2 专题3 活用等腰三角形的“三线合一”巧解题&专题4 等腰三角形中易漏解或多解问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

专题三活用等腰三角形的‘ 类型1利用“三线合一”作辅助线解决线段与 角有关问题 1.(教材P21习题T3变式)如图，在等腰直角 三角形ABC中，∠A=90°，D为BC中点， E,F分别为AB,AC上的点，且满足AE= CF。求证：DE=DF。 2.如图，已知等边三角形ABC中，点D是AC 的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE= CD,DM⊥BC,垂足为M。求证：BM=EM。 3第一章三角形的证明及其应用 三线合一”巧解题【回归教材】 3.如图，已知AB=AC,BD⊥AC于点D。 求证：∠DBC=∠BAC. 类型2利用“三线合一”作辅助线证垂直 4.(教材P21习题T7变式)如图，在△ABC 中，AB=AC,D为AC上任意一点，延长BA 到点E,使得AE=AD,连接DE。 求证：DE⊥BC。 5.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC= DE,∠B=∠E,点F是CD的中点。 求证：AF⊥CD。 专题四 等腰三角形中易 类型1腰或底指向不明求等腰三角形的腰长 问题 1.(2025·西安新城区期中)已知a,b为等腰 △ABC的边长，且满足|a-5|+(b-11)2= 0,则△ABC的底边长是。 2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角 形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形 的腰长为 类型2腰或底（顶角或底角）指向不明求角的 度数问题 易错点拨：由三角形的内角和，易知等腰三角形的底角 :只可能为锐角 3.若等腰三角形的一个内角为94°，则它的顶 角的度数为 【变式题1】(2025·汉中南郑区期中)等腰三 角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形 的底角的度数为 0 【变式题2】在等腰三角形ABC中，∠A= 50°，则∠B的度数为 思维呈现： △ABC ∠A为顶角→∠B为底角 为等腰分类 ∠B为底角 讨论 ∠A为底角 三角形 ∠B为顶角 4.若等腰三角形的一个内角是50°，则一腰上 的高与底边的夹角的度数是 5.如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB,点E在 OA上，且△OCE为等腰三角形，则∠OEC 的度数为 E,A 漏解或多解问题【易错】 思维呈现： △OCE OE=CE1→∠COE=∠OCE 为等腰分类0C=0E→∠OE,C=∠OCE 三角形 OC=CE3→∠OE3C=∠COE 6.有一张三角形纸片ABC,∠A=68°，D是 AC边上的点，沿BD将三角形纸片ABC剪 开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则 ∠C的度数为 思维呈现：分三种情况讨论： ①若AB=BD,BD=CD,如图①； ②若AB=AD,BD=CD,如图②； ③若AD=BD,BD=CD,如图③. D D 图① 图② 图③ 类型3当三角形形状不确定时需分类讨论 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则底角的度数为 8.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 70°，则底角的度数为 类型4与等腰三角形的个数有关的问题 9.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠B=72°，CD 平分∠ACB,DE∥AC,则图中等腰三角形的 个数为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 (第9题图) (第10题图) 10.如图，在3×3的正方形网格中，点A,B在格 点上。若点C也在格点上，且△ABC是等腰 三角形，则符合条件的点C的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 数学八年级下册(BS)14思维拓展 9.解：(1)△ABC,△BOC(2)有5个等腰三角形：△ABC,△BOC,△BEO,△CFO,△AEF。线段EF和EB,FC之间的数量关系 为EF=EB+FC。(3)还有等腰三角形，即△BOE和△COF。(2)中EF=EB+FC仍然成立。理由如下：：BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB,∴.∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO。又EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴.∠EBO=∠EOB,∠FOC= ∠FCO,.BE=EO,FO=FC,∴.EF=EO十FO=EB+FC。【变式题】21 专题三活用等腰三角形的“三线合一”巧解题【回归教材】 1.证明：连接AD。:△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°。D为BC中点，AD⊥BC,AD平分∠BAC。 AE=CF, ∴∠EAD=∠CAD=∠C=45°。∴AD=CD。在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠C,∴△ADE≌△CDF(SAS)。∴DE=DF。 AD=CD, 2.证明：连接BD。:在等边三角形ABC中，点D是AC的中点∠DBC=∠ABC=号X60=30,∠ACB=60。:CE= CD,∠CDE=∠E。:∠ACB=∠CDE+∠E,.2∠E=60°。∠E=30°。∠DBC=∠E=30°。BD=ED。.△BDE为等 腰三角形。又DM LBC,∴.BM=EM。3.证明：过点A作AE⊥BC于点E。∴∠CAE十∠C=90°。AB=AC,∠CAE= 名∠BAC.:BD1AC∠DBC+∠C-90,∠DBC=∠CAE。∠DBC=号∠BAC。4证明：过点A作AM1BC于点 M。AB=AC,∠BAC=2∠BAM。:AD=AE,.∠ADE=∠E。∠BAC=∠ADE+∠E=2∠E。∠BAM=∠E。 AB=AE, .DE∥AM。:AM⊥BC,.DE⊥BC。5.证明：连接AC,AD。在△ABC和△AED中，∠B=∠E,∴.△ABC≌△AED(SAS)。 BC=ED, AC=AD。又点F是CD的中点，.AF⊥CD。 专题四等腰三角形中易漏解或多解问题【易错】 1.52.103.94°【变式题1】50°或65°【变式题2】50°或65°或80°4.25°或40°5.120°或75°或30°6.34°或28°或22 7.65°或25°8.20°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 新知梳理 ①三②60°3一半 例题引路 【例1】解：△DEF是等边三角形。理由如下：：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°。，∠1=∠2=∠3， .∠DFE=∠3十∠FAC=∠1十∠FAC=∠CAB=60°。同理，得∠DEF=∠EDF=60°，∴.△DEF是等边三角形。 易错典例 【例2号 基础过关 1.D2.∠B=60°（答案不唯一）3.证明：DC=DB,.∠DCB=∠B=30°。.∠ADC=∠DCB十∠B=30°+30°=60°。又 :AD=DC,.△ADC是等边三角形。4.35.66.22√ 能力提升 7.D8.B9.√310.(1)证明：AB=AC,∴∠B=∠C。:FE⊥BC,∴.∠CEF=90°。∴.∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90。 ∠F=∠BDE。∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA。AF=AD。△ADF是等腰三角形。(2)解：DE⊥BC,∠DEB= 90.“∠B=60∠BDE=90-∠B=90-60=30.BE=BD=号×6=3。：AB=AC,∠B=60,△ABC是等边三角 形。.BC=AB=AD+BD=3十6=9。∴.EC=BC-BE=9-3=6。 思维拓展 11,解：(1)△BDF是等边三角形。证明如下：：∠B=60°，DE∥BC,.∠ADE=∠B=60°。由折叠可得∠FDE=∠ADE=60°， ∴∠BDF=60°。∴∠DFB=180°-∠B-∠BDF=60°。∴.△BDF是等边三角形。(2)分两种情况讨论：①如答图①，当∠BFD= 90时，点F在△ABC内，：∠BDF=60°，∠DBF=30°。.BD=2DF。由折叠得DF=AD,BD=2AD。3AD=9。∴.AD= 3。②如答图②，当∠DBF=90°时，点F在△ABC外，同理可得AD=DF=2BD,.3BD=9。∴.BD=3。.AD=6。综上所述，AD 的长为3或6。 答图① 答图② 第4页（共48页）