第1章 三角形的证明 质量评估-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第一章质量评估 (时间：90分钟满分：100分) 商电 选择题：以下每小题均有A,B,C,D四个选项，其中只有一个 选项正确，每小题3分，共30分 兹 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 1.如图，某水塘边有一块警示牌，牌面是五边形，这个五边形的 内角和是 A.900° B.720° C.540° D.360° 水深危险 禁止游泳 (第1题图) (第3题图) 2.以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 ( A.3,4,5 B.1,√2，√5 C.4,5,6 D.0.6,0.8,1 3.如图，点D,E分别在线段AC,BC上，连接AE,BD交于点 F.若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE的度数为 ( A.110° B.115 C.120° D.125 4.用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC,则∠B≠∠C”时， 首先应该假设 ( A.AB-AC B.∠B=∠C C.AB=AC且∠B=∠C D.AB=AC且∠B≠∠C 5.如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，添 加一个条件，不能使Rt△ABC≌Rt△DCB的是 A.AB=CD B.AC-BD C.∠ABC=∠DCB D.BC=BD ←1m D F C 图① 图② (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，D是BC的中点，E是 AC的中点，EF∥AD.若CF=2,则AB的长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 7.小华新买了一根跳绳，如图①，他按照体育老师教的方法确定 适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯 屈90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，此时绳长即为合适的 长度.将图①抽象成图②，若两手握住的绳柄两端距离约为1m, 小臂到地面的距离约1.2m,则适合小华的绳长为 A.2.2m B.2.4m C.2.6m D.2.8m 8.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB,OC. 若∠BOC=120°，则∠A的度数是 A.30° B.60° C.45° D.70° B (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CM平分∠ACB,交AB于 点M,过点M作MN∥BC,交AC于点N,且MN平分 ∠AMC.若AN=2,则BC的长为 A.12 B.16 C.20 D.8 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，D,P分别是图中所 作直线和射线与AB,CD的交点.根据图中尺规作图的痕迹 推断，下列结论错误的是 ( A.AD=CD B.∠ABP=∠CBP C.∠BPC=115° D.∠PBC=∠ACD 二、填空题：每小题4分，共16分. 11.对顶角相等的逆命题是 命题.（填“真”或“假”） 12.如图，点D,A,E在直线1上，BD⊥L于点D,CE⊥L于点E, 且AB=AC,AE=BD=3,CE=5,则DE的长为 (第12题图) (第13题图)（第14题图） 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，AB的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,连接BE,则∠EBC的度数为 14.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC 的中点，P是AD上的一个动点.当PC与PE的和最小时， ∠CPE的度数是 2 三、解答题：本大题7小题，共54分.解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分8分)(1)完成下面的证明过程，并写出推理依据， 如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在 AD上，求证：∠1=∠2， 证明：.AB=AC,D是BC的中点， ∴.∠BAD=∠ .'AB-AC,AE-AE, .△ ≌△ ∴.∠1=∠2( (2)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，求这 个多边形的边数. 16.（本题满分6分)如图，已知∠A=∠D=90°，E,F在线段BC 上，DE与AF交于点O,且AB=DC,BE=CF.求证：OE=OF B F 一3 17.(本题满分6分)如图，已知CD是△ABC的外角∠ACE的 平分线，交BA的延长线于点D. (1)求证：∠BAC>∠B; (2)若∠B=50°，∠ACB=30°，则∠D的度数是 18.（本题满分8分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC上一 点，BC=15,CD=9,BD=12. (1)求证：△BCD是直角三角形； (2)求AB的长. 一4一 19.(本题满分8分)如图，在等腰三角形ABC中，已知AC= BC,M是AB的中点. (I)请用无刻度的直尺和圆规作腰BC上的高，交BC于点 D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接CM,交AD于点N.若AD=CD, 求证：DN=BD. 20.(本题满分8分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与边 BC的垂直平分线DE交于点E,过点E分别作边AC,AB 的垂线，垂足分别为N,M. (1)求证：BM=CN; (2)若AB=2,AC=8,求BM的长. -5— 21.(本题满分10分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P 是边AC上一动点，由点A向点C运动（点P与点A,C不重 合)，Q是CB的延长线上一动点，与点P同时以相同的速度 由点B向CB的延长线方向运动(，点Q与点B不重合)，过 点P作PE⊥AB于点E,连接PQ,交AB于点D, (1)当∠BQD=30°时，求AP的长 (2)运动过程中线段DE的长是否发生变化？若不变，求DE 的长；若变化，请说明理由. -O B 6AFCE是平行四边形..EC∥AF,EC=AF.,DE=BF,∴.CD=AB.四边形ABCD 是平行四边形..AD∥BC,AD=BC. 9.C10.D11.10 12.证明：(1)，AE∥BD,.∠AED+∠EDO=180°.'∠AED=∠AOD,.∠AOD+ ∠EDO=180°..OA∥DE..四边形AODE是平行四边形..AE=OD.,四边形 ABCD是平行四边形，.OB=OD..AE=OB.(2)由(1)知四边形AODE是平行四边 形，AC∥DE,OA=DE.:四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.∴.OC=DE. ,.四边形OCDE是平行四边形. 13.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AD=BC.AE=CF,.DE =BF.∴.四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形.AF∥CE,BE∥DF..四 边形EMFN是平行四边形.(2)解：以MN为边的平行四边形有口AMNE,口FMNC, □BMNF,口EMND.理由如下：连接EF.E是AD的中点，.AE=DE.同(1)得四 边形ABFE,四边形CDEF,四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，∴.AM= FM=号AR,BM-EM=合BE,EN=CN=CE,FN=DN-DP,AP∥CE,AF- CE,BE∥DF,BE=DF..AM=EN=FM=CN,BM=FN=DN=EM..四边形 AMNE,四边形FMNC,四边形BMNF,四边形EMND是平行四边形. 专题特训平行四边形与角平分线结合的有关问题 【期末热点·通性通法】 1.22.43.34.2【变式题1】4或2【变式题2】2或145.8 6.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC..∠DAB+∠ABC=180, :AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,∠MAB=号∠DAB,∠MBA=号∠ABC ∠MAB+∠MBA=号（∠DAB+∠ABC)=90°.·∠AMB=180°-（∠MAB+ ∠MBA)=90°.，.AE⊥BF.(2)解：.四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB= CD,BC=AD=6.∴.∠DEA=∠EAB.AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB. ∴∠DAE=∠DEA..DE=AD=6.同理可得CF=BC=6.3EF=6,∴.EF=2. ∴.DF=DE-EF=4.∴.AB=CD=DF+CF=10. 专题特训平行四边形中的折叠问题【回归教材】 1.证明：由折叠的性质，得∠CBD=∠EBD.·四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC.∴∠CBD=∠EDB.∠EBD=∠EDB.∴.EB=ED. 2.(1)证明：由折叠的性质，得∠CFE=∠D.四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ BC,∠B=∠D.AE∥BF,∠B=∠CFE.∴.AB∥EF.∴.四边形ABFE是平行四边 形.(2)解：四边形ABFE、四边形ABCD是平行四边形，.EF=AB=CD=4,AE= BF.由折叠的性质，得CF=CD=4.∴.AE=BF=BC-CF=2..四边形ABFE的周长 为2×(4+2)=12. 3.证明：(1)由折叠的性质，得CD=AD,∠D=∠D,∠BCD=∠EAD.:四边形ABCD是 平行四边形，.AB=CD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD..AB=AD',∠B=∠D, ∠BAD=∠EAD'.∴.∠BAD-∠EAF=∠EAD'-∠EAF,即∠BAE=∠DAF. ∴.△ABE≌△ADF(ASA).(2)四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC.由折叠的 性质，得CE=AE.,△ABE≌△ADF,AE=AF.AF=CE..四边形AECF是平 行四边形. 4.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD..∠CEF=∠2.由折叠的性 质，得∠1=∠CEF,∴.∠1=∠2.(2)∠1=∠2，.GE=GF.由折叠的性质，得BF= BF.DE=BF,.DE=B'F.AB∥CD,.∠DEG=∠EGF.'GE∥BF,.∠EGF =∠B'FG..∠DEG=∠B'FG..△DEG≌△B'FG(SAS)..DG=B'G. 3三角形的中位线 1.B2.D 3.解：，CA=CD,CF平分∠ACB,.AF=FD.又，AE=BE,.EF是△ABD的中位 线..BD=2EF=4.BC=BD十CD=9. 4.B5.C 31 6.证明：BD,CE分别是边AC,AB上的中线，.D,E分别是边AC,AB的中点..DE是 △ABC的中位线.∴DE/BC,DE=BC同理得FG/BC,FG=合BC,DE∥FPG, DE=FG.∴.四边形DEFG是平行四边形 7.D8.B9.C10.4 11.解：(1)3(2)，P是AC的中点，N是BC的中点，.PN是△ABC的中位线， PN=AB.同理可得PM=合DC,又：AB=DC,PN=PM∠PNM= ∠PMN=20°..∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=140° 微专题构造三角形中位线的三种常用技巧 1.140°2.1.53.C4.4 第六章归纳与提升 思维导图梳理 中心对称相等相等平分相等平行且相等平分不平行相等中点 平行一半 核心考点突破 1.B2.C3.B4.B5.5 6.解：答案不唯一，如：选择③.理由如下：，四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD, BC=AD.,.∠BCE=∠DAF.BE∥DF,.∠CEB=∠AFD..△CBE≌△ADF (AAS)..BE=DF..四边形BEDF是平行四边形. 7.证明：(1)，∠AEF=∠CFE,AD∥BC.AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边 形..OA=OC.∴.O是线段AC的中点.(2)由(1)得OA=OC.在△OAE和△OCF中， I∠AEO=∠CFO, ∠AOE=∠COF,∴.△OAE≌△OCF(AAS).∴.OE=OF.,OA=OC,.四边形AFCE是 OA=OC, 平行四边形。 8.D9.4W510.B11.C 12.(1)证明：D,E分别是AB,AC中点，∴.DE是△ABC的中位线..DE∥BC.又 EF∥CD,∴四边形CDEF是平行四边形.∴.DE=CF.(2)解：：等边三角形ABC的 边长为2，AB=BC=AC=2.FD为AB的中点，BD7AB=1,CD AB,.在 Rt△BCD中，CD=√BC一BD=√3.·四边形CDEF为平行四边形，.EF=CD=√3. 新趋势提能练新情境·新题型·新思维【聚焦课标】 1.解：(1)∴.AM=BM=AB=20.∴.DE=CM=BC+BM=60,AE=EM-AM=50. .五边形ABCDE的周长为AB十BC十CD+DE十AE=20十40+70十60+50=240. (2)延长FA,CB交于点P,延长FE,CD交于点Q.,∠FAB=∠CBA=∠FED= ∠CDE=120°，∴.∠PAB=∠PBA=∠DEQ=∠EDQ=60°..∠P=60°，∠Q=60. .△ABP与△DEQ是等边三角形.∴.AP=BP=AB=4,DQ=EQ=DE=2.∴.CQ= CD+DQ=10,CP=BP+BC=5.·∠C=∠AFE=120°，∠P=∠Q=60°，∴.四边形 PCQF是平行四边形..PF=CQ=10,FQ=CP=5.AF=PF-AP=6,EF=FQ- EQ=3..六边形ABCDEF的周长为AB十BC+CD+DE+EF+AF=4+1+8+2+ 3+6=24.S六边影AcDe=20√3.【解析】过点F作FHLCQ于点H,易得FH=5)3 21 ÷=Sam一Sae-Sam=10X9-9X-×2=20B 2 质量评估 第一章质量评估 1.C2.C3.A4.B5.D6.D7.C8.B9.A10.D11.假12.813.15° 14.60°【点拨】如图，连接BE,交AD于点P,此时PE十PC最小.易证BE平分 ∠ABC,PB=PC,由此可得∠CPE的度数. 32 B D 15.解：(I)CAD等腰三角形“三线合一”ABE ACE SAS全等三角形的对应角 相等(2)设这个多边形的边数是n.根据题意，得(n一2)×180°=360°×2一180°，解得 n=5..这个多边形的边数是5. 16.证明：，BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在Rt△ABF和Rt△DCE 中， BF=CE,:R△ABF≌R△DCE(HL).∠OEF=∠OFE.OE=OFR AB=DC, 17.(I)证明：CD是∠ACE的平分线，.∠ACD=∠ECD.∠BAC是△ACD的外 角，.∠BAC>∠ACD..∠BAC>∠ECD.:∠ECD是△BCD的外角，∴.∠ECD> ∠B.∠BAC>∠B.(2)解：25 18.(1)证明：BC=15,CD=9,BD=12,.CD2+BD2=225=BC..△BCD是直角 三角形.(2)解：设AB=AC=,则AD=x-9.由(1)知∠BDC=90°，∴.∠ADB=90°. ∴AD+BD=AB,即(x-9y+12=,解得x=空AB=空。 19.(1)解：如图，AD即为所求.(2)证明：如图，由(1)，得AD⊥BC, .∠ADB=∠CDN=90°.AC=BC,M是AB的中点，.CM⊥AB. ∴.∠AMN=90°=∠CDN.∴.∠DAB+∠ANM=90°，∠DCN+ ∠CND=90°.∠ANM=∠CND,.∠DAB=∠DCN.:AD= CD,∴.△CDN≌△ADB(ASA)..DN=BD. 20.(1)证明：连接BE,CE.AE平分∠BAC,EM⊥AB,EN⊥AC,.∠M=∠ENC= 90°，EM=EN.,DE垂直平分BC,.BE=CE.在Rt△BEM和Rt△CEN中， /BE=CE,:R△BEM≌Rt△CEN(HL).BM=CN.(2)解：在Rt△AME和 EM=EN, Rt△ANE中， AE=AE,:.R△AME≌Rt△ANE(HL).∴AM=AN.设BM=CN= EM=EN, x,则AM=AB+BM=2十x,AN=AC-CN=8一x.,∴.2+x=8一x,解得x=3.∴.BM =3. 21.解：(1)△ABC是边长为6的等边三角形，∴.AC=BC=6,∠C=60°.∠BQD= 30°，.∠QPC=180°-∠BQD-∠C=90°.由题意，得AP=BQ.设AP=BQ=x,则CP =AC-AP=6-x,CQ=BC+BQ=6十x.在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴.CP= 2CQ,即6-x=号(6十)，解得x=2.∴AP=2.(2)运动过程中线段DE的长不变. 过点P向左作PF∥CQ,交AB于点F.:△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠ABC ∠C=60°.：PF∥BC,∠DFP=∠DBQ,∠AFP=∠ABC=60°，∠APF=∠C=60. ∴∠AFP=∠APF=∠A=60°.∴△AFP是等边三角形..PF=AP.AP=BQ, ∴PF=BQ.又∠PDF=∠QDB,△DFP≌△DBQ(AAS).DF=BD.△AFP 是等边三角形，PE⊥AF,AE=ER.∴DE=DF+EF=合(BF+AF)=号AB=3,即 DE的长不变，始终为3. 第二章质量评估 1.B2.B3.A4.A5.A6.A7.B8.D9.C10.A11.x+5y≥0 12.x>-713.九14.2≤a<3 15.解：(1)去括号，得6x十15>8x十6.移项、合并同类项，得一2x>一9.两边都除以 -2,得x<号(2②)原不等式组可化为红二30解不梦式D,得>1解不等式 4x-7≤9②. ②，得x≤4.∴.原不等式组的解集是1<x≤4..原不等式组的整数解是2,3,4. 16.解：(1)一(2)由①，得-2x<4,解得x>-2.由②，得x-3≤21-5x,解得x≤4. ∴原不等式组的解集是一2<x≤4. —33