1 第2课时 三角形内角和定理的推论&专题1 与三角形的双角平分线有关的解题模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）陕西专版

参考答案 第一章 三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和与全等三角形的性质与判定 新知梳理 0180°②相等 ©相等相等 例题引路 【例1】解：·BD⊥AC,∴.∠BDA=90°。：∠A十∠ABD+∠BDA=180°，∴.∠ABD=180°-∠BDA-∠A=180°-90°-54°=36。 .∠DBC=∠ABC-∠ABD=48°-36°=12°。 易错典例 【例2】A 基础过关 弥 1.A2.50°3.64°4.解：，三角形内角和为180°，∴∠A十∠B+∠C=180°。∠A十∠B=80°，∠C=180°-80=100°。又 帐 :∠C=2∠A∠A=7∠0=50，∠B=80-∠A=80-5030.5,B6.3 能力提升 AD=AC, 7.A8.49°9.证明：：AC平分∠DAB,∴.∠DAE=∠CAB。在△DAE和△CAB中，∠DAE=∠CAB,∴.△DAE≌△CAB(SAS)。 LAE=AB. ∴∠BDA=∠ACB。又：∠AED=∠CEB,∠ADE+∠AED=∠ACB+∠CEB。∠DAE=180°-（∠ADE+∠AED), 她 ∠DBC=1SO°-（∠ACB+∠CEB),∠DAE=∠DBC。'∠DAE=∠DAB,∴∠DBC=∠DAB. 思维拓展 10.(1)证明：MN∥BC,∴.∠B=∠MAB,∠C=∠NAC。:∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°，∴.∠B+∠C+∠BAC=180°。 (2)解：①30°②：∠P=130°，∠PBC+∠PCB+∠P=180°，.∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-130°=50°。：BP,CP分别平 分∠ABC,∠ACB,∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB。∴.∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=100°。∴.∠A=180°一 0 (∠ABC+∠ACB)=80。(3)解：连接BC。“∠ABD,∠ACD的平分线交于点E,∠ABE=∠DBE=号∠ABD,∠ACE=∠DCE =∠ACD.:∠DBC+∠DCB=180-∠D,∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DB+(ABD+∠ACD)=180°-∠A,即180° ∠D+(∠ABD+∠ACD)=18O°-∠A,整理，得∠ABD+∠ACD=∠D-∠A,则∠EBC+∠ECB=∠DBC+∠DCB+(∠ABD +∠ACD)=180°-∠E,即180°-∠D+2(∠D-∠A)=180°-∠E,整理，得2∠E=∠D+∠A。 第2课时三角形内角和定理的推论 新知梳理 ①和②大于 例题引路 【例】1)证明：：∠ADB是△CBD的外角，.∠ADB>∠EBC。(2)解：：∠A=65°，∠ABD=30°，∠CDE=∠A十∠ABD=95°。 :∠DCE=30°，∴∠BEC=∠CDE+∠DCE=125°。 基础过关 1.∠1，∠32.D3.C4.C5.C6.解：(1)∠A=35°，∠ACD=83°，.∠B=∠ACD-∠A=48°。(2)：∠B=48°，∠D=42°， ,.∠AFE=∠B+∠D=90°。 能力提升 7.D8.C9.92°10.解：∠BAC>∠B。理由如下：∠BAC是△ACD的外角，∠BAC>∠ACD。:CD平分∠ACE, .∠ACD=∠DCE。∠BAC>∠DCE。又，∠DCE是△BCD的外角，.∠DCE>∠B。.∠BAC>∠B。IL.解：这个零件 不合格。理由如下：连接AD并延长到点E。假设这个零件合格，则∠CDE=∠C+∠CAD,∠BDE=∠B+∠BAD,∴.∠CDB= ∠CDE+∠BDE=∠B+∠C+∠CAD+∠BAD=∠B+∠C+∠BAC=21°+32°+90°=143°≠148°，∴.这个零件不合格。 第1页（共48页） 思维拓展 12.(1)解：50°(2)解：∠P=∠A(3)证明：BP,CP分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∠PBC=立∠ABC,∠PCD= 号∠ACD.∠P=∠PCD-∠PBC=∠ACD-∠A=(∠ACD-∠ABCO)=∠A 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 母题：解：因为∠A=40,所以∠ABC+∠ACB=180-∠A=140。因为BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,所以∠PC=号∠AC, ∠PCB=号∠ACB.所以∠BPC-180-(∠PBC+∠PCB)=180:-(∠ABC+∠ACB)=1I0。 【延伸问】解：因为∠A=n, 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180-N。因为BP,CP分别平分∠ABC,∠ACB,所以∠PBC=号∠ABC,∠PCB= ∠ACB。所以∠BPC=1S0-(∠PBC+∠P=180-号（∠ABC+∠ACB)=90+子。【变式题1】解：I因为∠ACB= 70,所以∠ACD=180-∠ACB=10,因为0.D分别平分∠A,∠AD.所以∠CB0=合∠ABC=30,∠D00=号∠ACD=5,所 以∠0=∠DC0-∠CB0=25。(2)∠0=号∠A。理由如下：因为B0,C0分别平分∠ABC,∠ACD,所以∠CB0=号∠ABC ∠DC0=∠ACD,所以∠0-∠D0-∠CB0=号（∠ACD-∠ABC=∠A。【变式题2】解：1）因为∠C=10,所以∠CAB时 ∠CBA=180°-∠C=110°。所以∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=250°。因为AD,BD是△ABC的外角平分线，所以 ∠DAB=子∠EAB,∠DBA=∠FBA.所以∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA)=125°。所以∠D=180-(∠DAB+ ∠DBA)=55°。(2)由题意，得∠CAB+∠CBA=180°-∠C。所以∠EAB十∠FBA=360°-（∠CAB十∠CBA)=180°+∠C。因 为AD,BD是△ADC的外角平分线，所以∠DAB=子∠EAB,∠DBA=号∠FBA,所以∠DAB+∠DBA=(∠EAB+∠FBA =90+号∠C.所以∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=90-∠C. 第3课时多边形的内角和 基础过关 1.C2.D3.9104.解：由题意，得×(m-2)180°-360°=90°，解得n=12。n的值为12.5.C6.135 能力提升 7.A8.B9.360°或540°或720°10.解：(1)：n边形的内角和是(n一2)·180°，∴.内角和一定是180°的倍数。：2014÷180= 1…34,“内角和不可能为2014。(2)设小华求的是x边形的内角和。依题意，得(x一2)·180°<2014，解得x<13。∴多 边形的边数是13，故小华求的是十三边形的内角和。(3)十三边形的内角和是(13-2)×180°=1980°，2014°-1980°=34°，因此这 个外角的度数为34°。 第4课时多边形的外角和 基础过关 1.B2.B3.D4.C5.360°6.解：设这个多边形的边数是n。根据题意，得(n-2)×180°=2×360°十180°，解得n=7。∴.这个 多边形的边数是7。 能力提升 7.C8.A9.340°10.解：(1)由题意，得这个正多边形的外角为40°，.这个正多边形的边数为360°÷40°=9。.10×9= 90(m)。答：小明一共走了90m。(2)这个正多边形的内角和为(9-2)×180°=1260。 专题二求不规则多边形的内角和的有关技巧 1.(1)证明：连接AO并延长至点M。:∠BOM是△ABO的外角，∠BOM=∠BAO十∠B。,∠COM是△AOC的外角，.∠COM =∠CAO+∠C。∴∠BOM什∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BAC+∠B+∠C,即∠BOC=∠A+∠B+∠C。(2)140° (3)解法一：解：设AB,CD交于点O。:∠ABC=64°，∠BCD=46°，∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°。.∠AOD=∠COB= 70°。同(1)，易得∠AED=∠A十∠D十∠AOD=28°+12°+70°=110°。解法二：解：连接AD。由题意，易得∠DAB十∠ADC= ∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°。·'∠BAE=28°，∠CDE=12°，∴.∠DAE+∠ADE=(∠DAB+∠ADC)- ∠BAE-∠CDE=70°。∴∠AED=180°-（∠DAE+∠ADE)=110°。(4）解：如图，连接AD。同(1)，得∠F +∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC。∴.∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠BAF+∠C+∠CDE A3E0130° +∠F=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，即∠A+∠C+∠D+∠F=230°。