几何专练(八) 与平行四边形性质、判定有关的计算或证明-【精英新课堂·三点分层作业】 2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）贵州专版

5.解：方程的两边都乘y-2,得y十a-2a=4(y-2),解得y=82.“>0,且y≠2， :82>0,且82≠2，解得a<8且a≠2. 3 6解：（①）根据题意，得马十千z一4，解得x一号经检验，x=号是原方程的根.(2)分两 种情况讨论：①当口”表示的常数是-一1时，名十乙=一1，此时方程无解，@当“口”表 示的常数是0时，号十产，=0，解得x=2.经检验，x=2是原方程的根.“口“”表示的 常数是0. 阶段小测（六） 1.B2.B3.B4.B5.A6.D7.38.99.1.510.-2或-4 11.解：(1)方程的两边都乘(x一3)(x-1),得x(x-1)=（x+1)(x-3),解这个方程，得x= 一3.经检验，x=一3是原方程的根.(2)方程的两边都乘2(3x一1)，得4一2(3x一1)=3，解 这个方程，得x=子经检验，x=子是原方程的根。 12.解：(1)分式的基本性质(2)方程的两边都乘x一2，得2x=x一1一3(x一2)，解这个方 程，得x=是经检验，x=是原方程的根 13,解：设张老师骑车的速度为zkmh根据题意，得望-2=复，解得x=15.经检验，x= 15是所列方程的根，且符合题意.答：张老师骑车的速度是15km/h. 14.解：(1)方程的两边都乘x(x-3),得4x-3(x一3)=a,整理，得x=a一9.：x=3是原方 程的增根，.3=a-9,解得a=12.(2),方程的解为非负数，∴x≥0，即a-9≥0，解得a≥ 9.,当x=3或x=0时，该分式方程无解，.a一9≠3且a一9≠0.'.a≠12且a≠9.综上所 述，a的取值范围为a>9且a≠12. 15.解：(1)设每个“侗族”玩偶的售价为x元，则每个“苗族”玩偶的售价为(x十4)元.根据题 意，得子·9，解得x=12.经检验，x=12是所列方程的根，且符合墨意.x十4- 16.答：每个“苗族”玩偶的售价为16元，则每个“侗族”玩偶的售价为12元.(2)设购买m个 “侗族”玩偶.根据题意，得12m十16(500一m)≤7200，解得m≥200.答：至少要购买200个 “侗族”玩偶。 易错章测（五） 1.D【易错点拨】对分式的概念理解不清致错 2.C 3.C【易错点拨】对分式的基本性质理解不清致错. 4.A【易错点拨】解分式方程去分母时，漏乘致错. 5.D6.B 7.x≠28.49.-4 10.一22【易错点拨】求分式方程中的字母参数时，未考虑增根的情况致错. 11.解：(1)方程的两边都乘x(x一3)，得x-3=2x,解这个方程，得x=一3.经检验，x=一3 是原方程的根.(2)方程的两边都乘(x十5)(x-5),得x(x-5)-(x十5)(x-5)=1,解这个 方程，得x=兰经检验，=兽是原方程的根 5 12解原式-（片）·名兴片·号-合：要使原分式有意义 x2_x2-11 ≠0,1..x=一1.当x=一1时，原式=一1.【易错点拨】分式求值时，未考虑使分式有意义 的条件致错。 13,解：方程的两边都乘工一2，得x十m=2-2,解得x2。“关于x的方程号22”2 2 =一1的解大于2…2 3 32m>2解得m<1.x≠2,22≠2.m≠一2.m的取 值范围为m<一1且m≠一2. 14解.原式=÷。若5-合·=。(2)由题意，得口=牛号。÷ a a2+3a -58 aa2 aa-2》a年-+特-a叶g3》-a3 1 a+3 15.解：(1)设每台甲型健身器材的价格为x元，则每台乙型健身器材的价格为(x+300)元. 很据题意，得0000-000，解得x=250.经检验1x=2500是所列方程的根，且符合题 意.此时x十300=2800.答：每台甲型健身器材的价格为2500元，每台乙型健身器材的价 格为2800元.(2)设购买甲型健身器材a台，采购费用为元，则a≤3(20一a),解得a≤ 15.根据题意，得w=2500a十2800(20-a)=一300a+56000.,·-300<0,∴.当a=15时， w取最小值，最小值为一300×15+56000=51500，此时20一a=5.∴.购买甲型健身器材15 台，乙型健身器材5台时，采购费用最少，最少采购费用是51500元. 几何专练（八）与平行四边形性质、判定有关的计算或证明 1解：：四边形ABCD是平行四边形，∠B=∠D=70°，AB∥CD.∴∠BAD=180°-∠D =110.:AE平分∠BAD,∴∠BAE=合∠BAD=55.∠AEC=∠B+∠BAE=125. ∠A=∠C, 2.证明：在△ABD和△CDB中，∠ADB=∠CBD,∴.△ABD≌△CDB(AAS)..AB= BD-DB, CD,AD=BC..四边形ABCD是平行四边形. 3.解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC=2AC=2V而，OB=OD=号BD=2, CD=AB.AD⊥BD,.AD=√OA2-OD=6..CD=AB=√AD+BD=2VI3. :DEAB,.ZAB·DE=AD:BD.∴DE=AD:BD-X是=12国 AB2√13 13 4.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB=DC,∠B=∠ADC.AE⊥BC,DF⊥AC, ∠AEB=∠DFC=90°.AC=AD,.∠DCF=∠ADC.∠B=∠DCF.在△ABE和 ∠B=∠DCF, △DCF中，∠AEB=∠DFC,.△ABE≌△DCF(AAS)..AE=DF AB=DC, 5.(1)证明：，∠ABD=∠ACD=∠BDE,∴.AB∥CD,AC∥BD.∴.四边形ABDC是平行四 边形.(2)解：由(1)得四边形ABDC是平行四边形，.OD=OA=5,OB=OC.:DF=OC, .DF=OB.:DF∥OB,.四边形ODFB是平行四边形.∴.BF=OD=5. 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CF.·∠ABE=∠DFE.E是AD的 ∠ABE=∠DFE, 中点，∴.AE=DE.在△ABE和△DFE中，∠AEB=∠DEF,.△ABE≌△DFE(AAS). AE=DE, (2)解：四边形ABDF是平行四边形.证明如下：'△ABE≌△DFE,.BE=EF.又AE= DE,.四边形ABDF是平行四边形. 7.(1)证明：：四边形ACFD是平行四边形，∴AC∥DF,AC=DF.:AB=FE,.AC-AB =DF-FE,即BC=DE.∴.四边形BCED是平行四边形.(2)解：由(I)可知，BC=DE=6, 四边形BCED是平行四边形，.BD∥CE..∠DBN=∠CNB..BN平分∠DBC, ∴∠DBN=∠CBN.∴.∠CBN=∠CNB..CN=BC=6. 8.(1)解：在Rt△ABC中，：BC=2,AC=4,∴.AB=√AC+BC=25.由折叠的性质可 知BP=AB=2√5..D是AC中点，.∴.AD=CD=2.在Rt△BCD中，BD=/BC2十CD= 2√2.(2)证明：由(1)可得△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠DBC=45°.∴∠ADB= 135°.由折叠的性质可知∠BDP=∠ADB=135°，DP=AD=2..∠DBC+∠BDP=180°. .DP∥BC.DP=BC=2,.四边形BCPD是平行四边形. 阶段小测（七） 1.B2.C3.D4.C5.C6.D7.58.49.24°10.-2或4 11.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AB=CD.EC∥BD,.四边形 BECD是平行四边形..BE=CD..AB=BE. 12.解：：四边形ABCD是平行四边形，∴.∠D=∠ABC=60°，CD=AB=2,AD∥BC. ∴.∠AEB=∠CBE.BE平分∠ABC,∠ABE=∠CBE.∴∠ABE=∠AEB..AE=AB 一 59 =2.:CELBC,.cELAD.∠DCE=90-∠D=30,∴DE=zCD=1.AD=AE+ DE=3. 13.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AB=CD..∠DAE=∠AEB. AE平分∠BAD,∠BAE=∠DAE.∠BAE=∠AEB.∴.BE=AB.AB=CD,∴BE =CD.(2):BE=AB,BF平分∠ABE,∴.AF=EF.在△ADF和△ECF中， I∠DAF=∠CEF, AF-EF, .△ADF≌△ECF(ASA)..DF=CF.又：AF=EF,四边形ACED ∠AFD=∠EFC, 是平行四边形. 14.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∠A=∠BCD.由折叠的性质，得∠ECG= ∠A,∴.∠BCD=∠ECG.∴.∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF,即∠ECB=∠FCG. (2)四边形ABCD是平行四边形，·∠D=∠B,AD=BC.由折叠的性质，得∠G=∠D, I∠B=∠G, CG=AD,∴.∠B=∠G,BC=CG.在△EBC和△FGC中，JBC=GC, ∴.△EBC≌ ∠ECB=∠FCG, △FGC(ASA). 15.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB,AD∥BC,∠DCB=∠DAB=60. ∠ADE=∠DCB=60°，∠CBF=∠DAB=60°.：AE=AD,CF=CB,.△AED,△CFB 都是等边三角形.∴∠E=∠BCF=60°..∠FCE=∠BCF+∠DCB=120°.∴∠E+ ∠FCE=180°.AE∥CF.又，AF∥CE,.四边形AFCE是平行四边形.(2)解：成立.证明 如下：四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB,AD∥BC,.∠E+∠EAF=180°， ∠ADE=∠DAB=∠CBF.'AE=AD,CF=CB,.∠E=∠ADE,∠F=∠CBF.∴.∠E= ∠F.∠F+∠EAF=180°..AE∥CF..四边形AFCE是平行四边形. 易错章测（六） 1.A 2.B【易错点拨】无图时，根据平行四边形两角之间的数量关系求另一角的度数时，混淆各 角之间相等或互补的关系致错. 3.B【易错点拨】对平行四边形的判定方法理解不透彻而致错. 4.B 5.D6.C7.AD=BC(答案不唯一)8.60°9.3 10.6【易错点拨】无法确定PQ取最小值时需满足的条件致错. 11.解：设平行四边形相邻两条边的长度分别为3xcm、2xcm.由题意，得2(3x十2x)=20, 解得x=2.,.3x=6,2x=4.∴.平行四边形各条边长分别为6cm,4cm,6cm,4cm. 12.证明：，AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.，BF=DE,.BF-EF=DE ,即BE=DP,在R△ABE和Rt△CDF中，BE=DF,Rt△ABE≌RACDF(HL ∴.∠ABE=∠CDF.∴.AB∥CD..四边形ABCD是平行四边形. 13.(1)证明：ED,EF是△ABC的中位线，∴.ED∥FC,EF∥DC..四边形EFCD是平行 四边形.OE=之EC.(2)解：四边形EFCD是平行四边形，DF=20D=4.:ED,EF 是△ABC的中位线，.D,F分别是AC,BC的中点.DF是△ABC的中位线..AB=2DF =8. 14.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.OD=OB,AD∥BC..∠EDO=∠FBO, ∠DEO=∠BFO.△DEO≌△BFO(AAS)..DE=BF.(2)解：由(1)知BF=DE.DE 十CF=5,BF+CF=BC=5.:四边形ABCD是平行四边形，OC=号AC=3,BD 2OB.AC⊥BD,∴∠BOC=90°.在Rt△BOC中，OB=√BC-OC=4.∴.BD=2OB=8. 15.证明：(1)连接AC,交BD于点O,连接AE,AF.E,F是BD的三等分点，，BE=EF =DF."G是AB的中点，BE=EF,.EG是△ABF的中位线..EG∥AF,AF=2EG.同理 可得FH∥AE,∴.四边形AFCE是平行四边形..CE=AF=2EG.(2)由(1)知四边形 AFCE是平行四边形，.OA=OC,OE=OF.由(1)知BE=DF,.OB=OD..四边形ABCD 是平行四边形 60几何专练（八）与平行四边形性质、判定有关的计算或证明 (时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，在□ABCD中，AE平分4.(8分)如图，在□ABCD中，AC=AD, ∠BAD,交BC于点E,∠D=70°，求∠AEC AE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证： 的度数. AE=DF. 2.(6分)如图，在四边形ABCD中，∠A= ∠C,∠ADB=∠CBD.求证：四边形ABCD 是平行四边形. 5.(8分)如图，在四边形ABDC中，对角线 AD,BC交于点O,E是CD延长线上一点， 连接BE,过点D作DF∥BC,交BE于点 F.已知∠ABD=∠ACD=∠BDE,DF= OC,OA=5. 3.(6分)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD (1)求证：四边形ABDC是平行四边形； 相交于点O,AD⊥BD,DE⊥AB于点E, (2)求BF的长 AC=4√10，BD=4,求CD和DE的长. ·35· 6.(8分)如图，在□ABCD中，E是AD的中8.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 点，BE的延长线与CD的延长线相交于 AC=4,BC=2,D是AC的中点，将△ABD 点F. 沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处， (1)求证：△ABE≌△DFE; 连接PC. (2)连接BD,AF,判断四边形ABDF的形 (1)求BP,BD的长； 状，并证明你的结论。 (2)求证：四边形BCPD是平行四边形. 7.(8分)如图，在□ACFD中，点B,E分别在 AC,DF上，AB=FE,AF分别交BD,CE于 点M,N, (1)求证：四边形BCED是平行四边形； (2)已知DE=6,连接BN,若BN平分 ∠DBC,求CN的长， ·36·