第一章 三角形的证明及其应用 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】&第3课时多边形的内角和-【精英新课堂·三点分层作业】 2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新

专题特训 与三角形的双角平分线 母题：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点P,求∠BPC的 度数. 【延伸问】如将“∠A=40°”改为“∠A=n°”，求 ∠BPC的度数. 【变式题1】两内角平分线→一内角一外角平分线 如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的 平分线相交于点O. (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的度数； (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并说明 理由. 有关的解题模型【回归教材·一题一课】 教材P52复习题T19延伸 【变式题2】两内角平分线→两外角平分线 如图，在△ABC中，∠C=70°，AD,BD是 △ABC的外角平分线，AD与BD交于点D. (1)求∠D的度数； (2)若去掉“∠C=70°”这个条件，求∠C与∠D 之间的数量关系. 模型总结：如图，BP,CP是△ABC的两条内角平分 线，CM,BN,CN是△ABC的三条外角平分线， 则有： @∠BPC=90°+2∠A, @∠M=-Z∠A; ③∠N=90°-7∠A: ④∠PBN=∠PCN=90°. 利用上述关系可以快速解决相关小题， 第-章三角形的证明及其应用5 第3课时 ①分点训练 。夯实基础 知识点①多边形的内角和 1.(2025·云南中考)一个六边形的内角和 等于 () A.360 B.5409 C.720 D.9009 2.若一个多边形的内角和是900°，则这个多边 形是 ) A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 3.(2025·长沙中考)如图，在五边 形ABCDE中，∠B=120°，∠C= 110°，∠D=105°，则∠A+∠E的 度数为 4.(教材P11习题T5变式)若从某多边形的一 个顶点出发可引出6条对角线，则这个多边 形的内角和是 知识点2正多边形 5.情境题传统文化我国古代园林连廊常采用 八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边 形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个 画框之中.如图，这是一个正八边形窗户的 示意图，这个正八边形的每一个内角的度 数是 ) A.105° B.120 C.135° D.150° (第5题图) (第6题图) 6.如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力 片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合）， 则形成的∠1的度数是 () A.118° B.122° C.128° D.132° 7.某正多边形的一个内角是144°，则它的内角 和是 6 数学八年级下册北师大版 边形的内角和 B综合运用 。提升能力 8.下列角度不是多边形的内角和的是() A.600° B.720° C.900° D.1080° 9.如图，已知AB,BC,CD是正n边形的三条 边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形 的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°， 则n的值为 A.12 B.10 C.8 M D.6 10.(教材P8“思考·交流”变式)一个多边形截 去一个角后，得到的另一个多边形的内角和 为720°，那么原多边形的边数为 11.如图，根据图中的对话解答下列问题： (1)小强是在求几边形的内角和？ (2)求少加的那个内角的度数 G 这个多边形不对呀！仔细检 的内角和是 查一下，看！你 2L140加 少加了 ·个内角 小强 小军参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.A2.B3.B4.20° 5.解：∠BAC=95°，∠B=25°，.∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.：∠CAD=75°， .∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 6.B7.B 8.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位角相 等，两直线平行 9.B10.45°11.50° 12.解：(1)添加条件：∠BAC=∠EDA.理由如下：在△ABC和△DEA中， AB=DE, ∠BAC=∠EDA,.△ABC≌△DEA(SAS).(2)由(1)知△ABC≌△DEA,∴.∠ACB= AC=DA, ∠DAE.∴.∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=18O°-∠B=70°..∠BAE=∠DAE+ ∠BAC+∠CAD=135°. 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.,∠BPC=90°， ∴∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP=∠ACB- ∠PCB,∴·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC+∠ACB)- (∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90=90-∠A.(3)解：①30②∠0=号∠A+45.【解 析】由题意，易得∠A十∠ACP=∠P+∠ABP,·∠ACP-∠ABP=90°-∠A.同理可得 ∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A+∠ACO-∠OBA.:BO,CO分别平分 ∠ABP,∠ACP,∠OBA=∠ABP,∠AC0-∠ACP.∠0=∠A+号∠ACP- 号∠ABP=∠A+合(90°-∠A)=合∠A+45. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.D2.ACE3.C4.D5.C6.B7.B8.120°9.80° 10.解：(1)∠A=30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.，CE是∠BCD的 平分线，∠BCE=合∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70°，∴∠BEC=∠ABC- ∠BCE=20°.DF∥CE,∴.∠F=∠BEC=20. 11.C12.C13.22.5° 14.(1)解：∠B=35°，∠E=25°，.∠DCE=∠B+∠E=60°.：CE平分∠ACD, ∠ACE=∠DCE=60°..∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.(2)证明：由(1)知∠ACE= ∠DCE.I∠DCE=∠B+∠E,∴∠ACE=∠B+∠E.∴∠BAC=∠E+∠ACE=∠E+ ∠B+∠E=∠B+2∠E. 15.解：(1)①130°②∠1+∠2=70°+∠a(2)∠1=70°+∠2+∠a.理由 如下：'∠1=∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠a,∴∠1=70°+∠2+∠a (3)答案不唯一，如图，∠1十∠2=430°-∠a.理由如下：连接CP.∠1 ∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,∴.∠I+∠2=∠DCP+∠DPC+ ∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°-∠a=70°+360°-∠a=430°-∠a. 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.BP,CP分别平分∠ABC, ∠ACB,∴∠PBC=Z∠ABC,∠PCB=∠ACB.∠BPC=180-(∠PBC+∠PCB)- 180°-号（∠ABC+∠ACB)=10 【延伸问】解：：∠A=n°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC,∠PCB-∠ACB.÷∠BPC=18O-(∠PBC+ ∠PCB)=180°-2（∠ABC+∠ACB)=90+2. 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴.∠ACD=180°-∠ACB=110°.：BO,CO分别平分 一1 ∠ABC,∠ACD,∠CB0=∠ABC=30,∠DG0=∠ACD=55.∴∠0=∠D00- ∠CB0-25.(2②)∠0-合∠A理由如下：B0,C0分别平分∠ABC,∠ACD,∠CB0 ∠ABC,∠DC0=合∠ACD.&∠0=∠D0-∠CB0=合（∠ACD-∠ABC)= 3∠A 【变式题2】獬：(1)∠C=70°，∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∴.∠EAB+∠FBA =360°-（∠CAB+∠CBA)=250°.：AD,BD是△ABC的外角平分线，∴.∠DAB= ∠EAB,∠DBA=合∠FBA.∠DAB+∠DBA=合（∠EAB+∠PBA)=125.:∠D =180°-（∠DAB+∠DBA)=55°.(2）由题意，得∠CAB+∠CBA=180°-∠C..∠EAB +∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C.:AD,BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAB=∠EAB,∠DBA=∠FBA.∴∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)= 90+2∠C.∠D=180-(∠DAB+∠DBA)=90-∠C 第3课时多边形的内角和 1.C2.A3.205°4.1260°5.C6.D7.1440°8.A9.A10.5或6或7 11.解：(1)1140°÷180°=6…60°，则边数是6+1十2=9..小强是在求九边形的内角和. (2)少加的那个内角的度数是180°-60°=120°. 第4课时多边形的外角和 1.C2.C3.D4.A5.809 6解：设多边形的相邻的外角为x由题意，得红十3十一180解得一30a警-12 7.C8.D9.180 10.解：(1)：所经过的路线正好构成一个每个外角都是20°的正多边形，正多边形的边数 为360°÷20°=18.∴.淇淇一共走了18×10=180(m).(2)根据题意，得这个多边形的内角和 是(18-2)×180°=2880°. 专题特训求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(I)证明：连接AO并延长至点M.:∠BOM是△ABO的外角，.∠BOM=∠BAO十∠B ①，：∠COM是△AOC的外角，∴∠COM=∠CAO+∠C②.①+②，得∠BOM+∠COM =∠BAO+∠B+∠CAO十∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2)140°(3)解法一：解： 设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠COB=180°-∠ABC-∠BCD= 70°.∴∠AOD=∠C0B=70°.同(1)，易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD=28°+12°+70°= 110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC=∠ABC十∠BCD=64°十46°= 110°.·∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)-∠BAE- ∠CDE=70°..∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°.(4）解：如图，连接AD.同(1)，得∠F+ ∠2+∠3=∠DEF③，∠1十∠4+∠C=∠ABC④.③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1十∠4+∠C= ∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°. 9 A3E0130° 4 1002B D 2.180°【变式题1】360°【变式题2】540° 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.C2.C3.C4.25° 5.解：AB=AC,∠BAC=120,∠B=∠C=(180-∠BAC)=30.BD=AB, ∠BAD=∠BDA=号180°-∠B)=75.:∠ADC=180-∠BDA=105. 6.D7.D8.5 一2 9.解：，△ABC是等边三角形，，.∠ABC=60°.，·BD是AC边上的高，.∠DBC= 号∠ABC=30.DE=BD,∠E=∠DBC=30.·∠BDE=180-∠E-∠DBC =120°. 10.B11.C12.75° 13.解：(1)△ABC为等边三角形，.∠BAC=60°.AD=AE,AC⊥DE,AC平分 ∠DAE.∠DAC=∠DAE=40.∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=20.(2):AD=AE, ∠ADE=2180°-∠DAE)=50.:△ABC为等边三角形，∠B=60:∠ADC= ∠BAD+∠B=80°.∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°. 14.解：(1)，△ABC是等边三角形，∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和 (AB-BC, △BCN中，∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS).∴.∠BAM=∠CBN..∠BQM BM-CN, =∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°.(2)成立.证明如下：'△ABC是等 边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， AB=BC, ∠ABM=∠BCN,∴，△ABM≌△BCN(SAS).∴.∠M=∠N.∠QAN=∠CAM, BM=CN, ∴.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.A3.A 4.证明：AB=AC,.∠C=∠B=30°.∠DAB=45°，∠ADC=∠B+∠DAB=75 ∴.∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75.∠DAC=∠ADC.∴.CD=AC.△ACD是等腰三 角形. 5.证明：BD平分∠ABC,.∠CBD=∠ABD.,∠ACB=90°，CE⊥AB,.∠CBD+ ∠CDB=9O°，∠ABD+∠BME=9O°.∴.∠CDB=∠BME.,∠BME=∠CMD,∴.∠CDB =∠CMD.∴.CM=CD.∴△CDM是等腰三角形. 6.A7.a与b不平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.证明：假设∠B,∠C都是直角或钝角，则∠B≥90°，∠C≥90°..∠B十∠C≥90°十90°= 180°..∠A+∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理相矛盾，∴.假设不成立..等腰三 角形的底角都是锐角. 9.B10.D11.212.80 13.(I)证明：，BD是△ABC的角平分线，∠CBD=∠EBD.DE∥BC,∴.∠CBD= ∠EDB.∴·∠EBD=∠EDB..BE=DE.△BDE是等腰三角形.(2)解：CD=DE.理由如 下：'AB=AC,∴∠C=∠ABC.:DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC.∴∠ADE =∠AED.AD=AE.AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)知BE=DE,∴.CD=DE. 14.证明：(1)，AD⊥BC,∴∠BDA=∠CDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD= 90°.AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∴∠B=∠C..AB=AC.(2)延长AD到点E, (DA=DE, 使DE=DA,连接CE.在△ADB和△EDC中，∠ADB=∠EDC,∴.△ADB≌△EDC BD-CD, (SAS)..∠BAD=∠E,AB=CE.,AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD.∴∠E= ∠CAD.AC=CE.AB=AC. 专题特训利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线 1.证明：过点A作AF⊥BC于点F.AB=AC,AD=AE,∴.BF=CF,DF=EF.∴.BF DF=CF-EF.∴.BD=CE. 2.证明：连接BD.:△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.D是AC的中点， ÷∠DBE=7∠ABC=30.:CE=CD∠CDE=∠E.:∠ACB=∠E+∠CDE=6o, ∠E=30°=∠DBE..BD=DE.DF⊥BE,BF=EF 3.证明：过点A作AE⊥BC于点E,∴∠AEB=90°.∴∠BAE+∠B=90°.：CD⊥AB, ∴∠DCB+∠B=90°.∴∠DCB=∠BAE.AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE.∴.∠BAC= 2∠DCB. 4.2【变式题】D 5.证明：连接BC.:D是AB的中点，AD=BD.CD⊥AB,∴∠CDA=∠CDB=90°.又 3