1.1 第2课时 三角形内角和定理的推论&专题特训 与三角形的双角平分线有关的解题模型-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

参考答案 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 1.A2.B3.B4.20° 5.解：∠BAC=95°，∠B=25°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=60°.∠CAD=75°， .∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°. 6.C7.B 8.两直线平行，同位角相等BDAB=DE SAS全等三角形的对应角相等同位 角相等，两直线平行 9.B10.45°11.50° 12.解：(1)添加条件：∠BAC=∠EDA.理由如下：在△ABC和△DEA中， AB=DE, ∠BAC=∠EDA,.△ABC≌△DEA(SAS).(2)由(1)知△ABC≌△DEA,∴.∠ACB AC=DA, =∠DAE.∴.∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=180°-∠B=-70..∠BAE= ∠DAE+∠BAC+∠CAD=135°. 13.(1)解：120°(2)证明：由题意，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A.:∠BPC=90°， .∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=90°.：∠ABP=∠ABC-∠PBC,∠ACP= ∠ACB-∠PCB,∴·∠ABP+∠ACP=∠ABC-∠PBC+∠ACB-∠PCB=(∠ABC +∠ACB)-(∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A.(3)解：①30°②∠O =号∠A+45.【解析】由题意，易得∠A+∠ACP=∠P+∠ABP,·∠ACP-∠ABP =90°-∠A.同理可得∠O+∠OBA=∠A+∠ACO,∴.∠O=∠A+∠ACO-∠OBA. :B0,C0分别平分∠ABP,∠ACP,∴∠OBA=号∠ABP,∠AC0=号∠ACP.∴∠O =∠A+号∠ACP-合∠ABP=∠A+号(90°-∠A)=2∠A+45. 第2课时三角形内角和定理的推论 1.D2.ACE3.C4.D5.C6.B7.B8.120°9.80° 10.解：(1)，∠A=30°，∠ABC=70°，.∠BCD=∠A+∠ABC=100°.：CE是∠BCD 的平分线，∴∠BCE=号∠BCD=50.(2):∠BCE=50,∠ABC=70,∠BEC= ∠ABC-∠BCE=20°.'DF∥CE,.∠F=∠BEC=20°. 11.C12.C13.合格 14.(1)解：∠B=35°，∠E=25°，.∠DCE=∠B+∠E=60°.CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE=60°.∴.∠CAE=180°-∠ACE-∠E=95°.(2)证明：由(1)知 ∠ACE=∠DCE.:∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E.∴，∠BAC=∠E+ ∠ACE=∠E+∠B+∠E=∠B+2∠E. 15.解：(1)①130°②∠1+∠2=70°+∠a(2)∠1=70°+∠2十∠a.理由如下：∠1 =∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠a,∴∠1=70°+∠2+∠a.(3)答案 不唯一，如图，∠1十∠2=430°-∠a.理由如下：连接CP.:∠1= ∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,∴∠1+∠2=∠DCP+ ∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+360°-∠a=70°+360°-∠a= 430°-∠a. 专题特训与三角形的双角平分线有关的解题模型 【回归教材·一题一课】 母题：解：∠A=40°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.：BP,CP分别平分 ∠ABC,∠ACB,∴∠PBC= 号∠ABC,∠PCB=号∠ACB.∴∠BPC=180°-（∠PBC 一1 +∠PCB)=180°-2（∠ABC+∠ACB)=110. 【延伸问】解：∠A=n°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°.，BP,CP分别平 分∠ABC,∠ACB,∠PBC=∠ABC,∠PCB=号∠ACB.“∠BPC=180 (∠PBC+∠PCB)=180-2(∠ABC+∠ACB)=90+Z 【变式题1】解：(1)：∠ACB=70°，∴∠ACD=180°-∠ACB=110°.：B0,C0分别平 分∠ABC,∠ACD,∠CB0=号∠ABC=30,∠DC0=∠ACD=5:∠0 ∠DC0-∠CB0=25.(2)∠0=号∠A.理由如下：：B0,C0分别平分∠ABC, ∠ACD,∠CB0=∠ABC,∠DC0=号∠ACD.·∠0=∠DC0-∠CB0= (∠ACD-∠ABC=∠A. 【变式题2】解：(1)：∠C=70°，∴.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∠EAB+ ∠FBA=360°-（∠CAB十∠CBA)=250°.：AD,BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAB=是∠EAB,∠DBA=∠FBA.÷∠DAB+∠DBA=是（∠EAB+ ∠FBA)=125°..∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=55°.(2）由题意，得∠CAB+ ∠CBA=180°-∠C..∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=180°+∠C. :AD,BD是△ABC的外角平分线，∠DAB=名∠EAB,∠DBA=7∠FBA ·∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=90+专∠C∠D=180°-（∠DAB+ ∠DBA)=90°-2∠C 第3课时多边形的内角和 1.C2.A3.205°4.1260°5.C6.D7.1440°8.A9.A10.5或6或7 11.解：(1)1140°÷180°=6…60°，则边数是6十1十2=9..小强是在求九边形的内角 和.(2)少加的那个内角的度数是180°-60°=120°. 第4课时多边形的外角和 1.C2.C3.D4.A5.80° 6.解：设多边形的相邻的外角为x.由题意，得4x十30°+x=180°，解得x=30°..n= 8-12. 7.C8.D9.180 10.解：(1)：所经过的路线正好构成一个每个外角都是20°的正多边形，∴正多边形的 边数为360°÷20°=18..淇淇一共走了18×10=180(m).(2)根据题意，得这个多边形 的内角和是(18-2)×180°=2880°. 专题特训求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M.:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO +∠B①，：∠COM是△AOC的外角，∴.∠COM=∠CAO+∠C②.①+②，得∠BOM +∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.(2)140° (3)解法一：解：设AB,CD交于点O.:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠COB=180°- ∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.同(1)，易得∠AED=∠A+∠D+ ∠AOD=28°+12°+70°=110°.解法二：解：连接AD.由题意，易得∠DAB十∠ADC= ∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°.，∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴∠DAE+∠ADE =(∠DAB+∠ADC)-∠BAE-∠CDE=70°.∴.∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE) =110°.(4)解：如图，连接AD.同(1)，得∠F+∠2+∠3=∠DEF③，∠1+∠4+∠C= ∠ABC④.③+④，得∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+ 100°=230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°. —2 人 A3E0130 4 1002B D 2.180°【变式题1360°【变式题2】540 2等腰三角形 第1课时等腰三角形与等边三角形的性质 1.B2.C3.C4.25 5.证明：：AB=AC,AD是△ABC的角平分线，.∠B=∠C,AD⊥BC.AF⊥AD, .AF∥BC..∠1=∠B,∠C=∠2..∠1=∠2. 6.D7.D8.5 9.解：△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°.BD是AC边上的高，.∠DBC= 合∠ABC=0.:DE=BD,÷∠E=∠DBC=30.∠BDE=1s0-∠E-∠DC =120° 10.B11.C12.75° 13.解：(1)：△ABC为等边三角形，∴.∠BAC=60°.AD=AE,AC⊥DE,∴AC平分 ∠DAE.∴∠DAC=∠DAE=40∠BAD=∠BAC-∠DAC=20.(2):AD= AE,∠ADE=号(180-∠DAE)=50.:△ABC为等边三角形，∠B=60 ∠ADC=∠BAD+∠B=80°.∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=30°. 14.解：(1)，△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和 AB=BC, △BCN中，∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS).'.∠BAM=∠CBN. BM=CN, ∴.∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°.(2)成立.证明如下： :△ABC是等边三角形，.AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.在△ABM和△BCN中， AB=BC, ∠ABM=∠BCN,∴.△ABM≌△BCN(SAS)..∠M=∠N.:∠QAN=∠CAM, BM=CN, ∴.∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.A3.A 4.证明：AB=AC,∴∠C=∠B=30°.，∠DAB=45°，.∠ADC=∠B+∠DAB= 75°..∠DAC=180°-∠ADC-∠C=75°.∴.∠DAC=∠ADC..CD=AC.∴.△ACD 是等腰三角形 5.证明：BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD.,∠ACB=90°，CE⊥AB,∠CBD+ ∠CDB=90°，∠ABD+∠BME=9O°.∴.∠CDB=∠BME.∠BME=∠CMD, ∠CDB=∠CMD..CM=CD.∴△CDM是等腰三角形. 6.A7.a与b不平行过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.证明：假设∠B,∠C都是直角或钝角，则∠B≥90°，∠C≥90°.∴.∠B+∠C≥90°+ 90°=180°.∠A十∠B+∠C>180°.这与三角形的内角和定理相矛盾，.假设不成 立.∴等腰三角形的底角都是锐角. 9.B10.D11.212.80 13.(1)证明：BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.DE∥BC,.∠CBD =∠EDB.∠EBD=∠EDB.BE=DE.△BDE是等腰三角形.(2)解：CD=DE. 理由如下：AB=AC,.∠C=∠ABC.DE∥BC,.∠ADE=∠C,∠AED= ∠ABC.∴∠ADE=∠AED.∴.AD=AE.AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)知 一 3第2课时 三角形 A分点训练 。夯实基础 知识点不三角形的外角 1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( 类A 2.如图，∠AEB是△ 的一个外角 B (第2题图) (第3题图) 知识点2三角形内角和定理的推论 3.如图，在△ABC中，∠ACD=80°，∠B=35°， 则∠A的度数为 A.25 B.35° C.45° D.55° 4.（南充中考)如图，把含有60°角的直角三角尺的 斜边放在直线l上，则∠α的度数是 A.120° B.130° 602 C.140° D.150° 5.下列图形中，∠1一定大于∠2的是( ☑人 B 6.如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1， ∠BAC=70°，则∠2的度数为 A.37 B.70° C.74° D.84° (第6题图) (第7题图) 3 数学八年级下册北师大版 内角和定理的推论 7.如图，已知点B,E,D,A在同一条直线上，则 ∠A,∠1，∠2的大小关系是 () A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 8.(教材P6随堂练习T2变式)如图，∠1，∠2， ∠3是△ABC的三个外角.若∠1+∠2= 240°，则∠3的度数为 (第8题图) (第9题图) 9.如图，点D,E分别在AB,AC上，连接DE 并延长，交BC的延长线于点F.若∠A= 50°，∠ACF=105°，∠F=25°，则∠ADF的 度数为 10.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ABC= 70°，△ABC的外角∠BCD的平分线CE交 AB的延长线于点E. (1)求∠BCE的度数； (2)过点D作DF∥CE,交AB的延长线于 点F,求∠F的度数 B综合运用 。提升能力 11.如图，P为△ABC内任意一点，延长CP交 AB于点D,连接BP,则下列结论错误的是 ( A.∠1>∠3 B.∠1>∠A C.∠2>∠A D.∠3>∠A （第11题图) (第12题图) 12.学科融合光的折射)如图，一束平行于主光轴 (图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其 折射光线与一束经过光心O的光线相交于 点P,F为焦点.若∠1=150°，∠2=25°，则 ∠3的度数为 ) A.75° B.65° C.55° D.45° 13.(教材P13习题T17变式) 一个零件的形状如图所示： 按规定∠A=90°，∠B= D ∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检测 ∠BCD的度数就可以了.若量得∠BCD= 140°，则这个零件 .(填“合格”或“不 合格”) 14.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分 线，且CE交BA的延长线于点E. (1)若∠B=35°，∠E=25°，求∠CAE的 度数； (2)求证：∠BAC=∠B+2∠E. C创新拓展 。发展素养 15.逻辑推理类比探究在△ABC中，∠C=70°， D,E分别是△ABC的边AC,BC上的两个 定点，P是平面内一动点，令∠PDA=∠1， ∠PEB=∠2，∠DPE=∠a. 图① 图② 图③ 【问题】(1)如图①，若点P在线段AB上 运动. ①当∠a=60°时，则∠1十∠2的度数为 ②∠a,∠1，∠2之间的关系为 【迁移】(2)如图②，若点P运动到边AB的 延长线上，则∠α，∠1，∠2之间有何关 系？并说明理由. 【拓展】(3)请你试着给出一个点P的其他 位置，在图③中补全图形，写出此时 ∠a,∠1，∠2之间的关系，并说明理由. 第一章三角形的证明及其应用 专题特训 与三角形的双角平分线 母题：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点P,求∠BPC的 度数. 【延伸问】如将“∠A=40°”改为“∠A=n°”，求 ∠BPC的度数. 【变式题1】两内角平分线>一内角一外角平分线 如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的 平分线相交于点O. (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的度数； (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并说明 理由. 5数学八年级下册北师大版 有关的解题模型【回归教材·一题一课】 教材P52复习题T19延伸 【变式题2】两内角平分线→两外角平分线 如图，在△ABC中，∠C=70°，AD,BD是 △ABC的外角平分线，AD与BD交于点D. (1)求∠D的度数； (2)若去掉“∠C=70°”这个条件，求∠C与∠D 之间的数量关系。 模型总结：如图，BP,CP是△ABC的两条内角平分 线，CM,BN,CN是△ABC的三条外角平分线， 则有： 0∠BPC-90+号∠A: ②∠M=2∠A: @∠N=90°-7∠A: ④∠PBN=∠PCN=90°. 利用上述关系可以快速解决相关小题