小升初复习：图形与几何（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

苏教版小学数学小升初专题讲义——图形与几何 第一部分：知识体系总览 苏教版小学数学“图形与几何”领域主要包括四大板块：图形的认识（平面图形与立体图形的特征与分类）、图形的测量（周长、面积、体积的计算）、图形的位置（用数对、方向与距离确定位置）、图形的运动（平移、旋转、轴对称、放大与缩小）。下面按照这四个维度系统梳理全部知识点。 第二部分：知识点清单（完整版） 一、图形的认识 （一）线的认识 三者关系：把线段的一端无限延长得到射线；把线段的两端都无限延长得到直线。 同一平面内两条直线的位置关系： 1.平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行线之间没有交点。 2.相交（含垂直）：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 结论：同一平面内，两条直线要么平行，要么相交。 （二）角的认识与度量 角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。 角的分类（从小到大）： 大小关系：锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角；1周角 = 2平角 = 4直角。 量角与画角：量角器中心与顶点重合，0°刻度线与一条边重合，另一条边对应刻度即为度数。角的大小与两边的长短无关，只与两边张开的大小有关。 （三）平面图形 1. 三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形任意两边之和大于第三边，内角和为180°，具有稳定性。 2. 四边形 （从一般到特殊的体系） 3. 圆 （1）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 （2）直径是半径的2倍（d = 2r）；圆有无数条对称轴。 （3）周长：C = πd = 2πr；面积：S = πr²。 （4）扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形；圆环面积 = π(R² - r²)。 （四）立体图形 1. 长方体与正方体 正方体是特殊的长方体。长方体表面积 = 2(ab + ah + bh)； 体积 = abh。 正方体表面积 = 6a²； 体积 = a³。 2. 圆柱与圆锥 圆柱侧面积 = 底面周长×高 = 2πrh； 圆柱表面积 = 侧面积 + 两个底面积 = 2πrh + 2πr²； 圆柱体积 = 底面积×高 = πr²h。 圆锥体积 = × 底面积×高 = πr²h（等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一）。 二、图形的测量 （一）周长 封闭图形一周边线的总长度，单位：毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km)。 周长公式汇总： （二）面积 物体表面或围成的平面图形的大小，单位：平方厘米(cm²)、平方分米(dm²)、平方米(m²)、公顷、平方千米(km²)。 面积公式汇总： 面积单位进率：1km² = 100公顷 = 1000000m²； 1公顷 = 10000m²；1m² = 100dm² = 10000cm²；1dm² = 100cm²。 不规则图形面积的估算：数方格法（整格按1计算，不满整格按半格计算）。 （三）体积与容积 物体所占空间的大小叫做体积；容器所能容纳物体的体积叫做容积。单位：立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方米(m³)、毫升(mL)、升(L)。 体积公式汇总： 图形 体积公式 长方体 V=abh 正方体 V=a3 圆柱 V= 圆锥 V= 单位进率：1m³ = 1000dm³；1dm³ = 1000cm³；1L = 1000mL；1dm³ = 1L；1cm³ = 1mL。 三、图形的位置 1. 用上、下、左、右、前、后描述相对位置。 2. 用东、南、西、北等八个方向描述物体的方向。 3. 用数对表示位置：数对(a, b)中，第一个数表示列（从左往右数），第二个数表示行（从下往上数或从前往后数）。 4. 用方向和距离确定位置：需要确定观测点，再确定方向（角度）和距离两个要素。 5. 比例尺：图上距离与实际距离的比。比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离。比例尺可以表示为数字比例尺（如1∶2000）或线段比例尺。 四、图形的运动 1. 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴，对称点到对称轴的距离相等。 2. 平移 物体或图形沿直线方向移动，本身方向不发生改变。平移的两要素：方向和距离。平移不改变图形的形状和大小，只改变位置。 3. 旋转 物体绕一个中心或一条轴做圆周运动。旋转三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。旋转不改变图形的形状和大小。 4. 放大与缩小 图形按一定比例放大或缩小，形状不变，大小改变。如按2∶1放大，各边长度变为原来的2倍，面积变为原来的4倍。 第三部分：知识点精讲与变式训练 知识点一：三角形分类与内角和 【例1】 一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，这个三角形是什么三角形？ 解析：由三角形内角和为180°，按比例分配：2+3+4=9份； 最大角 = 180° × 4/9 = 80°。 三个角分别为：40°、60°、80°，都是锐角，所以是锐角三角形。 答案：锐角三角形。 变式训练1： 一个三角形三个内角度数比是1∶1∶2，这个三角形是什么三角形？ 答案：三个角分别为45°、45°、90°，是等腰直角三角形。 变式训练2：如果一个三角形中有一个角是55°，另一个角是35°，第三个角是多少度？按角分类是什么三角形？ 答案：180°-55°-35°=90°，是直角三角形。 变式训练3：等边三角形的每个内角是多少度？等腰直角三角形的一个底角是多少度？ 答案：等边三角形每个内角60°；等腰直角三角形底角为(180°-90°)÷2=45°。 知识点二：长方形、正方形周长与面积 【例2】 用一根长48厘米的铁丝围成一个长方形，长与宽的比是5∶3，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 解析：周长48厘米，长+宽=24厘米。5+3=8份，每份=24÷8=3厘米。 长=3×5=15厘米，宽=3×3=9厘米。 面积=15×9=135平方厘米。 答案：135平方厘米。 变式训练1：用同样长48厘米的铁丝围成一个正方形，面积是多少？ 答案：边长=48÷4=12厘米，面积=12×12=144平方厘米。可以发现，周长相等时，正方形面积大于长方形面积。 变式训练2： 一个长方形的长是10米，宽增加3米后变成一个正方形，原来长方形的面积是多少？ 答案：宽=10-3=7米，面积=10×7=70平方米。 变式训练3：一块正方形菜地的面积是256平方米，在它的四周围上篱笆，篱笆长多少米？ 答案：16×16=256平方米，所以正方形边长为16米，篱笆长=4×16=64米。 知识点三：平行四边形、三角形、梯形面积 【例3】 一个三角形的底是12分米，高是8分米，与它等底等高的平行四边形的面积是多少平方分米？ 解析：三角形面积=底×高÷2，等底等高的平行四边形面积=底×高，即三角形面积的2倍。 平行四边形面积=12×8=96平方分米。 （或：先求三角形面积=12×8÷2=48，再乘以2得96） 答案：96平方分米。 变式训练1：一个梯形的上底是4厘米，下底是10厘米，面积是42平方厘米，它的高是多少厘米？ 答案：由(a+b)h÷2=S，得(4+10)h÷2=42，14h÷2=42，7h=42，h=6厘米。 变式训练2：一块平行四边形钢板，底长5米，高4.2米。如果每平方米钢板重7.8千克，这块钢板重多少千克？ 答案：面积=5×4.2=21平方米；重=21×7.8=163.8千克。 变式训练3：一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是6厘米，那么三角形的高是多少厘米？ 答案：三角形面积=底×h÷2，平行四边形面积=底×6。 由面积相等：底×h÷2=底×6，h=12厘米。 知识点四：圆的周长与面积 【例4】 一个圆形花坛的直径是10米，在它的周围铺一条1米宽的小路。这条小路的面积是多少平方米？（π取3.14） 解析：小路面积 = 外圆面积 - 内圆面积（环形）。 内圆半径=10÷2=5米，外圆半径=5+1=6米。 小路面积=3.14×(6²-5²)=3.14×(36-25)=3.14×11=34.54平方米。 答案：34.54平方米。 变式训练1：一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的周长扩大到原来的几倍？面积扩大到原来的几倍？ 答案：周长扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的3²=9倍。 变式训练2：用一根长25.12米的绳子围成一个圆，这个圆的面积是多少平方米？（π取3.14） 答案：由2πr=25.12，r=4米；面积=3.14×16=50.24平方米。 变式训练3：在一个边长8厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是多少？剩余部分的面积是多少？ 答案：最大圆的直径等于正方形边长8厘米，r=4厘米；圆面积=3.14×16=50.24平方厘米；正方形面积=64平方厘米；剩余面积=64-50.24=13.76平方厘米。 知识点五：长方体与正方体表面积和体积 【例5】 一个长方体水池，从里面量长8米、宽5米、深2米。在水池内壁和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？水池能装水多少立方米？ 解析：（1）贴瓷砖面积 = 底面积 + 侧面积（无盖） = 8×5 + 2×(8×2+5×2) = 40 + 2×(16+10) = 40 + 52 = 92平方米。 （2）容积 = 8×5×2 = 80立方米。 答案：贴瓷砖面积92平方米；装水80立方米（即80吨）。 变式训练1：一个正方体的棱长总和是48厘米，它的表面积和体积各是多少？ 答案：棱长=48÷12=4厘米；表面积=6×4²=96平方厘米；体积=4³=64立方厘米。 变式训练2：把三个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积和体积各是多少？ 答案：拼成后长方体长9厘米、宽3厘米、高3厘米；表面积=2×(9×3+9×3+3×3)=2×(27+27+9)=126平方厘米；体积=9×3×3=81立方厘米。 变式训练3：一个密封的长方体容器，从里面量长40厘米、宽20厘米、高25厘米，里面装有水深15厘米。如果将容器竖起来以宽和高所在的面为底面放置，水深变为多少厘米？ 答案：水的体积=40×20×15=12000立方厘米；新底面积=20×25=500平方厘米；水深=12000÷500=24厘米。 知识点六：圆柱与圆锥 【例6】 一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米。如果每立方米沙重1.7吨，这堆沙约重多少吨？（π取3.14，得数保留整数） 解析：底面积=3.14×2²=12.56平方米； 体积=⅓×12.56×1.5=6.28立方米； 总重=6.28×1.7=10.676≈11吨。 答案：约重11吨。 变式训练1：一个圆柱形水桶，底面直径40厘米，高50厘米，最多能装水多少升？ 答案：半径=20厘米=2分米，高=50厘米=5分米； 体积=3.14×2²×5=62.8立方分米=62.8升。 变式训练2：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥体积大18立方厘米。圆柱和圆锥的体积各是多少？ 答案：等底等高时，V柱=3V锥。设V锥=x，则3x-x=18，x=9。 圆锥体积9立方厘米，圆柱体积27立方厘米。 变式训练3： 一个圆柱的侧面展开是一个边长为12.56厘米的正方形，这个圆柱的体积是多少？（π取3.14） 答案：正方形边长即底面周长和高：2πr=12.56，r=2厘米；h=12.56厘米； 体积=3.14×4×12.56=157.7536立方厘米。 知识点七：图形的位置——数对与方向 【例7】 如图，在方格纸上，点A的位置用数对表示为(2, 3)，点B的位置用数对表示为(5，6)。如果将线段AB向右平移3格，再向下平移2格，则点A′的位置用数对表示是多少？点B′呢？ 解析：向右平移3格，列数加3；向下平移2格，行数减2。 A′(2+3, 3-2) → A′(5, 1)；B′(5+3, 6-2) → B′(8, 4)。 答案：A′表示为(5, 1)，B′表示为(8，4)。 变式训练1： 点P的位置是(3, 7)，向上平移4格后，新位置用数对如何表示？ 答案：向上平移行数增加，新位置为(3, 11)。 变式训练2：图书馆在学校北偏东30°方向，距离学校800米处，这句话中确定位置的两个要素分别是什么？ 答案：方向（北偏东30°）和距离（800米）。 变式训练3： 在一幅比例尺为1∶50000的地图上，量得甲、乙两地距离为6厘米，实际距离是多少千米？ 答案：实际距离=6×50000=300000厘米=3千米。 知识点八：图形的运动——轴对称、平移、旋转、放大缩小 【例8】 判断：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴。（　　） 解析：等边三角形沿每条边上的高对折，两侧都能完全重合，因此有3条对称轴。说法正确。 答案：√ 变式训练1：：一个长6厘米、宽4厘米的长方形按2∶1放大后，新图形的面积是多少？面积是原来的几倍？ 答案：放大后长12厘米、宽8厘米，面积=96平方厘米； 原来面积=24平方厘米；面积变为原来的4倍。 变式训练2：写出下列图形的对称轴条数：长方形、正方形、等腰梯形、圆。 答案：长方形2条、正方形4条、等腰梯形1条、圆无数条。 第四部分：图形与几何巩固练习（28道） 一、填空（每题1分，共10分） 1. 过一点可以画（　　）条直线；过两点可以画（　　）条直线。在同一平面内，两条直线的位置关系有（　　）和（　　）两种。 2. 一个等腰三角形，底角是40°，顶角是（　　）°。 3. 一个三角形的两条边分别是5厘米和8厘米，第三条边最长不超过（　　）厘米，最短不小于（　　）厘米。（按整厘米计算） 4. 在括号里填上适当的单位：一间教室的面积大约是50（　　）；一个水杯的容积大约是300（　　）。 5. 一个长方形的长是12厘米，宽比长短5厘米，周长是（　　）厘米，面积是（　　）平方厘米。 6. 用圆规画一个周长为31.4厘米的圆，圆规两脚间的距离是（　　）厘米，这个圆的面积是（　　）平方厘米。（π取3.14） 7. 一个正方体的棱长总和是72厘米，它的表面积是（　　）平方厘米，体积是（　　）立方厘米。 8. 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是36立方分米，则圆锥的体积是（　　）立方分米。 9. 把线段比例尺改写成数值比例尺是（　　）。 10. 数对(4, 6)表示第（　　）列第（　　）行；将此点向左平移2格后，用数对表示为（　　）。 二、判断（每题1分，共5分） 1. 一条直线长8厘米。（　　） 2. 钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（　　） 3. 面积相等的两个三角形，一定能拼成一个平行四边形。（　　） 4. 圆的半径扩大到原来的2倍，面积也扩大到原来的2倍。（　　） 5. 把一个长方形框架拉成平行四边形后，周长不变，面积变小。（　　） 三、选择（每题2分，共10分） 1. 下面各组线段中，能围成三角形的是（　　）。 A. 2cm、2cm、5cm　　B. 3cm、3cm、5cm　　C. 1cm、2cm、3cm 2. 把一张长方形纸对折两次后剪出一个图案，展开后得到的图形是（　　）图形。 A. 平移　　B. 旋转　　C. 轴对称 3. 一个圆锥的底面半径扩大为原来的3倍，高不变，体积扩大为原来的（　　）倍。 A. 3　　B. 6　　C. 9 4. 把棱长4厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，每个长方体的表面积是（　　）平方厘米。 A. 48　　B. 64　　C. 96 5. 小林坐在教室的第3列第5行，用数对表示为(3, 5)；小芳坐在小林的后面，与小林相邻，小芳的位置是（　　）。 A. (3, 6)　　B. (4, 5)　　C. (3, 4) 四、解决问题（共25分） 1. 一块三角形菜地，底边长20米，高12米。如果每平方米收白菜8千克，这块地共收白菜多少千克？ 2. 一个圆形喷水池的周长是62.8米，在水池周围修一条2米宽的水泥路。这条水泥路的面积是多少平方米？（π取3.14） 3. 一个长方体铁皮油箱，长6分米、宽4分米、高5分米。制作这个油箱至少需要铁皮多少平方分米？如果每升汽油重0.72千克，这个油箱最多能装汽油多少千克？（铁皮厚度忽略不计） 4. 在比例尺为1∶4000000的地图上，量得A、B两地间的距离是5厘米。甲、乙两车同时从A、B两地相对出发，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，几小时后两车相遇？ 5. 一堆圆锥形小麦，底面周长18.84米，高1.5米。如果每立方米小麦约重750千克，这堆小麦约重多少千克？（π取3.14） 6. 一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径30厘米，高40厘米。做这样一个水桶至少需要铁皮多少平方厘米？（π取3.14，得数保留整十平方厘米） 7. 一个长方形花园长30米、宽20米，中间有两条宽1米的小路（互相垂直交叉），求花园内绿地部分的面积。 8. 在一个长10厘米、宽8厘米的长方形纸中剪一个最大的半圆，求剩余部分的面积。（π取3.14） 巩固练习参考答案 一、填空 1. 无数；一（1）；平行；相交（垂直）　 2. 100　 3. 12；4　 4. 平方米(m²)；毫升(mL)　 5. 38；84　 6. 5；78.5　 7. 216；216　 8. 12　 9. 1∶5000000　 10. 4；6；(2, 6) 二、判断 1. ×（直线无限长，不能量出具体长度）　 2. ×（所有三角形内角和都是180°）　 3. ×（面积相等的三角形不一定全等，只有完全一样的两个三角形才能拼成平行四边形）　4. ×（半径扩大2倍，面积扩大4倍）　 5. √（拉成平行四边形后周长不变，但高变矮，面积变小） 三、选择 1. B（3+3>5，能围成）　 2. C　 3. C（半径扩大3倍，底面积扩大9倍，体积扩大9倍） 4. B（切后每个长方体表面积为64平方厘米）　 5. A（“后面”指同一列的后一行，行数加1） 四、解决问题 1. 三角形面积 = 20×12÷2 = 120平方米； 共收白菜：120×8 = 960千克。 2. 内圆半径 = 62.8÷3.14÷2 = 10米； 外圆半径 = 10+2 = 12米。 水泥路面积 = 3.14×(12²-10²) = 3.14×(144-100) = 3.14×44 = 138.16平方米。 3. 表面积 = 2×(6×4+6×5+4×5) = 2×(24+30+20) = 2×74 = 148平方分米。 容积 = 6×4×5 = 120立方分米 = 120升。 汽油重 = 120×0.72 = 86.4千克。 4. 实际距离 = 5×4000000 = 20000000厘米 = 200千米。 相遇时间 = 200÷(60+40) = 200÷100 = 2小时。 5. 底面半径 = 18.84÷3.14÷2 = 3米。 体积 = ⅓×3.14×3²×1.5 = ⅓×3.14×9×1.5 = 14.13立方米。 总重 = 14.13×750 = 10597.5千克 ≈ 10.6吨。 6. 半径 = 30÷2 = 15厘米。 侧面积 = 2×3.14×15×40 = 3768平方厘米。 底面积 = 3.14×15² = 706.5平方厘米。 总面积 = 3768+706.5 = 4474.5 ≈ 4470平方厘米（保留整十）。 7. 总面积 = 30×20 = 600平方米。 小路面积 = (30×1+20×1) - 1×1 = 50 - 1 = 49平方米。 绿地面积 = 600 - 49 = 551平方米。 8. 最大半圆直径为10厘米，半径为5厘米。 长方形面积 = 10×8 = 80平方厘米。 半圆面积 = 3.14×5²÷2 = 39.25平方厘米。 剩余面积 = 80 - 39.25 = 40.75平方厘米。 第五部分：图形与几何内容总结 苏教版小学数学“图形与几何”内容贯穿一至六年级，由直观认识到抽象推理、由平面到立体、由静态认知到动态变换逐步深化。六年级下册总复习阶段，苏教版教材在第七单元“总复习”中将图形与几何内容整合为“图形的认识与测量”“图形的运动”“图形与位置”三个专题。 低年级（一至三年级） 重在直观感知，通过观察实物和模型认识长方体、正方体、圆柱和球等基本立体图形，以及长方形、正方形、三角形、圆等平面图形；初步认识角、平移和旋转，了解轴对称现象。 中年级（四至五年级） 系统学习线（直线、射线、线段、平行与垂直）、角（度量与分类），以及三角形、平行四边形、梯形等平面图形的特征与面积推导，逐步渗透转化思想（如将平行四边形转化为长方形、将三角形和梯形转化为平行四边形）。 高年级（六年级） 学习圆的认识、周长与面积，强化用转化的方法推导面积公式；在立体图形方面重点学习长方体和正方体的特征、表面积和体积计算；拓展圆柱和圆锥的表面积与体积，认识立体图形之间的内在联系；掌握用数对和方向与距离确定位置的方法；深入理解和应用图形运动的四种方式（轴对称、平移、旋转、放大与缩小）。 整个小学阶段图形与几何的学习遵循 “感知—操作—抽象—应用” 的认知规律，最终形成系统的空间观念和几何直观能力。核心数学思想贯穿始终：分类思想（按特征对图形进行分类）、转化思想（用已知图形推导未知图形的面积或体积公式）、对应思想（数对与位置的对应、比例尺中图上距离与实际距离的对应）、极限思想（圆的面积推导）。掌握这些思想方法，比记住公式本身更为重要。 学科网（北京）股份有限公司 $