小升初专题3 因数和倍数（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题3 因数和倍数 1、因数知识点： ①因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数。例如，12÷2=6，2和6是12的因数。也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。例如，3×8=24，3和8是24的因数。 ②一个数因数的求法：如24的因数，通常用除法从1开始除起，除的尽的都是这个数的因数。如24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。强调我们在书写一个数因数时，按一头一尾书写，可以做到不遗漏，不重复。 ③ 因数的特征：1、1是任何数的因数，2、一个数最小的因数为1，最大的因数为其本身，3、一个数的因数的个数是有限的。 2、倍数知识点： ①倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数就是除数和商的倍数。例如，12÷2 = 6，12是2和6的倍数。 同样，如果a ×b = c（a、b、c都是不为0的整数），那么c是a和b的倍数。例如，3×8 = 24，24是3和8的倍数。 ②一个数倍数的求法：如4的倍数，通常用乘法从1开始乘起。如4的倍数为：4,8,12,16,20,24……，强调我们在写某一个数的倍数的时候，从1倍开始乘起，因为一个数的倍数个数是无限的，所以我们在写某一个数的倍数时，通常写五到六个，然后加上“……”号即可。 ③ 倍数的特征：1、一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。2、一个数的倍数个数是无限的。 3、2，3和5的倍数特征 2的倍数特征及其相关知识点： ①2的倍数特征：个位上出现2、4、6、8、0。同时2的倍数特征也是偶数的特征。强调偶数也就是我们所说的双数，除以2可以除得尽。 ②奇数特征：个位上出现1、3、5、7、9。强调奇数也就是我们所说的单数，除以2除不尽。 3的倍数特征及其相关知识点： ①3的倍数特征：各个数位上数的和是3的倍数。例如，判断96和14是否是3的倍数，96因为9+6=15，15是3的倍数，所以96是3的倍数；14因为1+4=5，5不是3的倍数，所以14不是3的倍数。 5的倍数特征及其相关知识点： ①5的倍数特征：个位上出现0或5时，就是5的倍数。例如：15，20，25…… 既是2的倍数又是5的倍数特征： 个位上只能出现0。也就是当各位上出现0时，这个数字一定是2和5共同的倍数。 遇到同时是2，3和5的倍数相关题目解题方法： ①当遇到同时是2和3倍数相关题目时，先找2的倍数，因为2的倍数特征是个位上只能出现2、4、6、8、0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ②当遇到同时是3和5倍数相关题目时，先找5的倍数，因为5的倍数特征是个位上只能出现0或5，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ③当遇到同时是2，3和5倍数相关题目时，先寻找2和5倍数，因为此时个位上只能出现0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 4、质数和合数 质数定义和相关知识点 ①质数定义：一个数的因数有且只有两个，1和它的本身，我们称这个数是质数。 ②100以内质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ③强调：在质数家族中，有一个数字极其特殊也就是2，2是质数家族中唯一的一个偶数。 ④最小的质数是2。 合数定义和相关知识点： ①合数定义：一个数的因数有三个或者三个以上的数，我们称这样的数叫做合数。例如：4的因数有1，2，4；10的因数有：1，2，5，10。 ②最小的合数是4。 5、分解质因数 ①先明确分解质因数我们分解的数是合数，把合数分解成相关质数的乘积。 ②对某些数字进行分解质因数，有两种方法，树状图和短除法，例题如下： ③强调对某个数字分解质因数书写格式必须写成如：24=2×2×2×3 6、公因数和最大公因数相关知识点 ①公因数的定义：一组数的公因数其实就是它们共同所有的因数。 ②求公因数的方法为列举法，如求12和18的公因数 12的因数有：1，2，3，4，6，12 18的因数有：1，2，3，6，9，18 12和18的公因数：1，2，3，6 ③而在求一组数的最大公因数时，是建立在求公因数的基础上得到，最大公因数是公因数中最大的一个数。即12和18的最大公因数为6。 ④公因数特征：一组数的公因数个数是有限的，最小的公因数为1。 7、公倍数和最小公倍数相关知识点 ①公倍数的定义：一组数的公倍数其实就是它们共同所有的倍数。 ②求公倍数的方法为列举法，如求6和8的公倍数 6的倍数：6，12，18，24，30，36…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48…… 6和8的公倍数：24，48…… ③而在求一组数的最小公倍数时，是建立在求公倍数的基础上得到的，最小公倍数是公倍数中最小的一个数，即6和8的最小公倍数为24。 ④公倍数特征：一组数的公倍数个数是无限的，没有最大公倍数。 [小提升]如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【例1】如果a＝2×3×5，b＝3×5×5，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 15 150 【分析】最大公因数是几个数的公有质因数连乘的积；最小公倍数是公有质因数与独有质因数连乘的积。 【详解】最大公因数是：3×5＝15； 最小公倍数是：2×3×5×5＝150。 1．如果a＝2×3×5，b＝2×3×m（m为质数），且a和b的最小公倍数是390，那么m＝( )。 【答案】13 【分析】求两个数最小公倍数的方法：两个数的最小公倍数等于这两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 【详解】390÷（2×3×5） ＝390÷（6×5） ＝390÷30 ＝13 【例2】x和y均为非零自然数，若x＝5y，则x和5的最大公因数是( )；若x＝y＋1，则x和y的最小公倍数是( )，若x＝0.1y，则x和y的最小公倍数是( )。 【答案】 5 xy y 【分析】当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。当两个数是相邻的自然数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】第一空：已知，这表明是5的倍，即和5成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数”，因为5＜，所以和5的最大公因数是5。 第二空：已知，说明和是相邻的自然数。根据“当两个数相邻时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积”，所以和的最小公倍数是。 第三空：已知，等式两边同时乘10可得，表明是的十倍，即和成倍数关系。根据“两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数”，因为＞所以和的最小公倍数是。 1．A、B都表示非零自然数，如果B÷5＝A，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果A－1＝B，那么A和B的最大公因数是( )。 【答案】 A B 1 【分析】对于“”：由除法关系可推得B＝5×A，说明B是A的5倍，两数为倍数关系。根据倍数关系的性质，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，故据此填空即可。 对于“A−1＝B”：A和B是相邻的非零自然数（如A＝3则B＝2，A＝5则B＝4等），相邻非零自然数互质。互质数的最大公因数是1，据此填空即可。 【详解】A、B都表示非零自然数，如果B÷5＝A，那么A和B的最大公因数是A，最小公倍数是B；如果A－1＝B，那么A和B的最大公因数是1。 2．m，n是两个非零自然数。 (1)如果m＝7n，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (2)如果m＝n＋1，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】(1) n m (2) 1 mn 【分析】两个非零自然数的最大公因数和最小公倍数的规律：若两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；若两数是相邻自然数（差为1），则两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【详解】（1）（1）当时，m是n的7倍（倍数关系）： 最大公因数是较小数n​； 最小公倍数是较大数m​。 （2）（2）当时，m和n是相邻自然数（互质）： 最大公因数是1​； 最小公倍数是两数乘积mn​。 【例3】现有一些正方形瓷砖，边长都是整分米数。现用它们中一种型号的瓷砖来铺地，正好铺满长36分米、宽27分米的长方形。这些瓷砖的边长可能是( )分米，也可能是( )分米或( )分米。 【答案】 1 3 9 【分析】根据题意，用正方形瓷砖正好铺满长36分米、宽27分米的长方形，那么正方形瓷砖的边长是36和27的公因数； 先分别列举出36和27的因数，再从中找出相同的因数，就是36和27的公因数，也就是这些瓷砖可能的边长。 