2.180°【变式题1】360 【变式题2】540° 1002B 第2页（共48页）第2课 【名师导学 ◆◆预习先知 新知梳理 ①三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的 ②三角形的一个外角 任何一 个和它不相邻的内角。 ☑例题引路 【例】如图，在△ABC中，∠A=65°，点 D在边AC上，连接BD。 (1)求证：∠ADB>∠EBC: (2)若∠DCE=∠ABD=30°，求∠BEC 的度数。 【名师点拨】(1)∠ADB是△CBD的外 角，利用三角形内角和定理的推论即可 证明。(2)先根据三角形内角和定理求 出∠ADB的度数，再由补角的定义得 出∠CDE的度数，根据三角形外角的 性质即可得出结论。 【学生解答】 3第一章三角形的证明及其应用 时三角形内角和定理的推论 基础过关 。··逐点击破 知识点1三角形的外角 1.如图，在∠1，∠2，∠3中，是△ABC外角的是 O60 (第1题图) (第2题图) 知识点2三角形内角和定理的推论 2.(2025·南充中考)如图，把含有60°角的直角三角尺的斜边 放在直线l上，则∠α的度数是 ( A.120° B.130 C.140° D.150° 3.下列图形中，∠1一定大于∠2的是 B D 4.如图，已知AB∥CD,点E在线段AD上（不与点A,D重 合)，连接CE。若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A的度数为 A.10° B.20° C.30° D.40° R (第4题图) (第5题图) 5.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠B=∠1， ∠BAC=82°，则∠2的度数为 ) A.80° B.90 C.829 D.69° 6.如图，已知D是△ABC的边BC的延长线上一点，点F在 边AB上，DF交AC于点E,∠A=35°，∠ACD=83°。 (1)求∠B的度数； (2)若∠D=42°，求∠AFE的度数。 【能力提升 ···整合运用 7.将一副三角尺如图放置，使含30°角的三角 尺的一条直角边与含45°角的三角尺的一条 直角边重合，则∠a的度数为 A.120°B.75° C.135° D.105 D B (第7题图) (第8题图) 8.整体思想新理念如图，∠ABD与∠ACE是 △ABC的两个外角。若∠A=70°，则∠ABD十 ∠ACE的度数为 A.210° B.230° C.250° D.240° 9.传统文化情境化小明观察抖空竹时发现，可 以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如 图，已知AB∥CD,∠E=22°，∠DCE= 114°，则∠BAE的度数为 10.如图，已知CD为△ABC的外角∠ACE的 平分线，CD交BA的延长线于点D,试判 断∠BAC与∠B的大小关系，并说明理由。 11.(教材P13习题T17变式)一个零件的形状 如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B,∠C 应分别是21°和32°，现测得∠BDC=148°， 你认为这个零件合格吗？为什么？ 【思维拓展 ◆◆◆强化素养 12.整体思想新理念如图，在△ABC中，延长 BC到点D,∠ABC和∠ACD的平分线相 交于点P,爱动脑筋的小明同学在写作业 时，发现如下规律：若∠A=50°，则∠P= 25°；若∠A=60°，则∠P=30°；若∠A= 70°，则∠P=35°。 (1)根据上述规律，若∠A=100°，则∠P= (2)请你用数学表达式归纳出∠P与∠A 的数量关系： (3)请证明你的结论。 数学八年级下册(BS)4 专题一与三角形的双角平分线有关的解题模型【回归教材·一题一课】 教材P52复习题T19延伸 母题：一题多变思维延伸如图，在△ABC中，【变式题2】两内角平分线>两外角平分线 ∠A=40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于 如图，在△ABC中，∠C=70°，AD,BD是 点P,求∠BPC的度数。 △ABC的外角平分线，AD与BD交于点D。 (1)求∠D的度数； (2)若去掉“∠C=70°”这个条件，求∠C与∠D 之间的数量关系。 【延伸问】如将“∠A=40°”改为“∠A=n”,求 ∠BPC的度数。 【变式题1】两内角平分线→一内角一外角平分线 如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的 平分线相交于点O。 (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的度数； (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并说明 理由。 模型总结：如图，BP,CP是△ABC的两条内角平分 线，CM,BN,CN是△ABC的三条外角平分线， 则有： 0∠BPC=90°+3∠A: @∠M=3∠A: ®∠N=90°-7∠A: ④∠PBN=∠PCN=90°. 利用上述关系可以快速解决相关小题。 5第一章三角形的证明及其应用