元时 D．营业员要找回妈妈钱时 【答案】B 【分析】精确计算：用于需要得到准确数值的场景，保证结果无误差。 估算：用于只需要判断大致范围、快速决策的场景，追求效率和便捷性。 【详解】A．营业员输入商品价格时，需要精确的数值，不能估算，否则会出现收款错误。 B．妈妈判断带的钱够不够时，只需要把商品价格往大估算，快速判断总和是否超过200元，不需要精确计算，这种情况下估算更有价值。 C．被告知要付多少元时，需要精确的金额，不能估算。 D．营业员找回钱时，需要精确计算，不能估算。 妈妈考虑带的钱够不够时，估算比精确计算更有价值。 29．甲、乙、丙三位评委为“中华经典诵读大赛”3号选手打分，甲、乙两位评委所打分数的平均分是8.8分，乙、丙两位评委所打分数的平均分是8.4分，甲、丙两位评委所打分数的平均分是8.9分。该选手的最后得分是（    ）。 A．8.4 B．8.6 C．8.7 D．8.9 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和整体代换思想。 利用“两人平均分”得到“两人分数和”，再将三组和相加得到2倍的三人总分，最后除以2得实际总分，再除以3得平均分。 【详解】设甲＝a，乙＝b，丙＝c。 由，可得a＋b＝8.8×2＝17.6； 由，可得b＋c＝8.4×2＝16.8； 由，可得a＋c＝8.9×2＝17.8。 求三个数的总分： （a＋b）＋（b＋c）＋（a＋c）＝17.6＋16.8＋17.8 2a＋2b＋2c＝34.4＋17.8 2（a＋b＋c）＝52.2 a＋b＋c＝52.2÷2 a＋b＋c＝26.1 平均分：26.1÷3＝8.7（分） 30．自然数（0除外）、、、满足，则、、、中最小的一个是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用特殊值法，利用分数的意义以及分数的大小比较来解决问题。自然数（0除外）、、、，假设，再分别求出、、的数值，然后比较、、、的大小，即可得解。 【详解】假设 则， ， ， 因为， 所以最小的是， 故答案选：A 31．巧算：（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解答这道题需明确减法的性质：，即2－－－－－－…－＝2－（＋＋＋＋＋…＋）。可以通过找规律的方法求出＋＋＋＋＋…＋的结果，再用2减去这个结果即可。 因为： ＋＝ ＋＋＝ ＋＋＋＝ 所以，＋＋＋＋＋…＋＝。 据此解答。 【详解】根据分析： 2－－－－－－…－ ＝2－（＋＋＋＋＋…＋） ＝2－ ＝－ ＝ ＝ 故答案为：C 【点睛】这道题的关键在于利用找规律的方法求出＋＋＋＋＋…＋结果，再用2减去这个结果即可。 32．如图所示，每个小正方形大小相同，若空白部分的面积是，则阴影部分面积为（    ）。 A．25 B．30 C．40 D．55 【答案】A 【分析】整个图形是一个4×2的网格，由4×2＝8个小正方形组成。 空白部分是三个规则的三角形：第一个三角形面积：1×1÷2＝0.5；第二个三角形面积：3×2÷2＝3；第三个三角形面积：4×1÷2＝2；将它们相加得到空白部分的面积：0.5＋3＋2＝5.5，即相当于5.5个小正方形。 已知空白部分的实际面积是55cm2，它对应5.5个小正方形，所以1个正方形的面积是55÷5.5＝10（cm2）。 整个图形有8个小正方形，空白部分占5.5个，因此阴影部分占8－5.5＝2.5个小正方形，用每个小正方形的面积乘2.5即可求出阴影部分的面积。 【详解】4×2＝8 1×1÷2 ＝1÷2 ＝0.5 3×2÷2 ＝6÷2 ＝3 4×1÷2 ＝4÷2 ＝2 0.5＋3＋2＝5.5 55÷5.5＝10（cm2） 10×（8－5.5） ＝10×2.5 ＝25（cm2） 所以阴影部分的面积为25cm2。 故答案为：A 【点睛】把空白部分拆成几个规则三角形，算出其面积，按小正方形数量计量；用空白实际面积除以空白部分小正方形个数，得到单个小正方形面积；用总小正方形数减去空白小正方形个数，再乘1个正方形的面积，即可得到阴影部分的面积。 三、计算题 33．直接写出得数。 2.9－2.09＝             0.125×40＝             48.48÷48＝                                                      【答案】0.81；5；1.01； 2；；1； 34．直接写出得数。 ×＝          ×0.75＝          8÷0.125＝           ×＝ 3.14×8＝          0.1×0.2×0.3＝      0.1÷0.4÷2.5＝      0×＋＝ 【答案】0.3；；64；1； 25.12；0.006；0.1； 35．直接写出得数。 ＋＝        －＝         ×＝        ÷＝ 1÷＝         ×＝         0×＝        ÷＝ 1.2×＝        ×＝        ÷＝        2－＝ 30%×20＝      1÷25%＝      ＋25%＝      60%÷＝ 【答案】；；；； ；；0；2； 1；；；； 6；4；；1 36．