1.2 第2课时 等腰三角形的判定与反证法-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第2课时 等腰三 A分点训练 。夯实基础 知识点个等腰三角形的判定 1.在△ABC中，已知∠B=∠C,则下列各项正 确的是 A.AB=BC B.AB-AC C.BC=AC D.∠A=60 2.下列三角形中，不是等腰三角形的是( 50°35 45 A B D 3.情境题日常生活将一个平板保护套展开放 置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示. 若∠ABC=∠ACB,AB=10cm,则AC的 长为 A.10 cm B.11 cm C.12 cm D.13 cm 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC上 一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证：△ACD 是等腰三角形 11数学八年级下册北师大版 角形的判定与反证法 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边 AB上的高，角平分线BD交CE于点M.求 证：△CDM是等腰三角形， 知识点2反证法 6.用反证法证明“若a<a,则a为负数”应先 假设 ( ) A.a为非负数 B.a为正数 C.a为整数 D.a为负数 7.用反证法证明：已知：在同一平面内有三条 直线a,b,c,a⊥c,b⊥c.求证：a∥b. 证明：假设所求证的结论不成立，即 ,则直线a与b相交.设它们的交点 为O.因为a⊥c,b⊥c,所以过点O有两条直 线a,b与直线c垂直.这与 相矛盾，所以假设 不成立，所求证的结论成立. 8.(教材P17例2变式)用反证法证明：等腰三 角形的底角都是锐角. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B,∠C都是锐角. B综合运用 。提升能力 9.用反证法证明“三角形中至少有一个角不大 于60°”，应假设 () A.三个角都小于60 B.三个角都大于601 C.三个角都大于或等于60 D.有两个角大于60 10.(易错题)如图，C为两个直角三角尺的公共 顶点，∠A=∠B=30°，则图中等腰三角形 共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， BD平分∠ABC,交AC于点D.若BC=2, 则AD的长为 北 →东 (第11题图) (第12题图) 12.(教材P22习题T12变式)如图，一艘海轮 位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它 以40 n mile/h的速度向正北方向航行，2h 后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处， 则N处与灯塔P的距离为n mile.. 13.(教材P17随堂练习T1变式)如图，BD是 △ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E. (1)求证：△BDE是等腰三角形； (2)当AB=AC时，请判断CD与DE的数 量关系，并说明理由. C创新拓展 ⊙发展素养 14.学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高重合”之后，小波 同学有如下思考：如果把该定理的条件和 结论互换，所得的命题是否成立呢？于是 他做了如下探究： (1)如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC, AD⊥BC,求证：AB=AC; (2)如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC, BD=CD,求证：AB=AC 图① 图② 第一章三角形的证明及其应用 12参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.A2.B3.B4.20° 5.解：∠BAC=95°，∠B=25°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.∠CAD=75°， .∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 6.C7.B 8.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位 角相等，两直线平行 9.B10.45°11.50° 12.解：(1)添加条件：∠BAC=∠EDA.理由如下：在△ABC和△DEA中， AB=DE, ∠BAC=∠EDA,.△ABC≌△DEA(SAS).(2)由(1)知△ABC≌△DEA,∴.∠ACB AC=DA, =∠DAE.∴.∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=180°-∠B=-70..∠BAE= ∠DAE+∠BAC+∠CAD=135°. 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.:∠BPC=90°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.：∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =号∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP=∠P+∠ABP,·∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A+∠ACO-∠OBA. :B0,C0分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=号∠ABP,∠AC0=号∠ACP.∴∠O =∠A+号∠ACP-合∠ABP=∠A+号(90°-∠A)=2∠A+45. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.D2.ACE3.C4.D5.C6.B7.B8.120°9.80° 10.解：(1)，∠A=30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD 的平分线，∴∠BCE=号∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∠ABC-∠BCE=20°.'DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 11.C12.C13.合格 14.(1)解：∠B=35°，∠E=25°，.∠DCE=∠B+∠E=60°.CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE=60°.∴.∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.(2)证明：由(1)知 ∠ACE=∠DCE.:∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E.∴，∠BAC=∠E+ ∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E. 15.解：(1)①130°②∠1+∠2=70°+∠a(2)∠1=70°+∠2十∠a.理由如下：∠1 =∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠a,∴∠1=70°+∠2+∠a.(3)答案 不唯一，如图，∠1十∠2=430°-∠a.理由如下：连接CP.:∠1= ∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,∴∠1+∠2=∠DCP+ ∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°-∠a=70°+360°-∠a= 430°-∠a. 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型 【回归教材·一题一课】 母题：解：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∴∠PBC= 号∠ABC,∠PCB=号∠ACB.∴∠BPC=180°-（∠PBC 一1 +∠PCB)=180°-2（∠ABC+∠ACB)=110. 【延伸问】解：∠A=n°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.，BP,CP分别平 分∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC,∠PCB=号∠ACB.“∠BPC=180 (∠PBC+∠PCB)=180-2(∠ABC+∠ACB)=90+Z 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0,C0分别平 分∠ABC,∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=∠ACD=5:∠0 ∠DC0-∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0,C0分别平分∠ABC, ∠ACD,∠CB0=∠ABC,∠DC0=号∠ACD.·∠0=∠DC0-∠CB0= (∠ACD-∠ABC=∠A. 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，∴.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∠EAB+ ∠FBA=360°-（∠CAB十∠CBA)=250°.：AD,BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAB=是∠EAB,∠DBA=∠FBA.÷∠DAB+∠DBA=是（∠EAB+ ∠FBA)=125°..∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=55°.(2）由题意，得∠CAB+ ∠CBA=180°-∠C..∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C. :AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=名∠EAB,∠DBA=7∠FBA ·∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=90+专∠C∠D=180°-（∠DAB+ ∠DBA)=90°-2∠C 第3课时多边形的内角和 1.C2.A3.205°4.1260°5.C6.D7.1440°8.A9.A10.5或6或7 11.解：(1)1140°÷180°=6…60°，则边数是6十1十2=9..小强是在求九边形的内角 和.(2)少加的那个内角的度数是180°-60°=120°. 第4课时多边形的外角和 1.C2.C3.D4.A5.80° 6.解：设多边形的相邻的外角为x.由题意，得4x十30°+x=180°，解得x=30°..n= 8-12. 7.C8.D9.180 10.解：(1)：所经过的路线正好构成一个每个外角都是20°的正多边形，∴正多边形的 边数为360°÷20°=18..淇淇一共走了18×10=180(m).(2)根据题意，得这个多边形 的内角和是(18-2)×180°=2880°. 专题特训求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M.:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO +∠B①，：∠COM是△AOC的外角，∴.∠COM=∠CAO+∠C②.①+②，得∠BOM +∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2)140° (3)解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.同(1)，易得∠AED=∠A+∠D+ ∠AOD=28°+12°+70°=110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC= ∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°.，∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴∠DAE+∠ADE =(∠DAB+∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE) =110°.(4)解：如图，连接AD.同(1)，得∠F+∠2+∠3=∠DEF③，∠1+∠4+∠C= ∠ABC④.③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+ 100°=230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°. —2 人 A3E0130 4 1002B D 2.180°【变式题1360°【变式题2】540 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.B2.C3.C4.25 5.证明：：AB=AC,AD是△ABC的角平分线，.∠B=∠C,AD⊥BC.AF⊥AD, .AF∥BC..∠1=∠B,∠C=∠2..∠1=∠2. 6.D7.D8.5 9.解：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°.BD是AC边上的高，.∠DBC= 合∠ABC=0.:DE=BD,÷∠E=∠DBC=30.∠BDE=1s0-∠E-∠DC =120° 10.B11.C12.75° 13.解：(1)：△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60°.AD=AE,AC⊥DE,∴AC平分 ∠DAE.∴∠DAC=∠DAE=40∠BAD=∠BAC-∠DAC=20.(2):AD= AE,∠ADE=号(180-∠DAE)=50.:△ABC为等边三角形，∠B=60 ∠ADC=∠BAD+∠B=80°.∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°. 14.解：(1)，△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和 AB=BC, △BCN中，∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS).'.∠BAM=∠CBN. BM=CN, ∴.∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°.(2)成立.证明如下： :△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， AB=BC, ∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS)..∠M=∠N.:∠QAN=∠CAM, BM=CN, ∴.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.A3.A 4.证明：AB=AC,∴∠C=∠B=30°.，∠DAB=45°，.∠ADC=∠B+∠DAB= 75°..∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°.∴.∠DAC=∠ADC..CD=AC.∴.△ACD 是等腰三角形 5.证明：BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.,∠ACB=90°，CE⊥AB,∠CBD+ ∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=9O°.∴.∠CDB=∠BME.∠BME=∠CMD, ∠CDB=∠CMD..CM=CD.∴△CDM是等腰三角形. 6.A7.a与b不平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.证明：假设∠B,∠C都是直角或钝角，则∠B≥90°，∠C≥90°.∴.∠B+∠C≥90°+ 90°=180°.∠A十∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理相矛盾，.假设不成 立.∴等腰三角形的底角都是锐角. 9.B10.D11.212.80 13.(1)证明：BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.DE∥BC,.∠CBD =∠EDB.∠EBD=∠EDB.BE=DE.△BDE是等腰三角形.(2)解：CD=DE. 理由如下：AB=AC,.∠C=∠ABC.DE∥BC,.∠ADE=∠C,∠AED= ∠ABC.∴∠ADE=∠AED.∴.AD=AE.AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)知 一 3 BE=DE,∴.CD=DE 14.证明：(1)：AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°.∴.∠B+∠BAD=90°，∠C+ ∠CAD=90°.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD..∠B=∠C..AB=AC.(2)延 DA=DE, 长AD到点E,使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC, BD=CD, .△ADB≌△EDC(SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE..AD平分∠BAC,'.∠BAD= ∠CAD.∴∠E=∠CAD.∴AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F..AB=AC,AD=AE,'.BF=CF,DF=EF.∴.BF -DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.·△ABC是等边三角形，∠ABC=∠ACB=60°.，D是AC的中 点，∠DBE=号∠ABC=30:CE=CD,∴∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE =60°，.∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,.BF=EF. 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∠AEB=90°.∴∠BAE十∠B=90°.CD⊥ AB,∠DCB+∠B=90°..∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴.∠BAC=2∠BAE. .∠BAC=2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.D是AB的中点，.AD=BD.CD⊥AB,.∠CDA=∠CDB= 90°.又，CD=CD,∴.△ACD≌△BCD(SAS).∴.AC=BC.同理可证BC=AB,,AC =AB. 专题特训等腰三角形中易漏解或多解的问题【易错】 1.102.103.94【变式题1150或65°【变式题2】50或65°或80°4.号或号 5.120°或75或30°6.34°或28°或22°7.75°或15°8.35°或55°9.D10.C 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.∠BCE=∠B(答案不唯一)3.55 4.证明：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30.AD1 AB,AE⊥AC,∠BAD=∠CAE=90°.∴∠ADB=∠AEC=60°.∴.∠EAD=180°- ∠ADB-∠AEC=60°.∴.∠ADE=∠AED=∠EAD.△ADE是等边三角形. 5.B6.1.27.5 8.解：AB=AC,∠BAC-120,∠B=∠C=号(180°-∠BAC)=30.:ADLAB, ∴∠BAD=90°..BD=2AD=12,∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°.∴.∠CAD=∠C. ∴.CD=AD=6.∴.BC=BD+CD=18. 9.D10.B11.212.√3-1 13.解：(1)，△ABC为等边三角形，∠B=60°.DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60. ,EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=30°.(2)：△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠DEC=∠A=60°，∠EDC=∠B=60°. ∴∠DEC=∠EDC=∠ECD.∴.△CDE为等边三角形..DE=CD=2.由(I)知∠F= 30°，∠DEF=90°，.DF=2DE=4. 14.(1)证明：：△ABC是等边三角形，.∠B=60°.DQ⊥AB,RQ⊥BC,.∠B十 ∠BQD=∠BQD十∠PQR=90°.，∠PQR=∠B=60°.同理可得∠PRQ=60°，∴.∠P =180°-∠PQR-∠PRQ=60°=∠PQR=∠PRQ..△PQR是等边三角形.(2)解： 2.4(3)解：，△ABC是等边三角形.∴·∠A=∠B=60°.与(1)同理可得△DQR是等 边三角形，.DQ=DR.又，∠BDQ=∠ARD=90°，.△BDQ≌△ARD(AAS).∴.BD =AR.,∠ADR=90°-∠A=30°，'，AD=2AR=2BD..AB=BD+AD=3BD= 4emBD=专em 4 专题特训利用平行线巧构等腰三角形解题【通性通法】 1.D2.A3.22 4.(1)证明：：BF,CF分别平分∠ABC,∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,∠FCE=∠FCG. ,DF∥BC,∴.∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG..∠DBF=∠DFB,∠FCE= ∠EFC..BD=DF,CE=EF.(2)解：BD-CE=DE 5.解：(1)△ODE是等边三角形.理由如下：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°.OD∥AB,OE∥AC,∴.∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°. ∴.∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=60°.∴.∠ODE=∠OED=∠DOE=60. ∴.△ODE是等边三角形.(2)：BO平分∠ABC,OD∥AB,·∠ABO=∠DBO,∠ABO =∠DOB.∴∠DOB=∠DBO.BD=OD.同理可证CE=OE,.△ODE的周长为 OD+DE+OE=BD++DE+CE=BC=10. 6.证法一：证明：AC=BC,.∠A=∠B.DM∥AB,∴.∠CDM=∠A,∠M=∠B. ∴∠CDM=∠M.,CD=CE,∴.∠CDE=∠CED.,∠CDM+∠M+∠CDE+∠CED =180°，∴.∠CDM+∠CDE=90°，即∠EDM=90°..DE⊥DM.:DM∥AB,.DE⊥AB. 证法二：证明：CD=CE,.∠CDE=∠CED.,BN∥DE,∴∠N=∠CDE,∠CBN= ∠CED..∠N=∠CBN.:AC=BC,.∠A=∠ABC.:∠A+∠ABC+∠CBN+ ∠N=180°，.∠ABC+∠CBN=90°，即∠ABN=90°..BN⊥AB.BN∥DE,.DE ⊥AB. 7.(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.∠ABC=∠ACB=60°.：E是AB的中点， :AE=BE,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACB=30.:CE=DE,∠D=∠BCE =30°.∠BED=∠ABC-∠D=30°=∠D.∴.BD=BE..BD=AE.(2)解：成立.理 由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F.:△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC= ∠ACB=60°..∠DBE=180°-∠ABC=120.EF∥BC,∴.∠AEF=∠ABC=60°， ∠AFE=∠ACB=60°，∠CEF=∠ECD.,△AEF是等边三角形，∠EFC=180°- ∠AFE=l20°=∠DBE.∴.AE=EF.,CE=DE,∴.∠ECD=∠D.∠D=∠CEF.在 ∠D=∠CEF, △DEB和△ECF中，∠DBE=∠EFC,∴.△DEB≌△ECF(AAS)..BD=EF.∴.BD=AE. DE=EC, 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.A3.84.D5.D 6.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=902-602=4500,在△BCD中，BC+CD2 =302+602=4500,.BC+CD2=BD2.∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°. BC⊥CD.∴该车符合安全标准. 7.C 8.解：(1)逆命题：如果a=b,那么a2=b2.原命题是假命题，逆命题是真命题.(2)逆命 题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角.原命题是真命题，逆命题 是假命题.(3)逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角 形分成两个面积相等的三角形.原命题是假命题，逆命题是真命题. 9.D10.B11.12 12.解：(1)是.理由如下：在△BCH中，CH+BH=2.25,BC=2.25,.CH+ BH=BC.∴.△BCH是直角三角形，且∠CHB=90°.∴CH是从村庄C到河边的最 短路线.(2)设AC=AB=xkm,则AH=(x一0.9)km.在Rt△ACH中，由勾股定理， 得AC2=AH+CH,即x2=(x-0.9)2十1.22，解得x=1.25..原来的路线AC的长 为1.25km. 13.解：逆命题：如果一个三角形的两个角的平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角是 直角三角形.逆命题是真命题，证明过程如下：已知：如图， △ABC的两条角平分线AD,BE交于点O,且∠AOE= 45°.求证：△ABC是直角三角形.证明：：AD是∠CAB的 5 平分线，BE是∠ABC的平分线，∠OAB=号∠CAB,∠OBA=号∠ABC.:∠QAB +∠OBA=号（∠CAB+∠ABC.:∠AOE=∠OAB+∠OBA=45,∴∠CAB+ ∠ABC=90°.∴.△ABC是直角三角形. 14.8 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.40° 4.证明：(1).BE⊥AC,DF⊥AC,∴.∠AEB=∠CFD=90°.AF=CE,.AF-EF= CE-EF,即AE=CF.在Rt△ABE和Rt△CDF中， (AB=CD, AE=CF, .Rt△ABE≌ Rt△CDF(HL).(2).△ABE≌△CDF,∴.∠A=∠C..AB∥CD. 5.D 6.解：(I)二(2)：∠ADC=∠AEB=90°，∴.∠BDC=∠CEB=90°.在△DOB和 ∠BDO=∠CEO, △EOC中，∠DOB=∠EOC,∴.△DOB≌△EOC(AAS)..OD=OE.在Rt△ADO和 OB=OC, Rt△AEO中， (0A=OA:R△AD02R△AEO(HD.∠I=∠2 OD-OE, 7.C8.79.5或10 10.(1)证明：.'AM⊥BC,DN⊥BC,.∠AMB=∠DNC=90°..BN=CM,.BN+ MN=CM+MN,即BM=CN.又，'AB=DC,,Rt△ABM≌Rt△DCN(HL).(2)解： 由(1)知Rt△ABM≌Rt△DCN,∴.AM=DN.:'∠AMO=∠DNO=90°，∠AOM= ∠DON,∴△AOM≌△DON(AAS.OM=ON.:BN=CM=4,OM=MN= 号(Bc-BN-C0=4 ∠B=∠D, 11.解：(1)在△ABC和△EDC中，BC=DC, .△ABC≌△EDC(ASA).,.AB ∠ACB=∠ECD, =DE.∴D,E两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.(2)在过点B且与AB垂直的 方向上取一点C,用测角仪测得∠ACB=∠BCD,且点D在AB的延长线上，那么B,D 两点间的距离就是路灯A,B之间的距离.理由如下：在△ABC与△DBC中， ∠ABC=∠DBC, BC=BC, .△ABC≌△DBC(ASA)..AB=BD. ∠ACB=∠DCB, 专题特训共顶点的等腰三角形一手拉手模型 1.证明：BA=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA,∠BDE=∠BED.∴∠ABC=180 -∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC,∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°- 2∠BDE.:∠BAC=∠BDE,∴.∠ABC=∠DBE..∠ABC+∠CBD=∠DBE+ BA=BC, ∠CBD,即∠ABD=∠CBE.在△ABD和△CBE中，J∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌ BD=BE, △CBE(SAS)..∴.∠BAD=∠BCE. 2.(1)证明：，△ABC和△ADE都是等边三角形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=60°.∴，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD AB=AC, 和△ACE中，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：由(1)知△ABD≌ AD-AE, △ACE,.BD=CE=3.△ADE是等边三角形，..DE=AE=2..BE=BD十DE =5. —6—