1.2 专题特训 利用平行线巧构等腰三角形解题-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

专题特训 利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 模型 呈现 利用“角平分线十平行线”构造等 作腰的平行线构造等腰三 作底边的平行线构造等腰三角形： 特点 腰三角形： 角形： 如图，若AB=AC,DE∥BC,则 描述 如图，若∠1=∠2，AC∥OB,则 如图，若AB=AC,DE∥AC, △ADE为等腰三角形 △OAC为等腰三角形 则△BDE为等腰三角形 类型①利用“角平分线十平行线”巧构等腰 (2)线段BD,CE,DE之间的数量关系是 三角形（教材P17随堂练习T1变式） 1.如图，在△ABC中，DE∥BC,DE=11, ∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点 G F,G,FG=3,则BD+CE的长为( A.3 B.11 C.7 D.8 5.如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6, ∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB, AB=8.过点A的直线DE∥BC,∠ABC与 OE∥AC. ∠ACB的平分线分别交DE于点E,D,则 (1)试判断△ODE的形状，并说明理由； DE的长为 (2)若BC=10,求△ODE的周长 A.14 B.16 C.18 D.20 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 分线相交于点M,且过点M的直线DE∥ BC,分别交AB,AC于D,E两点.若AB= 12,AC=10,则△ADE的周长为 4.如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG 的平分线相交于点F,过点F作BC的平行线， 交AB于点D,交AC于点E. (1)求证：BD=DF,CE=EF; 17数学八年级下册北师大版 类型2作腰或底边的平行线巧构等腰三角形 7.在等边三角形ABC中，E是边AB上的动 6.【一题多解】如图，在△ABC中，AC=BC,点D 点，且与点A,B不重合，点D在CB的延长 在AC的延长线上，点E在BC上，且CD= 线上，且CE=DE. CE,连接DE.求证：DE LAB. (1)如图①，若E是AB的中点，求证：BD=AE. 证法一：过点D作DM∥AB,交BC的延长 (2)如图②，若E不是AB的中点，(1)中的 线于点M.(请将证明过程补充完整) 结论仍成立吗？若成立，请说明理由；若 M 不成立，请写出BD与AE之间的数量关 系，并说明理由、 图② 证法二：过点B作BN∥DE,交AC的延长 线于点N.(请将证明过程补充完整) 思考：本题还有多种作底边的平行线构造等腰三角 形解题的方法，也可用专题特训中等腰三角形的 提示 清完成阶段小测(-)[1.1~1.2] “三线合一”作辅助线解题，跟同学们交流一下吧。 第一章三角形的证明及其应用18BE=DE,∴.CD=DE 14.证明：(1)：AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°.∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+ ∠CAD=90°.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD..∠B=∠C..AB=AC.(2)延 DA=DE, 长AD到点E,使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC, BD=CD, .△ADB≌△EDC(SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE..AD平分∠BAC,'.∠BAD= ∠CAD.∴∠E=∠CAD.∴AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F..AB=AC,AD=AE,'.BF=CF,DF=EF.∴.BF -DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.·△ABC是等边三角形，∠ABC=∠ACB=60°.，D是AC的中 点，∠DBE=号∠ABC=30:CE=CD,∴∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE =60°，.∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,.BF=EF. 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∠AEB=90°.∴∠BAE十∠B=90°.CD⊥ AB,∠DCB+∠B=90°..∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴.∠BAC=2∠BAE. .∠BAC=2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.D是AB的中点，.AD=BD.CD⊥AB,.∠CDA=∠CDB= 90°.又，CD=CD,∴.△ACD≌△BCD(SAS).∴.AC=BC.同理可证BC=AB,,AC =AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94【变式题1150或65°【变式题2】50或65°或80°4.号或号 5.120°或75或30°6.34°或28°或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30.AD1 AB,AE⊥AC,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°- ∠ADB-∠AEC=60°.∴.∠ADE=∠AED=∠EAD.△ADE是等边三角形. 5.B6.1.27.5 8.解：AB=AC,∠BAC-120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:ADLAB, ∴∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴.∠CAD=∠C. ∴.CD=AD=6.∴.BC=BD+CD=18. 9.D10.B11.212.√3-1 13.解：(1)，△ABC为等边三角形，∠B=60°.DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60. ,EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°. ∴∠DEC=∠EDC=∠ECD.∴.△CDE为等边三角形..DE=CD=2.由(I)知∠F= 30°，∠DEF=90°，.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，.∠B=60°.DQ⊥AB,RQ⊥BC,.∠B十 ∠BQD=∠BQD十∠PQR=90°.，∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P =180°-∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解： 2.4(3)解：，△ABC是等边三角形.∴·∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等 边三角形，.DQ=DR.又，∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS).∴.BD =AR.,∠ADR=90°-∠A=30°，'，AD=2AR=2BD..AB=BD+AD=3BD= 4emBD=专em 4 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：：BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG. ,DF∥BC,∴.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG..∠DBF=∠DFB,∠FCE= ∠EFC..BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(1)△ODE是等边三角形.理由如下：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°.OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°. ∴.∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=60°.∴.∠ODE=∠OED=∠DOE=60. ∴.△ODE是等边三角形.(2)：BO平分∠ABC,OD∥AB,·∠ABO=∠DBO,∠ABO =∠DOB.∴∠DOB=∠DBO.BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为 OD+DE+OE=BD++DE+CE=BC=10. 6.证法一：证明：AC=BC,.∠A=∠B.DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.,CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.,∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED =180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DE⊥DM.:DM∥AB,.DE⊥AB. 证法二：证明：CD=CE,.∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED..∠N=∠CBN.:AC=BC,.∠A=∠ABC.:∠A+∠ABC+∠CBN+ ∠N=180°，.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,.DE ⊥AB. 7.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.：E是AB的中点， :AE=BE,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACB=30.:CE=DE,∠D=∠BCE =30°.∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴.BD=BE..BD=AE.(2)解：成立.理 由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠ACB=60°..∠DBE=180°-∠ABC=120.EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°，∠CEF=∠ECD.,△AEF是等边三角形，∠EFC=180°- ∠AFE=l20°=∠DBE.∴.AE=EF.,CE=DE,∴.∠ECD=∠D.∠D=∠CEF.在 ∠D=∠CEF, △DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF.∴.BD=AE. DE=EC, 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2 =302+602=4500,.BC+CD2=BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. BC⊥CD.∴该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b2.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命 题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题 是假命题.(3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角 形分成两个面积相等的三角形.原命题是假命题，逆命题是真命题. 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,.CH+ BH=BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴CH是从村庄C到河边的最 短路线.(2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=AH+CH,即x2=(x-0.9)2十1.22，解得x=1.25..原来的路线AC的长 为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是 直角三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图， △ABC的两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE= 45°.求证：△ABC是直角三角形.证明：：AD是∠CAB的 5 平分线，BE是∠ABC的平分线，∠OAB=号∠CAB,∠OBA=号∠ABC.:∠QAB +∠OBA=号（∠CAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB+ ∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1).BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°.AF=CE,.AF-EF= CE-EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， (AB=CD, AE=CF, .Rt△ABE≌ Rt△CDF(HL).(2).△ABE≌△CDF,∴.∠A=∠C..AB∥CD. 5.D 6.解：(I)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴.∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和 ∠BDO=∠CEO, △EOC中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS)..OD=OE.在Rt△ADO和 OB=OC, Rt△AEO中， (0A=OA:R△AD02R△AEO(HD.∠I=∠2 OD-OE, 7.C8.79.5或10 10.(1)证明：.'AM⊥BC,DN⊥BC,.∠AMB=∠DNC=90°..BN=CM,.BN+ MN=CM+MN,即BM=CN.又，'AB=DC,,Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解： 由(1)知Rt△ABM≌Rt△DCN,∴.AM=DN.:'∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM= ∠DON,∴△AOM≌△DON(AAS.OM=ON.:BN=CM=4,OM=MN= 号(Bc-BN-C0=4 ∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, .△ABC≌△EDC(ASA).,.AB ∠ACB=∠ECD, =DE.∴D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的 方向上取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D 两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中， ∠ABC=∠DBC, BC=BC, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. ∠ACB=∠DCB, 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°- 2∠BDE.:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+ BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中，J∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)..∴.∠BAD=∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD AB=AC, 和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(1)知△ABD≌ AD-AE, △ACE,.BD=CE=3.△ADE是等边三角形，..DE=AE=2..BE=BD十DE =5. —6—