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                                                            【答案】； ； 【分析】解答这道题需熟知，四则混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里的；乘法分配律：，；加法结合律：；减法的性质：。 （1）先把转化为，把合并为再利用减法的性质进行简算。 （2）利用乘法分配律进行简算。 （3）先利用乘法分配律进行简算，再利用加法结合律进行简算。 （4）根据四则混合运算的顺序，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算括号外面的乘法。 【详解】根据分析： （1） （2） （3） （4） 37．脱式计算，能简算的要简算。 ×＋×                     1.25×＋1.2÷ 47×（－）×19                    0.25×[（－）÷] 【答案】；2.6 10；1 【分析】（1）提取，利用乘法分配律逆运算简算； （2）按照运算顺序，先算乘法和除法，再算加法； （3）利用乘法分配律展开简算； （4）按照运算顺序，先算小括号里的减法，再算中括号的除法，最后算括号外的乘法。 【详解】（1）×＋×                      ＝×（＋）                     ＝×1                               ＝ （2）1.25×＋1.2÷ ＝1＋1.2× ＝1＋1.6 ＝2.6 （3）47×（－）×19                      ＝47××19－47××19                ＝57－47                                   ＝10                                       （4）0.25×[（－）÷] ＝0.25×[（－）÷] ＝0.25×[÷] ＝0.25×[×] ＝0.25×4 ＝1 38．怎样简便就怎样算。 （1）      （2）     （3） 【答案】（1）6；（2）9；（3）62 【分析】（1）根据减法的性质，把式子转换成，再根据带符号搬家，把式子转换成进行简算； （2）根据运算顺序，先计算括号里的加法，再计算括号外的除法，最后计算括号外的乘法； （3）根据乘法分配律，把式子转换成进行简算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝6 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝9 （3） ＝ ＝ ＝ ＝62 39．计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 17.85－（4.3＋7.85）          【答案】5.7；49； 2；50 【分析】（1）先去括号，利用加法交换律计算即可； （2）利用乘法交换律和结合律计算即可； （3）利用乘法分配律展开计算即可； （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法即可。 【详解】17.85－（4.3＋7.85） ＝17.85－7.85－4.3 ＝5.7 ＝1×49 ＝49 ＝1×15－13×1 ＝15－13 ＝2 ＝50 40．脱式计算，能简算的要简算。 （1）（＋）×12        （2）×＋×        （3）÷÷ （4）×370%＋630%×＋440%        （5）×（＋）÷        （6）2026× 【答案】（1）11；（2）；（3）； （4）6.4；（5）；（6） 【分析】（1）利用乘法分配律进行简便计算； （2）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算； （3）把分数除法转换为分数乘法，再从左往右依次计算； （4）把百分数化小数，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算；最后再算加法； （5）先算括号里的加法，再把分数除法转换为分数乘法，再从左往右依次计算； （6）把2026看作2025＋1，再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】（1）（＋）×12 ＝×12＋×12 ＝3＋8 ＝11 （2）×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ （3）÷÷ ＝×× ＝× ＝ （4）×370%＋630%×＋440% ＝×3.7＋6.3×＋4.4 ＝×（3.7＋6.3）＋4.4 ＝×10＋4.4 ＝2＋4.4 ＝6.4 （5）×（＋）÷ ＝×（＋）÷ ＝×× ＝× ＝ （6）2026× ＝（2025＋1）× ＝2025×＋1× ＝2024＋ ＝ 四、解答题 41．