专题04 将军饮马模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版八年级下册

该初中数学讲义以“将军饮马模型”为核心，通过知识框架图系统梳理双线段和最小值、双线段差最大值两类模型，结合矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形性质，构建“模型识别-证明思路-易错点分析”的知识脉络，突出对称转化思想的重难点。 讲义亮点在于“故事引入+真题驱动”的设计，以海伦解决将军饮马问题的故事培养几何直观，通过2022资阳中考真题及菱形、矩形动点例题强化推理意识，分层练习题覆盖不同难度，帮助学生从理解模型到灵活运用，为教师实施精准复习提供系统支持。

专题04 将军饮马模型 几何最值问题是初中数学几何模块的核心难点，而将军饮马模型是解决线段和(差)最值最经典、应用最广泛的工具。当将军饮马模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，题目会更具隐蔽性，既考查图形性质，又考查对称转化思想，是学生必须熟练掌握的重点内容。本专题就特殊平行四边形中的将军饮马模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是:1认识几何模型并能够从题日中提炼识别几何模型;2记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法;3明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。 5 模型趣事 5 真题现模型 6 提炼模型 7 模型1..将军饮马模型(双线段和的最小值) 7 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 8 模型运用 9 模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值) 9 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 13 19 当数学遇见马蹄声：将军饮马模型趣谈 在数学的王国里，有许多充满智慧的故事，它们像一颗颗闪亮的星星，照亮了我们探索真理的道路。“将军饮马”就是其中一颗格外有趣的星星。这个听起来既威武又浪漫的名字，背后其实藏着一个关于“最短路径”的聪明办法。 很久很久以前，在古希腊的亚历山大城，有一位名叫海伦的学者。他精通数学和物理，是当时的大名人。有一天，一位罗马将军风尘仆仆地来找他，脸上带着困惑和焦急。 将军向海伦请教了一个让他头疼不已的问题：他说自己每天都要从城堡出发，骑马去军营开会。但在去军营的路上，他必须先到河边让心爱的战马喝饱水。问题是，从城堡到河边，再到军营，有无数条路可以走。将军既想让马儿喝上水，又想尽快赶到军营，不想迟到。他试过很多次，有时在上游饮水，有时在下游，总觉得路程有长有短，却始终找不到那条最最节省时间的“完美路线”。他想：有没有一个办法，能一下子就找到那个让总路程最短的“黄金饮水点”呢？ 海伦听完将军的烦恼，微笑着拿出一支笔和一张纸。他没有让将军去测量每一段路，而是用了一个极其巧妙的办法。 他让将军在纸上画出城堡的位置A，军营的位置B，以及那条弯弯的河流——用一条直线L来表示。海伦说：“将军，你看，问题的关键在于，你要找的是从A到河边某点P，再到B的最短距离。这听起来很复杂，因为P点有无数个可能。” “但是，”海伦话锋一转，“如果我们换个角度看呢？”他以河流L为镜子，做出了军营B点的“倒影”，也就是对称点B'。然后，他拿起尺子，干脆利落地画了一条连接A和B'的直线。 “奇迹”就在这条直线上。这条直线与河流L的交点，就是你要找的那个最佳饮水点P！海伦解释道：“两点之间，线段最短。虽然马不能直接穿过河去B'，但利用对称，AP+PB的距离就等于AP+PB'的距离。当A、P、B'三点在一条直线上时，这个距离就是最短的。” 将军恍然大悟！他用这个方法一试，果然，每次都能找到最快到达军营的路线。这个聪明的办法，后来就被人们称为“将军饮马模型”，也叫“海伦问题”。 这个模型的智慧，远不止于骑马。它告诉我们一个深刻的道理：有时候，面对复杂的问题，我们不需要蛮干，不需要把所有可能都试一遍。只要我们能像海伦一样，换个角度思考，利用对称、转化等数学工具，就能把弯路变直路，把难题变简题。 从那以后，“将军饮马”就不再只是一个故事，而是一种解决问题的智慧。它像一位无声的老师，教导我们在生活中遇到“最短路径”、“最低成本”或“最高效率”的问题时，要学会寻找那个关键的“对称点”，用最巧妙的办法，走出最精彩的路线。 （2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 模型1..将军饮马模型(双线段和的最小值) 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值) 例1（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 例2（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 例3（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 例4（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点，P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 例1（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图，点E是边长为2的正方形对角线上一点，且，P为上任意一点，于Q，于R，则的最大值为（   ）    A． B．2 C． D． 例2（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论： ①顺次连接点的图形一定是平行四边形； ②点到它关于直线的对称点的距离为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中正确结论的序号是______． 例3（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为_______． 1．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 2．如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为________． 3．如图，在四边形中，，点E为边上的动点．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论：①的最小值是；②的最小值是；③的最大值是；④的最大值是，其中正确的是______．（填序号） 4．如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为__________． 5．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于________． 6．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是______． 7．如图，正方形中，，点E在边BC上，，点F、G分别在边上，且，则的最小值是__________． 8．如图，在边长为6的菱形中，于点，并且点是的中点，点在线段上运动，则的最小值是___________，最大值是___________． 9．如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 10．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 11．如图，正方形边长为8，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，G在上且，连接，，则的最小值为________． 12．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为___． 13．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 14．如图，在矩形中， ，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 将军饮马模型 几何最值问题是初中数学几何模块的核心难点，而将军饮马模型是解决线段和(差)最值最经典、应用最广泛的工具。当将军饮马模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，题目会更具隐蔽性，既考查图形性质，又考查对称转化思想，是学生必须熟练掌握的重点内容。本专题就特殊平行四边形中的将军饮马模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是:1认识几何模型并能够从题日中提炼识别几何模型;2记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法;3明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。 5 模型趣事 5 真题现模型 6 提炼模型 7 模型1..将军饮马模型(双线段和的最小值) 7 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 8 模型运用 9 模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值) 9 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 13 19 当数学遇见马蹄声：将军饮马模型趣谈 在数学的王国里，有许多充满智慧的故事，它们像一颗颗闪亮的星星，照亮了我们探索真理的道路。“将军饮马”就是其中一颗格外有趣的星星。这个听起来既威武又浪漫的名字，背后其实藏着一个关于“最短路径”的聪明办法。 很久很久以前，在古希腊的亚历山大城，有一位名叫海伦的学者。他精通数学和物理，是当时的大名人。有一天，一位罗马将军风尘仆仆地来找他，脸上带着困惑和焦急。 将军向海伦请教了一个让他头疼不已的问题：他说自己每天都要从城堡出发，骑马去军营开会。但在去军营的路上，他必须先到河边让心爱的战马喝饱水。问题是，从城堡到河边，再到军营，有无数条路可以走。将军既想让马儿喝上水，又想尽快赶到军营，不想迟到。他试过很多次，有时在上游饮水，有时在下游，总觉得路程有长有短，却始终找不到那条最最节省时间的“完美路线”。他想：有没有一个办法，能一下子就找到那个让总路程最短的“黄金饮水点”呢？ 海伦听完将军的烦恼，微笑着拿出一支笔和一张纸。他没有让将军去测量每一段路，而是用了一个极其巧妙的办法。 他让将军在纸上画出城堡的位置A，军营的位置B，以及那条弯弯的河流——用一条直线L来表示。海伦说：“将军，你看，问题的关键在于，你要找的是从A到河边某点P，再到B的最短距离。这听起来很复杂，因为P点有无数个可能。” “但是，”海伦话锋一转，“如果我们换个角度看呢？”他以河流L为镜子，做出了军营B点的“倒影”，也就是对称点B'。然后，他拿起尺子，干脆利落地画了一条连接A和B'的直线。 “奇迹”就在这条直线上。这条直线与河流L的交点，就是你要找的那个最佳饮水点P！海伦解释道：“两点之间，线段最短。虽然马不能直接穿过河去B'，但利用对称，AP+PB的距离就等于AP+PB'的距离。当A、P、B'三点在一条直线上时，这个距离就是最短的。” 将军恍然大悟！他用这个方法一试，果然，每次都能找到最快到达军营的路线。这个聪明的办法，后来就被人们称为“将军饮马模型”，也叫“海伦问题”。 这个模型的智慧，远不止于骑马。它告诉我们一个深刻的道理：有时候，面对复杂的问题，我们不需要蛮干，不需要把所有可能都试一遍。只要我们能像海伦一样，换个角度思考，利用对称、转化等数学工具，就能把弯路变直路，把难题变简题。 从那以后，“将军饮马”就不再只是一个故事，而是一种解决问题的智慧。它像一位无声的老师，教导我们在生活中遇到“最短路径”、“最低成本”或“最高效率”的问题时，要学会寻找那个关键的“对称点”，用最巧妙的办法，走出最精彩的路线。 （2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 模型1..将军饮马模型(双线段和的最小值) 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值) 例1（25-26八年级下·北京·期中）在正方形中，，点，分别为、上一点，且，连接、，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作关于直线的对称点，连接，通过证明得到，结合轴对称性质得到，将转化为，利用两点之间线段最短可知当、、三点共线时和最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】过点作关于直线的对称点，连接，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， ， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值为． 例2（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，菱形的边长为6，，点E，F是对角线上的两个动点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点三点共线时，取得最小值， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 例3（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【答案】 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴N在上，且N为的中点， ∵， ∴， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴， 即P为中点， ∵O为中点， ∴P、O重合， 即过O点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：， 所以，的最小值为． 例4（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点，P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取的中点Q， 因为菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点， ，， 连接交于点G， ∴， ∴关于对称， 连接交于点P， 则点P就是使得值最小的位置点，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故点P是的中点， 连接，则与交于点P， 因为菱形的两条对角线分别为6和8， 故，， ， ， ， 故的最小值为5； 模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值) 例1（24-25九年级上·湖北襄阳·自主招生）如图，点E是边长为2的正方形对角线上一点，且，P为上任意一点，于Q，于R，则的最大值为（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，连接，先求出，再由三角形面积公式得，设，则，由此得，设，则，然后根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示：   ， ∵四边形是正方形，点是对角线上一点， ， ， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， ， 又 ∵， ， ， ， 设，则， ∵点为上任意一点， ， 即， 设， ， ∵二次函数的对称轴为，且， ∴当时，的值为最大，最大值为， ∴的最大值为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，二次函数的性质和最值，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式，二次函数的性质和最值是解决问题的关键． 例2（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论： ①顺次连接点的图形一定是平行四边形； ②点到它关于直线的对称点的距离为； ③的最大值为； ④的最小值为． 其中正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】先根据矩形的边长，利用勾股定理求出对角线的长度，再结合平移的性质得到、且的核心关系，以此为基础逐一分析四个结论的正确性；对于结论①，结合矩形对边平行且相等的性质推出与的位置和数量关系，再分析特殊位置下的图形形状进行判断；对于结论②，利用三角形面积法求出点、到的距离，结合与的平行关系得到点到直线的距离，再根据对称点的性质求出点到其关于对称点的距离；对于结论③，先判定四边形为平行四边形得到，将转化为，再利用三角形三边关系确定该式的最大值；对于结论④，先将转化为，构造点关于直线的对称点，将求线段和的最小值转化为求线段的长度，再通过面积法和勾股定理逐步计算的实际长度，与对比后判断结论正误． 【详解】解：在矩形中，，，则，，，由勾股定理得． 由平移的性质可知，，，． ∵，， ∴，． 当四点不共线且无重合点时，四边形满足一组对边平行且相等，是平行四边形； 当与重合时，三点共线，顺次连接的图形不是四边形，更不是平行四边形，故①错误； ∵，设点到的距离为，点到的距离为． ，又， ∴，解得． 同理可得，点到的距离． ∵点和点在的两侧，， ∴点到直线的距离为， 则点到它关于直线的对称点的距离为，故②正确； ∵，， ∴四点不共线时，四边形是平行四边形，． 当四点共线时，． ∴． 根据三角形三边关系，在中，，当且仅当三点共线，且在和之间时，等号成立，此时，即的最大值为，故③正确； 由，得，即求直线上一点到、两点的距离和的最小值． 作点关于直线的对称点，连接，连接交于点， 则，的最小值为的长度，， 过点作于点，交于点． ∵，， ∴，即， ∴四边形、均为矩形，得，，． 在中，由勾股定理得． ∴． 又∵， ∴． 在中，，，， 由勾股定理得， ∴， ∴． ∵． ∴在中，由勾股定理得． 故④错误． 例3（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接，结合轴对称性质得到点与点重合时，有最大值，最大值即为的长，利用菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，再结合，等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接， ，当三点共线，即点与点重合时，有最大值，最大值即为的长． 在菱形中，， 为等边三角形， ， 点为的中点， ． ， ， ，． ，， 为等边三角形， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 1．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 2．如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F， ， 四边形是平行四边形， ， ， 根据两点之间线段最短可知，此时最短， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，点E为边上的动点．将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论：①的最小值是；②的最小值是；③的最大值是；④的最大值是，其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵， ，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合，与重合时，最小此时， ，故③错误； 故②正确； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值 故①正确； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴最大值为．故④正确； 综上所述结论正确的是①②④ 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 4．如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先利用轴对称的性质说明，，再利用矩形的性质得出，，，从而可得，再利用勾股定理求得，再说明当、、在同一直线上时，有最小值，从而可得的最小值为． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， 则，， ∵四边形是矩形，， ，，， ，， 在的延长线上， ， ， ，为中点， ， ， 。 当、、在同一直线上时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，则四边形是平行四边形，那么，，则，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，则，可得，则，连接，则，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， 则， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∴， ∴的最小值为10， 即的最小值为10， 故答案为：10． 6．如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，以为邻边构造平行四边形，连接，证明出的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【详解】以为邻边构造平行四边形，连接． 则，， ， 的最小值为， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得 的最小值为． 故答案为：． 7．如图，正方形中，，点E在边BC上，，点F、G分别在边上，且，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，过点作于，过点作，过作交于，连接，先求出，证和全等得，再证四边形为平行四边形得，，然后证为直角三角形，进而可求出，最后根据得当点在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长，进而可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作，过作交于，连接，如图： ∵四边形为正方形， ， ∴， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ，， ，， ， 为直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：，当点在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长为， 的最小值为， 故答案为： 8．如图，在边长为6的菱形中，于点，并且点是的中点，点在线段上运动，则的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】 【分析】利用菱形的对称性，将转化为，则，根据两点之间线段最短，当、、共线时取得最小值；再通过证明三角形为等边三角形，结合勾股定理等知识求最大值． 【详解】解：连接，， ∵四边形是菱形， ∴，互相垂直平分， ∴点关于的对称点为， ∴， ∴． ∵，是的中点，， ∴，， ∴． 当、、共线时，取得最小值，即的最小值为． ∵，是中点， ∴， 又∵四边形是菱形，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴，． 过点作交的延长线于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 当点F与点重合时，，，取最大值，最大值为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及轴对称 - 最短路线问题，熟练掌握菱形的对称性和勾股定理是解题的关键． 9．如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查结合矩形的性质考查轴对称求最短路径问题以及点圆最值问题，分析出点的运动轨迹是解决问题的关键．作点关于的对称点，利用轴对称性质得，将转化为．在中，为中点，由直角三角形斜边中线性质得，故在以为圆心、2为半径的圆上，根据两点之间线段最短，；结合圆的性质，圆外一点到圆上点的最小距离为该点到圆心的距离减去半径，因此的最小值为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，则， ∴． ∵为直角三角形，为中点，， ∴，即点在以为圆心、为半径的圆上， ∴当三点共线时，取得最小值，且最小值为的最小值． ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为， 即的最小值为； 故答案为：． 10．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 11．如图，正方形边长为8，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，G在上且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形．作于，作射线，可证得，从而，从而得出点在过且与成的直线上运动，直线交于，连接，交交于，当点在处时，最小，可求得，进而解答即可. 【详解】解：如图，作于，作射线， 四边形是正方形， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ， 点在过点 且与成的直线上 运动，直线交于， ， ∴， 连接 交于， ∴即， 当点在处时，最小，最小值为线段的长， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且．为对角线上一点，则的最大值为___． 【答案】 【分析】如图所示，以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，最大值为的长；由正方形的性质求出的长，继而可得，，，，再证明，可得，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图所示，以为对称轴作N的对称点，连接， 根据对称性质可知，， ∴，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，最大值为的长， ∵四边形是正方形，边长为8， ∴，，， ∵O为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 13．如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、． (1)当，时， ①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系： ； ②若，求此时的长； (2)当，求的最小值． 【答案】(1)①作图见解析，，；② (2) 【分析】（1）①取中点作图，根据中位线的性质可判断．根据正方形的性质容易证明，进而可证明，因此； ②使用勾股定理可得，运用正方形的性质和勾股定理计算出和，进而求出； （2）分别取、、、的中点、、、，连接，，，，，根据中位线的性质可得，．由线段公理可得，当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为的长．同理①可得，是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：点、、如图所示，，，理由如下： ∵点、、分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，； ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：且； ②由①可知，， ∴， 由勾股定理可得，，，，， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即（负值舍去）； （2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接，，，，， 同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，，； ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长， 同理（1）①可得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴在直角中，， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题是四边形中点问题的综合题，考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．如图，在矩形中， ，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解； （2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）（1）如图①， 过点作于点，则四边形是矩形． 由题意知，，，， ． 是的中点， ， ． 在中，， ． （2）解：如图②， 以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，， 此时，，． 当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小， 即的值最小，则， 易知 ． 过点作于点，则是的中点， ． 在中，，， ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $