18 几何专练(八)与平行四边形性质、判定有关的计算或证明（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

几何专练（八）与平行四边形性质、判定有关的计算或证明 (时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，在□ABCD中，AE平分4.(8分)如图，在□ABCD中，AC=AD, ∠BAD,交BC于点E,∠D=70°，求 AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求 ∠AEC的度数. 证：AE=DF. 2.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠A ∠C,∠ADB=∠CBD.求证：四边形ABCD 是平行四边形 5.(8分)如图，在四边形ABDC中，对角线 AD,BC交于点O,E是CD延长线上一 点，连接BE,过点D作DF∥BC,交BE 于点F.已知∠ABD=∠ACD=∠BDE, DF=OC,OA=5. 3.（6分)如图，在□ABCD中，对角线AC, (1)求证：四边形ABDC是平行四边形； BD相交于点O,AD⊥BD,DE⊥AB于点 (2)求BF的长， E,AC=4√10，BD=4,求CD和DE的长. D ·35· 6.(8分)如图，在□ABCD中，E是AD的中 8.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 点，BE的延长线与CD的延长线相交于 90°，AC=4,BC=2,D是AC的中点，将 点F. △ABD沿BD所在直线折叠，使点A落 (1)求证：△ABE≌△DFE; 在点P处，连接PC (2)连接BD,AF,判断四边形ABDF的 (1)求BP,BD的长； 形状，并证明你的结论 (2)求证：四边形BCPD是平行四边形， 7.(8分)如图，在□ACFD中，点B,E分别 在AC,DF上，AB=FE,AF分别交BD, CE于点M,N. (1)求证：四边形BCED是平行四边形； (2)已知DE=6,连接BN,若BN平分 ∠DBC,求CN的长 ·36·阶段小测（六） 1.B2.B3.B4.B5.A6.D7.38.99.1.510.-2或-4 11.解：(1)方程的两边都乘(x一3)(x-1),得x(x-1)=(x+1)(x一3)，解这个方程， 得x=一3.经检验，x=一3是原方程的根.(2)方程的两边都乘2(3x一1)，得4一2(3x -1)=3,解这个方程，得x=分经检验，2=号是原方程的根。 12.解：(1)分式的基本性质(2)方程的两边都乘x一2，得2x=x一1一3(x一2)，解这 个方程，得x=号，经检验，x=冬是原方程的根。 13,解：设张老师骑车的速度为xk如h根据题意，得织-2-是解得x=15,经检验， x=15是所列方程的根，且符合题意.答：张老师骑车的速度是15km/h. 14.解：(1)方程的两边都乘x(x-3),得4x-3(x-3)=a,整理，得x=a-9.x=3是 原方程的增根，∴.3=a一9，解得a=12.(2)方程的解为非负数，∴.x≥0，即a一9≥0， 解得a≥9..当x=3或x=0时，该分式方程无解，.a一9≠3且a一9≠0..a≠12且 a≠9.综上所述，a的取值范围为a>9且a≠12. 15.解：(1)设每个“侗族”玩偶的售价为x元，则每个“苗族”玩偶的售价为(x十4)元.根 题意，得960=三，960，解得x=12.经检验，x=12是所列方程的根，且符合 x十44 ∴.x十4=16.答：每个“苗族”玩偶的售价为16元，则每个“侗族”玩偶的售价为12元. (2)设购买m个“侗族”玩偶.根据题意，得12m十16(500-m)≤7200，解得m≥200. 答：至少要购买200个“侗族”玩偶. 易错章测（五） 1.D【易错点拨】对分式的概念理解不清致错， 2.C 3.C【易错点拨】对分式的基本性质理解不清致错. 4.A【易错点拨】解分式方程去分母时，漏乘致错. 5.D6.B 7.x≠28.49.-4 10.一22【易错点拨】求分式方程中的字母参数时，未考虑增根的情况致错. 11.解：(1)方程的两边都乘x(x一3)，得x一3=2x,解这个方程，得x=一3.经检验，x =一3是原方程的根.(2)方程的两边都乘(x十5)(x一5)，得x(x一5)-(x十5)(x一5) -1,解这个方程，得x=兰经检验，x=兰是原方程的根。 2解原式-（舌号司）·兴-·公-会：题使原分式有意义， .x≠0,1.x=一1.当x=-1时，原式=一1.【易错点拨】分式求值时，未考虑使分式 有意义的条件致错. 13.解：方程的两边都乘工一2，得x十m=2-x,解得x=22”.“关于x的方程乙2 2 2”2=-1的解大于号，2m3， 2， 2 >2,解得m<-1.“x≠2,2，m≠2.m≠-2. 2 ,∴.m的取值范围为m<一1且m≠一2. 14解：原式=+÷。若5=8·=日(2)由题意，得口 a+3 。ada平ga+·aa-2》g-+青a-a叶9g0 a+2÷ 1 5a+2 a+3 =a-3. 15.解：(1)设每台甲型健身器材的价格为x元，则每台乙型健身器材的价格为(x十 30)元.根据题意，得500-90解得=250.经检验，：=2500是所列方程的 x 根，且符合题意.此时x+300=2800.答：每台甲型健身器材的价格为2500元，每台乙 型健身器材的价格为2800元.(2)设购买甲型健身器材a台，采购费用为w元，则a≤ —58 3(20一a),解得a≤15.根据题意，得w=2500a十2800(20一a)=-300a十56000. -300<0,.当a=15时，w取最小值，最小值为-300×15+56000=51500，此时 20一a=5..购买甲型健身器材15台，乙型健身器材5台时，采购费用最少，最少采购 费用是51500元. 几何专练（八）与平行四边形性质、判定有关的计算或证明 1.解：四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠D=70°，AB∥CD..∠BAD=180°一 1 ∠D=1O,“AE平分∠BAD,∠BAE=Z∠BAD=55,∠AEC=∠B+∠BAE =125°. ∠A=∠C, 2.证明：在△ABD和△CDB中，∠ADB=∠CBD,∴.△ABD≌△CDB(AAS).∴.AB BD=DB, =CD,AD=BC..四边形ABCD是平行四边形. 3.解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC=2AC=2√而，OB=OD=2BD= 2,CD=AB.:AD⊥BD,.AD=√OA-OD=6..CD=AB=√AD+BD= 2V13.DELAB,.AB.DE-2AD.BD..DE-AD PBD-6X4-1213 AB2√13 131 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB=DC,∠B=∠ADC.AE⊥BC,DF⊥ AC,∠AEB=∠DFC=90°.：AC=AD,.∠DCF=∠ADC..∠B=∠DCF.在 (∠B=∠DCF, △ABE和△DCF中，∠AEB=∠DFC,∴.△ABE≌△DCF(AAS).∴.AE=DF. AB=DC, 5.(1)证明：∠ABD=∠ACD=∠BDE,.AB∥CD,AC∥BD..四边形ABDC是平 行四边形.(2)解：由(1)得四边形ABDC是平行四边形，∴.OD=OA=5,OB=OC. ,DF=OC,∴DF=OB.DF∥OB,∴.四边形ODFB是平行四边形.∴.BF=OD=5. 6.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CF..∠ABE=∠DFE.E是 ∠ABE=∠DFE, AD的中点，∴.AE=DE.在△ABE和△DFE中，∠AEB=∠DEF,∴.△ABE≌ AE-DE, △DFE(AAS).(2)解：四边形ABDF是平行四边形.证明如下：，△ABE≌△DFE, BE=EF.又AE=DE,四边形ABDF是平行四边形. 7.(1)证明：：四边形ACFD是平行四边形，∴.AC∥DF,AC=DF.:AB=FE,∴AC AB=DF一FE,即BC=DE.∴.四边形BCED是平行四边形.(2)解：由(1)可知，BC= DE=6,四边形BCED是平行四边形，∴.BD∥CE.∴.∠DBN=∠CNB.BN平分 ∠DBC,∴∠DBN=∠CBN..∠CBN=∠CNB..CN=BC=6. 8.(1)解：在Rt△ABC中，：BC=2,AC=4,∴.AB=√AC十BC=2√5.由折叠的性 质可知BP=AB=2√5.，D是AC中点，.AD=CD=2.在Rt△BCD中，BD= √BC十CD=2W2.(2)证明：由(1)可得△BCD是等腰直角三角形，.∠BDC= ∠DBC=45°..∠ADB=135°.由折叠的性质可知∠BDP=∠ADB=135°，DP=AD =2.∠DBC+∠BDP=180°..DP∥BC.DP=BC=2,∴.四边形BCPD是平行四边形. 阶段小测（七） 1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.58.49.24°10.-2或4 11.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.:EC∥BD,∴.四边形 BECD是平行四边形.，.BE=CD..AB=BE. 12.解：.四边形ABCD是平行四边形，.∠D=∠ABC=60°，CD=AB=2,AD∥BC ∴∠AEB=∠CBE.,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE..∠ABE=∠AEB..AE =AB=2.:CELBC,.CELAD.∴∠DCE=90-∠D=30.DE=CD=1. .'.AD=AE+DE=3. 59 13.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,AB=CD..∠DAE= ∠AEB.AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∠BAE=∠AEB.∴BE-AB.AB =CD,BE=CD.(2),BE=AB,BF平分∠ABE,.AF=EF.在△ADF和△ECF r∠DAF=∠CEF, 中，AF=EF, .△ADF≌△ECF(ASA)..DF=CF.又，AF=EF,.四边 ∠AFD=∠EFC, 形ACED是平行四边形. 14.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠BCD.由折叠的性质，得 ∠ECG=∠A,∴.∠BCD=∠ECG.∴.∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF,即∠ECB= ∠FCG.(2)四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B,AD=BC.由折叠的性质，得 ∠G=∠D,CG=AD,.∠B=∠G,BC=CG.在△EBC和△FGC中， r∠B=∠G, BC=GC, .∴.△EBC≌△FGC(ASA). ∠ECB=∠FCG, 15.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,AD∥BC,∠DCB=∠DAB =60°.∴.∠ADE=∠DCB=60°，∠CBF=∠DAB=60°.'AE=AD,CF=CB, .△AED,△CFB都是等边三角形.∴∠E=∠BCF=60°.∴.∠FCE=∠BCF十 ∠DCB=120°..∠E+∠FCE=180°.∴.AE∥CF.又，AF∥CE,.四边形AFCE是 平行四边形.(2)解：成立.证明如下：四边形ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB,AD ∥BC,.∠E+∠EAF=180°，∠ADE=∠DAB=∠CBF.AE=AD,CF=CB,∴.∠E =∠ADE,∠F=∠CBF.∠E=∠F.∠F+∠EAF=180°.AE∥CF..四边形 AFCE是平行四边形. 易错章测（六） 1.A 2.B【易错点拨】无图时，根据平行四边形两角之间的数量关系求另一角的度数时，混 淆各角之间相等或互补的关系致错。 3.B【易错点拨】对平行四边形的判定方法理解不透彻而致错 4.B5.D6.C7.AD=BC(答案不唯一)8.60°9.3 10.6【易错点拨】无法确定PQ取最小值时需满足的条件致错. 11.解：设平行四边形相邻两条边的长度分别为3xcm、2xcm.由题意，得2(3x十2x)= 20.解得x=2,.3x=6,2x=4..平行四边形各条边长分别为6cm,4cm,6cm,4cm. 12.证明：AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.：BF=DE,.BF-EF= (AB=CD, DE-EF,即BE=DF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， .Rt△ABE≌ BE=DF, Rt△CDF(HL).∴∠ABE=∠CDF..AB∥CD.∴.四边形ABCD是平行四边形. 13.(1)证明：：ED,EF是△ABC的中位线，∴ED∥FC,EF∥DC..四边形EFCD是 平行四边形.OE=EC.(2)解：四边形EFCD是平行四边形，DF=2OD=4. :ED,EF是△ABC的中位线，∴D,F分别是AC,BC的中点..DF是△ABC的中位 线.∴.AB=2DF=8. 14.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OD=OB,AD∥BC..∠EDO= ∠FBO,∠DEO=∠BFO.∴△DEO≌△BFO(AAS)..DE=BF.(2)解：由(1)知BF =DE.DE+CF=5,∴.BF十CF=BC=5.四边形ABCD是平行四边形，∴.OC= =3,BD=20B,ACLBD,∠B0C=90°，在R△BOC中，OB=VB( =4.∴.BD=2OB=8. 15.证明：(1)连接AC,交BD于点O,连接AE,AF.E,F是BD的三等分点，∴.BE= EF=DF.G是AB的中点，BE=EF,∴EG是△ABF的中位线.∴.EG∥AF,AF= 2EG.同理可得FH∥AE,∴.四边形AFCE是平行四边形..CE=AF=2EG.(2)由(1) 知四边形AFCE是平行四边形，.OA=OC,OE=OF.由(1)知BE=DF,.OB=OD. .四边形ABCD是平行四边形. -60