1.2 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

在Rt△QPB和Rt△RPC中， ∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°， ∴.∠B=∠C,.AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 6.c7.D 8.证明：假设△ABC中的∠A,∠B,∠C都小于60°， 则∠A+∠B+∠C<3×60°， 即∠A十∠B十∠C<180°，这与三角形的内角和定理矛盾， 因此∠A,∠B,∠C都小于60°不成立， 所以一个三角形中至少有一个角不小于60°. 9.c10A1.(9.0或（日，0） 12.解：(1)证明：：AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF. :AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形. (2)70° 13.解：4个，作图如图所示. 00°- 变式微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推 【例】12【变式1】5【变式2】5 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 1.C2.48 3.证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠CAB=60° ,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC, ∴.∠DAB=∠CBE=∠ACF=90°， ∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°， ∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°， ∴△DEF是等边三角形. 【变式】证明：，△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC, ∴.∠EAF=∠EBD=120° ,BE=CD,∴，BE+AB=CD+BC,即AE=BD 在△BDE和△AEF中， BE=AF,∠EBD=∠FAE,BD=AE, .△BDE≌△AEF(SAS),.ED=EF. 同理可得，EF=FD,EF=ED=FD, ∴，△DEF是等边三角形. 4.c5.B6.33+37.C8.B9.①③ 10.解：(1)证明：，∠BAC=90°，∠C=30°， .∠ABC=90°-30°=60°. :BF平分∠ABC,∠CBF=∠ABF=30. AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=60. :∠AFB=90°-∠ABF=60°， ·答 ∠AFE=∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形. (2)AD=3 11.解：(1)点N运动到点C 理由：当点M运动到点C时，t= 212 1 点N的运动速度为2cm/s, ∴.点N的运动路程为12×2=24(cm). .AB=AC=12 cm,..AC+AB=24 cm, ,点N运动到点C. (2)点M,N运动4s时，可得到等边三角形AMN (3)点M,N运动4.8s或3s或15s或18s时，可得到直 角三角形AMN. 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.C3.24【变式】4或√/344.4km5.A6.B 7.证明：在Rt△ABC中， ∠BCA=90°，AC=12,AB=13, .BC=√AB2-AC2=√/132-122=5. 在△BCD中，：CD=4,BD=3,BC=5, ∴.CD2十BD2=BC2,∴.△BCD是直角三角形 8.B 9.底边上的高线与中线互相重合的三角形为等腰三角形真 3 10.A11.2 12.613.45% 14.(1)∠A=90°(2)AE=1.4 15.(1)135°(2)被监控到的道路长度为70√2米 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.4 4.证明：BE=FC, ∴.BE+EC=FC+EC,即BC=FE 在Rt△ABC和R△DFE中，AC=DE, (BC=FE, .Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). 5.(答案不唯一，合理即可)(1)SSS(2)SAS(3)HL (4)ASA (5)AAS 6.C7.A8.D9.5或10 10.解：(1)证明：：∠ABC=90°，∠CBF=∠ABE=90. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ,'AE=CF,AB=CB,.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL), ∴.BE=BF (2)689 11.解：(1)由折叠，得AE=AC,ED=CD,∠EAD= ∠CAD,∠ADE=∠ADC,∠AED=∠C=90. (2)证明：证法1：∠C=90°，∠B=30°， ∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD=7∠BAC=30°，∠EAD=∠B 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90 ∠EAD=∠B, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE, 案2·第3课时等边三角形的判定 A知识分点练 夯基础、 知识点1等边三角形的判定 1.在△ABC中，∠A=60°，添加下列一个条件后， 仍不能判定△ABC为等边三角形的是() A.AB=AC B.∠A=∠B C.AD⊥BC D.∠B=∠C 2.如图，池塘旁边有一条笔直的小路BC和一棵小 树A.测得的相关数据如下：∠ABC=60°， ∠ACB=60°，BC=48m.由上述数据可知AC= m. 3.(教材P23习题T13变式)如图，△ABC是等边三 角形，DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC.求证： △DEF是等边三角形. [变式]如图，△ABC是等边三角形，点D, E,F分别在边BC,AB,CA的延长线上，且 BE=AF=CD.求证：△DEF是等边三角形. 14数学8年级下册BS版 与含30°角的直角三角形的性质 知识点2含30°角的直角三角形的性质 4.(教材P18“尝试·思考”变式)一个含30°角的直角 三角尺ABC如图1所示，用两个完全相同的 这种三角尺恰好能拼成一个如图2所示的等边 三角形.若BC=6,则AB的长为 A.3 B.6√3 C.12 D.9 图1 D 图2 第4题图 第5题图 5.小辉设计的彩旗的形状如图所示，已知 ∠ACB=90°，∠B=15°，点D在BC上，且 AD=BD,AC=16cm,则BD的长为() A.30 cm B.32 cm C.34 cm D.36 cm 6.(教材P20随堂练习T2变式)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB.若AB=4, 求△ACD的周长. B D B能力综合练 练思维、 7.如图，上午8时，一艘轮船从A地以25海里/时 的速度向南偏西40°的方向行驶，上午10时到 达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶 50海里到达C地，则A,C两地相距 () A.30海里 北 B.40海里 C.50海里 D.60海里 B 8.如图，△ABC是边长为10的等边三角形，点 M在边AB的延长线上，点N在边AC上，且 MN=MC.若AM=16,则CN的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 M 第8题图 第9题图 9.如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°， AC=b,CD=a,以点C为圆心，CD的长为半 径画弧，交斜边AD于点B,AB=c,连接BC, 则下列说法正确的是 (填序号) ①△BCD是等边三角形；②a十c<b; ③a=c;④b=2a. 10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C= 30°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,分别 交AD,AC于点E,F (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若AF=2,求AD的长 C拓展探究练 提素养 11.在△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有 M,N两点分别从点A,B同时出发，沿三角 形的边按如图所示的方向运动，已知点M的 运动速度为1cm/s,点N的运动速度为 2cm/s.当点N第一次到达点B时，点M,N 同时停止运动.设点M,N运动的时间为ts. (1)当点M运动到点C时，点N运动到什么 位置？请通过计算说明理由 (2)点M,N运动几秒时，可得到等边三角 形AMN? (3)点M,N运动几秒时，可得到直角三角 形AMN? M ←-N B ←—NB 备用图 第一章三角形的证明及其应用15