王大爷用菜籽榨菜籽油，其中油的质量是80千克，菜饼的质量是170千克，这些菜籽的出油率是多少？ 【答案】32% 【分析】已知油的质量是80千克，菜饼的质量是170千克，根据出油率＝，代入数值，即可解答。 【详解】 ＝ ＝0.32×100% ＝32% 答：这些菜籽的出油率是32%。 42．某植物园购进了一批松树苗，第一次种了80棵，成活了70棵，又补种了20棵，全部成活。种的松树苗的成活率是多少？ 【答案】90% 【分析】成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，计算公式为：成活率＝成活的棵数÷植树总棵数×100%。本题中，第一次种了80棵，成活了70棵；补种了20棵，全部成活。因此，总成活的棵数为70＋20＝90（棵），植树总棵数为80＋20＝100（棵）。代入公式计算即可。 【详解】70＋20＝90（棵） 80＋20＝100（棵） 90100100%＝90% 答：种的松树苗的成活率是90%。 43．某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】(1)方式二 (2)15次 【分析】（1）方式一：单次卡，每年12月，每月3次，则一年的费用为（12×3×30）元。方式二：会员年卡，一次缴费240元会员费，每次另外收费14元，则费用为（240＋12×3×14）元，分别计算单次卡和会员年卡的费用，比较大小，选择费用低的更划算。 （2）采用列方程解决，设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等，x次收费30x元等于会员费加上另外收费14x，据此列式计算。 【详解】（1）方式一：12×3×30＝1080（元） 方式二：240＋14×3×12 ＝240＋504 ＝744（元） 744＜1080，方式二更划算。 答：李叔叔选择方式二更划算。 （2）解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 30x＝240＋14x 30x－14x＝240 16x＝240 x＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 44．淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 【答案】120枚 【分析】根据题意可知，5角硬币的数量＝总枚数×，1元硬币的数量就占总数的（1－），5角＝0.5元，然后再根据总共75元，可知，0.5×5角硬币的数量＋1×1元硬币的数量＝75，可以设一共攒了x枚硬币，列方程为：0.5×x＋1×（1－）x＝75，最后解方程即可。 【详解】5角＝0.5元 解：设淘气一共攒了x枚硬币。 0.5×x＋1×（1－）x＝75 0.5×x＋1×x＝75 0.375x＋0.25x＝75 0.625x＝75 x＝75÷0.625 x＝120 答：淘气一共攒了120枚硬币。 45．李师傅开车去送货，全程355千米。其中315千米是高速，平均速度90千米/小时，其它道路平均速度只有50千米/小时。李师傅送这趟货全程需多少时间？ 【答案】4.3小时 【分析】首先用高速的路程315千米除以这段的速度90千米/小时，即可求出高速路段的行驶时间；用全程355千米减去高速路段315千米，再除以这段的平均速度50千米/小时即可求出普通路段的行驶时间，再将两部分的行驶时间相加即可求出李师傅送这趟货全程需多少时间。 【详解】315÷90＋（355－315）÷50 ＝3.5＋40÷50 ＝3.5＋0.8 ＝4.3（小时） 答：李师傅送这趟货全程需4.3小时。 46．温州江心屿是市民喜爱的热门打卡点。 (1)小宇家到“江心屿”全程12.5千米，他用某打车平台出行的方式前往该景点，那么一共需要车费多少元？ 行驶距离 某平台出行计价方式 10千米以内（含10千米） 起步价10元 超过10千米部分 每千米3元（不足1千米的按1千米计算） (2)从江心屿的地步行至地，小舟需要24分钟，小宇需要40分钟，他们分别从、两地出发，相向而行，多少分钟可以相遇？ 【答案】(1)19元 (2)15分钟 【分析】（1）根据题目要求，行驶距离为12.5千米，按13千米计费。10千米以内（含10千米）的起步价10元，超过10千米的部分每千米3元。总距离13千米减去10千米，算出超出部分为3千米。再用超出距离乘超出部分每千米的价格，得到超出部分的车费，最后用超出部分的车费加上起步价，求得总车费。 （2）将绕江心屿环岛一周的总路程视为单位“1”。分别计算出小舟的速度为1÷24＝，小宇的速度为1÷40＝，两人速度和为＋，根据相遇时间＝总路程÷速度和，即1÷（＋），求得相遇时间。 【详解】（1）行驶距离为12.5千米，按13千米计费。 （13－10）×3 ＝3×3 ＝9（元） 10＋9＝19（元） 答：一共需要车费19元。 （2）1÷24＝ 1÷40＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝15（分钟） 答：15分钟可以相遇。 47．一种大米，原来每千克为9.0元，现在促销，单价降低了20%。原来买20千克大米的钱，现在能买多少千克？ 【答案】25千克 【分析】将原来单价看作单位“1”，现在单价是原来的（1－20%），原来单价×现在单价对应百分率＝现在单价，原来单价×原来买的质量÷现在单价＝现在能买的质量。 【详解】9×（1－20%） ＝9×0.8 ＝7.2（元） 9×20÷7.2＝25（千克） 答：现在能买25千克。 48．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来有20人参与，这时参加的同学与未参加的人数的比是3∶4。六年级一共有多少人？ 【答案】210人 【分析】把要求的总人数看作单位“1”，增加20人后，参加人数是总人数的，则增加人数对应的总人数的（－），求单位“1”，根据对应量÷对应分率＝单位“1”，用除法解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝20× ＝210（人） 答：六年级一共有210人。 49．据某机构统计，2024年我国人均住房面积达48.2平方米，比1980年的5倍还多6.2平方米，1980年我国人均住房面积有多少平方米？ 【答案】 8.4平方米 【分析】用2024年我国人均住房面积的48.2平方米减去6.2平方米，再除以倍数5倍即可求出1980年我国人均住房面积有多少平方米。 【详解】（48.2－6.2）÷5 ＝42÷5 ＝8.4（平方米） 答：1980年我国人均住房面积有8.4平方米。 50．低碳生活是指生活作息所消耗的能量要减少，从而减少碳的排放，特别是二氧化碳的排放。如少看1小时电视，就可以减少0.096千克碳的排放。某小学有800名学生，如果每名学生每天少看1小时电视，一个月（按30天计算）就能减少多少千克碳的排放？ 【答案】2304千克 【分析】用每人每天减少的碳排放量0.096千克乘30天，求出1名学生30天减少的碳排放量，再乘学生人数800名，求出800名学生30天一共减少的碳排放量。 【详解】0.096×30×800 ＝2.88×800 ＝2304（千克） 答：一个月（按30天计算）就能减少2304千克碳的排放。 51．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行50千米，途中甲车因故障停驶48分钟，乙车开出5.3小时后两车在途中相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】454千米 【分析】先根据“1小时＝60分钟”把48分钟转化为0.8小时，甲车的行驶时间为（5.3－0.8）小时，再根据“路程＝速度×时间”求出相遇时甲车行驶的路程和乙车行驶的路程，最后相加求出总路程。 【详解】1小时＝60分钟 48÷60＝0.8（小时） 42×（5.3－0.8）＋50×5.3 ＝42×4.5＋50×5.3 ＝189＋265 ＝454（千米） 答：A、B两地相距454千米。 52．一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 【答案】4天 【分析】将工作总量看作单位“1”，工作效率＝1÷单独完成需要的天数，首先计算小张先工作4天完成的工作量，进而求出剩余工作量；最后根据“合作时间＝剩余工作总量÷工作效率和”，求出合作所需的天数。 【详解】 （天） 答：他们还需要4天才能完成这个项目。 53．一个工程队修一条水渠，第一天修了全长的，第二天修了余下的40%，第三天修了12米，三天正好修了全长的80%，这条水渠全长多少米？ 【答案】60米 【分析】把水渠全长看作单位“1”，第一天修了全长的，还剩下全长的（1－）；第二天修了余下的40%，那么第二天修了全长的（1－）×40%＝；已知第三天修了12米，三天正好修了全长的80%，那么第三天修的长度（12米）占全长的（80%－－），单位“1”未知，求单位“1”，用第三天修的长度除以对应的分率，即可求出这条水渠的全长。 【详解】第二天修的：（1－）×40% ＝×40% ＝× ＝ 全长：12÷（80%－－） ＝12÷（－－） ＝12÷（－） ＝12÷ ＝12×5 ＝60（米） 答：这条水渠全长60米。 【点睛】统一单位“1”，将“余下的40%”转化为占全长的分率；求12米对应的分率：80%－第一天分率－第二天分率；单位“1”未知，用具体量÷对应的分率求全长。 54．甲乙丙三人各有一些金币，甲拿出他的金币的，乙拿出他的金币的，丙拿出他的金币的，然后将三人拿出的金币平均分成三份，甲乙丙各取一份，结果甲乙丙三人手中的金币数依次占金币总数的、、。问：金币总数至少是多少？ 【答案】 282枚 【分析】最后甲、乙、丙三人手中的金币数依次占金币总数的、、，即甲∶乙∶丙＝∶∶＝3∶2∶1。