1.1 第3课时 多边形的内角和&第4课时 多边形的外角和&专题特训 求不规则多边形的内角和的有关技巧-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

第3课时 ①分点训练 。夯实基础 知识点①多边形的内角和 1.(云南中考)一个六边形的内角和等于( A.360° B.540° C.720° D.900° 2.若一个多边形的内角和是900°，则这个多边 形是 ( A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 3.(长沙中考)如图，在五边形 ABCDE中，∠B=120°，∠C= 110°，∠D=105°，则∠A+∠E A 的度数为 4.(教材P11习题T5变式)若从某多边形的一 个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边 形的内角和是 知识点2正多边形 5.情境题传统文化我国古代园林连廊常采用 八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边 形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个 画框之中.如图，这是一个正八边形窗户的 示意图，这个正八边形的每一个内角的度 数是 ( A.105° B.120° C.135° D.150° (第5题图) (第6题图) 6.如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力 片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合）， 则形成的∠1的度数是 ( A.118°B.122° C.128° D.132° 7.某正多边形的一个内角是144°，则它的内角 和是 边形的内角和 B综合运用 。提升能力 8.下列角度不是多边形的内角和的是() A.600° B.720° C.900° D.1080° 9.如图，已知AB,BC,CD是正n边形的三条 边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形 的外部作正方形BCMN,若∠ABN=120°， 则n的值为 A.12 B.10 C.8 D.6 10.(教材P8“思考·交流”变式)一个多边形截 去一个角后，得到的另一个多边形的内角 和为720°，那么原多边形的边数为 11.如图，根据图中的对话解答下列问题： (1)小强是在求几边形的内角和？ (2)求少加的那个内角的度数. 这个多边形 不对呀！仔细检 的内角和是 查一下，看！你 1140°. 少加了一个内角 小强 小军 第一章三角形的证明及其应用 6 第4课时 A分点训练 。夯实基础 知识点多边形的外角和 1.七边形的外角和为 A.30° B.150° C.360° D.1800° 2.若正多边形的一个外角是45°，则这个正多 边形是 () A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形 3.在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸 片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条 边与长方形的边重合，如图所示，则∠α的度 数为 A.54° B.609 C.70° D.72 (第3题图) (第5题图) 4.(遂宁中考)已知一个凸多边形的内角和是 外角和的4倍，则该多边形的边数为( A.10 B.11 C.12 D.13 5.如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则 ∠5的度数为 6.(教材P11习题T8变式)已知一个多边形的 边数为n,若这个多边形的每个内角都比与 它相邻的外角的4倍多30°，求n的值， 7数学八年级下册北师大版 边形的外角和 B综合运用 。提升能力 7.一个正多边形的内角和为1080°，则这个正 多边形的每个外角为 () A.36° B.40° C.45° D.60° 8.某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接 组成了五边形ABCDE,固定边CD,将点A 向下推，使点B,A,E共线，形成四边形 BCDE,如图所示，则此变化过程中() A.内角和减少了360 B.内角和增加了180° C.外角和减少了180° D.外角和不变 D (第8题图) (第9题图) 9.如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED,∠1， ∠2，∠3分别是∠ABC,∠BCD,∠CDE的 外角，则∠1+∠2+∠3的度数为 10.如图，淇淇从点A出发，前进10m后向右 转20°，再前进10m后又向右转20°，这样 一直下去，直到他第一次回到出发点A为 止，他所走的路径构成了一个多边形 (1)淇淇一共走了多少米？ (2)求这个多边形的内角和. A 29° 20 专题特训 求不规则多 模型提炼：“8字型”：如图①，∠1十∠2=∠3十∠4 “飞镖型”：如图②，连接AO并延长（或延长BO,交 AC于点D或连接BC等)，易得∠BOC=∠B十 ∠BAC+∠C. 29 40 3 图① 图② 1.(1)【验证“飞镖型”结论】如图，求证：∠BOC= ∠A+∠B+∠C. (2)【直接应用】一个零件形状D, 的示意图如图所示，∠B 20°，∠D=30°.若按规定 ∠A=90°时这个零件合 格，则此时∠BCD的度数为 (3)【变式应用·一题多解】一把帆布折椅的侧 面示意图如图所示，∠A=28°，∠D=12°， ∠ABC=64°，∠BCD=46°，求椅面和椅背 的夹角∠AED的度数.（请将下面解题 过程补充完整) 解法一：（直接运用“飞镖型”结论） 边形的内角和的有关技巧 解法二：（构造“8字型”） (4)【拓展应用】如图，∠ABC=100°，∠DEF= 130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数. E130 1002B 7 2.【一题多解】如图，∠A十∠B十∠C十∠D十 ∠E的度数为 3 (第2题图)（变式题1图）（变式题2图） 【变式题1】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+十 ∠E十∠F的度数为 【变式题2】如图，∠1+∠2+∠3+∠4十 ∠5+∠6+∠7的度数为 第一章三角形的证明及其应用8参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.A2.B3.B4.20° 5.解：∠BAC=95°，∠B=25°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.∠CAD=75°， .∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 6.C7.B 8.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位 角相等，两直线平行 9.B10.45°11.50° 12.解：(1)添加条件：∠BAC=∠EDA.理由如下：在△ABC和△DEA中， AB=DE, ∠BAC=∠EDA,.△ABC≌△DEA(SAS).(2)由(1)知△ABC≌△DEA,∴.∠ACB AC=DA, =∠DAE.∴.∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=180°-∠B=-70..∠BAE= ∠DAE+∠BAC+∠CAD=135°. 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.:∠BPC=90°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.：∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =号∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP=∠P+∠ABP,·∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A+∠ACO-∠OBA. :B0,C0分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=号∠ABP,∠AC0=号∠ACP.∴∠O =∠A+号∠ACP-合∠ABP=∠A+号(90°-∠A)=2∠A+45. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.D2.ACE3.C4.D5.C6.B7.B8.120°9.80° 10.解：(1)，∠A=30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD 的平分线，∴∠BCE=号∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∠ABC-∠BCE=20°.'DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 11.C12.C13.合格 14.(1)解：∠B=35°，∠E=25°，.∠DCE=∠B+∠E=60°.CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE=60°.∴.∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.(2)证明：由(1)知 ∠ACE=∠DCE.:∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E.∴，∠BAC=∠E+ ∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E. 15.解：(1)①130°②∠1+∠2=70°+∠a(2)∠1=70°+∠2十∠a.理由如下：∠1 =∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠a,∴∠1=70°+∠2+∠a.(3)答案 不唯一，如图，∠1十∠2=430°-∠a.理由如下：连接CP.:∠1= ∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,∴∠1+∠2=∠DCP+ ∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°-∠a=70°+360°-∠a= 430°-∠a. 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型 【回归教材·一题一课】 母题：解：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∴∠PBC= 号∠ABC,∠PCB=号∠ACB.∴∠BPC=180°-（∠PBC 一1 +∠PCB)=180°-2（∠ABC+∠ACB)=110. 【延伸问】解：∠A=n°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.，BP,CP分别平 分∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC,∠PCB=号∠ACB.“∠BPC=180 (∠PBC+∠PCB)=180-2(∠ABC+∠ACB)=90+Z 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0,C0分别平 分∠ABC,∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=∠ACD=5:∠0 ∠DC0-∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0,C0分别平分∠ABC, ∠ACD,∠CB0=∠ABC,∠DC0=号∠ACD.·∠0=∠DC0-∠CB0= (∠ACD-∠ABC=∠A. 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，∴.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∠EAB+ ∠FBA=360°-（∠CAB十∠CBA)=250°.：AD,BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAB=是∠EAB,∠DBA=∠FBA.÷∠DAB+∠DBA=是（∠EAB+ ∠FBA)=125°..∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=55°.(2）由题意，得∠CAB+ ∠CBA=180°-∠C..∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C. :AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=名∠EAB,∠DBA=7∠FBA ·∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=90+专∠C∠D=180°-（∠DAB+ ∠DBA)=90°-2∠C 第3课时多边形的内角和 1.C2.A3.205°4.1260°5.C6.D7.1440°8.A9.A10.5或6或7 11.解：(1)1140°÷180°=6…60°，则边数是6十1十2=9..小强是在求九边形的内角 和.(2)少加的那个内角的度数是180°-60°=120°. 第4课时多边形的外角和 1.C2.C3.D4.A5.80° 6.解：设多边形的相邻的外角为x.由题意，得4x十30°+x=180°，解得x=30°..n= 8-12. 7.C8.D9.180 10.解：(1)：所经过的路线正好构成一个每个外角都是20°的正多边形，∴正多边形的 边数为360°÷20°=18..淇淇一共走了18×10=180(m).(2)根据题意，得这个多边形 的内角和是(18-2)×180°=2880°. 专题特训求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M.:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO +∠B①，：∠COM是△AOC的外角，∴.∠COM=∠CAO+∠C②.①+②，得∠BOM +∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2)140° (3)解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.同(1)，易得∠AED=∠A+∠D+ ∠AOD=28°+12°+70°=110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC= ∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°.，∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴∠DAE+∠ADE =(∠DAB+∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE) =110°.(4)解：如图，连接AD.同(1)，得∠F+∠2+∠3=∠DEF③，∠1+∠4+∠C= ∠ABC④.③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+ 100°=230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°. —2 人 A3E0130 4 1002B D 2.180°【变式题1360°【变式题2】540 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.B2.C3.C4.25 5.证明：：AB=AC,AD是△ABC的角平分线，.∠B=∠C,AD⊥BC.AF⊥AD, .AF∥BC..∠1=∠B,∠C=∠2..∠1=∠2. 6.D7.D8.5 9.解：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°.BD是AC边上的高，.∠DBC= 合∠ABC=0.:DE=BD,÷∠E=∠DBC=30.∠BDE=1s0-∠E-∠DC =120° 10.B11.C12.75° 13.解：(1)：△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60°.AD=AE,AC⊥DE,∴AC平分 ∠DAE.∴∠DAC=∠DAE=40∠BAD=∠BAC-∠DAC=20.(2):AD= AE,∠ADE=号(180-∠DAE)=50.:△ABC为等边三角形，∠B=60 ∠ADC=∠BAD+∠B=80°.∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°. 14.解：(1)，△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和 AB=BC, △BCN中，∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS).'.∠BAM=∠CBN. BM=CN, ∴.∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°.(2)成立.证明如下： :△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， AB=BC, ∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS)..∠M=∠N.:∠QAN=∠CAM, BM=CN, ∴.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.A3.A 4.证明：AB=AC,∴∠C=∠B=30°.，∠DAB=45°，.∠ADC=∠B+∠DAB= 75°..∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°.∴.∠DAC=∠ADC..CD=AC.∴.△ACD 是等腰三角形 5.证明：BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.,∠ACB=90°，CE⊥AB,∠CBD+ ∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=9O°.∴.∠CDB=∠BME.∠BME=∠CMD, ∠CDB=∠CMD..CM=CD.∴△CDM是等腰三角形. 6.A7.a与b不平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.证明：假设∠B,∠C都是直角或钝角，则∠B≥90°，∠C≥90°.∴.∠B+∠C≥90°+ 90°=180°.∠A十∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理相矛盾，.假设不成 立.∴等腰三角形的底角都是锐角. 9.B10.D11.212.80 13.(1)证明：BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.DE∥BC,.∠CBD =∠EDB.∠EBD=∠EDB.BE=DE.△BDE是等腰三角形.(2)解：CD=DE. 理由如下：AB=AC,.∠C=∠ABC.DE∥BC,.∠ADE=∠C,∠AED= ∠ABC.∴∠ADE=∠AED.∴.AD=AE.AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)知 一 3