江苏江阴市长泾片2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 初二数学 2026年4月 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D C C A B B 一、选择题（共10小题） 1．下列调查中，调查方式选择合理的是（　　） A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查 B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查 C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查 【解答】解：A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择抽样调查，故本选项不符合题意； B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择抽样调查，故本选项不符合题意； C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择普查，故本选项不符合题意； D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查，故本选项符合题意． 故选：D． 2．把多项式2m2＋8mn分解因式，应提取的公因式是（　　） A．2 B．m C．2m D．2n 【解答】解：根据确定公因式的方法可知： 系数2和8的最大公因数为2，变量m2和mn都含有m， ∴公因式为2m． 故选：C． 3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵∠DAO＝∠BCO， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； C、∵AD＝AC，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； D、∵∠BAD＝∠DCB，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 4．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是（　　） A．12 B．0．25 C．36 D．0．75 【解答】解：不合格的人数：48﹣15﹣21＝12， 不合格人数的频率：12÷48＝0．25， 故选：B． 5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 【解答】解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有； B、对角线相等，菱形不一定具有的性质； C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有； D、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质； 故选：D． 6．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3 C．x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2 D．（x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2 【解答】解：x（x﹣1）＝x2﹣x是乘法运算，则A不符合题意， x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2符合因式分解的定义，则C符合题意， （x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2是乘法运算，则D不符合题意， 故选：C． 7．为了解某地区10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了800名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A．10000名八年级学生的全体是总体 B．每个八年级学生是个体 C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D．样本容量是10000 【解答】解：A．总体是10000名八年级学生的体质健康状况的全体，故本选项不符合题意； B．每个八年级学生的体质健康状况是个体，故本选项不符合题意； C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，故本选项符合题意； D．样本容量是800，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　） A． B．5 C． D．6 【解答】解：在△ABC中，∠BCA＝90°，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接CP， ∴四边形CEPD为矩形， ∴DE＝CP， ∵点P为斜边AB上一动点， ∴当CP⊥AB时CP最短， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 当CP⊥AB时，则，即5×12＝13CP， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴DE的长不可能为； 故选：A． 9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为 （　　） A．12 cm B．15 cm C．18 cm D．21 cm 【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，∠A＝60°， ∴∠CBA＝∠A＝60°， ∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠ABD＝30° ∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD＝30°， ∴∠CDB＝∠CBD＝30°， ∴DC＝BC＝3cm， ∵∠A＝60°，∠ABD＝30°， ∴∠ADB＝90°， ∴AB＝2AD＝6cm， ∴梯形ABCD的周长为AD+DC+BC+AB＝3cm+3cm+3cm+6cm＝15cm． 故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D．则DC′的最大值为 （　　） A． B．5 C．3 D．4 【解答】解：如图1，过A点作AE// A′C′，交C′D的延长线于点E， 设旋转角∠CBC'＝α，则∠BCC'＝∠BC'C＝90－，∠ACE＝∠A'C'E＝ ∴∠AEC'＝ ∴AE＝AC＝A'C' 易证△AED≌△A'C'D AD＝A'D 即D为AA'的中点， 如图2，连接BD， ∵BA＝BA' ∴BD⊥AA' ∴如图3，取A'B中点M，连接C'M，连接DM ∴C'M＝DM＝ ∴DC'≤C'M＋DM＝5 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数为　　 ． 【解答】解：“橙汁”在总销量中所占的比例为：， ∴表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数是360°120°． 故答案为：120°． 12．若b为整数，且x＋1是x2＋bx＋3的一个因式，则b的值为　4　 ． 【解答】解：设另一个因式为x＋m， 则（x＋1）（x＋m） ＝x2＋mx＋x＋m ＝x2＋（m＋1）x＋m ＝x2＋bx＋3， 那么m＝3，b＝m＋1＝3＋1＝4， 故答案为：4． 13．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 　3　 ． 【解答】解：由题意，知：S菱形2×3＝3， 故答案为：3． 14．如图，在▱ABCD中，∠A＝64°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角的度数为 　52　 °． 【解答】解∵将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ∴BC＝BC1， ∴∠BCC1＝∠C1， ∵∠A＝64°， ∴∠BCD＝∠C1＝64°， ∴∠BCC1＝∠C1＝64°， ∴∠CBC1＝180°﹣2×64°＝52°， 即旋转角的度数为52°， 故答案为：52． 15．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式 a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2（答案不唯一）　 ． 【解答】解：选取a2，2ab，b2组成a2＋2ab＋b2， 则a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2． 故答案为：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2（答案不唯一）． 16．已知如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　 　 ． 【解答】解：如图所示，谅解EF，EH，GF，GH，EG与FH交于点O， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴在△ABD中，，EH∥BD， 同理，在△BCD中，，FG∥BD， 在△ABC中，，EF∥AC， 在△ACD中，，HG∥AC， ∴， ∴四边形EFGH是菱形， ∴EG⊥FH，，， 在Rt△OEH中，OE2+OH2＝EH2， ∴， ∴（2OE）2+（2OH）2＝36， ∴EG2+FH2＝36， 故答案为：36． 17．已知a4＋a2＋a＋1＝0，则a5﹣a4＋a3＋1的值为　2　 ． 【解答】解：∵a4＋a2＋a＋1＝0， ∴a4＝﹣a2﹣a﹣1， ∴a5﹣a4＋a3＋1 ＝a4（a﹣1）＋a3＋1 ＝（﹣a2﹣a﹣1）（a﹣1）＋a3＋1 ＝﹣a3＋a2﹣a2＋a﹣a＋1＋a3＋1 ＝（﹣a3＋a3）＋（a2﹣a2）＋（a﹣a）＋2 ＝2． 故答案为：2． 18．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE，以BE为边，作正方形BEFG（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A重合），则正方形BEFG的边长为 　或　 ． 【解答】解：当点F在直线AC上时，如图1，过点F作FM⊥AD，交DA的延长线于M， 则∠FMA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAD＝45°，∠BAE＝90°， ∴∠FAM＝∠CAD＝45°，∠AEB＋∠EBA＝90°， ∴△AFM是等腰直角三角形， ∴AM＝FM， ∵四边形BEFG是正方形， ∴EF＝BE，∠BEF＝90°， ∴∠EBA＋∠FEM＝90°， ∴∠EBA＝∠FEM， 在△AEB和△MFE中， ， ∴△AEB≌△MFE（AAS）， ∴AE＝FM，AB＝EM， ∴AE＝AM＝FM， ∵AE＋AM＝EM， ∴2AE＝AB＝6， ∴AE＝3， 在Rt△ABE中，， ∴此时正方形BEFG的边长为． 当点G在直线上AC时，过点G作GM⊥AB，交BA的延长线于M，如图2， 同理可得：△AEB≌△MBG（AAS）， ∴GM＝AB＝6，BM＝AE， ∵∠CAB＝∠MAG＝45°，∠M＝90°， ∴△AGM是等腰直角三角形， ∴AM＝GM， ∴AM＝AB＝6， ∴BM＝12， 在Rt△BGM中，， ∴此时正方形BEFG的边长为． 综上分析可得：正方形BEFG的边长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（本题6分）分解因式： （1）8m2﹣12mn； （2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x）． 【解答】解：（1）8m2﹣12mn＝4m（2m﹣3n）； 3分 （2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x） ＝（x﹣y）（a2﹣b2） ＝（x﹣y）（a＋b）（a﹣b）． 3分 20．（本题8分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 　450　 ；2分 （2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为 　36　 °；2分 （3）请补全条形统计图；2分 （4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．2分 【解答】解：（1）此次调查的样本容量为：117÷26%＝450， 故答案为：450； （2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360°36°， 故答案为：36； （3）样本中B的人数为：450﹣45﹣117﹣233＝55（人）， 补全条形统计图如下： （4）250002500（人）， 答：其中视力正常的人数大约为2500人． 21．（本题6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证△ADE≌△CBF；3分 （2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．3分 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵BE＝DF， ∴BF＝DE， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）连接AC，交BD于点O， ∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形． 22．（本题6分）已知矩形ABCD中，AD＝10，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿着直线BP折叠得到△EBP． （1）如图1，若AB＝6，当P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长；3分 （2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在AD边上作出一点P，使BE平分∠PBC（不写作法，保留作图痕迹）3分 【解答】解：（1）如图1中，由翻折变换的性质可知，∠APB＝∠EPB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，∠D＝90°， ∴∠APB＝∠PBC＝∠EPB， ∴CP＝CB＝10， ∴PD8， ∴AP＝AD＝PD＝10﹣8＝2； （2）如图，点P即为所求； 23．（本题10分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点． 求证：；4分 【知识应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝8，则BN的长为 　4　 ；2分 【性质延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝6，BC﹣AD＝2．在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 　　 ．4分 【解答】（1）证明：延长BO至D，使OD＝OB，连接AD，CD， ∵点O是AC边的中点， ∴AO＝CO， ∵BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴； （2）解：在△CAD中， ∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，， 在Rt△ABC中， ∵M是AC中点， ∴， ∵AC＝AD， ∴MN＝BM， ∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴， ∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°， ∵MN∥AD， ∴∠NMC＝∠DAC＝30°， ∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°， ∴B N2＝B M2＋M N2， ∴， ∴； 故答案为：4； （3）解：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PB，PD， 由（1）可知， 则点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，即PA＝PB＝PC＝PD＝d， 设AD＝x，则BC＝x＋2， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AD2＋DC2＝AB2＋BC2， ∴x2＋62＝42＋（x＋2）2， ∴x＝4， ∴AD＝4， ∴， ∴点P到四边形ABCD四个顶点的距离． 故答案为：． 24．（本题10分）综合阅读与实践．我们把多项式a2＋2ab＋b2，a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3， ∵（x＋1）2是非负数，即（x＋1）2≥0．∴（x＋1）2＋3≥3， 则当x＝﹣1时，代数式x2＋2x＋4的最小值是3； ②3x2﹣6x＋5＝3（x2﹣2x）＋5＝3（x2﹣2x＋1﹣1）＋5＝3（x﹣1）2﹣3＋5＝3（x﹣1）2＋2， ∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2＋2≥2， 则当x＝1时，代数式3x2﹣6x＋5取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）知识再现：当x＝　2　 时，代数式x2﹣4x＋6的最小值是　2　 ；4分 （2）知识运用：若y＝﹣x2＋4x＋1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；3分 （3）知识拓展：若x2＋5x＋y﹣4＝0，求3x＋y的最大值．3分 【解答】解：（1）根据题目中的配方法求解可知： x2﹣4x＋6＝x2﹣4x＋4﹣4＋6＝（x﹣2）2＋2， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0 ∴（x﹣2）2＋2≥2， 则当x＝2时，x2﹣4x＋6有最小值2． 故答案为：2，2． （2）y＝﹣x2＋4x＋1＝﹣（x2﹣4x）＋1＝﹣（x2﹣4x＋4）＋4＋1＝﹣（x﹣2）2＋5， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2＋5≤5， 则当x＝2时，y有最大值5． （3）由条件可得y＝﹣x2﹣5x＋4， ∴3x＋y＝3x﹣x2﹣5x＋4 ＝﹣x2﹣2x＋4 ＝﹣（x2＋2x＋1）＋1＋4 ＝﹣（x＋1）2＋5， ∵（x＋1）2≥0， ∴﹣（x＋1）2＋5≤5， 则当x＝﹣1时，3x＋y有最大值5． 25．（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；4分（每种情形2分） （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系．4分（每种情形2分） 【解答】解（1）①如图1，当点P在BC上时， DQ＝t，PC＝10﹣3t， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴DQ∥PC， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝10﹣3t， ∴t＝2.5（秒）． ②如图2，当点P在BC的延长线上时， PC＝3t﹣10， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC， ∴t＝3t﹣10， ∴t＝5（秒）． 综上得，t＝2.5秒或5秒时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为平行四边形． （2）①如图1，当点P在BC上时， 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ＝PC＝CD＝6， ∴nt＝10﹣mt＝6， ∴mt＝4， ∴， ∴3m＝2n． ②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于E， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴AC8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠ACD＝90°， ∵四边形PCDQ是菱形， ∴PQ⊥CD，CE＝DE，PE＝QE， ∴PQ∥AC， ∴四边形ACPQ是平行四边形， ∴PQ＝AC＝8， ∴QE＝PE＝4， ∴DQ＝PD5， ∴nt＝mt﹣10＝5， ∴m＝3n． 综上得，3m＝2n或m＝3n时，以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形． 26．（本题12分）【综合与实践】初二年级的同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝6． 【探究1】 小明按如图1的方式沿BE折叠纸片ABCD，点A与点A′对应，EA′的延长线与BC交于点F． 【任务1】 （1）若∠AEB＝50°，则∠EFB＝ 　80　 °；2分 【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形． 【任务2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）；2分 ②求小丽剪出的菱形的边长．2分 【探究3】 如图3，点E是线段AD上的动点，小亮利用绘图软件将△ABE绕点E逆时针旋转90°至△A′B′E． 【任务3】 （3）连接B′C、A′C，当△A′B′C是以B'C为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长．6分（每种2分） 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBF＝50°， 由折叠性质可知∠AEB＝∠A′EB＝50°， ∴∠EFB＝180°﹣∠EBF﹣∠A′EB＝80°， 故答案为：80； （2）①如图2，连接BD，然后作BD垂直平分线，交AD、BC于点F、E，连接DE、BF， ∵，最大BD， ∴EF垂直平分BD时，EF最大， ∴菱形BEDF即为所求； ②∵四边形BEDF是菱形， ∴BF＝DF， 设BF＝DF＝x，则AF＝AD﹣DF＝6﹣x， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋AF2＝BF2， ∴32＋（6﹣x）2＝x2， 解得， ∴小丽剪出的菱形的边长为； （3）AE的长为或或．理由如下： 分两种情况讨论： ①如图，当A′B′＝B′C，且A′B′在BC上方时，过A′作A′N1⊥BC于点N1，过B′作B′M1⊥BC于点M1， 由旋转性质可知AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E， ∵∠A＝∠ABN1＝∠BN1E＝90°，∠N1A′B′＝∠A′N1M1＝∠N1M1B′＝90°， ∴四边形ABN1E，A′N1M1B′均为矩形， ∴AE＝BN1，AB＝EN1，M1N1＝A′B′，A′N1＝B′M1， 设AE＝A′E＝x，则BN1＝AE＝x， 则有M1C＝BC﹣M1N1﹣BN1＝6﹣x﹣3＝3﹣x，A′N1＝B′M1＝3﹣x， 在Rt△B′M1C中，由勾股定理得：， ∴（3﹣x）2＋（3﹣x）2＝32， 解得（舍去）或， ∴； ②如图4，当A′B′＝B′C，且A′B′在BC下方时，过A′作A′N2⊥BC于点N2，过B′作B′M2⊥BC于点M2， 由旋转性质可知AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E， 设AE＝A′E＝x，则BN2＝AE＝x， 则有M2C＝BN2＋M2N2﹣BC＝x＋3﹣6＝x﹣3，A′N2＝B′M2＝x﹣3， 在Rt△B′M2C中，由勾股定理得：， ∴（x﹣3）2＋（x﹣3）2＝32， 解得或（舍去）， ∴； ③如图5，当A′C＝B′C时，过A′作A′N3⊥BC于点N3，过B′作B′M3⊥BC于点M3， 由旋转性质可知AB＝A′B′＝3，AE＝A′E，BE＝B′E， 设AE＝A′E＝x，则BN3＝AE＝x， 则有M3C＝M3N3﹣（BC﹣BN3）＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，A′N3＝B′M3＝x﹣3， ∴M3C＝B′M3，即△B′M3C为等腰直角三角形， ∴， 又∵B'C＝A'C，A′N3＝B′M3， ∴Rt△B′M3C≌Rt△A′N3C（HL）， ∴A′N3＝B′M3＝M3C＝N3C，即△A′N3C为等腰直角三角形， ∴， ∴∠A′CB′＝180°﹣2×45°＝90°， 在Rt△A′B′C中，由勾股定理得：B′C2＋A′C2＝A′B′2， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，AE的长为或或． 初二数学期中考试参考答案 第21页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第二学期期中考试 初二数学2026年4月 参考答案与试题解析 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 10 答案 D C B B D C B B 一、选择题（共10小题） 1.下列调查中，调查方式选择合理的是() A.为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查 B.为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查 C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D.为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查 【解答】解：A.为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择抽样调查，故本选项不符合题意； B.为了解当地电视台某栏目的收视率，选择抽样调查，故本选项不符合题意； C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择普查，故本选项不符合题意： D.为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查，故本选项符合题意. 故选：D. 2.把多项式2m2+8n分解因式，应提取的公因式是（) A.2 B.m C.2m D.2n 【解答】解：根据确定公因式的方法可知： 系数2和8的最大公因数为2，变量m2和mn都含有m, ∴.公因式为2m. 故选：C. 3.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AD=BC,以下条件能判断四边形ABCD是平行四 边形的是() B A.AB∥CD B.∠DAO=∠BCOC.AD=AC D.∠BAD=∠DCB 【解答】解：A、,AB∥CD,AD=BC,不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意： 初二数学期中考试参考答案第1页（共21页） B、,∠DAO=∠BCO, .AD∥BC, .AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形，故符合题意： C、,'AD=AC,不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； D、,∠BAD=∠DCB,不能判断四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：B. 4.在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合 格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是() A.12 B.0.25 C.36 D.0.75 【解答】解：不合格的人数：48-15-21=12， 不合格人数的频率：12÷48=0.25， 故选：B。 5.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直 【解答】解：A、对角线互相平分，菱形和矩形都具有； B、对角线相等，菱形不一定具有的性质： C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有； D、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质； 故选：D 6.下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是() A.x(x-1)=x2-x B.x2+3x+3=x(x+3)+3 C.x2-2x+1=(x-1)2 D.(x+y)(x-y)=x2-y2 【解答】解：x(x-1)=x-x是乘法运算，则A不符合题意， x2+3x十3=x(x十3)+3中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， x2-2x十1=(x-1)2符合因式分解的定义，则C符合题意， (x十y)(x-y)=x2-y2是乘法运算，则D不符合题意， 故选：C 7.为了解某地区10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了800名八年级学生 进行体质健康状况调查，并进行统计分析.下列说法正确的是() 初二数学期中考试参考答案第2页（共21页） A.10000名八年级学生的全体是总体 B.每个八年级学生是个体 C.800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D.样本容量是10000 【解答】解：A.总体是10000名八年级学生的体质健康状况的全体，故本选项不符合题意； B.每个八年级学生的体质健康状况是个体，故本选项不符合题意； C.800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本，故本选项符合题意： D.样本容量是800，故本选项不符合题意 故选：C. 8.如图，在△ABC中∠BCA=90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分别为 D,E,连接DE.若AB=I3,BC=12,则DE的长不可能等于() D B 9 A. B.5 D.6 【解答】解：在△ABC中，∠BCA=90°，PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分别为D,E,连接CP, E D P .四边形CEPD为矩形， ∴.DE=CP, ,点P为斜边AB上一动点， .当CP⊥AB时CP最短， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=5, 当C1A5时，吃AC~BC-AB-GR,即5x1I2=13Cn 解得：CP= 60 13≤CP≤12， :60 ≤DE≤12， 13 初二数学期中考试参考答案第3页（共21页） DE的长不可能均； 故选：A. 9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC=3cm,∠A=60°，BD平分∠ABC,则梯形的周长 为 () A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.21 cm 【解答】解：，四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB,∠A=60°， .∠CBA=∠A=60°， ,BD平分∠CBA, .∠CBD=∠ABD=30° .AB∥CD, .∴.∠CDB=∠ABD=30°， ∴.∠CDB=∠CBD=30°， ∴.DC=BC=3cm, ∠A=60°，∠ABD=30°， .∠ADB=90°， .∴.AB=2AD=6cm, ∴.梯形ABCD的周长为AD+DC+BC+AB=3cm+3cm+3cm+6cm=15cm. 故选：B 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC,其 中点A、C的对应点分别为点A'、C,连接AA'、CC,直线CC交AA'于点D.则DC的最大值为 () A. 24 5 B.5 C.3W3 D.4y2 初二数学期中考试参考答案第4页（共21页） 【解答】解：如图1，过A点作AE∥A'C',交CD的延长线于点E, C D B 设旋转角∠CBC=a,则∠BCC=∠BCC=90-号，∠ACE=∠ACE=号 ÷∠AEC-月 ∴.AE=AC=A'C 易证△AED≌△A'CD AD-AD 即D为AA'的中点， 如图2，连接BD, C D B.---- B .BA=BA' .BD⊥AA ∴.如图3，取A'B中点M,连接CM,连接DM A D e.s-- B CM=DM-=月 .∴.DC<CM+DM=5 初二数学期中考试参考答案第5页（共21页） 故选：B. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11.商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙 汁”部分的扇形的圆心角度数为一· 20 【解答】解：“橙汁”在总销量中所占的比例为： 20+26+14-3 表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数是360°×号=120° 故答案为：120°， 12.若b为整数，且x十1是x2+bx十3的一个因式，则b的值为4 【解答】解：设另一个因式为x十m, 则(x+1)(x+m) =x2+mx+x+m =x2+(m十1)x+m =x2+bx+3, 那么m=3,b=m+1=3+1=4, 故答案为：4. 13.若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是3。 【解答】解：由题意，知：S器=×2x3=3, 故答案为：3. 14.如图，在ABCD中，∠A=64°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1, 当C1D1首次经过顶点C时，旋转角的度数为52°. D D A B 【解答】解，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ..BC=BC1, .∠BCC1=∠C1, .∠A=64°， .∴.∠BCD=∠C1=64°， 初二数学期中考试参考答案第6页（共21页） ..∠BCC1=∠C1=64°， ∴.∠CBC1=180°-2×64°=52°， 即旋转角的度数为52°， 故答案为：52. 15.有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个 多项式，并将你所组成的多项式分解因式。2+2b+b2=(a十b)2(答案不唯一)· b2 2ab 2a 2b 【解答】解：选取a2,2ab,b2组成a2+2ab+b2, 则a2+2ab+b2=(a+b)2 故答案为：a2+2ab+b2=(a+b)2(答案不唯一). 16.已知如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG+FH2 G 【解答】解：如图所示，谅解EF,EH,GF,GH,EG与FH交于点O, E B ,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴在△ABD中，EH=号BD=3,EH∥BD, 同理，在△BCD中，FG=BD=3,FG∥BD, 在△ABC中，EF=AC=3,EF/AC 在△ACD中，HG=3AC=3,HG∥AC, ..EF=FG=GH=EH=3, ∴.四边形EFGH是菱形， ∴.EG⊥FH,0E=0G=2EG,0H=0F=2FH, 初二数学期中考试参考答案第7页（共21页） 在Rt△OEH中，OE2+OH=EH, .40E2+40H2=4EH2=4×(3)2=36, .(20E)2+(20H)2=36, EG2+FH2=36, 故答案为：36. 17.已知a4+a2+a十1=0，则a3-a4+a3+1的值为2. 【解答】解：a4+2+a十1=0， a4=-2-a-1, a5-a4+a3+1 =a4(a-1)+a3+1 =(-a2-a-1)(a-1)+a3+1 =-a3+a2-a2+a-a+1+a3+1 =(-a3+a3)+(a2-a2)+(a-a)+2 =2. 故答案为：2. 18.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE,以BE为边，作正方 形BEFG(点B,E,F,G按逆时针排列).当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A 重合)，则正方形BEFG的边长为35或65_· F D G ⊙ 【解答】解：当点F在直线AC上时，如图1，过点F作FMLAD,交DA的延长线于M, F D G B 图1 则∠FMA=90°， 初二数学期中考试参考答案第8页（共21页) 四边形ABCD是正方形， ∴.∠CAD=45°，∠BAE=90°， ∴.∠FAM=∠CAD=45°，∠AEB+∠EBA=90°， ∴.△AFM是等腰直角三角形， ∴.AM=FM ,四边形BEFG是正方形， .EF=BE,∠BEF=90°， ∴.∠EBA+∠FEM=90°， ∴.∠EBA=∠FEM, 在△AEB和△MFE中， LBAE=∠FME ∠EBA=∠FEM, BE=EF .△AEB≌△MFE(AAS), .∴.AE=FM,AB=EM, ∴.AE=AM=FM, .AE+AM=EM, ∴.2AE=AB=6, ∴.AE=3, 在Rt△ABE中，BE2= AD2+DE2= 62+32=3v5, .此时正方形BEFG的边长为3V5.: 当点G在直线上AC时，过点G作GM⊥AB,交BA的延长线于M,如图2， M 0 B 图2 同理可得：△AEB≌△MBG(AAS), ∴.GM=AB=6,BM=AE, 初二数学期中考试参考答案第9页（共21页） .∠CAB=∠MAG=45°，∠M=90°， ∴.△AGM是等腰直角三角形， ..AM=GM, ,∴.AM=AB=6, ∴.BM=12, 在Rt△BGM中，BG=BM2+GM2= 122+62=6V5, .此时正方形BEFG的边长为6v5 综上分析可得：正方形BEFG的边长为3V5或6V5. 故答案为：3V5或6V5 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19.(本题6分)分解因式： (1)8m2-12m: (2)a2(x-y)+b2(y-x). 【解答】解：(1)8m2-12n=4n(2m-3n): 3分 (2)a2(x-y)+b2(y-x) =(x-y)(a2-b2) =(x-y)(a+b)(a-b).3分 20.(本题8分)为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调 查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图. 视力情况扇形统计图 视力情况条形统计图 人数 A 250 233 A.正常 200 B B轻度视力不良 C.中度视力不良 150 D C D.重度视力不良 100 26% 50 45 0 B D 视力情况 根据以上信息，解决下列问题： (1)此次调查的样本容量为450；2分 (2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为36一°；2分 (3)请补全条形统计图：2分 (4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数.2分 【解答】解：(1)此次调查的样本容量为：117÷26%=450， 初二数学期中考试参考答案第10页（共21页） 故答案为：450： 45 (2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为：360×450=36， 故答案为：36； (3)样本中B的人数为：450-45-117-233=55（人）， 补全条形统计图如下： 视力情况条形统计图 个人数 250--.----------233 150 ----E 100 50 0 A B C D 视力情况 (4)25000× 45 450 =2500(人)， 答：其中视力正常的人数大约为2500人. 21.(本题6分)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的点，且BE=DF,连接AE,CF (1)求证△ADE≌△CBF;3分 (2)连接AF,CE,若AB=AD,求证：四边形AFCE是菱形.3分 y D E B 【解答】证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC, ∴.∠ADE=∠CBF, .BE=DF, ..BF=DE, 在△ADE和△CBF中， (AD=CB ∠ADE=∠CBF, DE=BE .△ADE≌△CBF(SAS): 初二数学期中考试参考答案第11页（共21页) (2)连接AC,交BD于点O, D ○ B ,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABCD是菱形， ..ACLBD,AO=CO,BO=DO, .BE=DF, ∴.E0=F0, ∴.四边形AECF是平行四边形， 又，AC⊥BD, .四边形AECF是菱形. 22.(本题6分)已知矩形ABCD中，AD=IO,P是AD边上一点，连接BP,将△ABP沿着直线BP折叠 得到△EBP (1)如图1，若AB=6,当P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长；3分 (2)请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在AD边上作出一点P,使BE平分∠PBC(不写作法，保 留作图痕迹)3分 A.-- D A D B C 图1 图2 【解答】解：(1)如图1中，由翻折变换的性质可知，∠APB=∠EPB, 四边形ABCD是矩形 ∴.AD∥BC,AD=BC=10,AB=CD=6,∠D=90°， ∴.∠APB=∠PBC=∠EPB, .CP=CB=10, .PD=VPC2-CD2=v102-62=8, ∴.AP=AD=PD=10-8=2: (2)如图，点P即为所求： 初二数学期中考试参考答案第12页（共21页） 图2 23.(本题10分)【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 定理证明： (1)为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程. 己知：在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC边的中点. 求证：0B=AC:4分 【知识应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点， 连接BM,MN,BN.若∠BAD=60°，AC平分∠BAD,AC=8,则BN的长为42_；2分 【性质延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=4,CD=6,BC-AD=2.在四 边形ABCD内存在一点P,点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d,则d的值为√13·4分 D M B 图1 图2 图3 【解答】(1)证明：延长BO至D,使OD=OB,连接AD,CD, D 0 B C ,点O是AC边的中点， .A0=C0, .BO=OD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90°， 初二数学期中考试参考答案第13页（共21页） ,四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD, B0-BD-TAC: (2)解：在△CAD中， ,M、N分别是AC、CD的中点， MN∥AD,MN=号AD, 在Rt△ABC中， ,M是AC中点， BM=号AC, .AC=AD, ∴.MN=BM, ,∠BAD=60°，AC平分∠BAD, .∠BAC=∠DAC=30, ∴BM=Z4AC=AM=MC, ∴.∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°， ,MN∥AD, ∴.∠NMC=∠DAC=30°， ∴.∠BMW=∠BMC+∠NMC=90°， ..BN=BM2+MN, ∴MN=BM=ZAC=4, BN=MN2+BM2=4V2: 故答案为：4V2 (3)解：如图，连接AC,取AC的中点P,连接PB,PD, C 初二数学期中考试参考答案第14页（共21页） 由(I)可知PA=PB=PC=PD=AC, 则点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d,即PA=PB=PC=PD=d, 设AD=x,则BC=x十2， :∠ABC=∠ADC=90°， .'.AD2+DC2=AB2+BC2, x2+62=42+(x+2)2, .x=4, .AD=4, .AC=AD2+CD2=42+62=2V13, ∴点P到四边形ABCD四个项点的距离d=AC=V3, 故答案为：V13. 24.(本题10分)综合阅读与实践.我们把多项式a2+2ab十b2,a2-2b十b2叫做完全平方式，在运用完 全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性.于 是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的 最大（或最小）值问题. 例如：①x2+2x+4=x2+2x+1+3=(x+1)2+3, :(x+1)2是非负数，即(x十1)2≥0..(x+1)2+3≥3， 则当x=-1时，代数式x2+2x+4的最小值是3： ②3x2-6+5=3(x2-2x)+5=3(x2-2x+1-1)+5=3(x-1)2-3+5=3(x-1)2+2, :(x-1)2是非负数，即(x-1)2≥0，.3(x-1)2+2≥2， 则当x=1时，代数式3x2-6x十5取得最小值2. 请根据阅读内容，完成以下问题： (1)知识再现：当x=2时，代数式x2-4x十6的最小值是2；4分 (2)知识运用：若y=-x十4x十1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值；3分 (3)知识拓展：若x2+5x十y-4=0,求3x+y的最大值.3分 【解答】解：(1)根据题目中的配方法求解可知： x2-4x+6=x2-4x+4-4+6=(x-2)2+2, :(x-2)2是非负数，即(x-2)2≥0 .(x-2)2+222, 则当x=2时，x2-4x十6有最小值2. 初二数学期中考试参考答案第15页（共21页） 故答案为：2,2 (2)y=-x2+4x+1=-(x2-4x)+1=-(x2-4x+4)+4+1=-(x-2)2+5, ,(x-2)2是非负数，即(x-2)2≥0， .-(x-2)2≤0， .-(x-2)2+5≤5， 则当x=2时，y有最大值5. (3)由条件可得y=-x2-5x+4, .3x+y=3x-x2-5x+4 =-x2-2x+4 =-(x2+2x+1)+1+4 =-(x+1)2+5, .(x+1)2≥0 .-(x+1)2+5≤5， 则当x=-1时，3x十y有最大值5. 25.(本题8分)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=6,BC=10,点P从点B出发，沿射线 BC方向运动：点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t. A Q D D B C 备用图 (1)若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值；4分（每种情形2分） (2)若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D, Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系.4分（每种情形2分） 【解答】解(I)①如图1，当点P在BC上时， DQ=t,PC=10-3t, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, .DQ∥PC, 若四边形PCDQ是平行四边形， 初二数学期中考试参考答案第16页（共21页） 则DQ=PC, ∴.t=10-3t, ∴.t=2.5(秒). ②如图2，当点P在BC的延长线上时， PC=3t-10, 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ=PC, ∴.t=3t-10, t=5(秒). 综上得，t=2.5秒或5秒时，以点P、C、D,Q为顶点的四边形为平行四边形. (2)①如图1，当点P在BC上时， Q A D B 图1 P 若四边形PCDQ是平行四边形， 则DQ=PC=CD=6, ∴.nt=10-mt=6, .mt=4, .m2 == n31 .∴.3m=2n. ②如图2，当点P在BC的延长线上时，连接PQ,交CD于E, A Q D 图2 AB⊥AC, ∴.∠BAC=90, ..AC=VBC2-AB2=V102-62-8, 四边形ABCD是平行四边形， 初二数学期中考试参考答案第17页（共21页） .CD∥AB, ∴.∠ACD=90, ,四边形PCDO是菱形， ∴.PQ⊥CD,CE=DE,PE=QE, .PQ∥AC, .四边形ACPQ是平行四边形， ..PO=AC=8, ∴.QE=PE=4, ..DO=PD= QE2+DE2= 32+42=5, .nt=mt-10=5, ∴.m=3n. 综上得，3m=2n或m=3n时，以点P、C、D,Q为顶点的四边形为菱形. 26.(本题12分)【综合与实践】初二年级的同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任 务 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD,其中AB=3,BC=6. E 【探究1】 【任务1】 小明按如图1的方式沿BE折叠纸片 (1)若∠AEB=50°，则∠EFB= ABCD,点A与点A'对应，EA的延 80°；2分 B 长线与BC交于点F 图1 D 【探究2】 【任务2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪 (2)①请你帮助小丽用无刻度的直 出一个面积最大的菱形. 尺和圆规作出这个菱形（不写作法， 图2 保留作图痕迹)：2分 ②求小丽剪出的菱形的边长.2分 【探究3】 E 【任务3】 如图3，点E是线段AD上的动点， (3)连接B'C、A'C,当△A'B'C是 小亮利用绘图软件将△ABE绕点E 以B'C为腰的等腰三角形时，直接 B 逆时针旋转90°至△A'BE. 图3 写出AE的长.6分（每种2分） 【解答】解：(1)，四边形ABCD是矩形， 初二数学期中考试参考答案第18页（共21页） .AD∥BC, ∴.∠AEB=∠EBF=50°， 由折叠性质可知∠AEB=∠A'EB=50°， ∴.∠EFB=180°-∠EBF-∠A'EB=80°， 故答案为：80： (2)①如图2，连接BD,然后作BD垂直平分线，交AD、BC于点F、E,连接DE、BF, D B E 图2 ,S菱形猕EDF =2 BD X EF,最大BD, EF垂直平分BD时，EF最大， ∴菱形BEDF即为所求； ②四边形BEDF是菱形， ∴.BF=DF, 设BF=DF=x,则AF=AD-DF=6-x, 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2=BF2, 32+(6-x)2=x2, 解得x=华 小丽剪出的交形销边长为识 (3)AE的长为3+V2或3-是v2或号 理由如下： 分两种情况讨论： ①如图，当A'B=B'C,且AB在BC上方时，过A'作A'N1⊥BC于点N1,过B作B'M⊥BC于点M1, 初二数学期中考试参考答案第19页（共21页） D B ! B N M C 图3 由旋转性质可知AB=A'B=3,AE=A'E,BE=BE, ,∠A=∠ABN1=∠BNE=90°，∠N1A'B=∠A'W1M1=∠N1M1B'=90°， ∴.四边形ABW1E,A'W1M1B均为矩形 ..AE=BN1,AB=EN,MIN=A'B',A'N1=B'M1, 设AE=A'E=x,则BN1=AE=x, M1C=BC-MIN1 -BN1=6-x-3=3-x,A'N1=B'M1=3-x, 在Rt△B'M1C中，由勾股定理得：BM2+M1C2=B'C2, .(3-x)2+(3-x)2=32, 解得x=3+3(舍去)或=3-3三 2 ∴AE=3- 2 2 ②如图4，当A'B=B'C,且A'B在BC下方时，过A'作A'W2⊥BC于点N2,过B作B'M2⊥BC于点M2, E D C M2 B 图4 A 由旋转性质可知AB=A'B=3,AE=A'E,BE=B'E, 设AE=A'E=x,则BN2=AE=x, M2C=BN2+M2N2-BC=x+3-6=x-3,A'N2=B'M2=x-3, 在Rt△B'M2C中，由勾股定理得：BM经+M2C2=BC2, .(x-3)2+(x-3)2=32 解得x=3+号或x=3-3号（合去）， 2 初二数学期中考试参考答案第20页（共21页） 4-3+39 ③如图5，当A'C=BC时，过A'作A'N3⊥BC于点N3,过B作B'M3⊥BC于点M, E N C 图5 由旋转性质可知AB=A'B=3,AE=A'E,BE=B'E, 设AE=A'E=x,则BN3=AE=x, 则有M3C=M3N3-(BC-BN3)=3-(6-x)=x-3,A'W3=B'M3=x-3, ∴.M3C=BM3,即△BM3C为等腰直角三角形， .BC=V2(x-3), 又，'B'C=A'C,A'W3=B'M3, ∴.Rt△B'M3C≌Rt△A'N3C(HL), ∴.A'N3=BM3=M3C=N3C,即△A'N3C为等腰直角三角形， :∠ACN,=LACM3=Z×90=45, .∠A'CB=180°-2×45°=90°， 在Rt△AB'C中，由勾股定理得：B'C2+A'C2=A'B2, .[2(x-3)]2+[2(x-3)]2=32, 解得x=或x=-(合去)， M6=是 综上所述，AE的长为3+多V2或3-V2或号 初二数学期中考试参考答案第21页（共21页）2025-2026学年度第二学期期中考试 初二数学2026年4月 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列调查中，调查方式选择合理的是 () A.为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查 B.为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查 C.为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D.为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查 2.把多项式22+8m分解因式，应提取的公因式是 () A.2 B.n C.2n D.2n 3.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AD=BC,以下条件能判断四边形ABCD是平行四 边形的是 () A.AB∥CD B.∠DAO=∠BCOC.AD=AC D.∠BAD=∠DCB B 第3题图 第8题图 4.在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合 格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是 () A.12 B.0.25 C.36 D.0.75 5.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 ( A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直 6.下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是 () A.x(x-1)=x2-x B.x2+3x+3=x(x+3)+3 C.x2-2x+1=(x-1)2 D.(x+y)(x-y)=x2-y2 7.为了解某地区10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了800名八年级学生 进行体质健康状况调查，并进行统计分析.下列说法正确的是 () A.10000名八年级学生的全体是总体 B.每个八年级学生是个体 C.800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D.样本容量是10000 8.如图，在△ABC中∠BCA=90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PDLBC,PE LAC,垂足分别为 D,E,连接DE.若AB=13,BC=12,则DE的长不可能等于 () A.9 B.5 C11 D.6 2 2 9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC=3Cm,∠A=60°，BD平分∠ABC,则梯形的周长 初二数学期中考试试题第1页（共6页） 为 () A.12 cm B.15 cm C.18cm D.21c 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△ABC,点 A、C的对应点分别为点A'、C,连接AA、CC,直线CC交AA'于点D.则DC的最大值为() A.24 B.5 C.3V3 D.4V2 5 A' D 第9题图 第10题图 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙 汁”部分的扇形的圆心角度数为 12.若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为 13.若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 14.如图，在☐ABCD中，∠A=64°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BCD1, 当CD1首次经过项点C时，旋转角的度数为 H A 0 B 第14题图 第16题图 第18题图 15.有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个 多项式，并将你所组成的多项式分解因式 b 2ab 2a 2b 16.已知如图，在四边形ABCD中，AC=BD=7,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG+FH 17.已知+2+a+1=0,则-4+a3+1的值为 18.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE,以BE为边，作正方 形BEFG(点B,E,F,G按逆时针排列).当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A 重合)，则正方形BEFG的边长为 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19.(本题6分)因式分解： (1)872-12: (2)(x-y)+b2(y-x). 初二数学期中考试试题第2页（共6页） 20.(本题8分)为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调 查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图. 视力情况条形统计图 视力情况扇形统计图 人数 250 -233 200 A A.正常 150 117- ⊙ B.轻度视力不良 C.中度视力不良 100 D C 50 -45 D.重度视力不良 26% 0 A B C D 视力情况 根据以上信息，解决下列问题： (1)此次调查的样本容量为 (2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为°： (3)请补全条形统计图； (4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数. 21.(本题6分)如图，在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的点，且BE=DF,连接AE,CF, (1)求证△ADE≌△CBF; (2)连接AF,CE,若AB=AD,求证：四边形AFCE是菱形 D E 22.（本题6分)己知矩形ABCD中，AD=10,P是AD边上一点，连接BP,将△ABP沿着直线BP折叠 得到△EBP. (1)如图1，若AB=6,当P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长： (2)请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在AD边上作出一点P,使BE平分∠PBC(不写作法，保 留作图痕迹) A O E 图1 图2 初二数学期中考试试题第3页（共6页） 23.(本题10分)【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 定理证明： (1)为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1)，并写出了“已知和“求证”，请你完成证明过程. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC边的中点. 求证：OB=1AC: 21 【知识应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点， 连接BMMN,BN.若∠BAD=60°，AC平分∠BAD,AC=8,则BN的长为： 【性质延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=4,CD=6,BC-AD=2.在四 边形ABCD内存在一点P,点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d,则d的值为 A D B 图1 图2 图3 24.（本题10分)综合阅读与实践.我们把多项式2+2ab+b2,2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完 全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性.于 是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的 最大（或最小）值问题. 例如：①x2+2x+4=x2+2x+1+3=(x+1)2+3, :(x+1)2是非负数，即(x十1)2≥0.∴.(x十1)2+3≥3， 则当x=-1时，代数式x2+2x+4的最小值是3： ②3x2-6x+5=3(x2-2x)+5=3(x2-2x十1-1)+5=3(x-1)2-3+5=3(x-1)2+2, :(x-1)2是非负数，即(x-1)2≥0，.3(x-1)2+222, 则当x=1时，代数式3x2-6r十5取得最小值2. 请根据阅读内容，完成以下问题： (1)知识再现：当x=一时，代数式x2-4x十6的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+4x+1,求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值： (3)知识拓展：若x2+5x十y-4=0,求3x十y的最大值. 初二数学期中考试试题第4页（共6页） 25.(本题8分)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=6,BC=10,点P从点B出发，沿射线 BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t. A Q A D B C 备用图 (1)若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值： (2)若点P的运动速度为个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D, Q为项点的四边形为菱形，请直接写出、n的数量关系. 初二数学期中考试试题第5页（共6页） 26.(本题12分)【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务. 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD,其中AB=3,BC=6. F 【探究1】 D 【任务1】 小明按如图1的方式沿BE折叠纸 (1)若∠AEB=50°，则∠EFB 片ABCD,点A与点A'对应，EA o: 的延长线与BC交于点F. 图1 D 【任务2】 【探究2】 (2)①请你帮助小丽用无刻度的 如图2，小丽计划利用这张纸片剪 直尺和圆规作出这个菱形（不写作 出一个面积最大的菱形. B 法，保留作图痕迹)； 图2 ②求小丽剪出的菱形的边长. E 【探究3】 A D 【任务3】 如图3，点E是线段AD上的动点， (3)连接B'C、A'C,当△A'B'C 小亮利用绘图软件将△ABE绕点E 是以BC为腰的等腰三角形时，直 逆时针旋转90至△A'BE. 接写出AE的长。 图3 初二数学期中考试试题第6页（共6页）▣▣ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载Apr (用户名和初始密码均为准考证号) 2025-2026学年度第二学期期中考试 准考证号 ] 可斑 初二数学答题卡 [o] [o] [0] [0] [0] [0] [0] [o] [1] [1] [1] [1] 姓名： 班级： 考场/座位号： [1] [1] [2] [2] [2] [aj [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [ 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 [5] [5] (5j [5] [5] [5] [5] 注意事项 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 6 [6] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [6] [7] [7] [7] 岛 5.保持答卷清洁、完整。 [ [8] [8] [8] [8] [8] 正确填涂■ 缺考标记☐ [9] [g] [g] [9] 9] [9] [9] [9] 、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] I0[A][B][c][D] 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11 12 13. 14 15 16. 17. 18. 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. (本题6分)因式分解： (1)8m2-12mn (2)a(x-y)+b2y-x) 1 20.(本题8分)(1) (2) 视力情况条形统计图 人数 250 200 150 117 100 50 45 0 C D 视力情况 囚囚■ 21.(本题6分) F 22.(本题6分) D A B B 图1 图2 23.(本题10分)(2) (3) D B 图1 图2 图3 囚囚■ 24.(本题10分)(1) 1 1 25.(本题8分) A D y 0 1 B B P 备用图 1 1 ㄖ■囚 口 26.(本题12分)(1) E E A D D A 0 A A B. B B B F 图1 图2 图3 囚■囚 ■ 2025-2026学年度第二学期期中考试 初二数学 2026年4月 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列调查中，调查方式选择合理的是 （　　） A．为了解某市初中生每天锻炼所用的时间，选择普查 B．为了解当地电视台某栏目的收视率，选择普查 C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查 D．为了解某厂生产的口罩是否合格，选择抽样调查 2．把多项式2m2＋8mn分解因式，应提取的公因式是 （　　） A．2 B．m C．2m D．2n 3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD＝BC，以下条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （　　） A．AB∥CD B．∠DAO＝∠BCO C．AD＝AC D．∠BAD＝∠DCB ( 第 8 题图 ) ( 第 3 题图 ) 4．在体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有48名学生，达到优秀的有15人，合格的有21人，则这次体育考核中，不合格人数的频率是 （　　） A．12 B．0．25 C．36 D．0．75 5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 （　　） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直 6．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是 （　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2＋3x＋3＝x（x＋3）＋3 C．x2﹣2x＋1＝（x﹣1）2 D．（x＋y）（x﹣y）＝x2﹣y2 7．为了解某地区10000名八年级学生的体质健康状况，有关部门从该地区随机抽取了800名八年级学生进行体质健康状况调查，并进行统计分析．下列说法正确的是 （　　） A．10000名八年级学生的全体是总体 B．每个八年级学生是个体 C．800名八年级学生的体质健康状况是总体的一个样本 D．样本容量是10000 8．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于 （　　） A． B．5 C． D．6 9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为 （　　） A．12 cm B．15 cm C．18 cm D．21 cm 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D．则DC′的最大值为 （　　） A． B．5 C．3 D．4 ( 第 10 题图 ) ( 第 9 题图 ) 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．商店某天卖出橙汁20瓶、可乐26瓶、矿泉水14瓶，若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“橙汁”部分的扇形的圆心角度数为_________． 12．若b为整数，且x＋1是x2＋bx＋3的一个因式，则b的值为_________． 13．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是_________． 14．如图，在□ABCD中，∠A＝64°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角的度数为_________°． ( 第 18 题图 ) ( 第 14 题图 ) ( 第 16 题图 ) 15．有六张写着不同整式的卡牌，如图所示，游戏：从六张卡牌中选取若干张用加号或减号连接组成一个多项式，并将你所组成的多项式分解因式 ___________________________． ( a 2 b 2 2 ab 2 a 2 b 1 ) 16．已知如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝7，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝_________． 17．已知a4＋a2＋a＋1＝0，则a5﹣a4＋a3＋1的值为_________． 18．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AD所在直线上，连接BE，以BE为边，作正方形BEFG（点B，E，F，G按逆时针排列）．当正方形BEFG中的某一顶点落在直线AC上时（不与点A重合），则正方形BEFG的边长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（本题6分）因式分解： （1）8m2﹣12mn； （2）a2（x﹣y）＋b2（y﹣x）． 20．（本题8分）为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为________ ； （2）扇形统计图中A对应圆心角的度数为________°； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数． 21．（本题6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形． 22．（本题6分）已知矩形ABCD中，AD＝10，P是AD边上一点，连接BP，将△ABP沿着直线BP折叠得到△EBP． （1）如图1，若AB＝6，当P、E、C三点在同一直线上时，求AP的长； （2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在AD边上作出一点P，使BE平分∠PBC（不写作法，保留作图痕迹） 23．（本题10分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC边的中点． 求证：OB＝AC； 【知识应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝8，则BN的长为 ________； 【性质延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝4，CD＝6，BC﹣AD＝2．在四边形ABCD内存在一点P，点P到四边形ABCD四个顶点的距离均为d，则d的值为 ________． 24．（本题10分）综合阅读与实践．我们把多项式a2＋2ab＋b2，a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，完全平方式具有非负性．于是，我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式，利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3， ∵（x＋1）2是非负数，即（x＋1）2≥0．∴（x＋1）2＋3≥3， 则当x＝﹣1时，代数式x2＋2x＋4的最小值是3； ②3x2﹣6x＋5＝3（x2﹣2x）＋5＝3（x2﹣2x＋1﹣1）＋5＝3（x﹣1）2﹣3＋5＝3（x﹣1）2＋2， ∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0，∴3（x﹣1）2＋2≥2， 则当x＝1时，代数式3x2﹣6x＋5取得最小值2． 请根据阅读内容，完成以下问题： （1）知识再现：当x＝　 　 时，代数式x2﹣4x＋6的最小值是　 　 ； （2）知识运用：若y＝﹣x2＋4x＋1，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； （3）知识拓展：若x2＋5x＋y﹣4＝0，求3x＋y的最大值． 25．（本题8分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，BC＝10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t． （1）若点P的运动速度为3个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，若运动到以点P、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （2）若点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，若运动中能使以点P、C、D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m、n的数量关系． 26．（本题12分）【综合与实践】同学们在新课程中开展活动，根据以下操作，完成相应的任务． 【研究素材】若干张全等的矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝6． 【探究1】 小明按如图1的方式沿BE折叠纸片ABCD，点A与点A′对应，EA′的延长线与BC交于点F． 【任务1】 （1）若∠AEB＝50°，则∠EFB＝ 　 　 °； 【探究2】 如图2，小丽计划利用这张纸片剪出一个面积最大的菱形． 【任务2】 （2）①请你帮助小丽用无刻度的直尺和圆规作出这个菱形（不写作法，保留作图痕迹）； ②求小丽剪出的菱形的边长． 【探究3】 如图3，点E是线段AD上的动点，小亮利用绘图软件将△ABE绕点E逆时针旋转90°至△A′B′E． 【任务3】 （3）连接B′C、A′C，当△A′B′C是以B'C为腰的等腰三角形时，直接写出AE的长． 初二数学期中考试试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $