专题 6.1 平行四边形的性质 考点强化讲与练 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 以九大考点为框架，通过“性质梳理-典例精析-变式拓展”系统构建平行四边形性质应用体系，突出几何直观与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形性质应用|9典例+27变式|性质直接应用、辅助线构造（作高/平移）、分类讨论、方程思想|从定义性质（边/角/对角线）到判定应用，再到折叠/坐标/动态综合问题，形成“概念-推理-应用”完整链条|

专题6.1 平行四边形的性质【九大考点】-【重难突破】北师大版数学八年级下册考点强化讲与练 （一）平行四边形的性质 平行四边形的性质： 因为ABCD是平行四边形⇒ 几何表达式举例： (1) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD AD∥BC (2) ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC (3) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠ABC=∠ADC ∠DAB=∠BCD (4) ∵ABCD是平行四边形 ∴OA=OC OB=OD (5) ∵ABCD是平行四边形 ∴∠CDA+∠BAD=180° 典例1： 1．下面给出了四组四边形中，，，的度数之比，其中能确定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 2．根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】 3．两组对边分别　 　的四边形叫做平行四边形，它用符号“”表示，平行四边形记作　 　． 【变式3】 4．在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点：点，点，点．用含a，b，m，n的式子表示点B的坐标是　 　. 典例2： 5．如图，在中，作的平分线交 于点E，连接，，若， ，则的度数为 （　　） A． B． C． D． 【变式1】 6．如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】 7．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点A落到E处，交于点F，折痕为，若，，则的度数为　 　． 【变式3】 8．如图，在平行四边形 中，若 ，则 的度数是 　 　 ． 典例3： 9．如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】 10．如图，点E为平行四边形的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．8 【变式2】 11．如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于　 　． 【变式3】 12．如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，则的长为　 　． 典例4： 13．已知，点E是平行四边形边上一点，且，平行四边形的面积为24，则四边形的面积（　　）． A．等于9 B．等于12 C．等于16 D．不能确定 【变式1】 14．如图，在中，O是对角线上一点，连结，，若，，，的面积分别为，，，，则下列关于，，，，的等量关系中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 15．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是　 　． 【变式3】 16．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于　 　． 典例5： 17．如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式1】 18．如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式2】 19．如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处若，则为　 　． 【变式3】 20．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为　 　． 典例6： 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1】 22．将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A．或） B．或 C．或或 D．或或 【变式2】 23．如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为　 　． 【变式3】 24．如图，在坐标平面内，的边在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移m（）个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是　 　． 典例7： 25．四边形 中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）E是上一点，连接，F在上，连接、，，，求证：； 【变式1】 26．如图，在平行四边形中，于点E，点E为的中点，．点P在BE上，作于点F，连接． （1）若，求的长； （2）求证：． 【变式2】 27．在平行四边形中，点、分别是、边的中点，连接、． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，分别交线段、于点、，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中全等三角形（除外）． 【变式3】 28．如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． （1）求证：； （2）连接，为的中点，连接．若，求的长． 典例8： 29．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【变式1】 30．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　） A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【变式2】 31．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是　 　． 【变式3】 32．如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积不变；③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．以上说法中正确的有　 　． 典例9： 33．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式1】 34．如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质： （3）若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是　 　． 【变式2】 35．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． （1）　 　，　 　（分别用含有的式子表示）； （2）四边形可能是平行四边形吗？说明理由． （3）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （4）当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【变式3】 36．如图，平行四边形的顶点O为坐标原点，A点在轴正半轴上，，，点P从C点出发沿方向，以的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿方向，以的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求点C，B的坐标（结果用根号表示） （2）从运动开始，经过多少时间，四边形是平行四边形； 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：， ，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 【分析】 根据平行四边形的判定定理对题干条件进行分析推导，即可得到答案. 2．【答案】B 3．【答案】平行；ABCD 【解析】【解答】解：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形ABCD记作“ABCD”． 故答案为：平行；ABCD． 【分析】根据平行四边形的定义；两组对边分别平行的四边形与表示方法求解即可． 4．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴通过向右平移个单位，向上平移个单位到， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于B点坐标的方程从而求解. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：解∶∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 又， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：C 【分析】 首先利用平行四边形的性质求出和的度数，根据角平分线的定义和的度数判定为等边三角形，从而得到BE=BC=AD；然后计算的度数，并通过证明求出度数，最后利用角的和差关系求出度数即可. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：D． 【分析】 首先利用平行四边形对角相等、邻补角互补的性质求出相关角度，然后利用角平分线的性质求出的度数，最后利用三角形内角和求出即可. 7．【答案】/40度 8．【答案】/70度 9．【答案】A 10．【答案】B 【解析】【解答】解：过点F作交于点G， ∴， 又， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：B． 【分析】 通过作辅助线构造全等三角形，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判断定理，建立BF与AC上各线段的数量关系即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【分析】 利用折叠性质将的边转化为的边，进而将两个三角形的周长转化为平行四边形边长与CF的关系，通过代数运算求解即可. 12．【答案】5 【解析】【解答】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 解得， 即的长为5． 故答案为：5． 【分析】 根据尺规作图判断直线MN是线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到AE=BE，根据平行四边形对边相等的性质求出AD的长，设DE为未知数，最后利用勾股定理建立关于x的方程，求解即可. 13．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点作交于点H， 则， ∵， ∴ ， 故选：C． 【分析】 根据题目描述画出对应图形，推导出四边形BCDE的面积等于平行四边形ABCD的面积减去三角形ABE的面积，再代入数据计算即可。，按照这个面积关系列式，就能求出四边形BCDE的面积. 14．【答案】D 15．【答案】 16．【答案】5 【解析】【解答】解：如图，过点D作， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：5 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，由直角三角形性质可得，再根据平行四边形的性质将求的面积转化为求的面积即可． 17．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故答案为：B． 【分析】 首先利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质求出的度数，利用折叠的性质和三角形内角和定理求出角度即可. 18．【答案】C 19．【答案】6 【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【分析】 利用平行四边形的对边相等可得出BC=AD，利用折叠前后图形全等，得出对应边和对应角相等，进而发现为等边三角形，从而求出AD的长即可. 20．【答案】 【解析】【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【分析】 根据平行四边形和折叠的性质可得到AD=AE=A'D=A'E，进而可证明四边形A'EBC是平行四边形，最后计算平行四边形的周长即可. 21．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，，， ∴，点和点的纵坐标相等， ∴点的坐标为， 故答案为：A． 【分析】 根据平行四边形的性质可得，，结合点的坐标即可得出，进而得知点和点的纵坐标相等，从而求出D点坐标. 22．【答案】D 【解析】【解答】解：当为对角线时，如图： 利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向右平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图： 利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图： 利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向下平移个单位， 则点平移后为， 即； 综上，点坐标为或或， 故答案为：D． 【分析】 根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后再利用对边的平移方式相同求解即可． 23．【答案】 24．【答案】/ 25．【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：分别作于点G，于点H，则， ∵，，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【解析】【分析】 （1）利用平行线的性质（同旁内角互补）和已知角相等，通过等量代换证明另一组对边平行，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定即可； （2）通过作辅助线，由题意利用“AAS”证明，得到FG=CH，再结合平行四边形性质证明，从而得出CE=FD． 26．【答案】（1）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：过点A作交于点H， 则， ∴， 即， ∵，， 且，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴在与中 ∴． 综上，图中有以下全等三角形： 、、、． 【解析】【分析】 （1）利用平行四边形ABCD的对边平行且相等，结合中点定义，证明四边形AECF的一组对边平行且相等，从而判定为平行四边形； （2）结合（1）的结论及平行四边形的性质，利用全等三角形的判定定理（SAS、AAS、ASA）寻找图中除已知外的全等三角形． 28．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ∴， ； （2）解：∵， ∴，即点O是的中点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 【解析】【分析】 （1）利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知条件BE=DF，推导出AE=CF，进而通过'AAS"证明，从而得出OE=OF； （2）根据（1）结论可知O为EF的中点，结合已知G是CE的中点，利用三角形中位线定理求出AE的长． 29．【答案】D 【解析】【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP'⊥AB于点P'， ∵∠BAC=45°， ∴△AP'O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP'=AO=2， ∴PQ的最小值=2OP'=4， 故答案为：D． 【分析】 利用平行四边形对角线互相平分的性质，将球对角线PQ的最小值转化为求线段PO的最小值，再结合"垂线段最短“确定P点的位置进行计算即可. 30．【答案】C 31．【答案】5+ 32．【答案】①③ 【解析】【解答】解：如图 ， 分别延长AE、BF交于点H． ∵等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF， ∴∠A=∠FPB=45°，∠B=∠EPA=45°， ∴AH∥PF，BH∥PE，∠EPF=180°-∠EPA-∠FPB=90°， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G也为PH中点， 即在P的运动过程中，G始终为PH的中点， ∴G的运行轨迹为△HCD的中位线MN． ∵CD=12-2-2=8， ∴MN=4，即G的移动路径长为4． 故③EF的中点G移动的路径长为4，正确； ∵G为EF的中点，∠EPF=90°， ∴①△EFP的外接圆的圆心为点G，正确． ∴①③正确． ∵点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），易证∠EPF=90°，所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和，设cp=x，则四边形面积S=， ∴AP不断增大， ∴四边形的面积S也会随之变化，故②错误． ④等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF， ∠EPF=90°， AP=PE，BP=PF， 当AP=AC=2时，即PE=，PF=5， S△PEF最小=PE•PF=5，故④错误． 故答案为①③． 【分析】先判断的形状确定外接圆圆心；再分析四边形AEFB是否随P运动变化；接着确定G点轨迹计算路径长；最后求m面积最小值，从而判断四个说法的正确性. 33．【答案】解：当点 在点右侧时， 点是的中点， ， ，， ， 解得：； 当Q在点左侧时， ，， 解得：， 综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】【分析】 根据平行四边形的性质，当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，需分点Q在点E和点B之间，点Q在点E和点C之间两种情况，利用对应边相等建立方程求解即可. 34．【答案】（1）； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）或 【解析】【解答】解：（1）∵在平行四边形中，，，∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 【分析】 （1）根据平行四边形的性质和直角三角形的计算可得出BE和CE的长，然后再根据运动时间分两段计算即可； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 35．【答案】（1）； （2）解：四边形不可能是平行四边形， 由题意可得，，若四边形是平行四边形，则， 但是， ∴四边形不可能是平行四边形 （3）解：设点到的距离为， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴可得：， 解得：； （4）解：若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 【解析】【解答】解：（1）解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴，， ∴， 故答案为：，． 【分析】 （1）根据路程=速度时间，利用含t的式子表示出来即可； （2）根据平行四边形对角相等的性质，则有AP=CQ，不符合运动情况即可解答； （3）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案； （4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可． 36．【答案】（1）解：如图，过C作于E， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：设从运动开始，经过x秒，四边形是平行四边形， 由题意知，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， ∴运动开始，经过秒，四边形是平行四边形； 【解析】【分析】 （1）需过点C作x轴的垂线构造直角三角形，利用60°角的性质和勾股定理求出点C坐标，再利用平行四边形的平移性质求出点B坐标即可； （2）根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形和已知条件，即可解答. 学科网（北京）股份有限公司 $