【详解】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 27的因数：1，3，9，27； 36和27的公因数有：1，3，9； 所以这些瓷砖的边长可能是1分米，也可能是3分米或9分米。 1．某公园有一块五边形的小森林，三条边的长是90米，两条边的长是105米。园林管理处想在五条边上等距离地放置休闲椅（每个顶点处各要放置一把），至少需要放置( )把休闲椅。 【答案】32 【分析】要求在五边形的五条边上等距离放置休闲椅，且每个顶点必须放置一把。要找到最少的椅子数量，需确定最大公因数作为间隔，使每条边的椅子数最少； 再用总周长除以最大间距即是所求的休闲椅数量。 【详解】90＝2×3×3×5 105＝3×5×7 所以90和105的最大公因数：3×5＝15 总周长可列式为： 90×3＋105×2 ＝270＋210 ＝480（米） 480÷15＝32（把） 所以至少需要放置32把休闲椅。 2．暑假里，红红和明明去参加书法训练，红红每6天去一次，明明每4天去一次。7月12日他们同时参加训练后，( )月( )日他们又再次相遇。 【答案】 7 24 【分析】两人再次相遇的间隔天数，就是6和4的最小公倍数，利用分解质因数的方法求出6和4的最小公倍数是12，从7月12日往后推12天就是他们再次相遇的日期。 【详解】6＝2×3   4＝2×2   6和4的最小公倍数是： 2×2×3＝12 12＋12＝24（日） 7月12日他们同时参加培训后，7月24日他们又再次相遇。 3．2024年兴化花海森林半程马拉松跑出了“兴”高度，如图是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，组委会需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排志愿者。那么这段赛道最少要安排( )名志愿者。 【答案】8 【分析】由题意可知，找出80和60的最大公因数即最大的间距，再用80与60的和去除以最大的间距，起点A处还需1人，所以再加1，即可得至少要安排的志愿者人数。 【详解】80＝2×2×2×2×5 60＝2×2×3×5 80和60的最大公因数是2×2×5＝20，所以最大的间距是20米。 （80＋60）÷20＋1 ＝140÷20＋1 ＝7＋1 ＝8（名） 这段赛道最少要安排8名志愿者。 4．在一个长35米、宽21米的长方形花坛的四周以最大的间距等距离地栽树（长方形每个顶点处都栽），相邻两棵树的间隔是( )米，一共栽了( )棵树。 【答案】 7 16 【分析】要在长方形花坛四周等距离种树，即要求树与树之间的距离相等，可转化为求出长、宽的公因数，这个公因数就是相邻两棵树的间隔；用长、宽分别除以间距，即可得出长、宽分别可以栽种的树，此时每行的棵数为间隔数＋1，据此可得出答案。 【详解】35＝5×7，21＝3×7，则35和21的公因数是7，即相邻两棵树距离为7米；长：35÷7＝5，则可种5＋1＝6棵，宽：21÷7＝3，可种3＋1＝4（棵）；此时种的总棵数为：6×4＝24（棵），由于长、宽的四个角都种植，按此计算则重复计算了四个角上的数两次，总棵数减去重复的棵数，即： （棵） 即相邻两棵树的间隔是7米，一共栽了16棵树。 5．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。小红家包了许多粽子，妈妈把30个肉粽和24个蜜粽平均分给几家邻居，都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居？每家邻居一共分到多少个粽子？ 【答案】6家；9个 【分析】根据题意，肉粽和蜜粽都能正好分完，说明邻居的户数是30和24的公因数。要求最多分给几家邻居，即求30和24的最大公因数。求出邻居户数后，用两种粽子的总数量除以邻居户数，即可求出每家邻居一共分到的粽子数量。 【详解】30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 30和24的最大公因数是：2×3＝6 （30＋24）÷6 ＝54÷6 ＝9（个） 答：这些粽子最多分给了6家邻居，每家邻居一共分到9个粽子。 6．把下面这个长方形分成若干个正方形，正方形的边长最长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】要把长方形分成若干个正方形，正方形的边长必须同时整除长方形的长和宽，求最长的边长就是求长方形长28厘米和宽16厘米的最大公因数。 【详解】分别列出两个数的因数： 16的因数：1、2、4、8、16 28的因数：1、2、4、7、14、28 16和28的最大公因数是4。 答：正方形的边长最长是4厘米。 7．爸爸和他的同事李叔叔都参加了健体中心的羽毛球锻炼，爸爸每4天去一次，李叔叔每6天去一次。3月1日他们同时在一起打球，至少再过几天他们能再次同时打球？是几月几日？ 【答案】 12 天；3 月 13 日 【分析】求 4 和 6 的最小公倍数，就是至少还需要的天数；用起始日期加上经过的天数就是再次相遇的日期。 【详解】4＝2×2，6＝2×3 2×2×3 ＝4×3 ＝12（天） 1＋12＝13（日） 答：至少再过 12 天他们能再次同时打球，是 3 月 13 日。 【例4】五（1）班“悦读”图书角有68本书，至少增加( )本后，总数就是3的倍数。至少减去( )本后，总数就是5的倍数。 【答案】 1 3 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。5的倍数特征：个位数字是0或5的数。 【详解】6＋8＝14 14÷3＝4……2 3－2＝1 要使68是3的倍数，至少增加1本书。 68－3＝65，所以至少减去3本后，总数就是5的倍数。 1．算式1×2×3×4×5×6×7×8×9的结果是( )数（填“奇”或“偶”）。因为( )。 【答案】 偶 因数中2、4、6、8都是偶数 【分析】根据奇偶乘法规则，偶数乘奇数的积是偶数，偶数乘偶数的积也是偶数。 【详解】算式1×2×3×4×5×6×7×8×9的结果是偶数，因为因数中2、4、6、8都是偶数。 2．航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1——9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则( )，理由是：( )。（第一空填“公平”或“不公平”） 【答案】 不公平 因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。 【分析】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；据此求出1~9中的奇数个数和偶数个数。 游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【详解】1~9中，奇数有：1，3，5，7，9，一共有5个； 偶数有：2，4，6，8，一共有4个。 因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。 航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1~9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则不公平，理由：因为1~9中奇数有5个，偶数有4个，5＞4，抽到奇数的可能性大于抽到偶数的可能性，所以游戏不公平。 一、填空题 1．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 【答案】 2 9，15 【分析】根据偶数的定义：偶数是能被2整除的数；奇数的定义：奇数是不能被2整除的数；质数的定义：质数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数的数；合数的定义：合数是指除了1和它本身之外还有其他因数的数；进行分析。 【详解】根据分析得： 在1～20的自然数中，2既是偶数又是质数；9，15既是奇数又是合数。 2．有趣的□，△，○。 (1)若□△○，○和△都是奇数，则□是( )数。（填“偶”或“奇”） (2)若□，△，○是连续的3个质数，和是41，且○最大，则○是( )。 (3)若□△○，则△和○的最大公因数是( )。 【答案】(1)偶 (2)17 (3)△ 【分析】（1）根据和－加数＝另一加数，奇数－奇数＝偶数，进行分析； （2）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。根据给出的条件可知这三个质数分别是11、13、17，据此解答。 （3）两数成倍数关系，最大公因数是较小数。 【详解】（1）若□△○，○－△＝□，○和△都是奇数，则□是偶数。 （2）若□，△，○是连续的3个质数，和是41，且○最大，41＝11＋13＋17，则○是17。 （3）若□△○，说明○和△成倍数关系，则△和○的最大公因数是△。 3．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 【答案】7 【分析】若每个花束的康乃馨和粉百合花的朵数相同，说明康乃馨和粉百合花都是等分的，而且分的份数相同，要使每束花里花朵数最少，只要求出96和72的最大公因数，即可获得花束数，花的总数96＋72除以花束数，就得到每个花束里至少有多少朵花。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 96和72的最大公因数：2×2×2×3＝24 96÷24＋72÷24 ＝4＋3 ＝7（朵） 每束花里至少有7朵花。 4．有三张卡片，上面分别写着5、6、7。小红和小明用这三张卡片轮流摆不同的三位数。如果摆出的三位数是奇数就是小红赢，否则小明赢。小红赢的可能性是________，这样的游戏规则公平吗？________。 【答案】 不公平 【分析】先列出可摆的不同的三位数，再根据奇数：像1，3，5，7不是2的倍数的数叫做奇数。求赢的可能性用赢的次数除以摆出不同三位数的总个数，再比较大小，据此解答。 【详解】用这三张卡片轮流摆出不同三位数有567、576、657、675、756、765，总个数是：3×2×1＝6（个） 其中奇数有567、657、675、765，共4个，偶数是2个。 小红赢的可能性是：4÷6＝ 小明赢的可能性是2÷6＝ 所以这个游戏规则不公平。 有三张卡片，上面分别写着5、6、7。小红和小明用这三张卡片轮流摆不同的三位数。如果摆出的三位数是奇数就是小红赢，否则小明赢。小红赢的可能性是，这样的游戏规则不公平。 5．已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 10 210 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【详解】A和B的最大公因数是 A和B的最小公倍数是 已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是10，最小公倍数是210。 6．塑料袋里有一些巧克力，如果每次取3块，最后剩1块，如果每次取5块或7块，最后都剩4块，这袋巧克力最少有( )块。 【答案】109 【分析】由题意可知，如果每次取3块，少取一次最后会剩下（块），即这袋巧克力的数量是3、7、5的最小公倍数再加4。因为3、7、5互为质数，所以三个数的积就是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】 （块） 塑料袋里有一些巧克力，如果每次取3块，最后剩1块，如果每次取5块或7块，最后都剩4块，这袋巧克力最少有109块。 7．□56□是一个四位数，它既是3的倍数，也是5的倍数。这个数最大是( )，如果还是2的倍数，这个数最大是( )。 【答案】 8565 7560 【分析】一个数的各个位数上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；一个数的个位上的数字是0或5的数，这个数就是5的倍数；要使这个数最大，则个位上的数字是5，再确定千位上的数字。一个数的个位上的数字是0、2、4、6、8的数，这个数就是2的倍数；一个数同时是2和5的倍数，这个数的个位上的数字必须是0，再确定千位上的数字。据此解答。 【详解】5＋6＋5＝16 若千位上的数字是9，则16＋9＝25，25不是3的倍数；若千位上的数字是8，则16＋8＝24，24是3的倍数，所以千位上的最大数字是8。即□56□既是3的倍数，也是5的倍数，这个数最大是8565。 5＋6＋0＝11 若千位上的数字是9，则11＋9＝20，20不是3的倍数；若千位上的数字是8，则11＋8＝19，19不是3的倍数；若千位上的数字是7，则11＋7＝18，18是3的倍数，所以千位上的最大数字是7。即□56□既是3的倍数，也是5的倍数，如果还是2的倍数，这个数最大是7560。 8．若，（是自然数，且），如果和的最大公因数是21，则是( )，这时a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 7 210 【分析】已知a＝2×3×m，b＝3×5×m，a和b的公有质因数为3和m，最大公因数为公有质因数的乘积，即3m，已知a和b的最大公因数是21，即3m＝21，然后根据等式的性质，两边同时除以3计算出m的值。 最小公倍数为公有质因数与独有质因数的乘积，因此，a和b的最小公倍数为公有质因数（3×7）与独有质因数（2和5）的乘积，据此解答。 【详解】3m＝21 解：3m÷3＝21÷3 m＝7 3×7×2×5 ＝21×2×5 ＝42×5 ＝210 综上，m是7，a和b的最小公倍数为210。 9．一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上的数是最大的一位数，万位上的数既是偶数，又是素数，十位上的数是最小的奇数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万。 【答案】 490020010 49002 【分析】素数（也叫质数）只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身两个因数外，还有其他因数。2是最小的素数，4是最小的合数。省略“万”后面的尾数约是多少，看千位上的数字是几，利用四舍五入的方法，取近似数。据此解答。 【详解】最高位上是最小的合数：4。千万位上的数是最大的一位数：9。万位上的数既是偶数，又是素数：2。十位上的数是最小的奇数：1，其余各位上都是0，这个数写作490020010，省略“万”后面的尾数，千位上是0，0小于5，利用“四舍”取近似数约是49002万。 所以这个数写作490020010，省略“万”后面的尾数约是49002万。 10．如果（A、B均是不为0的自然数），那么A和B的最简整数比是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 1∶2 B 【分析】根据比例的基本性质，比例的外项之积等于比例的内项之积，先把等积式化为比例式，再根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外）比值不变，进而把比化成最简比。A和B的最小公倍数，根据化简后的整数比，如果A与B是倍数关系，则A和B的最小公倍数是A和B中较大的数。 【详解】因为3A＝1.5B（A、B均不为0） 所以A∶B＝1.5∶3＝（1.5÷1.5）∶（3÷1.5）＝1∶2 B是A的2倍，所以A和B的最小公倍数是B。 即如果（A、B均是不为0的自然数），那么A和B的最简整数比是1∶2，A和B的最小公倍数是B。 11．早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8分钟发一班车，2路公交车每隔12分钟发一班车，这两路公交车在( )时( )分第二次同时发车。 【答案】 7 4 【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 要求1路公交车和2路公交车第二次同时发车的时间，先求8和12的最小公倍数也就是下一次同时发车需要再过几分钟（用短除法求8和12的最小公倍数：短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。）；然后再加上第一次的发车时间即可。 【详解】根据分析： 2×2×2×3 ＝4×2×3 ＝8×3 ＝24 即再过24分钟两车同时发车； 6时40分＋24分＝7时4分 早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8分钟发一班车，2路公交车每隔12分钟发一班车，这两路公交车在7时4分第二次同时发车。 12．两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b ab 1 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的一个，叫做它们的最大公因数； 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数； 两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公因数是1。 【详解】a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b；a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。 13．有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过( )分钟这个电子表既亮灯又报时。 【答案】30 【分析】根据题意，算出10和15的最小公倍数即可。 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。 【详解】10的倍数：10，20，30，40⋯ 15的倍数：15，30，45⋯ 10和15的最小公倍数是30。 所以，至少再过30分钟这个电子表既亮灯又报时。 14．一个数的亿位上是最小的质数，千万位上是最小的合数，万位上的数字是最小的奇数，百位上是最大的一位数，其余各位上都是零，这个数写作( )，读作( )，改写成以“万”为单位的数是( )万，省略“亿”后面的尾数约是( )亿。 【答案】 240010900 二亿四千零一万零九百 24001.09 2 【分析】先确定各数位上的数字：最小的质数是2，所以亿位是2；最小的合数是4，所以千万位是4；最小的奇数是1，所以万位是1；最大的一位数是9，所以百位是9；其余各位都是0。从高位到低位依次写，写作240010900。从高位读起，亿级是“二亿”，万级是“四千零一万”，个级是“零九百”，合起来读作二亿四千零一万零九百。改写成以“万”为单位：去掉末尾4个0，加“万”字，即24001.09万。省略“亿”后面的尾数：看千万位（4），四舍五入，约是2亿。 【详解】一个数的亿位上是最小的质数，千万位上是最小的合数，万位上的数字是最小的奇数，百位上是最大的一位数，其余各位上都是零，这个数写作240010900，读作二亿四千零一万零九百，改写成以“万”为单位的数是24001.09万，省略“亿”后面的尾数约是2亿。 15．已知（是不为零的自然数），如果和的最大公因数是6，那么和的最小公倍数是( )。 【答案】84 【分析】两个合数分解质因数后，相同的质因数的乘积是两个合数的最大公因数，所有相同的和不同的质因数的乘积是两个合数的最小公倍数。 【详解】已知（是不为零的自然数），所以和的最大公因数是 所以， 和的小公倍数为： 16．设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于________。 【答案】 70 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，用除法找因数，从1开始试除：因为任何非0自然数都能被1整除，所以从1开始用要找因数的数除以1，得到的商就是它的一个因数；按顺序试除：接着用这个数除以2，若能整除，除数和商都是它的因数；避免重复：当除数和商接近或相等时，就不用再往后除了，因为后面的情况会和前面重复；找出所有因数，通过这样按顺序用除法试除，就能找出这个数的所有因数。 【详解】从1开始找3600的因数：3600÷1＝3600，所以1和3600是3600的因数；3600÷2＝1800，所以2和1800是3600的因数；3600÷3＝1200，所以3和1200是3600的因数；3600÷ 4＝900，所以4和900是3600的因数；3600÷5＝720，所以5和720是3600的因数；3600÷6＝600，所以6和600是3600的因数；3600÷8＝450，所以8和450是3600的因数；3600÷9＝400，所以9和400是3600的因数；3600÷10＝360，所以10和360是3600的因数；3600÷12＝300，所以12和300是3600的因数：3600÷15＝240，所以15和240是3600的因数；3600÷16＝225，所以16和225是3600的因数；3600÷18＝200，所以18和200是3600的因数；3600÷20＝180，所以20和180是3600的因数；3600÷24＝150，所以24和150是3600的因数；3600÷25＝144，所以25和144是3600的因数；3600÷30＝120，所以30和120是3600的因数；3600÷36＝100，所以36和100是3600的因数；3600÷40＝90，所以40和90是3600的因数；3600÷45＝80，所以45和80是3600的因数；3600÷48＝75，所以48和75是3600的因数；3600÷50＝72，所以50和72是3600的因数；3600÷60＝60，此时两个因数相同，算1个。经统计，3600的因数有45个，即M＝45。 从1开始找10000的因数：10000÷1＝10000，所以1和10000是10000的因数；10000÷2＝5000，所以2和5000是10000的因数；10000÷4＝2500，所以4和2500是10000的因数；10000÷5＝2000，所以5和2000是10000的因数，10000÷8＝1250，所以8和1250是10000的因数；10000÷10＝1000，所以10和1000是10000的因数；10000÷16＝625，所以16和625是10000的因数；10000÷20＝500，所以20和500是10000的因数；10000÷25＝400，所以25和400是10000的因数；10000÷40＝250，所以40和250是10000的因数；10000÷50＝200，所以50和200是10000的因数；10000÷80＝125，所以80和125是10000的因数；10000÷100＝100，此时两个因数相同，算1个。经统计，10000的因数有25个，即N＝25。 计算M＋N，45＋25＝70。 所以M＋N等于70。 【点睛】本题的关键在于计算因数时，要不重复，不遗漏，有顺序的计算。 17．一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是________。 【答案】441 【分析】根据“完全平方数”的特征：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9；可排除甲彩票； 由“完全平方数”末位数的特征，初步判定乙彩票可能是“平方数”，结合乙彩票百位上的数字是4，列举出此区间平方数百位上是4的结果，再对比，即可判断； 根据“完全平方数”的特征：末位是5，则末两位数字一定是25，可排除丙彩票。 【详解】完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9； 甲彩票的末三位数是3□7，末位是7，不符合“完全平方数”的特征，所以3□7不是中奖的末三位数； 乙彩票的末三位数4□1，末位是1，可能是“完全平方数”；4□1的百位是4，列举出202到222的结果，202＝400、212＝441、222＝484，441符合4□1模式，所以441是中奖的末三位数； 丙彩票的末三位数是□35，末位是5，则末两位数字一定是25（如152＝225、252＝625），而□35的末两位是35，不符合“完全平方数”的特征，所以□35不是中奖的末三位数； 综上所述，中奖的末三位数是441。 【点睛】利用“完全平方数”末位数的特征以及末位数是5时，十位数是2的特征进行判断。 二、选择题 18．一个合数至少有（    ）个因数。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】合数是指除了1和它本身之外，还有其他因数的数；质数是只有1和它本身两个因数的数。据此解答。 【详解】合数至少有3个因数，即1、它本身和其他因数。 一个合数至少有3个因数。 19．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可知，要求每小段铁丝最长是几m，就是求24和42的最大公因数，可用短除法解答。 【详解】 24和42的最大公因数是 所以，两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是6m。 故答案为：C 20．如图，转动转盘，指针停在（    ）区域的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．既不是合数也不是质数 D．最小的质数 【答案】A 【分析】先根据质数、合数的意义，判断出转盘中的6个数符合各选项的数各有几个，再根据可能性大小的判断方法，哪种数的个数最多，指针停在这种数区域的可能性就最大。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】A．1～6中，质数是2、3、5，有3个； B．1～6中，合数是4、6，有2个； C．既不是合数也不是质数是1，只有1个； D．最小的质数是2，只有1个； 3＞2＞1，质数最多； 所以，转动转盘，指针停在质数区域的可能性最大。 故答案为：A 21．下面五句话中，表达正确的有（    ）句。 （1）一条射线长25厘米。 （2）2024年第一季度共有91天。 （3）两个不同的质数相乘，积一定是合数。 （4）如果a＝5b（a、b都是不为0的自然数），那么a就是a、b的最小公倍数。 （5）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】（1）射线有一个端点，另一端可以无限延长，不能测量长度。 （2）2024年是闰年，一月有30天，二月有29天，三月有31天，把这三个数相加即可求出第一季度的天数。 （3）只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。据此解答。 （4）成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。 （5）圆柱的侧面展开图是正方形，那么它的底面周长等于高，则圆的周长＝高＝πd，这个圆柱的底面直径和高的比是d∶πd，化成最简整数比即可。 【详解】（1）射线不能测量长度，原题说法错误； （2）31＋29＋31＝91（天），则2024年第一季度共有91天，原题说法正确； （3）两个不同的质数相乘，积的因数除了1和它本身，还有这两个质数，即积一定是合数，原题说法正确； （4）a＝5b，即a是b的5倍，a和b是倍数关系，那么a就是a、b的最小公倍数，原题说法正确； （5）d∶πd ＝（d÷d）∶（πd÷d） ＝1∶π 则这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π，原题说法正确。 五句话中，表达正确的有4句。 故答案为：B 22．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（    ）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数，所以先分别找出每个选项中数字的除了自身以外的因数，再计算这些因数的和，看是否等于该数字的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，1＋2＋4＝7，7≠8，所以8不是完全数。 B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数。 C．36的因数有：1、2、4、6、9、18，1＋2＋4＋6＋9＋18＝41，41≠36，所以36不是完全数。 D．49的因数有1、7、49，1＋7＝8，8≠49，所以49不是完全数。 故答案为：B 23．从1，2，3，4，5，6，7这7张数字卡片中任意抽取一张，抽到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】B 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定质数、合数、奇数和偶数的个数，比较，哪种数的个数最少，抽到哪种数的可能性就最小。 【详解】质数有2，3，5，7，共4个；合数有4，6，共2个；奇数有1、3、5、7，共4个；偶数有2，4，6，共3个，2＜3＜4，最少的是合数，抽到合数的可能性最小。 故答案为：B 24．用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数，这个三位数是（    ）的可能性最大。 A．质数 B．质因数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 奇数：不能被2整除的数。 偶数：能被2整除的数。 根据对质数、合数、奇数、偶数的理解，以及通过列举法分析可能性大小。 【详解】由分析可得：用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数有245、254、425、452、524、542，这其中没有质数，奇数有2个，偶数有4个。 4＞2 这个三位数是偶数的可能性最大。 故答案为：D 25．下列说法正确的有（    ）句。 ①大于1.2且小于1.4的小数只有1个。 ②三角形三个内角度数的比是，最大的角是。 ③、、都是非零自然数。其中，是的倍数，是的倍数，那么是的倍数。 ④四位数35□0，□里只填一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，□里最多有4种填法。 ⑤一个人的体重和他的年龄成正比例关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个数就大以此类推。据此判断； ②三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，由此可知，最大角的度数占180°的，根据求一个数的几分之几是多少，求出最大角。据此判断； ③若是b的倍数，b是c的倍数，则b可以整除，c可以整除b，据此举例判断即可； ④根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。观察可知，个位上是0，符合2和5的倍数的特征，即根据3的倍数的特征找出方框里可以填的数，再进行判断； ⑤判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】①大于1.2且小于1.4的一位小数只有1个，但大于1.2且小于1.4的小数有1.21、1.211、1.2111无数个，所以原题说法错误。 ② 三角形三个内角度数的比是，最大的角是。原题说法正确。 ③如＝36，b＝12，c＝4，36是12的倍数，12是4的倍数，36是4的倍数，所以原题说法正确； ④3＋5＋0＝8，8＋1＝9，8＋4＝12，8＋7＝15，□里最多有3种填法。所以原题说法错误。 ⑤虽然一个人的体重会随着年龄的变化而变化，但它们的比值和乘积都不一定，所以一个人的体重和他的年龄不成比例，原题说法错误。 所以，上面说法正确的有2句。 故答案为：B 26．下面关于数学知识的说法正确的是（    ）。 A．假分数的倒数一定是真分数。 B．4cm、4cm和8cm三根小棒可以围成等腰三角形。 C．同时能被2、3、5整除的最小三位数是120。 D．圆柱不可以转化为长方体。 【答案】C 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数；乘积是1的两个数互为倒数。三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；2、5的倍数特征：个位上是0的数；3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。根据圆柱的体积公式是将圆柱切拼成一个长方体而得出的；据此解答。 【详解】A．假分数的倒数可能是真分数或1，原题说法错误； B．4＋4＝8，所以4cm、4cm和8cm三根小棒不能围成三角形，原题说法错误； C．同时能被2、3、5整除的最小三位数是120，原题说法正确。 D．将圆柱切拼成一个长方体后得出圆柱的体积公式，所以圆柱可以转化为长方体，原题说法错误。 故答案为：C 27．以下说法正确的是（    ）。 A．比的前项和后项都可以是1 B．6和30的最小公倍数是180 C．2020、2100都是闰年 D．一年中有7个大月，5个小月 【答案】A 【分析】除法可以写成比的形式，被除数相当于前项，除数相当于后项，除号相当于比号。除数不为0，比的后项也不能是0。 两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 用2020除以4看结果是否有余数来判断2020年是否是闰年；2100年是整百年，需要看它是否是400的倍数来判断其是否是闰年。 根据对年月日的了解，1、3、5、7、8、10、12月是大月，4、6、9、11月是小月；闰年2月有29天，平年2月有28天。 【详解】A．比的前项和后项都可以是1，题干说法正确； B．6×5＝30，所以6和30的最小公倍数是30，题干说法错误； C．2020÷4＝505，2100÷400＝5……100，2020年是闰年，2100不是闰年，题干说法错误； D．一年中有7个大月，4个小月，题干说法错误。 故答案为：A 28．小明在计数器上用13颗珠子任意摆一个四位数，这个四位数一定不是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．3的倍数 D．5的倍数 【答案】C 【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；各个数位上的数相加的和是3的倍数的数是3的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；据此分析解答。 【详解】小明在计数器上用13颗珠子任意摆一个四位数，这个四位数一定不是3的倍数，因为各个数位上数的和是13，不是3的倍数。 故答案为：C 29．甲、乙两人投掷一枚质地均匀的骰子，下面说法中，最公平的是（    ）。 A．掷出大于3的数则甲赢，掷出小于3的数则乙赢 B．掷出大于4的数则甲赢，掷出小于4的数则乙赢 C．掷出质数则甲赢，掷出合数则乙赢 D．掷出奇数则甲赢，掷出偶数则乙赢 【答案】D 【分析】这道题的关键是判断四个选项中，甲乙两人赢的概率是否相等。概率相等则游戏公平。骰子上共有1、2、3、4、5、6六个数字。 A．大于3的数有４、5、6，共3个，小于3的数有1、2，共2个 ，所以甲赢的概率大。 B．大于4的数有5、6，共2个，小于4的数有1、2、3，共3个，所以乙赢的概率大。 C．质数有2、3、5，共3个，合数有4、6 ，共2个（1既不是质数，也不是合数），所以甲赢的概率大。 D．奇数有1、3、5，共3个；偶数有2、4、6，共3个，所以甲乙赢的概率相等。 【详解】根据分析： A．掷出大于3的数则甲赢，掷出小于3的数则乙赢，甲赢的概率大，不公平。 B．掷出大于4的数则甲赢，掷出小于4的数则乙赢，乙赢的概率大，不公平。 C．掷出质数则甲赢，掷出合数则乙赢，甲赢的概率大，不公平。 D．掷出奇数则甲赢，掷出偶数则乙赢，甲乙的概率相等，公平。 故答案为：D 30．用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 【答案】C 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么这道题的长＋宽＝16÷2＝8，题目中告诉我们，长和宽都是质数，那么10以内的质数只有2、3、5、7，我们可以一个个分类讨论获得答案，长方形面积＝长×宽 【详解】根据分析，长＋宽＝8，如果长和宽都是质数，我们可以做以下讨论： 当宽＝2cm，长＝6cm，6不是质数； 当宽＝3cm，长＝5cm，这时长和宽都是质数，面积＝3×5＝15（cm2） 当长＝7cm，宽＝1cm，1不是质数； 所以用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，长和宽只能是5cm和3cm，它的面积是15cm2。 故答案为：C 31．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【分析】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【详解】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 32．在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 【答案】B 【分析】先求出在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数，即200÷2＝100（个），再求出在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数），即200÷7≈28（个），2和7的最小公倍数是2×7＝14，在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数（除不尽时用“去尾法”取整数）是200÷14≈14（个），根据容斥原理，“双七数”的个数＝能被2整除的自然数的个数＋能被7整除的自然数的个数－能同时被2和7整除的自然数的个数，据此解答。 【详解】在1—200的自然数中能被2整除的自然数的个数：200÷2＝100（个） 在1—200的自然数中能被7整除的自然数的个数：200÷7≈28（个） 2和7的最小公倍数是2×7＝14。 在1—200的自然数中能同时被2和7整除的自然数的个数：200÷14≈14（个） 在1—200的自然数中“双七数”的个数：100＋28－14 ＝128－14 ＝114（个） 所以，“双七数”共有114个。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查容斥原理的应用，分析题意求出在1—200的自然数中2的倍数的个数、7的倍数的个数、2和7的倍数的个数是解答题目的关键。 三、解答题 33．一个长方形，长70厘米，宽30厘米，把这个长方形分成大小相等、面积尽可能大的正方形且没有剩余，可以分成多少个这样的正方形？ 【答案】答：能裁成21张 【详解】试题分析：先求70与30的最大公约数，70与30最大公约数为10，也就是正方形的边长为10厘米，所以可以裁出正方形的数量为7×3=21（张）． 解：70=2×5×7 30=2×3×5 因此70与30最大公约数为2×5=10，即裁成的正方形的边长为10厘米． 又70÷10=7，30÷10=3， 所以能裁成：7×3=21张面积尽可能大的正方形且没有剩余． 答：能裁成21张． 点评：这道题的关键就是求70与30的最大公约数，也就是求出正方形的边长，进而解决问题． 34．王平家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面铺方砖，商店里方砖有以下几种：（1）边长30厘米的方砖；（2）边长45厘米的方砖；（3）边长60厘米的方砖；请你帮他选一种方砖，并算算至少需要多少块这样的方砖？ 【答案】80块 【分析】在这三种方砖中边长30厘米和边长60厘米是6米（即600厘米）4.8米（即480厘米）的公约数，所以选择边长30厘米和边长60厘米的方砖比较合适。 【详解】①选（1） 6米＝600厘米，4.8米＝480厘米。 600÷30＝20， 480÷30＝16， 20×16＝320（块）。 答：需要320块这样的方砖。 ②选（3） 6米＝600厘米，4.8米＝480厘米。 600÷60＝10， 480÷60＝8， 10×8＝80（块）。 答：需要80块这样的方砖。 【点睛】此题考查长方形、正方形的面积公式以及实际应用能力。 35．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个陷阱。它们之中谁先掉进陷阱？它掉进陷阱时另一个跳了多远？ 【答案】黄鼠狼先掉进陷阱，它掉进陷阱时，狐狸跳了米 【分析】狐狸掉进陷阱时与起点的距离应是和的最小整数倍，同理黄鼠狼掉进陷阱时与起点的距离应是和的最小整数倍，分别求出这两个数，再进行比较，可确定谁先掉进陷阱，然后可求出另一个跳的距离。据此解答。 【详解】和的最小倍数是： （，）＝（，）＝，所以它们的最小倍数是56； 和的最小倍数是： （，）＝（，）＝，所以它们的最小倍数是； 56＞，所以黄鼠狼先掉进陷阱。 ÷＝＝5（次） ×5＝（米） 答：黄鼠狼先掉进陷阱，它掉进陷阱时，狐狸跳了米。 【点睛】本题的关键考查了学生求分数的最小公倍数的方法：用两个分数的分子的最小公倍数除以分母的最大公因数。 36．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？ 【答案】所求的四位数是1409或1979 【详解】试题分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答． 解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9， 又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9， 再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1， 设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996， 可得26≤m≤53， 因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7， 在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52， 又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数， 19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1， 所以m=37或52， 所以38×37+3=1409，38×52+3=1979， 经检验正好满足题意， 答：所求的四位数是1409或1979． 点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答． 37．如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸． （1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？ （2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由． 【答案】（1）A点处于水中  （2）B点一定在水中 【分析】（1）本题可据数的奇偶性进行分析，如图从P点到A点的空白处标上数字可发现，奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中． （2）某人进入水中时脱鞋，上岸时穿鞋，从每从水中到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2，即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上，脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中，在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，所以B点一定在水中． 【详解】（1）如图，由于点P处于岸上且为1，所以奇数都处于岸上，偶数都处于水中，A点为6，是偶数，所以A点处于水中． 答：A点处于水中． （2）由于从进入水中再到岸上，脱鞋与穿鞋次数和为2， 即脱鞋与穿鞋次数相加为偶数时，某人一定在岸上； 脱鞋与穿鞋次数相加为奇数时，某人一定在水中； 在B点他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数， 所以B点一定在水中． 答：B点一定在水中． 38．五（1）班有40个同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人） 【答案】可以排成：2行、4行、5行、8行、10行、20行，有6种排法 【详解】40＝1×40，排成1行，不符合题意，40行，不符合题意； 40＝2×20，排成2行或者20行，符合题意； 40＝4×10，排成4行，符合题意；排成10行，符合题意； 40＝5×8，排成5行，符合题意；排成8行，符合题意； 39．教室里共有男女生若干人，男生的上衣有5个扣子，女生的上衣有4个扣子，如果学生总数是个奇数，扣子总数是偶数，问男生人数是奇数还是偶数？ 【答案】偶数个 【详解】女生扣子数是偶数，是不受人数影响，女生扣子总数永远都是偶数； 但总扣子数是偶数，所以男生扣子总数也是偶数； 又因男生的上衣有5个扣子是奇数，所以只有男生人数为偶数个，才能保证男生扣子总数是偶数和扣子总数是偶数； 答：男生人数为偶数个。 40．学校甬路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵树，现小树长大，改为每5米植一棵树。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？ 【答案】7棵 【分析】此题属于植树问题，两端不移动，要求中间有几棵树不用移动，只要求出在80以内2和5的公倍数即可解答，即是2和5的公倍数的米数是不动的。 【详解】80以内的2和5的公倍数有：10；20；30；40；50；60；70； 即10米、20米、30米、40米、50米、60米、70米处的7棵树不用动； 答：中间有7棵树不动。 【点睛】本题主要考查求在一定范围内的两个数的公倍数，注意分析题意判定是求公倍数。 41．甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的因数，最后不能写者败。若甲先写，并欲胜，则甲应该怎么写？ 【答案】甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个。 【分析】甲先写6，由于6的因数有1，2，3，6；接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策。 【详解】解：甲先写6，由于6的因数有1，2，3，6， 接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10， 把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10）， 当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等， 只要组内两数大数不是小数的倍数即可， 这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜， 故答案为：甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个，从而甲一定写最后一个。 【点睛】解答此题的关键是，根据数的特点，以及题目的要求，只要找到先写的数，然后再将有关数进行合理分组，即可找到最佳对策。 42．暑假期间，贝贝和甜甜去敬老院照顾老人，7月7日她们都去了敬老院，并约定贝贝每3天去一次，甜甜每4天去一次。 （1）8月份她们第一次同时去敬老院的日子是几号？ （2）从7月7日到8月31日她们同时去敬老院共多少次？ 【答案】（1）8月12日；（2）5次。 【分析】贝贝每3天去一次，甜甜每4天去一次，它们同一天去敬老院的日子是3和4的公倍数，先找到3和4的最小公倍数是12，所以每12天她们同时去敬老院，再算8月份她们第一次同时去敬老院的日子是几号，以及从7月7日到8月31日她们同时去敬老院共多少次即可。 【详解】（1）根据题意得：3和4的最小公倍数是12，所以每12天她们同时去敬老院。 七月份还剩下的天数：31－7＝24（天） 24÷12＝2所以，7月31日她们同时去敬老院，下一次去应该是8月12日。 答：8月份她们第一次同时去敬老院的日子是8月12日。 （2）（31－6＋31）÷12 ＝56÷12 ＝4（周）……8（天） 从7月7日到8月31日她们同时去敬老院的次数：4＋1＝5（次） 答：从7月7日到8月31日她们同时去敬老院共5次。 【点睛】本题考查最小公倍数，解答本题的关键是掌握最小公倍数的求法。 43．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？ 【答案】所求的四位数是1409或1979 【详解】试题分析：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9，又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1，设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996，据此可得26≤m≤53，据此再进行分析即可解答． 解答：解：原数加1后是15的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是4或9， 又因为原数减去3后是38的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是9， 再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是10，所以千位数字是10﹣9=1， 设原数为38m+3（m为自然数），则有1009≤38m+3≤1996， 可得26≤m≤53， 因为原数38m+3的个位数字是9，所以8m的个位数字是6．从而m的个位数字是2或7， 在26到53之间，个位数字是2或7的数有27、32、37、42、47、52， 又因为原数加上1后是15的倍数，则38m+3+1=38m+4是3的倍数，则19m+2必定是3的倍数， 19m+2=3×6m+m+2，所以m+2是3的倍数，即m被3除余1，在27、32、37、42、47、52中，只有37和52被3除余1， 所以m=37或52， 所以38×37+3=1409，38×52+3=1979， 经检验正好满足题意， 答：所求的四位数是1409或1979． 点评：根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是9和1，再根据被15整除的数的特征和偶数特征进行分析即可解答． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 因数和倍数 1、因数知识点： ①因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，除数和商就是被除数的因数。例如，12÷2=6，2和6是12的因数。也可以表述为：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。例如，3×8=24，3和8是24的因数。 ②一个数因数的求法：如24的因数，通常用除法从1开始除起，除的尽的都是这个数的因数。如24的因数为：1，2，3，4，6，8，12，24。强调我们在书写一个数因数时，按一头一尾书写，可以做到不遗漏，不重复。 ③ 因数的特征：1、1是任何数的因数，2、一个数最小的因数为1，最大的因数为其本身，3、一个数的因数的个数是有限的。 2、倍数知识点： ①倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，被除数就是除数和商的倍数。例如，12÷2 = 6，12是2和6的倍数。 同样，如果a ×b = c（a、b、c都是不为0的整数），那么c是a和b的倍数。例如，3×8 = 24，24是3和8的倍数。 ②一个数倍数的求法：如4的倍数，通常用乘法从1开始乘起。如4的倍数为：4,8,12,16,20,24……，强调我们在写某一个数的倍数的时候，从1倍开始乘起，因为一个数的倍数个数是无限的，所以我们在写某一个数的倍数时，通常写五到六个，然后加上“……”号即可。 ③ 倍数的特征：1、一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。2、一个数的倍数个数是无限的。 3、2，3和5的倍数特征 2的倍数特征及其相关知识点： ①2的倍数特征：个位上出现2、4、6、8、0。同时2的倍数特征也是偶数的特征。强调偶数也就是我们所说的双数，除以2可以除得尽。 ②奇数特征：个位上出现1、3、5、7、9。强调奇数也就是我们所说的单数，除以2除不尽。 3的倍数特征及其相关知识点： ①3的倍数特征：各个数位上数的和是3的倍数。例如，判断96和14是否是3的倍数，96因为9+6=15，15是3的倍数，所以96是3的倍数；14因为1+4=5，5不是3的倍数，所以14不是3的倍数。 5的倍数特征及其相关知识点： ①5的倍数特征：个位上出现0或5时，就是5的倍数。例如：15，20，25…… 既是2的倍数又是5的倍数特征： 个位上只能出现0。也就是当各位上出现0时，这个数字一定是2和5共同的倍数。 遇到同时是2，3和5的倍数相关题目解题方法： ①当遇到同时是2和3倍数相关题目时，先找2的倍数，因为2的倍数特征是个位上只能出现2、4、6、8、0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ②当遇到同时是3和5倍数相关题目时，先找5的倍数，因为5的倍数特征是个位上只能出现0或5，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 ③当遇到同时是2，3和5倍数相关题目时，先寻找2和5倍数，因为此时个位上只能出现0，然后再看给的数字和，从而判断是否是3的倍数即可。 4、质数和合数 质数定义和相关知识点 ①质数定义：一个数的因数有且只有两个，1和它的本身，我们称这个数是质数。 ②100以内质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 ③强调：在质数家族中，有一个数字极其特殊也就是2，2是质数家族中唯一的一个偶数。 ④最小的质数是2。 合数定义和相关知识点： ①合数定义：一个数的因数有三个或者三个以上的数，我们称这样的数叫做合数。例如：4的因数有1，2，4；10的因数有：1，2，5，10。 ②最小的合数是4。 5、分解质因数 ①先明确分解质因数我们分解的数是合数，把合数分解成相关质数的乘积。 ②对某些数字进行分解质因数，有两种方法，树状图和短除法，例题如下： ③强调对某个数字分解质因数书写格式必须写成如：24=2×2×2×3 6、公因数和最大公因数相关知识点 ①公因数的定义：一组数的公因数其实就是它们共同所有的因数。 ②求公因数的方法为列举法，如求12和18的公因数 12的因数有：1，2，3，4，6，12 18的因数有：1，2，3，6，9，18 12和18的公因数：1，2，3，6 ③而在求一组数的最大公因数时，是建立在求公因数的基础上得到，最大公因数是公因数中最大的一个数。即12和18的最大公因数为6。 ④公因数特征：一组数的公因数个数是有限的，最小的公因数为1。 7、公倍数和最小公倍数相关知识点 ①公倍数的定义：一组数的公倍数其实就是它们共同所有的倍数。 ②求公倍数的方法为列举法，如求6和8的公倍数 6的倍数：6，12，18，24，30，36…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48…… 6和8的公倍数：24，48…… ③而在求一组数的最小公倍数时，是建立在求公倍数的基础上得到的，最小公倍数是公倍数中最小的一个数，即6和8的最小公倍数为24。 ④公倍数特征：一组数的公倍数个数是无限的，没有最大公倍数。 [小提升]如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【例1】如果a＝2×3×5，b＝3×5×5，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 1．如果a＝2×3×5，b＝2×3×m（m为质数），且a和b的最小公倍数是390，那么m＝( )。 【例2】x和y均为非零自然数，若x＝5y，则x和5的最大公因数是( )；若x＝y＋1，则x和y的最小公倍数是( )，若x＝0.1y，则x和y的最小公倍数是( )。 1．A、B都表示非零自然数，如果B÷5＝A，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果A－1＝B，那么A和B的最大公因数是( )。 2．m，n是两个非零自然数。 (1)如果m＝7n，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (2)如果m＝n＋1，那么m和n的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【例3】现有一些正方形瓷砖，边长都是整分米数。现用它们中一种型号的瓷砖来铺地，正好铺满长36分米、宽27分米的长方形。这些瓷砖的边长可能是( )分米，也可能是( )分米或( )分米。 1．某公园有一块五边形的小森林，三条边的长是90米，两条边的长是105米。园林管理处想在五条边上等距离地放置休闲椅（每个顶点处各要放置一把），至少需要放置( )把休闲椅。 2．暑假里，红红和明明去参加书法训练，红红每6天去一次，明明每4天去一次。7月12日他们同时参加训练后，( )月( )日他们又再次相遇。 3．2024年兴化花海森林半程马拉松跑出了“兴”高度，如图是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，组委会需要在路的一边安排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排志愿者。那么这段赛道最少要安排( )名志愿者。 4．在一个长35米、宽21米的长方形花坛的四周以最大的间距等距离地栽树（长方形每个顶点处都栽），相邻两棵树的间隔是( )米，一共栽了( )棵树。 5．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习俗。小红家包了许多粽子，妈妈把30个肉粽和24个蜜粽平均分给几家邻居，都正好分完。这些粽子最多分给了几家邻居？每家邻居一共分到多少个粽子？ 6．把下面这个长方形分成若干个正方形，正方形的边长最长是多少厘米？ 7．爸爸和他的同事李叔叔都参加了健体中心的羽毛球锻炼，爸爸每4天去一次，李叔叔每6天去一次。3月1日他们同时在一起打球，至少再过几天他们能再次同时打球？是几月几日？ 【例4】五（1）班“悦读”图书角有68本书，至少增加( )本后，总数就是3的倍数。至少减去( )本后，总数就是5的倍数。 1．算式1×2×3×4×5×6×7×8×9的结果是( )数（填“奇”或“偶”）。因为( )。 2．航模比赛前设置了公平性抽选环节，系统随机抽取1——9中的一个数字，抽到奇数则淘气先开赛，抽到偶数则笑笑先开赛。这个游戏规则( )，理由是：( )。（第一空填“公平”或“不公平”） 一、填空题 1．在1～20的自然数中，( )既是偶数又是质数；( )既是奇数又是合数。 2．有趣的□，△，○。 (1)若□△○，○和△都是奇数，则□是( )数。（填“偶”或“奇”） (2)若□，△，○是连续的3个质数，和是41，且○最大，则○是( )。 (3)若□△○，则△和○的最大公因数是( )。 3．用96朵康乃馨和72朵粉百合做成花束，每束花里的康乃馨朵数相同，粉百合朵数也相同，每束花里至少有( )朵花。 4．有三张卡片，上面分别写着5、6、7。小红和小明用这三张卡片轮流摆不同的三位数。如果摆出的三位数是奇数就是小红赢，否则小明赢。小红赢的可能性是________，这样的游戏规则公平吗？________。 5．已知A＝2×3×5，B＝2×5×7，那么A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 6．塑料袋里有一些巧克力，如果每次取3块，最后剩1块，如果每次取5块或7块，最后都剩4块，这袋巧克力最少有( )块。 7．□56□是一个四位数，它既是3的倍数，也是5的倍数。这个数最大是( )，如果还是2的倍数，这个数最大是( )。 8．若，（是自然数，且），如果和的最大公因数是21，则是( )，这时a和b的最小公倍数是( )。 9．一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上的数是最大的一位数，万位上的数既是偶数，又是素数，十位上的数是最小的奇数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万。 10．如果（A、B均是不为0的自然数），那么A和B的最简整数比是( )，A和B的最小公倍数是( )。 11．早上6时40分，1路公交车和2路公交车同时发车，1路公交车每8分钟发一班车，2路公交车每隔12分钟发一班车，这两路公交车在( )时( )分第二次同时发车。 12．两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 13．有一个电子表，每走10分钟亮一次灯，每走15分钟报一次时。上午10时这个电子表既亮灯又报时，那么至少再过( )分钟这个电子表既亮灯又报时。 14．一个数的亿位上是最小的质数，千万位上是最小的合数，万位上的数字是最小的奇数，百位上是最大的一位数，其余各位上都是零，这个数写作( )，读作( )，改写成以“万”为单位的数是( )万，省略“亿”后面的尾数约是( )亿。 15．已知（是不为零的自然数），如果和的最大公因数是6，那么和的最小公倍数是( )。 16．设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于________。 17．一个自然数与自身相乘的结果称为“平方数”，甲、乙、丙三个人去买彩票，结果一人中奖，且中奖号码的末三位是完全平方数，甲彩票的末三位数是3□7，乙彩票的末三位数是4□1，丙末三位数是□35，则中奖的末三位数是________。 二、选择题 18．一个合数至少有（    ）个因数。 A．1 B．2 C．3 D．无数 19．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 20．如图，转动转盘，指针停在（    ）区域的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．既不是合数也不是质数 D．最小的质数 21．下面五句话中，表达正确的有（    ）句。 （1）一条射线长25厘米。 （2）2024年第一季度共有91天。 （3）两个不同的质数相乘，积一定是合数。 （4）如果a＝5b（a、b都是不为0的自然数），那么a就是a、b的最小公倍数。 （5）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。 A．5 B．4 C．3 D．2 22．6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。下面的数中，（    ）是完全数。 A．8 B．28 C．36 D．49 23．从1，2，3，4，5，6，7这7张数字卡片中任意抽取一张，抽到（    ）的可能性最小。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 24．用2、4、5三个数字组成没有重复数字的三位数，这个三位数是（    ）的可能性最大。 A．质数 B．质因数 C．奇数 D．偶数 25．下列说法正确的有（    ）句。 ①大于1.2且小于1.4的小数只有1个。 ②三角形三个内角度数的比是，最大的角是。 ③、、都是非零自然数。其中，是的倍数，是的倍数，那么是的倍数。 ④四位数35□0，□里只填一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，□里最多有4种填法。 ⑤一个人的体重和他的年龄成正比例关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 26．下面关于数学知识的说法正确的是（    ）。 A．假分数的倒数一定是真分数。 B．4cm、4cm和8cm三根小棒可以围成等腰三角形。 C．同时能被2、3、5整除的最小三位数是120。 D．圆柱不可以转化为长方体。 27．以下说法正确的是（    ）。 A．比的前项和后项都可以是1 B．6和30的最小公倍数是180 C．2020、2100都是闰年 D．一年中有7个大月，5个小月 28．小明在计数器上用13颗珠子任意摆一个四位数，这个四位数一定不是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．3的倍数 D．5的倍数 29．甲、乙两人投掷一枚质地均匀的骰子，下面说法中，最公平的是（    ）。 A．掷出大于3的数则甲赢，掷出小于3的数则乙赢 B．掷出大于4的数则甲赢，掷出小于4的数则乙赢 C．掷出质数则甲赢，掷出合数则乙赢 D．掷出奇数则甲赢，掷出偶数则乙赢 30．用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 31．著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 32．在1—200的自然数中，如果一个数能被2或7整除，就称这个数是“双七数”，那么“双七数”共有（    ）个。 A．112 B．114 C．120 D．128 三、解答题 33．一个长方形，长70厘米，宽30厘米，把这个长方形分成大小相等、面积尽可能大的正方形且没有剩余，可以分成多少个这样的正方形？ 34．王平家客厅长6米，宽4.8米，计划在地面铺方砖，商店里方砖有以下几种：（1）边长30厘米的方砖；（2）边长45厘米的方砖；（3）边长60厘米的方砖；请你帮他选一种方砖，并算算至少需要多少块这样的方砖？ 35．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔米设有一个陷阱。它们之中谁先掉进陷阱？它掉进陷阱时另一个跳了多远？ 36．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？ 37．如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸． （1）若P点在岸上，则A点在岸上还是水中？ （2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是奇数，那么B点在岸上还是水中？说明理由． 38．五（1）班有40个同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人） 39．教室里共有男女生若干人，男生的上衣有5个扣子，女生的上衣有4个扣子，如果学生总数是个奇数，扣子总数是偶数，问男生人数是奇数还是偶数？ 40．学校甬路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80米，原来每隔2米植一棵树，现小树长大，改为每5米植一棵树。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？ 41．甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的因数，最后不能写者败。若甲先写，并欲胜，则甲应该怎么写？ 42．暑假期间，贝贝和甜甜去敬老院照顾老人，7月7日她们都去了敬老院，并约定贝贝每3天去一次，甜甜每4天去一次。 （1）8月份她们第一次同时去敬老院的日子是几号？ （2）从7月7日到8月31日她们同时去敬老院共多少次？ 43．某个四位数有如下特点：它加上1之后是15的倍数，它减去3之后是38的倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被10整除，这个四位数是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $