精品解析：江苏江阴市长泾片2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查 B. 为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查 C. 为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查和普查的适用范围逐项判断即可． 【详解】解：A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择抽样调查，故本选项不符合题意； B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择抽样调查，故本选项不符合题意； C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择普查，故本选项不符合题意； D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查，故本选项符合题意． 2. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：∵系数和的最大公因数为，变量和都含有， ∴公因式为． 故选：C． 3. 如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 4. 在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（ ） A. 12 B. 0.25 C. 36 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率与频数，解题的关键是明确频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）． 先求得不合格人数，再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可． 【详解】解：不合格人数为， ∴不合格人数的频率是． 故选B． 5. 菱形具有，但矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，根据菱形的性质和矩形的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、因为矩形和菱形都是平行四边形，所以对角线互相平分，故本选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等，故本选项不符合题意； C、因为矩形和菱形都是平行四边形，所以对边平行且相等，故本选项不符合题意； D、因为菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，需从左边多项式变形到右边积的形式，据此求解即可． 【详解】解：A选项，等号左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B选项，等号左边是多项式，右边是积的形式，符合因式分解定义； C选项，等号左边是多项式，右边不是积的形式，不是因式分解； D选项，等号左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解． 故选：B． 7. 为了解某地区名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A. 名八年级学生的全体是总体 B. 每个八年级学生是个体 C. 名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D. 样本容量是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查个体、总体、样本、样本容量，理解个体、总体、样本、样本容量的定义是解题的关键． 根据个体、总体、样本、样本容量的定义进行判断即可． 【详解】解：、名八年级全体学生的体质健康状况是总体，原选项说法错误，不符合题意； 、每个八年级学生的体质健康状况是个体，原选项说法错误，不符合题意； 、名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，原选项说法正确，符合题意； 、样本容量是，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 8. 如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点P为斜边上一动点， ∴当时最短， 由勾股定理，得：， 当时，则：，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长不可能为； 故选A． 9. 如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm． A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰梯形的性质求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案． 【详解】解：四边形是等腰梯形，，， ， 平分， ， ， ，， ， ， 梯形的周长为 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出和是解此题的关键． 10. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为( ) A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理求得，则，过A点作，交的延长线于点E，证明，得出，则为的中点，进而证明，取中点，连接，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，，即可求解． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴， 如图1，过A点作，交的延长线于点E， 设旋转角，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即为的中点， 如图2，连接， ∵ ∴ ∴如图3，取中点，连接，连接 ∵， ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出“橙汁”在总销量中所占的比例，再乘以即可得出结果． 【详解】解：“橙汁”在总销量中所占的比例为：， ∴表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数是． 12. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，若 是多项式 的一个因式，则当 时，多项式的值为零，把代入多项式可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 可得： ， 解得：． 故答案为：． 13. 若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可． 【详解】解：由题意，知：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了菱形的面积两种求法，解题的关键是掌握（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择． 14. 如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为_____． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理．由旋转的性质可知，从而得到，再由旋转角，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数为， 故答案为：52． 15. 下面有六张写着不同整式的卡牌，如图所示 游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．选取，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：选取，组成， 则， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 已知如图，在四边形中，，分别是的中点，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线的知识，可证四边形是菱形，，，，在中，根据勾股定理得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，谅解，与交于点， ∵分别是的中点， ∴在中，，， 同理，在中，，， 在中，，， 在中，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查中位线，菱形的综合，掌握中位线的性质，菱形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 17. 已知，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用,解题的关键是将待求式变形为含有已知条件的形式，将待求式变形为，再将已知条件变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 18. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点A重合），则正方形的边长为________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．分两种情况：当点F在直线上时，当点G在直线上时，分别画出图形，根据三角形全等的判定和性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当点F在直线上时，过点F作，交的延长线于M， 则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴此时正方形的边长为． 当点G在直线上时，过点G作，交的延长线于M，如图， 同理可得：， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴此时正方形的边长为． 综上分析可得：正方形的边长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 20. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ； （2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数． 【答案】（1）450 （2） （3） 补全图形如下：     （4）人 【解析】 【分析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量； （2）用类学生数除以，再乘以即可得解； （3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图； （4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得． 【小问1详解】 解：， 答：此次调查的样本容量为是， 故答案为． 【小问2详解】 解：， 故答案为； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解：（人） 答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2） 证明：连接交于点O， ∵，四边形是平行四边形， ∴是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由可证； （2）先证明是菱形，可得，然后利用，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题的关键． 22. 已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线BP折叠得到△EBP． （1）如图1，若，当P、E、C三点在同一直线上时，求的长； （2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）2 （2） 如图，以为为边在矩形内作等边三角形，作的角平分线与交于点，则平分，点为所作， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．还考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边三角形的性质． （1）由折叠可知，，根据矩形的性质可知，，，，进而可证得，得，由勾股定理可得，结合即可求解； （2）以为边在矩形内作等边三角形，作的角平分线与交于点，则，故平分． 【小问1详解】 解：由折叠可知，， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 略 23. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点O是边的中点． 求证：； 【知识应用】 （2）如图2，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为 ________； 【性质延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，则d的值为 ________． 【答案】（1） 证明：延长至D，使，连接，， ∵点O是边的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ∴ ； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理的证明及其应用，中位线性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是构造好对应的图形，根据已知条件列方程求解． （1）根据已知条件构造矩形，由矩形性质得到． （2）根据中位线性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据角平分线和中位线性质得到，最后根据勾股定理求解． （3）连接，则得到两个直角三角形斜边的中线，根据求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中， ∵M、N分别是、的中点， ， ， 在中， ∵M是中点， ∴ ， ， ， ，平分， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴ ， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，取的中点P，连接，， 由（1）可知 ， 则点P到四边形四个顶点的距离均为d，即， 设，则， ， ， ， ， ， ∴， ∴点P到四边形四个顶点的距离． 故答案为：． 24. 综合阅读与实践．我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是3； ②． ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）知识再现：当____________时，代数式的最小值是____________； （2）知识运用：若，求当为何值时，有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若，求的最大值． 【答案】（1）2，2 （2）当时，y有最大值5 （3）5 【解析】 【分析】本题考查利用配方法求代数式的最值．通过将代数式配方成完全平方形式，利用平方项的非负性确定最值及对应的变量值． （1）根据题目中的配方法求解即可． （2）根据题目中的配方法求解即可． （3）从方程中整理出y的表达式，然后代入得到新代数式，对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【小问1详解】 解：， ∵是非负数，即 ∴， 则当时，有最小值2． 故答案为：2，2． 【小问2详解】 解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴， 则当时，有最大值5． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 则当时，有最大值5． 25. 如图，在平行四边形中，，，，点P从点B出发，沿射线方向运动；点Q从点D同时出发，沿方向运动，到点A 为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点 P 的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 【答案】（1）秒或5秒 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，分两种情况讨论：①当点P在线段上时；②当点P在线段的延长线上时，表示出的长，根据平行四边形的性质列方程求解即可得到答案； （2）由题意可知， ，，分两种情况讨论：①当点P在线段上时，根据菱形的性质，得到，进而求得，即可得到答案；②当点P在线段的延长线上时，先利用勾股定理，求出，然后根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理求出，进而求得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：平行四边形中，，， ，， 由题意可知，，， ①当点P在线段上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：秒； ②当点P在线段的延长线上时，此时，， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：秒， 综上可知，当t的值为秒或5秒时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由题意可知， ，， ①当点P在线段上时，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ，即； ②如图，当点P在线段的延长线上时，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ，， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 综上可知，当或时，以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 26. 【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中， 【探究1】 小明按如图1的方式沿折叠纸片，点A与点对应，的延长线与交于点F． 【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形． 【探究3】 如图3，点E是线段上的动点，小亮利用绘图软件将绕点E逆时针旋转至． 【任务1】 （1）若，则°； 【任务2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）； ②求小丽剪出的菱形的边长． 【任务3】 （3）连接、，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）80； （2）①菱形为所求； ②小丽剪出的菱形的边长为； （3）的长为或或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质即可解答； （2）①连接，然后作垂直平分线，交、于点F、E，连接、； ②设，则，根据勾股定理求解即可； （3）根据旋转的性质和勾股定理，分三种情况讨论解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质可知， ∴； 【小问2详解】 解：①如图2，连接，然后作垂直平分线，交、于点F、E，连接、， ∵，最大， ∴垂直平分时，最大， ∴菱形即为所求； ②∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴小丽剪出的菱形的边长为； 【小问3详解】 解：的长为或或．理由如下： 分三种情况讨论： ①如图，当，且在上方时，过作于点，过作于点， 由旋转性质可知，，， ∵，， ∴四边形均为矩形， ∴， 设，则， 则有， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍去）或， ∴； ②如图4，当，且在下方时，过作于点，过作于点， 由旋转性质可知， 设，则， 则有， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③如图5，当时，过作于点，过作于点， 由旋转性质可知， 设，则， 则有， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 初二数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查 B. 为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查 C. 为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D. 为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查 2. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（ ） A. 12 B. 0.25 C. 36 D. 0.75 5. 菱形具有，但矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 6. 下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了解某地区名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A. 名八年级学生的全体是总体 B. 每个八年级学生是个体 C. 名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D. 样本容量是 8. 如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（ ） A. B. 5 C. D. 6 9. 如图，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，则梯形的周长（ ）cm． A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 10. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为( ) A. B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数为_________． 12. 若为整数，且是 的一个因式，则的值为________________． 13. 若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是_____． 14. 如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为_____． 15. 下面有六张写着不同整式的卡牌，如图所示 游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式__________． 16. 已知如图，在四边形中，，分别是的中点，则______ 17. 已知，则的值为______． 18. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边所在直线上，连接，以为边，作正方形（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形中的某一顶点落在直线上时（不与点A重合），则正方形的边长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ； （2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数． 21. 如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是菱形． 22. 已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线BP折叠得到△EBP． （1）如图1，若，当P、E、C三点在同一直线上时，求的长； （2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分．（不写作法，保留作图痕迹） 23. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点O是边的中点． 求证：； 【知识应用】 （2）如图2，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为 ________； 【性质延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点P，点P到四边形四个顶点的距离均为d，则d的值为 ________． 24. 综合阅读与实践．我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是3； ②． ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）知识再现：当____________时，代数式的最小值是____________； （2）知识运用：若，求当为何值时，有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若，求的最大值． 25. 如图，在平行四边形中，，，，点P从点B出发，沿射线方向运动；点Q从点D同时出发，沿方向运动，到点A 为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点 P 的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D、Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 26. 【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片，其中， 【探究1】 小明按如图1的方式沿折叠纸片，点A与点对应，的延长线与交于点F． 【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形． 【探究3】 如图3，点E是线段上的动点，小亮利用绘图软件将绕点E逆时针旋转至． 【任务1】 （1）若，则°； 【任务2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）； ②求小丽剪出的菱形的边长． 【任务3】 （3）连接、，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $