1.2 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第3课时等边三角形的判定 A分点训练 ⊙夯实基础 知识点①等边三角形的判定 1.在△ABC中，∠B=60°，AB=BC=6,则AC 的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 2.新趋势半开放性题)如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B,点E在线段AB上，CE∥AD. 若使△BCE成为等边三角形，则可增加的一个 条件是 (第2题图) (第3题图) 3.情境题日常生活某种落地灯的简易示意图如 图所示，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC 相等，且∠BCE=120°.若CD的长为55cm,则 B,D两点之间的距离为cm. 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，AD⊥AB,交BC于点D,AE⊥AC,交 BC于点E.求证：△ADE是等边三角形， 15数学八年级下册北师大版 与含30°角的直角三角形的性质 知识点2含30°角的直角三角形的性质 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.若 BC=4,则AB的长为 () A.6 B.8 C.9 D.12 B (第5题图) (第6题图) 6.情境题建筑测量)（南通中考）南通是“建筑之 乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.屋 架设计图的一部分如图所示，E是斜梁AC的 中点，立柱AD,EF垂直于横梁BC.若AC= 4.8m,∠C=30°，则EF的长为 m. 7.学科融合光的反射)如图，CD是平面镜，光线 从点A出发，经CD上的点O反射后照射到 点B.若入射角为α，反射角为β（反射角等于 入射角)，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D, 且∠a=60°，OB=10,则BD的长为 D 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 过点A作AD⊥AB,交BC于点D,AD=6,求 BC的长. B综合运用 。提升能力 9.(教材P21习题T8变式)如图，△ADE是等 边三角形，DE∥BC.若AD=2,BD=3,则 BC的长为 () A.1 B.2 C.3 D.5 (第9题图) （第10题图) 10.(教材P16随堂练习T2变式)如图，在 △ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,CD 是AB边上的高，则AD的长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 11.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所 示的方式放置，已知α=60°，点B,C对应的 刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm. Tヅ平布平西 0cm 5 (第11题图) (第12题图) 12.(广西中考)如图，点A,D在BC同侧，AB= BC=AC=2,BD=CD=√2，则AD的长为 13.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别 在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD=2,求DF的长， C创新拓展 ⊙发展素养 14.(教材P53复习题T22变式)如图①，D是 边长是4cm的等边三角形ABC的边AB 上的一点，作DQ⊥AB,交边BC于点Q, RQ⊥BC,交边AC于点R,RP⊥AC,交边 AB于点E,交QD的延长线于点P (1)求证：△PQR是等边三角形； (2)若BD=1.3cm,则AE的长是 cm; (3)如图②，当点E恰好与点D重合时，求 BD的长， D(E) 图① 图② 第一章三角形的证明及其应用 16BE=DE,∴.CD=DE 14.证明：(1)：AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°.∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+ ∠CAD=90°.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD..∠B=∠C..AB=AC.(2)延 DA=DE, 长AD到点E,使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC, BD=CD, .△ADB≌△EDC(SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE..AD平分∠BAC,'.∠BAD= ∠CAD.∴∠E=∠CAD.∴AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F..AB=AC,AD=AE,'.BF=CF,DF=EF.∴.BF -DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.·△ABC是等边三角形，∠ABC=∠ACB=60°.，D是AC的中 点，∠DBE=号∠ABC=30:CE=CD,∴∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE =60°，.∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,.BF=EF. 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∠AEB=90°.∴∠BAE十∠B=90°.CD⊥ AB,∠DCB+∠B=90°..∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴.∠BAC=2∠BAE. .∠BAC=2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.D是AB的中点，.AD=BD.CD⊥AB,.∠CDA=∠CDB= 90°.又，CD=CD,∴.△ACD≌△BCD(SAS).∴.AC=BC.同理可证BC=AB,,AC =AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94【变式题1150或65°【变式题2】50或65°或80°4.号或号 5.120°或75或30°6.34°或28°或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30.AD1 AB,AE⊥AC,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°- ∠ADB-∠AEC=60°.∴.∠ADE=∠AED=∠EAD.△ADE是等边三角形. 5.B6.1.27.5 8.解：AB=AC,∠BAC-120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:ADLAB, ∴∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴.∠CAD=∠C. ∴.CD=AD=6.∴.BC=BD+CD=18. 9.D10.B11.212.√3-1 13.解：(1)，△ABC为等边三角形，∠B=60°.DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60. ,EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°. ∴∠DEC=∠EDC=∠ECD.∴.△CDE为等边三角形..DE=CD=2.由(I)知∠F= 30°，∠DEF=90°，.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，.∠B=60°.DQ⊥AB,RQ⊥BC,.∠B十 ∠BQD=∠BQD十∠PQR=90°.，∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P =180°-∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解： 2.4(3)解：，△ABC是等边三角形.∴·∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等 边三角形，.DQ=DR.又，∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS).∴.BD =AR.,∠ADR=90°-∠A=30°，'，AD=2AR=2BD..AB=BD+AD=3BD= 4emBD=专em 4 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：：BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG. ,DF∥BC,∴.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG..∠DBF=∠DFB,∠FCE= ∠EFC..BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(1)△ODE是等边三角形.理由如下：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°.OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°. ∴.∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=60°.∴.∠ODE=∠OED=∠DOE=60. ∴.△ODE是等边三角形.(2)：BO平分∠ABC,OD∥AB,·∠ABO=∠DBO,∠ABO =∠DOB.∴∠DOB=∠DBO.BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为 OD+DE+OE=BD++DE+CE=BC=10. 6.证法一：证明：AC=BC,.∠A=∠B.DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.,CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.,∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED =180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DE⊥DM.:DM∥AB,.DE⊥AB. 证法二：证明：CD=CE,.∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED..∠N=∠CBN.:AC=BC,.∠A=∠ABC.:∠A+∠ABC+∠CBN+ ∠N=180°，.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,.DE ⊥AB. 7.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.：E是AB的中点， :AE=BE,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACB=30.:CE=DE,∠D=∠BCE =30°.∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴.BD=BE..BD=AE.(2)解：成立.理 由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠ACB=60°..∠DBE=180°-∠ABC=120.EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°，∠CEF=∠ECD.,△AEF是等边三角形，∠EFC=180°- ∠AFE=l20°=∠DBE.∴.AE=EF.,CE=DE,∴.∠ECD=∠D.∠D=∠CEF.在 ∠D=∠CEF, △DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF.∴.BD=AE. DE=EC, 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2 =302+602=4500,.BC+CD2=BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. BC⊥CD.∴该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b2.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命 题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题 是假命题.(3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角 形分成两个面积相等的三角形.原命题是假命题，逆命题是真命题. 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,.CH+ BH=BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴CH是从村庄C到河边的最 短路线.(2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=AH+CH,即x2=(x-0.9)2十1.22，解得x=1.25..原来的路线AC的长 为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是 直角三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图， △ABC的两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE= 45°.求证：△ABC是直角三角形.证明：：AD是∠CAB的 5 平分线，BE是∠ABC的平分线，∠OAB=号∠CAB,∠OBA=号∠ABC.:∠QAB +∠OBA=号（∠CAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB+ ∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1).BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°.AF=CE,.AF-EF= CE-EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， (AB=CD, AE=CF, .Rt△ABE≌ Rt△CDF(HL).(2).△ABE≌△CDF,∴.∠A=∠C..AB∥CD. 5.D 6.解：(I)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴.∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和 ∠BDO=∠CEO, △EOC中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS)..OD=OE.在Rt△ADO和 OB=OC, Rt△AEO中， (0A=OA:R△AD02R△AEO(HD.∠I=∠2 OD-OE, 7.C8.79.5或10 10.(1)证明：.'AM⊥BC,DN⊥BC,.∠AMB=∠DNC=90°..BN=CM,.BN+ MN=CM+MN,即BM=CN.又，'AB=DC,,Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解： 由(1)知Rt△ABM≌Rt△DCN,∴.AM=DN.:'∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM= ∠DON,∴△AOM≌△DON(AAS.OM=ON.:BN=CM=4,OM=MN= 号(Bc-BN-C0=4 ∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, .△ABC≌△EDC(ASA).,.AB ∠ACB=∠ECD, =DE.∴D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的 方向上取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D 两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中， ∠ABC=∠DBC, BC=BC, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. ∠ACB=∠DCB, 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°- 2∠BDE.:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+ BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中，J∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)..∴.∠BAD=∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD AB=AC, 和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(1)知△ABD≌ AD-AE, △ACE,.BD=CE=3.△ADE是等边三角形，..DE=AE=2..BE=BD十DE =5. —6—