13 易错章测(四)(范围：第4章 因式分解)（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

都除以5，得x1.（2)解不等式①，得x<3.解不等式②，得x≥一1.'.原不等式组的 解集为一1≤x<3.【易错点拨】解不等式组时，去分母时漏乘常数项而致错. 12.解：(1)⑤不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向未改变(2)x>2. 13.解：设平均每天挖土xm3.由题意，得(10一2一2)x≥600一120，解得x≥80.答：此 后几天内平均每天至少要挖土80m3. 14.解：1懈不等式2x十5<3z十6，得x>-1.解不等式x-1<士，得<4.原不 等式组的解集为-1<<4.(2)解不等式2x<1十a,得x<生.：该不等式组的解集 为3+26<告，由题意，得1号2=4,3+26=-1，解得a=7,b=-2 2 15.解：(1)到甲厂家购买所需费用为800×3+80(x-3×3)=80x+1680(元).到乙厂 家购买所需费用为(800×3十80x)X0.8=64x+1920(元).(2)若80x+1680<64x+ 1920,解得x<15,此时到甲厂家购买更划算；若80x十1680=64x+1920,解得x= 15,此时到甲、乙两个厂家购买费用相同；若80x十1680>64x十1920，解得x>15,此 时到乙厂家购买更划算.综上所述，当9≤x<15时，到甲厂家购买更划算；当x=15 时，到两个厂家购买费用相同；当x>15时，到乙厂家购买更划算. 几何专练（六）与平移、旋转有关的计算或证明 1.解：由平移的性质，得∠BAD=∠A'=40°，A'B'∥AB..∠B'ED'=∠BAD'.AD 平分∠BAD,.∠BAD=2∠BAD=80°..∠BED'=80°. 2.解：，∠C=110°，∠A=40°，.∠ABC=180°-∠C-∠A=30°.由旋转的性质，得 ∠DBE=∠ABC=30°.，BD∥AC,.∠ABD=∠A=40°.，.∠ABE=∠ABD ∠DBE=10°. 3.解：由平移的性质，得AB=CC,AB∥CC,∴.∠CCO=∠BOD=60°.：AB=CD, ∴CD=CC.∴.△CDC是等边三角形.CD=CD=5. 4.解：由旋转的性质，得AC=CE,∠ACE=90°，∴.△ACE是等腰直角三角形. ∴∠CAE=45°.由旋转的性质，得∠BCD=90°，∠B=∠EDC,.∠ACD=∠BCD一 ∠ACB=70°.∴∠EDC=∠CAE+∠ACD=115°..∠B=115°. 5.解：(1)A(1,0),A'(-4,4).△A'B'C'是由△ABC向左平移5个单位长度，再向上平 移4个单位长度得到的.（答案不唯一）(2)由题意，得m一5=2m一8,4一n十4=n一4， 解得m=3,n=6. 6.解：由旋转的性质，得∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD,AC=AE,.∠ABC= ∠ADB=(180-∠BAD)=20,∠ACE=∠AEC=(180-∠CAE)=20.:CE ⊥BD,.∠ECB=90°..∴.∠ACB=∠ECB-∠ACE=70°..∠BAC=180°-∠ABC ∠ACB=90°. 7.解：(1)由平移的性质，得AC∥DF,AD∥BF,∴.∠ACB=∠F,∠ACB=∠DAC= 60°..∠F=60°.(2)由平移的性质，得AD=BE=CF.设AD=BE=CF=x,则CE= 号AD=了，分两种楷祝讨论：①当点E在点C左侧时，BC=BE+CE,即8=x十 1 1 3x,解得x=6;②当点E在点C右侧时，BC-BE-CE,即8=x-3x,解得x-12. 综上所述，AD的长为6或12. 8.(1)证明：由旋转的性质，得AB=AD,∠ADE=∠ABC=∠ABF=90°.又，AF= AF,.Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)..BF=DF.(2)解：AB=2BC=4,∴.BC=2. ,∠ABC=90°，∴.AC=V√AB+BC=2√5.由旋转的性质，得DE=BC=2,AE=AC =2W5.由(1)，得Rt△ABF≌△Rt△ADF,.∠AFB=∠AFD.·AE∥CF,∴.∠AFB =∠EAF.∴.∠AFE=∠EAF.∴.EF=AE=2W5.∴.BF=DF=EF+DE=2√5+2. 易错章测（三） 1.D2.A3.C 4.C【易错点拨】注意平移中不仅对应角相等，而且对应线段平行. 5.D【易错点拨】注意找到旋转角和对应边构成的等腰三角形. -55 6.D【易错点拨】应分两种情况进行讨论：①点P在y轴上，点Q'在x轴上；②点P在 x轴上，点Q在y轴上，且不要弄错平移方向. 7.(3,一7)【易错点拨】由平移后的点求平移前的点的坐标时，注意将平移方向反向. 8.129.450010.24 11.解：(1)由平移的性质，得BD=CE=4cm..BC=6cm,.BE=BC十CE=10cm. (2)由平移的性质，得∠FDE=∠B=45°，∴.∠BDF=180°-∠FDE=135. 12.解：(1)旋转中心为点A,旋转角的度数为125°.(2)由(1)可知∠BAC=∠DAE 125°，∴.∠BAE=360°-∠BAC-∠DAE=110°.由旋转的性质，得AD=AB=4cm, AE=AC.C为AD的中点，AC=2AD=2cm∴AE=AC=2cm 13.解：(1)如图，△AB1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求.(3)BC⊥B1C1 B, 012345x 14.(1)证明：，△ABC是等边三角形，，∠BAC=60°，AB=AC.由旋转的性质，得 ∠DAE=60°，AE=AD.∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠DAC. .△EAB≌△DAC(SAS)..∠AEB=∠ADC.(2)解：∠DAE=60°，AE=AD, .△EAD是等边三角形..∠AED=60°.又，∠AEB=∠ADC=105°，∴.∠BED= ∠AEB-∠AED=45°. 易错章测（四） 1.B 2.C【易错点拨】因式分解时因漏项或弄错符号而致错. 3.D【易错点拨】对完全平方式的概念理解不透彻、考虑不全面而致错. 4.D5.D6.D7.ab8.808009.410.4 1.解：1原式=3x(x-2+4).(2)原式=-2(x-x+)=-2(x-合)(3)原 式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2.(4)原式=a2(x-y)-462(x-y)= (x-y)(a2-4b2)=(x-y)(a+2b)(a-2b). 12.解：(1)草坪的面积为(a2-4b2)m2.(2)a2一4b=(a十2b)(a一2b).当a=10,b=1 时，原式=(10+2)×(10-2)=96..草坪的面积为96m2. 13.解：(1)-2+4=4-2=(2+k)(2-).(2)(k十3)2-2=(k+3十k)(k+3-)= 3(2k十3).，(k十3)2一2的值总可以被m(m≠1)整除，即3(2k十3)是整数m的倍数， .满足条件的最小正整数m的值是3. 14.解：(1)原式=2(a2-b)+4(a-b)=2(a+b)(a-b)+4(a-b)=2(a-b)(a+b+ 2)..a十b=6,a一b=2,.原式=2X2×(6十2)=32.(2)△ABC是等腰三角形.理由 如下：a2-3bc+3ac-ab=0,.a(a-b)+3c(a-b)=0.∴.(a-b)(a+3c)=0.a,b, c分别是△ABC三边的长，∴.a十3c>0..a-b=0..a=五..△ABC是等腰三角形. 阶段小测（五） 1.B2D3.C4B5.C6B7289.1010千) 11解：(0原式=怎·是·(-2)=-是(2)原式=士÷a2-士 a a(a+1) a at”=8(3)原式=2+2-).-2+2- 。 a(a+1) x+2 (x+5)2 -56 2x+4-x+1.(x-2)(x+22=x+5.(x-2)(x+2)=x-2 x+2 (x+5)2 x+2 (x+5)2 x+5 12解：原式=号·石2”)8号当=2时原武-月-1 13.解原式-[a”2与]a-2)+4-(品2。)a-2)+a= a一2(a-2)+a=1+a.·任意报-个a的值，小明都可以用这个数加上1，马上说出 1 这个代数式的值. 14.解：(1)由题意，得长途客运车原来所花的时间是产h,新修的高速公路开通后所花 的时间是a+015zh,则2÷5z是 5=三.15工=1,5.答：长途客运车原来所 1.5s-5= 花的时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5倍.(2)是一1,5z5 :产(.答：新修的高速公路开通后，所花时间比原来缩短了品h 1.5x3x 15第=言+（）@D②等式右边=点十n中DaD+ 1 77 十D中)一日-等式左边，D中的结论是正确的 计算专练（七）解分式方程 1.解：(1)方程的两边都乘x(x十2)，得2(x十2)=3x,解这个方程，得x=4.经检验，x =4是原方程的根.(2)方程的两边都乘x一7，得x一8十1=8(x-7),解这个方程，得x =7.经检验，x=7是原方程的增根.原方程无解.(3)方程的两边都乘2x十6，得4x十 2x十6=7，解这个方程，得x=合，经检验，x=言是原方程的根.（④）方程的两边都乘 x2一1，得(x十1)2-4=x2-1,解这个方程，得x=1.经检验，x=1是原方程的增根. ∴.原方程无解.(5)方程的两边都乘2x一4，得2x十3(x一2)=一1，解这个方程，得x= 1.经检验，x=1是原方程的根.(6)方程的两边都乘(x一2)(x十3)，得6(x十3)=x(x 2)一(x一2)x十3)，解这个方程，得x=一号经检验，x=一号是原方程的根.(7)方程 的两边都乘(x一1)(x十2)，得x(x十2)一(x一1)(x十2)=3，解这个方程，得x=1.经检 验，x=1是原方程的增根.∴.原方程无解.(8)方程的两边都乘x2一4，得(x一2)2=(x 十2)2十16，解这个方程，得x=一2.经检验，x=一2是原方程的增根..原方程无解. 2.解：(1)一(2)检验(3)正确的解题过程如下：方程的两边都乘2x十2，得2x十2一 (x一3)=6x,解这个方程，得x=1.经检验，x=1是原方程的根. 3,解：A=B,小吕方程的两边都乘-1，得x一3=3(：十1D,解这个方 程，得x=一3.经检验，x=一3是原方程的根， 4解：由愿意，得，22十6品。=0.方程的两边都乘：一2》(6-得3(6-十2 2)=0,解这个方程，得x=14.经检验，x=14是原方程的根.当x=14时，分式x一2 3 与6互为相反数。 5解：方程的两边都乘y一2，得3叶a-2a=4y-2,解得y-8.“y>0,且y≠2， ÷8号>0，且8≠2，解得a<8且a≠2. 6,解：1)根据题意，得子十产=4，解得x=合经检验，x=号是原方程的根 (2分两种情况讨论：0当口”表示的常数是-1时，名十己三-1，此时方程无 解@当“口”表示的常数是0时，名十产 ,工=0，解得x=2.经检验，x=2是原方程 的根..“☐”表示的常数是0. -57易错章测（四） (范围：第四章时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） 二、填空题（每小题5分，共20分） 1.下列式子从左到右的变形是因式分解 7.多项式2ab+3ab2的公因式是 的是 8.计算：101×1022-101×982= A.a2+4a-21=a(a+4)-21 9.若多项式3x2+mx一2因式分解的结果是 B.a2+4a-21=(a-3)(a+7) (3x十n)(x十2)，则m+n的值是 10.已知x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的 C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21 值为 D.a2+4a-21=(a+2)2-25 三、解答题（共50分） 2.多项式2x2一4xy十2x提取公因式后，另 11.（16分)因式分解： 一个因式为 (1)3x2-6x+12xy: A.x-2y B.x-4y+1 C.x-2y+1 D.x-2y-1 3.若x2一mx+16能用完全平方公式进行 因式分解，则m的值为 ( A.-4 B.8 (2)-2x2+2x- 2 C.一4或4 D.一8或8 4.下列因式分解正确的是 ( A.x2-3y2=(x+3y)(x-3y) B.z3-2xy+xy2=x(x-y)2 C.x2-2xy-8y2=(x-2y)(x+4y) D.xy2-6xy+9.x=x(y-3)2 5.已知a+b=-3,ab=7,则多项式a2b+ (3)(x2+4)2-16x2; ab2一a-b的值为 A.24 B.18 C.-24D.-18 6.某课外密码研究小组接收到一条密文： 8x(m2-n2)一8y(m2一n2).已知密码手 册的部分信息如下表所示. 密文 m-nm+nx-yx十y 8 (4)a2(x-y)+4b2(y-x). 明文 我 爱 大 地 把密文8x(m2-n2)-8y(m2-n2)用因式 分解解码后，明文可能是 ( ) A.中华大地 B.爱我中华 C.爱大中华 D.我爱中大 ·25· 12.(10分)如图，在一块边长为am的正方 14.(12分)常用的分解因式的方法有提取公 形空地的四角均留出一块边长为bm 因式法和公式法，但有的多项式只用上 (b<)的正方形空地修建花坛，其余的 述一种方法无法分解，例如，x2一4y2 2x十4y,我们细心观察就会发现，前两项 地方种植草坪 可以分解，后两项也可以分解，分别分解后 (1)用代数式表示草坪的面积； 会产生公因式，就可以完整地分解了，过程 (2)先对上述代数式进行因式分解，再计 如下：x2-4y一2x十4y=(x2-4y）- 算当a=10,b=1时草坪的面积， 2(x-2y)=(x+2y)(x-2y)-2(x 2y)=(x-2y)(x+2y-2),这种分解因 式的方法叫作分组分解法.利用这种分 -m 组的思想方法解答下列问题： (1)已知a+b=6,a-b=2,求2a2+4a 2b2-4b的值； (2)已知a,b,c分别是△ABC三边的长， 且满足a2一3bc十3ac一ab=0,请判 断△ABC的形状，并说明理由. 13.(12分)如图，卡片A,B,C上分别写有一 个代数式，从三张卡片中取出两张，将卡 片上的式子相加后进行因式分解 (k+3)2 +4 A B C (1)若选择B,C卡片，请进行因式分解. (2)嘉嘉发现，若选择A,B卡片，不论 为何整数，其结果总可以被m(m≠1) 整除.请确定满足条件的最小正整数 m的值. ·26·