1.2 专题特训 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线&专题特训 等腰三角形中易漏解或多解的问题-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

BE=DE,∴.CD=DE 14.证明：(1)：AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°.∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+ ∠CAD=90°.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD..∠B=∠C..AB=AC.(2)延 DA=DE, 长AD到点E,使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC, BD=CD, .△ADB≌△EDC(SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE..AD平分∠BAC,'.∠BAD= ∠CAD.∴∠E=∠CAD.∴AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F..AB=AC,AD=AE,'.BF=CF,DF=EF.∴.BF -DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.·△ABC是等边三角形，∠ABC=∠ACB=60°.，D是AC的中 点，∠DBE=号∠ABC=30:CE=CD,∴∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE =60°，.∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,.BF=EF. 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∠AEB=90°.∴∠BAE十∠B=90°.CD⊥ AB,∠DCB+∠B=90°..∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴.∠BAC=2∠BAE. .∠BAC=2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.D是AB的中点，.AD=BD.CD⊥AB,.∠CDA=∠CDB= 90°.又，CD=CD,∴.△ACD≌△BCD(SAS).∴.AC=BC.同理可证BC=AB,,AC =AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94【变式题1150或65°【变式题2】50或65°或80°4.号或号 5.120°或75或30°6.34°或28°或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30.AD1 AB,AE⊥AC,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°- ∠ADB-∠AEC=60°.∴.∠ADE=∠AED=∠EAD.△ADE是等边三角形. 5.B6.1.27.5 8.解：AB=AC,∠BAC-120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:ADLAB, ∴∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴.∠CAD=∠C. ∴.CD=AD=6.∴.BC=BD+CD=18. 9.D10.B11.212.√3-1 13.解：(1)，△ABC为等边三角形，∠B=60°.DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60. ,EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°. ∴∠DEC=∠EDC=∠ECD.∴.△CDE为等边三角形..DE=CD=2.由(I)知∠F= 30°，∠DEF=90°，.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，.∠B=60°.DQ⊥AB,RQ⊥BC,.∠B十 ∠BQD=∠BQD十∠PQR=90°.，∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P =180°-∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解： 2.4(3)解：，△ABC是等边三角形.∴·∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等 边三角形，.DQ=DR.又，∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS).∴.BD =AR.,∠ADR=90°-∠A=30°，'，AD=2AR=2BD..AB=BD+AD=3BD= 4emBD=专em 4 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：：BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG. ,DF∥BC,∴.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG..∠DBF=∠DFB,∠FCE= ∠EFC..BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(1)△ODE是等边三角形.理由如下：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°.OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°. ∴.∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=60°.∴.∠ODE=∠OED=∠DOE=60. ∴.△ODE是等边三角形.(2)：BO平分∠ABC,OD∥AB,·∠ABO=∠DBO,∠ABO =∠DOB.∴∠DOB=∠DBO.BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为 OD+DE+OE=BD++DE+CE=BC=10. 6.证法一：证明：AC=BC,.∠A=∠B.DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.,CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.,∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED =180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DE⊥DM.:DM∥AB,.DE⊥AB. 证法二：证明：CD=CE,.∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED..∠N=∠CBN.:AC=BC,.∠A=∠ABC.:∠A+∠ABC+∠CBN+ ∠N=180°，.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,.DE ⊥AB. 7.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.：E是AB的中点， :AE=BE,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACB=30.:CE=DE,∠D=∠BCE =30°.∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴.BD=BE..BD=AE.(2)解：成立.理 由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠ACB=60°..∠DBE=180°-∠ABC=120.EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°，∠CEF=∠ECD.,△AEF是等边三角形，∠EFC=180°- ∠AFE=l20°=∠DBE.∴.AE=EF.,CE=DE,∴.∠ECD=∠D.∠D=∠CEF.在 ∠D=∠CEF, △DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF.∴.BD=AE. DE=EC, 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2 =302+602=4500,.BC+CD2=BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. BC⊥CD.∴该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b2.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命 题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题 是假命题.(3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角 形分成两个面积相等的三角形.原命题是假命题，逆命题是真命题. 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,.CH+ BH=BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴CH是从村庄C到河边的最 短路线.(2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=AH+CH,即x2=(x-0.9)2十1.22，解得x=1.25..原来的路线AC的长 为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是 直角三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图， △ABC的两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE= 45°.求证：△ABC是直角三角形.证明：：AD是∠CAB的 5 平分线，BE是∠ABC的平分线，∠OAB=号∠CAB,∠OBA=号∠ABC.:∠QAB +∠OBA=号（∠CAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB+ ∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1).BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°.AF=CE,.AF-EF= CE-EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， (AB=CD, AE=CF, .Rt△ABE≌ Rt△CDF(HL).(2).△ABE≌△CDF,∴.∠A=∠C..AB∥CD. 5.D 6.解：(I)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴.∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和 ∠BDO=∠CEO, △EOC中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS)..OD=OE.在Rt△ADO和 OB=OC, Rt△AEO中， (0A=OA:R△AD02R△AEO(HD.∠I=∠2 OD-OE, 7.C8.79.5或10 10.(1)证明：.'AM⊥BC,DN⊥BC,.∠AMB=∠DNC=90°..BN=CM,.BN+ MN=CM+MN,即BM=CN.又，'AB=DC,,Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解： 由(1)知Rt△ABM≌Rt△DCN,∴.AM=DN.:'∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM= ∠DON,∴△AOM≌△DON(AAS.OM=ON.:BN=CM=4,OM=MN= 号(Bc-BN-C0=4 ∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, .△ABC≌△EDC(ASA).,.AB ∠ACB=∠ECD, =DE.∴D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的 方向上取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D 两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中， ∠ABC=∠DBC, BC=BC, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. ∠ACB=∠DCB, 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°- 2∠BDE.:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+ BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中，J∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)..∴.∠BAD=∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD AB=AC, 和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(1)知△ABD≌ AD-AE, △ACE,.BD=CE=3.△ADE是等边三角形，..DE=AE=2..BE=BD十DE =5. —6—专题特训 利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 类型个利用等腰三角形的“三线合一”作辅 类型2逆用“三线合一”构造等腰三角形 助线 方法点拨：如图，在△ABC中，有下列条件： 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在边 :①AD平分∠BAC;②AD⊥BC;③AD为 BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.(利用 BC边上的中线，知其中任意两个，易证 D 等腰三角形“三线合一”证明) △ABD≌△ACD,进而可得△ABC为等腰三角形. 简言之：三角形一边上的“两线合一”，必等腰。 注：此结论在小题里可直接用，解大题时需要写出推 理过程，直接用会扣步骤分 C 4.如图，在△ABC中，AB<BC,BP平分∠ABC, AP⊥BP于点P,连接PC.若△ABC的面积 为4，则△BPC的面积为 2.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中 D 点，延长BC至点E,使CE=CD,连接DE, B∈ DF⊥BC于点F,求证：BF=EF (第4题图) (变式题图) 【变式题】如图，在△ABC中，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A.若 BD=1,BC=3,则AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥ AB,BE⊥AC,CD与BE交于点F.求证： AC=AB. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点 D.求证：∠BAC=2∠DCB. 13数学八年级下册北师大版 专题特训 等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 类型个 腰或底指向不明求等腰三角形的腰 6.有一张三角形纸片ABC,∠A=68°，D是 长问题 AC边上的点，沿BD将三角形纸片ABC剪 1.(宿迁中考)若等腰三角形的两边长为2cm和 开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则 4cm,则该等腰三角形的周长为 cm. ∠C的度数为 2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角 思维呈现：分三种情况讨论： 形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形 ①若AB=BD,BD=CD,如图①； 的腰长为 ②若AB=AD,BD=CD,如图②； 类型2腰或底（顶角或底角）指向不明求角 的度数问题 ③若AD=BD,BD=CD,如图③： 易错点拨：由三角形的内角和，易知等腰三角形的底角 只可能为锐角. 3.若等腰三角形的一个内角为94°，则它的顶 图① 图② 图③ 角的度数为 类型3当三角形形状不确定时需分类讨论 【变式题1】等腰三角形的一个内角为50°，则这 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 个等腰三角形的底角的度数为 60°，则底角的度数为 【变式题2】在等腰三角形ABC中，∠A= 8.已知等腰三角形两腰上的高所在直线的夹 50°，则∠B的度数为 角中较小角的度数为70°，则该三角形的底 思维呈现： 角的度数为 △ABC ∠A为顶角→∠B为底角 类型④与等腰三角形的个数有关的问题 为等腰分类 ∠B为底角 讨论 ∠A为底角 9.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD 三角形 ∠B为顶角 平分∠ACB,DE∥AC,则图中等腰三角形的 4.新趋势新定义定义：等腰三角形的顶角与其 个数为 ) 一个底角的度数的比值称为这个等腰三 A.2 B.3 角形的“特征值”.在等腰三角形ABC中，若 C.4 D.5 ∠A=40°，则它的“特征值”k为 5.如图，∠AOB=60°，OC平分 ∠AOB,点E在OA上，且 △OCE为等腰三角形，则 (第9题图) (第10题图) ∠OEC的度数为 10.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B在格 思维呈现： 点上.若点C也在格点上，且△ABC是等腰三 △OCE OE=CE→∠COE=∠OCE 角形，则符合条件的点C的个数为( 为等腰 OC=OE2→∠OE2C=∠OCE2 A.1 B.2 三角形 OC=CE3→∠OEC=∠COE C.3 D.4 第一章三角形的证明及其应用 14