可设最后甲、乙、丙分别有金币枚、枚、枚，那么金币总数为枚。三人拿出的金币被平均分成三份，且三人各取一份，那么可设每一份有枚金币。那么甲、乙、丙拿出金币后剩余的金币数分别为枚、枚、枚。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”可知：甲是拿出他的金币的，那么剩余的金币数占甲原有金币数的，所以用除以即可计算甲原有的金币数；乙是拿出他的金币的，那么剩余的金币数占乙原有金币数的，用除以即可计算乙原有的金币数；丙是拿出他的金币的，那么剩余的金币数占丙原有金币数的，用除以即可计算丙原有的金币数。最后根据“甲原有的金币数＋乙原有的金币数＋丙原有的金币数＝金币总数”代入数值计算得到与的关系：即，和都是整数，所以是42的倍数，当时，最小，所以金币总数至少是6×47＝282（枚）。 【详解】甲、乙、丙最后手中金币数的比为： 甲∶乙∶丙 ＝∶∶ ＝3∶2∶1 解：设最后甲、乙、丙分别有金币枚、枚、枚；三人拿出的金币被平均分成三份，设每一份有枚金币。 总金币为：＝（枚） 甲原来的金币数： ＝ ＝ ＝枚 乙原来的金币数： ＝ ＝ ＝枚 丙原来的金币数： ＝ ＝ ＝枚 因为和都是整数，所以是42的倍数，当时，最小。 所以最少有金币：6×47＝282（枚） 答：金币总数至少是282枚。 【点睛】本题利用“倒推法”计算出甲、乙、丙原来的金币数，再根据金币总数不变的情况列出等量关系式并求解分析。 55．是否存在8个分子为1，分母为互不相同的正奇数的分数，这8个分数相加，结果等于？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。 【答案】不存在，原因见详解。 【分析】假设存在8个互不相同的正奇数和为，这8个数为：，，，，，；，则＋＋＋＋＋＋+＝；分析将左边的算式通分得：，分析这个算式的奇偶性：因为奇数×奇数＝奇数，所以算式的分母是奇数，分子的每一项加数也是奇数，8个奇数相加和是偶数，所以从奇偶性角度分析得：8个分子为1，分母为互不相同的正奇数的分数，这8个分数相加，和一定是，但是的分子和分母都是奇数，也就是等式左边和右边互相矛盾，所以不存在。 【详解】不存在。 这8个分数的分子都是1，分母是不同的奇数，则这个8个分数通分之后的和一定是，而的分子和分母都是奇数。 所以不存在8个分子为1，分母为互不相同的正奇数的分数，这8个分数相加，结果等于。 【点睛】等式如果成立，也一定要满足数的奇偶性，奇数×奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数个奇数的和是偶数。 56．某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 【答案】开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【分析】整点钟声次数为几点就响几下，且总和为14。唯一连续整数组合为2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 第一次钟声在2：00响起，会议开始10分钟后听到，故开始时间为2：00−10分钟＝1：50。 结束时间在5点后，时针与分针成90°角。 时针速度：0.5°/分钟，分针速度：6°/分钟。 5点整时，分针位置为0°即指向12，时针位置指向5，旋转的角度为5×30°＝150°。 设5点过x分钟后满足条件，可列出满足下列两种情况的方程并求解： 当分针在“1－5区间”任意位置时，时针与分针的夹角为： 150＋0.5x－6x＝90 当分针在“5－12区间”任意位置时，分针与时针的夹角为： 6x－（150＋0.5x）＝90 【详解】2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 2：00−10分钟＝1：50 解：设5点过x分钟时针与分针成90°角。 假设当分针在钟面“1－5区间”任意位置时，则： 150＋0.5x－6x＝90 150－5.5x＝90 150＝90＋5.5x 90＋5.5x＝150 5.5x＝150－90 5.5x＝60 x＝60÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 假设当分针在钟面“5－12区间”任意位置时，则： 6x－（150＋0.5x）＝90 6x－150－0.5x＝90 5.5x－150＝90 5.5x＝90＋150 5.5x＝240 x＝240÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 答：会议开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【点睛】本题关键是利用“整点钟声次数和为14”确定听到的整点，再结合时针每分钟走0.5°、分针每分钟走6°的规律，通过夹角公式计算结束时间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $