专题03 圆综合压轴（选择压轴题）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题03 圆综合压轴（选择压轴题） 命题预测 切线性质与判定为基础必考，结合圆周角、圆心角、垂径定理，联动相似、解直角三角形，近年新增隐圆、定角定边模型，侧重隐蔽条件挖掘与辅助线构造。。 高频考法 1.切线证明+线段长计算 2.圆内角度转化与相似组合 3.隐圆模型最值 4.圆与特殊三角形综合 5.点动线动圆背景分类讨论 典例·靶向·突破 题型01 切线判定与圆内几何计算综合 1．（25-26·北京·一模）白老师布置了如下题目：“如图，以为直径的半圆上有一点，且，，M为直径上一动点，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．”要求同学们添加一个条件，提出问题，并给出相应问题的答案，则两位同学中正确的是（    ） 嘉嘉：当时，与半圆相切． 琪琪：若点恰好落在弧上，则． A．只有嘉嘉 B．只有琪琪 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．（25-26·北京·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 题型02 隐圆、定角定弦最值压轴 1．（25-26·北京海淀·一模）如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①是等腰直角三角形；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26·北京模拟测试）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 题型03 圆与相似、三角函数综合探究 1．（2026·北京朝阳·一模）如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为6 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，等边的边长为4，点在边上，，线段绕逆时针旋转得到线段，交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②；③外接圆的半径为；其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 题型04 圆弧动点与线段范围探究 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，中，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于，连接，则线段长度的最小值为（　　）    A． B． C． D． 1．（2025·北京·三模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25·北京·二模）在如图所示的平面内，中，点、分别在边、上，将沿和折叠，点和点重合于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．（2025·北京·三模）如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，，过C、D、F的与边交于点G，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 6．（25-26·北京·一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，点E是线段AO上一点，EF⊥AO交AB于点F，点G为DE的中点，连接CF，OG，则的值为（  ） A． B． C．3 D． 7．（25-26·北京·一模）如图，AB是直径，点是圆上一动点（不与点A、B重合），以AO、AC为邻边作平行四边形OACD，射线OD交于点，连结AE、BC交于点F，BC与OD相交于点．则下列结论：①CD与相切；②若点为AE的中点，则；③若，则；④连接BE，作交AB于点，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 8．（2025·北京·二模）如图，C是以为直径的上的一点，是的切线，，E为的中点，连接并延长交于点D，若，则的长度为（　　）． A． B． C． D．2 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆综合压轴（选择压轴题） 命题预测 切线性质与判定为基础必考，结合圆周角、圆心角、垂径定理，联动相似、解直角三角形，近年新增隐圆、定角定边模型，侧重隐蔽条件挖掘与辅助线构造。。 高频考法 1.切线证明+线段长计算 2.圆内角度转化与相似组合 3.隐圆模型最值 4.圆与特殊三角形综合 5.点动线动圆背景分类讨论 典例·靶向·突破 题型01 切线判定与圆内几何计算综合 1．（25-26·北京·一模）白老师布置了如下题目：“如图，以为直径的半圆上有一点，且，，M为直径上一动点，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．”要求同学们添加一个条件，提出问题，并给出相应问题的答案，则两位同学中正确的是（    ） 嘉嘉：当时，与半圆相切． 琪琪：若点恰好落在弧上，则． A．只有嘉嘉 B．只有琪琪 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】C 【分析】连接，，如图所示，证明是等边三角形．证明，结合点N与点M关于对称，可得，可证明与半圆相切． 证明，当点P恰好落在弧上时，连接、，证明，是的垂直平分线，可得，，求解，可得，从而可得答案． 【详解】解：当时，连接，，如图所示， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵点N与点M关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵经过半径的外端，且， ∴与半圆相切． ∴嘉嘉正确； ∵点N与点M关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P恰好落在弧上时，连接、， ∵点N与点M关于对称， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是半的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴琪琪正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，圆周角定理，切线的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线性质，锐角三角函数的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（25-26·北京·一模）如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 题型02 隐圆、定角定弦最值压轴 1．（25-26·北京海淀·一模）如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①是等腰直角三角形；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，，则是等腰直角三角形，即可判断①正确；求出，即，即可判断②正确；证明点、、、四点共圆，再结合圆周角定理得出，即可判断③；证明点、、、四点共圆，得出，再结合，即可判定④，从而得出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴， ∴平分，故③正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（25-26·北京模拟测试）如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∵O是EF的中点， ∴OB=OE=OF ∵∠EGF=90°，O是EF的中点， ∴OG=OE=OF ∴OB=OG=OE=OF ∴B，E，G，在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG=∠EFG, ∵∠EGF=90°， EG=FG， ∴∠GEF=∠GFE=45° ∴∠EBG=45° ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， 当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°， ∵CG⊥BG ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90° ∴BG=CG ∵∠EGF=∠BGC=90° ∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF, ∴∠EGB=∠FGC, 在△EGB和△FGC中， ∴△EGB≌△FGC(SAS)， ∴BE=CF ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC 设AB=m ∵BE∶AB=1∶3 ∴CF=BE=m， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB= 2m   ∴BC= ， ∴AD=m， ∴ 故选∶A． 【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 题型03 圆与相似、三角函数综合探究 1．（2026·北京朝阳·一模）如图，在Rt中，，，，点，分别是上的动点，且满足，则下列结论错误的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为6 【答案】C 【分析】先求解，，，结合垂线段最短可得当时，最小，证明，作的外接圆，连接，记的交点为，再进一步分析即可. 【详解】解：如图，∵，，， ∴，，， 当时，最小， ∴，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，记的交点为， 当的面积最大，则， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴的最大面积为，故A正确，不符合题意； 如图，当共线时，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：；故B正确，不符合题意； ∵的运动轨迹是， ∴当重合时，最大，最大值为，故C错误，符合题意. 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，等边的边长为4，点在边上，，线段绕逆时针旋转得到线段，交于点，连接，下列结论：①四边形面积为；②；③外接圆的半径为；其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】首先利用旋转的性质确定是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论②正确．利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论③正确. 【详解】解：如图，过作于，等边的边长为4， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形面积为，故①正确； 如图，作于， 同理：，，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， 如图，以为底边，作等腰，使，作于， 则，， ∴的外接圆半径，故③错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转、勾股定理、三角形外接圆半径的计算锐角三角函数的应用等知识．构造恰当的辅助线，以及对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． 题型04 圆弧动点与线段范围探究 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，中，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于，连接，则线段长度的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，如图所示，连接，，过点作，垂足为，由为等腰直角三角形，则，即此时圆的直径为，再根据圆周角定理可得到，则在中，利用锐角三角函数可计算出，然后根据垂径定理即可得到． 【详解】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，连接，，过点作，垂足为，如图所示：    在中，，， ，即此时圆的直径为， ，而， ， 在中，， ， ， ，即线段长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形． 1．（2025·北京·三模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF＝45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE＋BF＝EF；②BN2+DM2=MN2；③△AMN∽△AFE；④弧BD与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】延长CB到G，使BG=DE，连接AG．根据全等三角形的性质得到AG=AE，∠DAE=∠BAG，求得∠GAF=∠EAF=45°．证得△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质即可得到EF=DE+BF；故①正确；在AG上截取AH=AM．根据全等三角形的性质得到BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，证得∠HBN=90°．根据勾股定理得到BH2+BN2=HN2．根据全等三角形的性质得到MN=HN．等量代换得到BN2+DM2=MN2；故②正确；根据平行线的性质得到∠DEA=∠BAM．推出∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，于是得到△AMN∽△AFE，故③正确；过A作AP⊥EF于P，根据角平分线的性质得到AP=AD，于是得到与EF相切；故④正确；由∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，于是得到MN不一定平行于EF，故⑤错误． 【详解】解：延长CB到G，使BG=DE，连接AG． 在△ABG和△ADE中， ∴△ABG≌△ADE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAE=∠BAG， 又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°， ∴∠DAE+∠BAF=45° ∴∠GAF=∠EAF=45°． 在△AFG和△AFE中， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴GF=EF=BG+BF， 又∵DE=BG， ∴EF=DE+BF；故①正确； 在AG上截取AH=AM，连接BH、HN， 在△AHB和△AMD中， ∴△AHB≌△AMD， ∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°， 又∵∠ABD=45°， ∴∠HBN=90°． ∴BH2+BN2=HN2． 在△AHN和△AMN中， ∴△AHN≌△AMN， ∴MN=HN． ∴BN2+DM2=MN2；故②正确； ∵AB∥CD， ∴∠DEA=∠BAM． ∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND， ∴∠AEF=∠ANM， 又∠MAN=∠FAE， ∴△AMN∽△AFE，故③正确； 过A作AP⊥EF于P， ∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE， ∴AP=AD， 与EF相切；故④正确； ∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN， ∴∠AMN不一定等于∠AEF， ∴MN不一定平行于EF，故⑤错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（25-26·北京·模拟测试）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25·北京·二模）在如图所示的平面内，中，点、分别在边、上，将沿和折叠，点和点重合于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补．先证明得出四边形为圆内接四边形，得出，由折叠知，，故设，在和中，根据勾股定理建立方程，得出，，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠知，，而， ，即． 又由折叠知，， ， ， ，即， ∴四边形为圆内接四边形． ， ， 由折叠知，， 故设，在和中， 根据勾股定理得，， ，， ， ， 解得，（舍）． ，， ． 故选：A． 4．（25-26·北京海淀·模拟测试）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键． 5．（2025·北京·三模）如图，正方形中，E为上一点，于点F，已知，，过C、D、F的与边交于点G，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】交于M点，连接、，如图，根据正方形的性质得到，，，再利用圆周角定理得到，则可判断点A、F、M共线，接着证明，则利用相似比可求出，于是利用勾股定理可计算出，然后证明得到，最后证明，则利用相似比可求出的长． 【详解】解：交于M点，连接、，如图， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴点A、F、M共线， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质． 6．（25-26·北京·一模）如图，点O为正方形ABCD的中心，点E是线段AO上一点，EF⊥AO交AB于点F，点G为DE的中点，连接CF，OG，则的值为（  ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】在上取点，使，连接， ，，作，截取，连接，证明是的中位线，得，证明，得，，证明四点共圆，可推出，证明四点共圆，推出，，根据，得即可得结论． 【详解】解：在上取点，使，连接， ，，作，截取，连接， ， ， 是的中位线， ， 正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四点共圆， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，四点共圆，圆周角定理、解直角三角形，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质等，综合性强，难度较大，熟知相关知识点，准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 7．（25-26·北京·一模）如图，AB是直径，点是圆上一动点（不与点A、B重合），以AO、AC为邻边作平行四边形OACD，射线OD交于点，连结AE、BC交于点F，BC与OD相交于点．则下列结论：①CD与相切；②若点为AE的中点，则；③若，则；④连接BE，作交AB于点，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用切线的定义，找出反例即可判断①错误；利用平行四边形性质和中点证明，再结合中位线可判断②正确；根据弦等转弧等，利用，得出平分，从而得出，再根据等边三角形与含直角三角形的性质得出即可判断③正确；利用平行线与圆内接四边形对角互补可证得，再根据三角形内角和为结合可证明，即可判断④正确． 【详解】①当点C运动至下图时，与不相切，故①错误； ②点F为中点， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 为中位线， ， 故②正确； ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故③正确； ④如图，连接、、交于点H， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，②③④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的定义，垂径定理，相似三角形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握以上知识点并且灵活运用，是解本题的关键． 8．（2025·北京·二模）如图，C是以为直径的上的一点，是的切线，，E为的中点，连接并延长交于点D，若，则的长度为（　　）． A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、并灵活运用相关性质定理解题是关键． 连接并延长，过点D作延长线于点F，连接，由证得，设，则，然后利用相似三角形的性质求得，结合切线的性质和勾股定理求得、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接并延长，过点D作延长线于点F，连接， ∵直径，E为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ 设，则， ∴，即，解得：， 在中，， ∴，解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴在中，， 又∵是的切线，， ∴， 在中， ∴． 故选：C． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $