1.2 第2课时等腰三角形的判定与反证法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

参考答案 同步训练 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理的证明及应用 1.A2.A3.35904.60°5.120°6.115 7.解：(1)42 (2)证明：：∠2+∠BDE+∠EDC=180°，∠1+∠C+ ∠EDC=180°，∠2=∠1，∴.∠C=∠BDE {∠C=∠BDE, 在△AEC和△BED中，∠A=∠B, AE=BE, ∴.△AEC≌△BED(AAS). 8.D9.48°或88°或96°10.(1)15°(2)15 11.解：(1)①∠BAD=44°，∠CAE=57°，∠BAC=79 ②180° (2)证明：如图，过点C作直线EF∥AB. E.- ,EF∥AB, ∴.∠BCF=∠B,∠ACE=∠A, ∴.∠A+∠B+∠ACB=∠ACE+ ∠BCF+∠ACB=180°. (3)66° 第2课时三角形的外角 1.C2.A3.B4.40° 5.解：证法1：三角形内角和定理平 角的定义等量代换等式的基本E 性质1 证法2：如图，过点A作AE∥BC ,AE∥BC, ∴∠DAE=∠C,∠B=∠EAB, ∴∠DAB=∠BAE+∠DAE=∠B+∠C 6解：如图，连接AD并延长. 因为∠1=∠3+∠C,∠2=∠4+∠B, 所以∠BDC=∠1+∠2=∠3+∠C十 ∠4+∠B=(∠3+∠4)+∠B+ ∠C=90°+22°+26°=138°. 因为138°≠140°，所以此工件不合格 7.B8.<9.C10.A 11.解：(1)75 (2)证明：因为∠BDC为△ABD的外角，所以∠BDC>∠A. 同理可得，∠BEC>∠BDC,所以∠BEC>∠A. 12.解：(1)61 2(90+7) (3)∠F的大小不会改变. :BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线， ∴∠EBA=∠NBA,∠BAF-∠BAO, 1 ·∠F=∠EBA-∠BAF=2（∠NBA-∠BAO)= ·答影 第3课时多边形的内角和 1.C【变式】七2.450°3.九1260°4.D【变式】9 5.31.5°6.C【变式】7或8或97.45° 8.解：(1)∠A十∠D=∠B十∠C,理由如下： ,在△AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D, 在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠C, ∠AOD=∠BOC, ∴.180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C, ∴∠A+∠D=∠B+∠C. (2)360° 第4课时多边形的外角和 1.C2.B【变式】103.D4.2855.66.127.D 8.C9.80 10.解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.理由 如下： 如图，∠1=∠A十∠B,∠2=∠C+∠D,∠3=∠E十∠F. :∠1+∠2+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. A D 2等腰三角形 第1课时等腰三角形和等边三角形的性质 1.D【变式】100°2.B3.D4.45.15°6.C7.C 8.120° 9.证明：：在等边三角形ABC中，AB=CA,∠BAC= ∠ACB=60°，∴.∠EAB=∠DCA=120° 在△EAB和△DCA中， ,AE=CD,∠EAB=∠DCA,AB=CA, ∴.△EAB≌△DCA(SAS),∴.BE=AD. 10.D11.D12.913.2√/314.①②④ 15.30°或120°或150° 16.解：∠BQM=60°，是定值. 证明：：△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC. ,BM=CN,.△ABM≌△BCN(SAS). 如题图1，.'△ABM≌△BCN,∴.∠BAM=∠CBN, ∴.∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ= ∠ABC=60°. 如题图2，同理可得，∠BQM=60°. 如题图3，∠BQM=∠N十∠NAQ: :△ABM≌△BCN,.∠M=∠N. :∠CAM=∠NAQ,∠ACB=∠M+∠CAM=∠N+ ∠NAQ,∴.∠BQM=∠N+∠NAQ=∠ACB=60°. .∠BQM的度数是定值. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.D3.34.200 5.证明：'AQ=AR,∴∠R=∠AQR. 又.∠BQP=∠AQR,.∠R=∠BQP. 1· 在Rt△QPB和Rt△RPC中， ∠B+∠BQP=90°，∠C+∠R=90°， ∴.∠B=∠C,.AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 6.c7.D 8.证明：假设△ABC中的∠A,∠B,∠C都小于60°， 则∠A+∠B+∠C<3×60°， 即∠A十∠B十∠C<180°，这与三角形的内角和定理矛盾， 因此∠A,∠B,∠C都小于60°不成立， 所以一个三角形中至少有一个角不小于60°. 9.c10A1.(9.0或（日，0） 12.解：(1)证明：：AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF. :AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB, ∠B=∠ACB,∴△ABC是等腰三角形. (2)70° 13.解：4个，作图如图所示. 00°- 变式微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推 【例】12【变式1】5【变式2】5 第3课时等边三角形的判定与含30°角的 直角三角形的性质 1.C2.48 3.证明：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠CAB=60° ,DF⊥AB,DE⊥CB,EF⊥AC, ∴.∠DAB=∠CBE=∠ACF=90°， ∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°， ∴∠D=∠E=∠F=180°-90°-30°=60°， ∴△DEF是等边三角形. 【变式】证明：，△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC, ∴.∠EAF=∠EBD=120° ,BE=CD,∴，BE+AB=CD+BC,即AE=BD 在△BDE和△AEF中， BE=AF,∠EBD=∠FAE,BD=AE, .△BDE≌△AEF(SAS),.ED=EF. 同理可得，EF=FD,EF=ED=FD, ∴，△DEF是等边三角形. 4.c5.B6.33+37.C8.B9.①③ 10.解：(1)证明：，∠BAC=90°，∠C=30°， .∠ABC=90°-30°=60°. :BF平分∠ABC,∠CBF=∠ABF=30. AD⊥BC,.∠ADB=90°， ∴∠AEF=∠BED=90°-∠CBF=60. :∠AFB=90°-∠ABF=60°， ·答 ∠AFE=∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形. (2)AD=3 11.解：(1)点N运动到点C 理由：当点M运动到点C时，t= 212 1 点N的运动速度为2cm/s, ∴.点N的运动路程为12×2=24(cm). .AB=AC=12 cm,..AC+AB=24 cm, ,点N运动到点C. (2)点M,N运动4s时，可得到等边三角形AMN (3)点M,N运动4.8s或3s或15s或18s时，可得到直 角三角形AMN. 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.C3.24【变式】4或√/344.4km5.A6.B 7.证明：在Rt△ABC中， ∠BCA=90°，AC=12,AB=13, .BC=√AB2-AC2=√/132-122=5. 在△BCD中，：CD=4,BD=3,BC=5, ∴.CD2十BD2=BC2,∴.△BCD是直角三角形 8.B 9.底边上的高线与中线互相重合的三角形为等腰三角形真 3 10.A11.2 12.613.45% 14.(1)∠A=90°(2)AE=1.4 15.(1)135°(2)被监控到的道路长度为70√2米 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.4 4.证明：BE=FC, ∴.BE+EC=FC+EC,即BC=FE 在Rt△ABC和R△DFE中，AC=DE, (BC=FE, .Rt△ABC≌Rt△DFE(HL). 5.(答案不唯一，合理即可)(1)SSS(2)SAS(3)HL (4)ASA (5)AAS 6.C7.A8.D9.5或10 10.解：(1)证明：：∠ABC=90°，∠CBF=∠ABE=90. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ,'AE=CF,AB=CB,.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL), ∴.BE=BF (2)689 11.解：(1)由折叠，得AE=AC,ED=CD,∠EAD= ∠CAD,∠ADE=∠ADC,∠AED=∠C=90. (2)证明：证法1：∠C=90°，∠B=30°， ∴.∠BAC=90°-∠B=60°， ∠EAD=∠CAD=7∠BAC=30°，∠EAD=∠B 点E在AB上，且∠AED=∠C=90°， ∴.∠AED=∠BED=90 ∠EAD=∠B, 在△AED和△BED中，∠AED=∠BED, DE-DE, 案2·第2课时 等腰三 A知识分点练 夯基础、 知识点1等腰三角形的判定 1.下列条件能判定△ABC是等腰三角形的是() A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=50°，∠B=80° C.∠A=2∠B=70 D.AB=3,BC=7,周长为15 2.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线 过点D作DE∥BC,交AB于点E.若DE=8, 则EB的长是 () A.5 B.6 C.6.5 D.8 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠DBC=36°， ∠C=72°，则图中等腰三角形有 个. 4.在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，要 到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东 方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方 向走，恰能到达目的地C处（如图），那么B,C 两地相距 m. 609 309 5.(教材P21习题T7变式)如图，在△ABC中，P是 边BC上的一点，过点P作BC的垂线，交AB 于点Q,交CA的延长线于点R.若AQ=AR, 求证：△ABC是等腰三角形. 12数学8年级下册BS版 角形的判定与反证法 知识点2反证法 6.用反证法证明命题“在△ABC中，如果AB≠ AC,那么∠B≠∠C”时，应先假设 () A.∠B>∠C B.∠B<∠C C.∠B=∠C D.∠B≠∠C 7.在△ABC中，已知AB=AC.求证：∠B<90°. 下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的 内角和为180°矛盾. ②因此假设不成立，所以∠B<90°. ③假设在△ABC中，∠B≥90°. ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即∠B+ ∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是 A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①② 8.用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角 不小于60°. B能力综合练 练思维、 9.(教材P16例1变式)如图，AC,BD相交于点O, ∠A=∠D.如果请你再补充一个条件，使得 △BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能 是 ( ) A.OA=OD B.AB=CD C.∠ABO=∠DCOD.∠ABC=∠DCB 10.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, (2)作∠ACE的平分线，交AF于点G,若 BD⊥CD,∠A=∠ABD.若BD=1,BC=3,则 ∠B=40°，求∠AGC的度数. AC的长为 A.5 B.4 C.3 D.2 11.【分类讨论思想】在平面直角坐标系中，已知点 A(0,3),B(4,0),点P在x轴正半轴上.若 △ABP是等腰三角形，则点P的坐标是 12.(教材P17随堂练习T1变式)如图，已知D,E分 拓展探究练 别是△ABC的边BA和BC延长线上的点， 提素养、 作∠DAC的平分线AF,且AF∥BC. 13.(教材P22习题T11变式)如图，已知线段a和锐 (1)求证：△ABC是等腰三角形； 角α，求作等腰三角形，使等腰三角形的一个 角为a,一条边为a.这样的三角形你能画出几 个呢？（不写作法，只保留作图痕迹) B 变式微专题1角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 方法指导如图，∠1=∠2，AC∥BD,AB=AC(或AB=AD),三个条件可知二推一 例如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE∥BC,交AC于点E.若DE=5,AE=7,则AC的长为 例题图 变式1题图 变式2题图 变式1如图，在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于 点D,E.若BD十CE=5,则DE的长为 变式2如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F,过点F作DF∥BC,交AB于点 D,交AC于点E.若BD=8,DE=3,则CE的长为 第一章三角形的证明及其应用13