11.1 不等式-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 第十一章 不等式与不等式组 11.1不等式 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 ,用“=”表示相等关系的式子 前面我们学习了用等式表示问题中的相等关系，本节我们将学习不 等式及其性质.有了不等式，就可以表示问题中的不等关系了 因方法点拨 判断一个式子是不是不等 11.1.1不等式及其解集 式：从意义上看，需判断这 问题一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地 个式子是否表达不相等的 数量关系；从形式上看，需 210km,汽车要在8：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 判断这个式子是否用不等 分析：设车速是xkm/h. 号连接。 汽车要在8：00之前驶过A地，从时间上看， 就是以xkm/h的速度行驶210km的时间不到 2h,这个不等关系可以表示为 因方法点拨 210 <2. 表示“ 程，即行致时间 速度 ① 列不等式的步骤： (1)正确理解语句，用恰 从路程上看，就是以xkm/h的速度行驶2h的路程要超过210km,这个 当的式子表示出题中的数 不等关系可以表示为 量关系，要特别注意确定 2x>210. 表示“时间×速度”，即行驶路程 ② 运算顺序，如“平方和”与 “和的平方” 像①②这样用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式 (2)根据文字中的关键 (inequality).像a+2≠a-2这样用“≠”表示不等关系的式子也是 词，如“不小于”“非负数” 不等式.*常见的不等号有>，≥，<，≤，≠ “非正数”等，选择正确的 有些不等式中不含字母，例如3<4，-1>-2；有些不等式中含有字母， 不等号进行连接，即可列 例如①②这样的不等式.我们常用不等式来表示不等关系. 出不等式. 例1用不等式表示下列不等关系： (1)a与15的和大于27； ☑易错提醒 (2)b的一半与3的差是负数；…，用“<0”表示 (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植 一个式子是不是不等式， 与它是否成立无关 面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍。 用“>”表示 解：(1)a+15>27; (2)23<0: 1201 中小学AI教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 (3)设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm2,那么1333>18x,也可以 敲黑板多 表示为18x<1333. hm表示长度单位“百米”，hm2表示面积单位“公顷” 当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些 区易错提醒 值.如对于前面问题中的不等式2x>210,我们需要了解满足条件的车速 一般情况下，不等式的解 有无数个，但不等式的特 x的值.例如，当x=90时，2x=180,不等式2x>210不成立：当x=110时， 殊解可以是有限个 2x=220,不等式2x>210成立.这就是说，当x取某些值（如110）时，不等 式2x>210成立；当x取某些值（如90）时，不等式不成立 与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的 解.例如，110是不等式2x>210的解，而90不是不等式2x>210的解。 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知裁的值，叫作方程的解 探究 一探究答亲 再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x>210的解 95100105 90 110 … 190200210 2x 180 220 x>105 … 观察不等式2x>210的解，它们都满足什么条件？ 可以发现，当x>105时，不等式2x>210总成立：而当x<105或x= 105时，不等式2x>210不成立.这就是说，任何一个大于105的数都是不 ☑速记▣速 等式2x>210的解，这样的解有无数个：任何一个小于或等于105的数都 在数轴上表示不等式的 不是不等式2x>210的解.因此，x>105表示了能使不等式2x>210成立的 解集： x的取值范围。 大于向右， 由上可知，在前面的问题中，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应 小于向左 有等号画点 大于105km/h. 无等号画圈。 不等式的解集女须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能 使不等式成立，(2)能够使不等式成立的所有的解都在该解集中 般地，一个含有未知数的不等式的所有的 解，组成这个不等式的解集.例如x>105是不等 在表示105的点上画空 式2x>210的解集，它可以在数轴上直观表示（图 心圆圈，表示解集不包 11.1-1).求不等式的解集的过程叫作解不等式. 含这个点所对应的数. 0 105 图11.1-1 中小学A1教辅引领者|121 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 练习 可练习答亲 1.用不等式表示下列不等关系： 1.(1)a>0 (1)a是正数： (2)5+x<7. (2)5与x的和小于7； (3)-4m>8. (3)-4与m的积大于8； (4)m-1<3m (4)m与1的差小于m的3倍； (5)设该公园的环境噪声 (5)经检测，某公园的环境噪声在50B(分贝)以下； 为xdB,则x<50, (6)设该市有新能源公交 (6)某市有公交车12000辆，其中新能源公交车所占比例超过66%， 车x辆，则x>12000x66%. 2.下列数中哪些是不等式x+3>6的解？哪些不是？ 2.3.2,4.8,8,12是不等 -4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12. 式x+3>6的解，-4，-2.5， 3.直接说出下列不等式的解集： 0,1,2.5,3不是这个不等 △点拨：不等式的解与不等式的解集的区别与联系如下，不等式的解集是能 式的解 使不等式成立的未知戴的取值范围，是所有解的集合，而不等式的解是使不 3.(1)x>3. 等式成立的未知裁的值，二者的联系是解集包括解，所有的解组成解集 (2)x<4. (1)x+3>6; (2)2x<8; (3)x-2>0. (3)x>2. 11.1.2不等式的性质 对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式x+4> 10的解集是x>6,不等式2x<6的解集是x<3.但是对于比较复杂的不等 式，例如5+1-2>x-5 61 ,直接得出它的解集就比较困难因此，还要讨论怎 样解不等式。 与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性 质.为此，我们先来看一看不等式有什么性质. 网拓展提升 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻 不等式的同向可加性： aaccccccccccccccccce 画，所以可以类比等式的性质研究不等式的性质， 类比等式的性质， 若a>b,c>d.则a+c>b+d. 与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实 你能猜想不等式 对称性 有哪些性质吗？ (1)交换不等式两边，不等号的方向改变： 如果a>b,那么b<a. 例如，由5>x,可得x<5.传递性 可以借助数轴 (2)不等关系可以传递： 理解这两个基 如果a>b,b>c,那么a>c 本事实 例如，由y>x,x>-3,可得y>-3. 122|中小学A1教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 我们知道，等式两边加或减同一个数（或式子），乘或除以同一个数 敲黑板函 (除数不为0)，结果仍相等.不等式是否也有类似的性质呢？·等式的性质 先考虑不等式两边加（或减）同一个数的情况 可探究 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其 中的规律： 一探究答案 (1)>>:> (1)5>3, (2)-1<3, (2)<:<:< 75+2 3+2,5 3-1+4 3+4,7 55+0 3+0,3 -1-1+0 3+0,3 35+(-2) 3+(-2):1 -8-1+(-7) 3+(-7).-4 根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不 等号的方向不变 换一些其他 图方法点拨 由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等 数，验证这个 利用不等式的性质1来比 较两个数a与b的大小. 式两边减去同一个数的情形仍然成立， 发现. 可转化为确定a-b与0的 -3>-5,-3+2>-5+2,-3+0> 大小关系 -5+0,-3+(-2)>-5+(-2),故 这个发现仍然成立 当a-b>0时，a>b: 当a-b=0时，a=b: 一般地，不等式有如下性质： 当a-b<0时，a<b. 不等式的性质1不等式两边加（或减）同一个数 可以借助数轴 (或式子)，不等号的方向不变 理解这个性 如果a>b,那么a±c>b±c. 质 接下来，考虑不等式两边乘（或除以）同一个不为0的数的情况. “除以”是被除悬在前，除数在后： “除”是除裁在前，被除裁在后 。探究答案 ?探究 (1)>:<. 用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其 (2)<:>. 中的规律： (1)6>2, (2)-2<3, 306×5 2×5,10 -8-2×4 3×4,12 ---1.5 -306×(-5) 2×(-5);1-2×(-0.5) 3×(-0.5). *-10 根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向 不变；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变· 中小学A1教辅引领者|123 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板函 由于除以一个不为0的数等于乘这个数 a000000000000000000a 的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同， 换一些其他数，验证这个发 因而这个规律对于不等式两边除以同一个不 现.如果不等式两边乘0， 为0的数的情形仍然成立. 结果又如何呢？ 8>3,8÷2>3÷2,8÷(-7)<3÷(-7),故这个发现仍成立 不等式变成了等式 般地，不等式还有如下两个性质： 不等式的性质2不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变 图方法点拨 不等式的性质2和性质3 如果a>b,c>0,那么ac>bc(或”≥b 的核心区别在于不等号方 不等式的性质3不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 向是否改变，关键要看乘 (或除以)的数是正数还 如果a>b,c<0,那么r<bc(或“<). 是负数：是正数时，不改变 不等号的方向：是负数时， 比较不等式的性质2和性质3，指出它们有什么区别.再比较不等式 必须改变不等号的方向. 的性质和等式的性质，它们有什么异同？ 例2已知a>b,比较下列两个式子的大小，并说明依据. (1)a+3与b+3; (2)-2a与-2b: 两边加同一个数 *两边乘同一个负裁 解：(1)因为a>b,所以a+3>b+3(不等式的性质1). (2)因为a>b,所以-2a<-2b(不等式的性质3)， 零练习答案 凸练习 1.(1)>,不等式的性质1. 1.已知p>q,用“>”或“<”填空，并说明依据： (2)>,不等式的性质1 1 (3)>,不等式的性质1. (1)p+2 g+ 2 (2)p-2q-2; (3)p+2mg+2m; (4)<,不等式的性质3. (5)>,不等式的性质2. (4)-5p -5q; 9 (6)4p+1 4g+1. (6)>,不等式的性质2和 性质1 2.已知m>3,利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： 2.(1)m+5>8 (1)m+5; (2) (3)-2m; (4)3m-4. 2号 (3)-2m<-6 与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为 (4)3m-4>5. >m或x<m(m为常数)的形式：解方程白步聚：()去分年.(2去括号 (3)移项.(4)合升同类项.(5)系数化为1 例3利用不等式的性质解下列不等式： (1)x-7>26: (2)3x<2x+1; 2 (3)3x>50: (4)-4x>3. 124|中小学A1教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变， 敲黑板函 所以 x-7+7>26+7. x>33. (2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x,不等号的方向不变， 所以 3x-2x<2x+1-2x. x<I. (3)根据不等式的性质2，不等式两边乘 ,不等号的方向不变，所以 因方法点拨 利用不等式的性质1可类 3、2、3 2*3>2×50, 比等式中的移项：利用不 等式的性质2或性质3可 x>75. 类比等式中的把未知数的 (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变， 系数化为1. -4x3 所以 -4-41 3 X<- 4 之可以象4即-4x(4)人3x(4） 还可以在数轴上直观地表示例3中不等式的解集，如不等式x-7>26 的解集x>33在数轴上的表示如图11.1-2所示. 0 33 图11.1-2 不等大号>0的屏来>5在美轴上的表示和国所示： 0 75 不等式3x<2x+1的解集x<1在数轴上的表示如图 区易错提醒 11.1-3所示. 请你分别在数 运用不等式的性质对不等 轴上表示例3 式进行变形时，要特别注 0 中其他两个不 意：不等式两边乘（或除 图11.1-3 等式的解集 以)同一个负数，不等号的 方向要改变 不等式-43尚解来子在载轴上的表示和因所不 除了含有<，>，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的 0 式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是 4 ooccccccecccecce 不等式.例如，x≥3表示x>3或x=3,即x可以取3和大 符号“≥”与 于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说 “>”的含义有 是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是 什么区别？ “不大于”. “≤”与“<”呢？ x≥a表示x>a或x=a;x≤a表示x<a或x=a. “≥”和“≤”分别比“>”和“<”多了一层含义 a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似 的性质.例如，如果a≥b,那么-2a≤-2b. 中小学A1教辅引领者|125 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板函 生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或 a≤b的不等式表示.如图11.1-4所示的高速公路的 +@ 限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速 应为80km/h,最高车速应为100km/h.如果用v(单 位：km/h)表示汽车的速度，则v应满足：v≥80且v≤ 100,或表示为80≤v≤100.*连写不等式 图11.1-4 回到本节开头的问题，如果汽车所行驶道路的最高限速是120k/h, 图方法点拨 那么车速x应满足什么条件？.--·105<x≤120 用数轴表示不等式的解集 例4@如图11.1-5，一个长方体形状的鱼缸 的步骤： 长10dm,宽3.5dm,高7dm.若鱼缸内已有水 (1)定边界点.在数轴上 的高度为1dm,现准备向鱼缸内继续注水.用V 标出原点和边界点，有等 (单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取 10 dm- 号画实心圆点，无等号画 已有水的体积为 3.5dm 值范围并在数轴上表示， 空心圆圈， (10×3.5×1)dm 图11.1- (2)定方向.大于向右，小 分析：问题中的不等关系是：已有水的体积与新注入水的体积之和不能 于向左 超过鱼缸的容积. 容器中水的体积≤容器的容积 解：因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以 10×3.5×1+V≤10×3.5×7， 解得 V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是 0≤V≤210.-*表示V≥0且V≤210 在数轴上表示V的取值范围如图11.1-6所示. 在表示0和210的点上画 210 实心圆点，表示取值范围包 零练习答案 图11.1-6 凸练习 含这两个点所对应的数 1.(1)x≥-2. 1.关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集. (2)x<3. 向左用小 (3)-1<x≤4 1) -2 0 2 于号表 2.(1)x>-6. 此为实心圆点，含等号 (2)x<5. (3) (3)x≤6. -10 5 (4)x<4 2.利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)x+5>-1; (2)4x<3x+5; 在数轴上表示略。 ①提示：若不等式不包含等号，则画空心圆图 3.19≤1≤28 1 6 (3)7x≤7 (4)-8x>10 3.某日北京的最低气温是19℃，最高气温是28℃，用不等式表示这天 的气温t(单位：℃)的变化范围. 1261 中小学AI教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 定义 用不等号表示不等关系的式子，叫作不等式 。不等式的解 使不等式成立的未知数的值 不等式 包会 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有 的解，组成这个不等式的解集 性质1：如果a>b,那么a±c>b±c 6不等式的性质 性质2：如果a>b,c>0,那么ac>bc(或>2) 性质3：如果a>b,c<0,那么ac<bc(或g<) 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 11.1.1不等式及其解集 一、不等式的概念 测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢 1.下列式子：①3>0；②4x+5>0:③x<3;④x2+x; 复原状，由此可判断这个物体所受的重力 ⑤x=-4:⑥x+2>x+1.其中，不等式有( G(单位：N)的取值范围是() A.3个 A.G<50 B.4个 B.G≤50 C.5个 C.G>50 D.6个 D.G≥50 2.下列选项中，蕴含不等关系的是( 4.某品牌的酱油瓶上标注了“氨基酸态氮≥ A.老师的年龄是荣荣的年龄的2倍 1.2g/100mL”,它的含义是() B.小军和小红一样高 A.每100mL酱油所含氨基酸态氮1.2g C.小明比爸爸小26岁 B.每100mL酱油所含氨基酸态氮高于1.2g D.x2-4是负数 C.每100mL酱油含氨基酸态氮不低于 二、列不等式表示不等关系 1.2g 3.某弹簧测力计的测量范围是0~50N,小明未 D.每100mL酱油所含氨基酸态氮不超过 注意弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计 1.2g 中小学A教辅引领者|127 Q新学期对照学数学七年级下册 5.重点题用不等式表示下列数量之间的关系：9.下列说法错误的是()》 (1)正方形的边长为acm,它的面积不超过 A.不等式x<2的正整数解只有一个 25cm2; B.-2是不等式2x-1<0的一个解 (2)某校七年级每班人数均不少于30，该校 C.不等式-3x>9的解集是x>-3 七年级(1)班有x名学生； D.不等式x<10的整数解有无数个 (3)某市某日的最高气温为35℃，最低气温10.在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横 为27℃，该市当日某时的气温为x℃. 坐标x满足x>-1.游戏设定有一个危险区 域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警 报.下列关于危险区域横坐标范围的设定 中，会使玩家永远不会进入危险区域的 是() A.x≤-2 B.x<0 C.x>-3 D.x<1 11.如图，数轴上表示的是关于x的不等式的解 集，则不等式的解集为 12.在数轴上表示下列不等式的解集， (1)x>-4; 三、不等式的解 (2)x≤3.5； 6.下列各数是不等式4x-1>5x的解的 (3)-2.5<x≤4. 是() A.3 B.0 C.-1 D.-2 7.在4,3.2,1.0,9,9中，能使不等式3-2 2x成立的数有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 四、不等式的解集 8.不等式x≤-2的解集在数轴上表示正确的 是( A B 128|中小学A1教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 知识对照11.1.2不等式的性质 一、不等式的性质 7.已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值 1.根据不等式的性质，下列变形正确的 范围。 是() A.若2x+1<x,则x<1 B.若a>b,则c-a>c-b c若0>2则a<4 D.若ac2>bc2,则a>b 2.已知a,b,c,d是实数，且a-b>c-d.下列说法 一定正确的是( A.若b=d,则a>c B.若a=c,则b>d C.若b<d,则a>c 8.对于问题：已知a,b是实数，若a>b,则a2>b2. D.若a>c,则b>d 如果结论保持不变，怎样改变条件，这个问题 3.若m+2026≤n+2026,则下列选项一定成立 才是正确的？ 的是() 下面给出两种改法：（1)已知a,b是实数，若 A.m≤n B.m≥n a>b>0,则a2>b2;(2)已知a,b是实数，若a< C.m+2026≤n D.m≥n+2026 b<0,则a2>b2 4.若a>b-1,则下列结论一定正确的是( 试利用不等式的性质，说明这两种改法是否 A.a+1<b B.a-1<b 正确？ C.a>b D.a+1>b 5.设“▲”“☐”表示两种不同的物体，先用天平 称重，情况如图所示.若设一个“▲”的质量 为a,一个“☐”的质量为b,则a与b的大小 关系是 ■■y 6.重点题设x<y,用“>”或“<”填空： (1)x+3 y+3: 2 3: (3)-2x -2y (4)x-n y-n. 中小学A1教辅引领者|129 Q新学期对照学数学七年级下册 二、不等式的性质的应用 13.若关于x的不等式(m-1)x>m-1可化为x< 9.若实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图 1,求m的取值范围. 所示，则下列不等式成立的是( a b 0 c A.a+c>b+c B.a+b>c+6 C.ac>be D.ab>cb 10.点M,N,P和原点在数轴上的位置如图所 示.如果实数a,b,c各自对应着M,N,P三 个点中的某一点，且ab<0,a+b>0,a+c>b+c, 那么实数b对应的点为( M 0 N p A.M B.N C.P D.无法确定 11.如图，在一条不完整的数轴上，点A,B,C把 数轴分成①②③④共四部分，点A,B,C对应 的实数分别是a,b,c.若原点在第③部分且 不与点B,C重合，则给出下列结论：(1)ab< 14.三个连续非负整数的和小于18，这样的数组 0;(2)a+b<0;(3)a-b<0;(4)2a>2b.其中， 共有多少组？把它们写出来 结论正确的是( ① ② ③ ④ B A.(1)和(2) B.(3)和(4) C.(2)和(3) D.(1)和(4) 12.若关于x的不等式(2-a)x<3可化为x> 2。求。的取值范混 130|中小学A1教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 三、利用不等式比较两数的大小 17.甲、乙两个班分别从新华书店购进了A,B两 15.有一个两位数，它的个位上的数为a,十位上 种图书，A种图书的进价为4元/本，B种图 的数为b,那么这个两位数可以用含有a,b的 书的进价为10元/本，现甲班购进m本A种 式子表示为 如果将它个位和十位 图书和n本B种图书，乙班购进m本B种图 上的数对调，使得到的新的两位数比原来的 书和n本A种图书， 两位数大，那么a,b的大小关系为 (1)分别用含m,n的式子表示甲、乙两个班 16.阅读下面的解题过程，再回答问题 的购书总费用； 已知a>b,试比较-2026a+1与-2026b+1 (2)若m<n,则哪个班的购书总费用较少？ 的大小 解：因为a>b,… 第一步 所以-2026a>-2026b,… 第二步 所以-2026a+1>-2026b+1.… 第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始 出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程， 18.中考新角度阅读理解)【阅读与思考】用求 差法比较大小： 两个数的大小可以通过它们的差来判断： 如果两个数a,b比较大小，那么 当a>b时，一定有a-b>0; 当a=b时，一定有a-b=0: 当a<b时，一定有a-b<0. 反过来也对，即 当a-b>0时，一定有a>b; 当a-b=0时，一定有a=b; 当a-b<0时，一定有a<b. 中小学A1教辅引领者|131 Q新学期对照学数学七年级下册 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量四、利用不等式的性质解不等式 化，再求它们的差，根据差的正、负判断这两19.利用不等式的性质解下列不等式，并把解集 个对象的大小 在数轴上表示出来 【探究与实践】 (1)x+3<-2; (1)请用作差法说明“不等式两边乘同一个 (2)9x>8x+1; 负数，不等号的方向改变”，即“如果a>b,c< (3)2x≥-4 0,那么ac<bc” (2)制作某产品有两种用料方案. (4)-10x≤-5. 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板， 已知A型钢板的面积比B型钢板的大，从省 料的角度考虑，应选哪种方案？ 五、不等式在实际生活中的应用 20.借助北斗导航能够实时显示当前路口的信 号灯颜色和剩余时间，帮助车辆实现智能通 行.一辆汽车在限速60km/h的路段上行 驶，当距离下一路口800m时，发现导航显 示下一路口的信号灯为绿灯，剩余时间为 64$,且导航提示：按照当前行驶速度能通过 下一路口.求这辆汽车当前行驶速度xkm/h 的取值范围。 132|中小学A1教辅引领者 第十一章不等式与不等式组 21.重点题如图，某长方体形状的容器长4cm,23.选材新风向价目表如图，这是某电影院 宽2cm,高7cm.容器内原有水的高度为 的价目表.某社团16人去此电影院看电影， 1cm,现准备往容器内继续注水，用V(单 打算用1600元的比赛奖金购买电影票、爆 位：cm3)表示新注入水的体积，求V的取值 米花与饮料.如果要让每人拿到一张电影票 范围。 和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 价目表 电影票 爆米花 饮料 7cm 80元/张 25元/盒 20元/杯 1cm *每张电影票能使用下列其中一种优惠 2cm 优惠一：一杯饮料16元。 4cm 优惠二：一盒爆米花和一杯饮料共30元 22.某城市平均每天处理垃圾700t,有甲和乙两 个处理厂处理.已知甲厂每处理垃圾55t,需 要费用550元，乙厂每处理垃圾45t,需要费 用495元.如果规定该城市每天用于处理垃 圾的费用不得超过7370元，那么甲厂每天 处理垃圾至少多少吨？ 中小学A1教辅引领者|133共需110元： 14.解：设分别购买甲、乙、丙三种奖品x个，y 个，z个 根据题意列方程，得5x+10y+15z=100, 即x+2y+3z=20 由题意得，x,y,z均为正整数 ①当z=1时，x+2y=17, .x=17-2y, ∴y分别取1,2,3,4,5,6,7,8时，x为正整 数，共有8种购买方案 ②当z=2时，x+2y=14, .x=14-2y, ∴y分别取1,2,3,4,5,6时，x为正整数，共 有6种购买方案 综上所述，共有8+6=14（种）购买方案 第十一章不等式与不等式组 11.1不等式 11.1.1不等式及其解集 1.B①3>0是不等式；②4x+5>0是不等式； ③x<3是不等式：④x2+x是代数式，不符合题 意；⑤x=-4是方程，不符合题意；⑥x+2>x+1 是不等式 2.D3.C4.C 5.解：(1)根据题意，得a2≤25 (2)根据题意，得x≥30 (3)根据题意，得27≤x≤35. 6.D由4x-1>5x,可得x<-1.选项中满足条件 的只有-2. 7.B 8.C 3 9.C 选项 分析 正误 不等式x<2的正整数解是1，只 A 有一个 2×(-2)-1<0,故-2是2x-1<0 B 的一个解 C 不等式-3x>9的解集是x<-3 不等式x<10的整数解是9,8,7，…， D 有无数个 10.A11.x≤3 12.解：(1)x>-4在数轴上的表示如图①所示. 0 ① (2)x≤3.5在数轴上的表示如图②所示. 0 3.5 ② (3)-2.5<x≤4在数轴上的表示如图③ 所示 -2.5 0 ③ 11.1.2不等式的性质 1.D若2x+1<x,则x<-1,故选项A不符合题 意；若a>b,则c-a<c-b,故选项B不符合题 意；若2>2，则a<-4,故选项C不符合题 意；若ac2>bc2,则a>b,故选项D符合题意. 2.AA.若b=d,a-b>c-d,则a>c,故此选项符 合题意；B.若a=c,a-b>c-d,则b<d,故此选 项不符合题意；C.若b<d,a-b>c-d,则a>c不 一定成立，如当a=1,b=2,c=3,d=5时，a>c 1 不成立，故此选项不符合题意；D.若a>c, a-b>c-d,则b>d不一定成立，有可能b=d,故 此选项不符合题意， 3.A,m+2026≤n+2026,.m≤n,故选项A 符合题意 4.D若a>b-1,不等式两边加1，可得a+1>b, 故选项A不符合题意，选项D符合题意.根 据a>b-1,不能得到a-1<b,a>b,故选项B,C 不符合题意 5.a<b由题图可知，2b>a+b,即a<b. 6.(1)<(2)<(3)>(4)< 7.解：x-y=-3, ∴.x=y-3. x<-1,.y-3<-1,∴.y<2,.1<y<2 同理，可得-2<x<-1, ∴.-1<x+y<1. 8.解：这两种改法都正确，理由如下： (1)因为a>b,且a,b均为正数，利用不等式 的性质2，得a2>ab,ab>b2,所以a2>b2 (2)因为a<b,且a,b均为负数，利用不等式 的性质3，得a2>ab,ab>b2,所以a2>b2. 9.D由数轴可得，a<b<0<c. 选项变形方式 变形结果 依据 正误 不等式两边 不等式的 A a+c<b+c 加c 性质1 不等式两边 不等式的 B a+b<c+b 加b 性质1 不等式两边 不等式的 ac<be 乘c 性质2 不等式两边 不等式的 D ab>cb 乘b 性质3 3 10.Aab<0,a+b>0,.a,b异号，且正数的 绝对值大于负数的绝对值，∴.a,b各自对应 着M,P两点中的某一点..a+c>b+c,∴.a> b,实数b对应的点为M. 11.C根据已知条件，可得a<b<0<c.:a<0, b<0,∴.ab>0,故结论(1)不正确；a<0,b< 0,∴.a+b<0,结论(2)正确；a<b,∴.a-b< 0,结论(3)正确；.a<b,.2a<2b,结论(4) 不正确. 解：不等式(2-@)x<3可化为x>)根 不等式的性质3，得2-a<0,解得a>2. 13.解：.不等式(m-1)x>m-1可化为x<1, 根据不等式的性质3，得m-1<0, 解得m<1 14.解：设这三个数中最小的数为x,则另外两 个数分别为x+1,x+2. 由题意得，x+(x+1)+(x+2)<18,解得x<5. x是非负整数，∴x可取0,1,2,3或4，共 5个，.这样的非负整数组共有5组，分别 为0,1,2；1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6. 15.10b+aa>b.一个两位数十位上的数为 b,个位上的数为a,∴.这个两位数是10b+a. 将它个位和十位上的数对调，则新的两位数 为10a+b..得到的新的两位数比原来的两 位数大，即10a+b>10b+a,∴.a>b. 16.(1)二 (2)解：错误的原因是不等式两边乘同一个 负数，不等号的方向没有改变 (3)解：因为a>b, 2 所以-2026a<-2026b, 所以-2026a+1<-2026b+1. 17.解：(1)甲班的购书总费用为(4m+10n)元， 乙班的购书总费用为(10m+4n)元. (2)(4m+10n)-(10m+4n)=(4-10)m+ (10-4)n=6(n-m). .m<n,.n-m>0, .6(n-m)>0,即4m+10n>10m+4n, .乙班的购书总费用较少， 18.解：(1).'ac-bc=c(a-b),a>b,c<0, ∴.a-b>0,∴.c(a-b)<0, ∴.ac-bc<0, ∴.ac<bc. (2)设一块A型钢板的面积为x,一块B型 钢板的面积为y, 方案一所用钢板的面积为4x+8y, 方案二所用钢板的面积为3x+9y, ∴.4x+8y-(3x+9y)=x-y x>y,∴.x-y>0, ∴.4x+8y-(3x+9y)>0, .4x+8y>3x+9y, ·.从省料的角度考虑，应选方案二 19.解：(1)移项，得x<-2-3, 合并同类项，得x<-5. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图① 所示. ① (2)移项，得9x-8x>1, 合并同类项，得x>1. 3 这个不等式的解集在数轴上的表示如图② 所示. 01 ② (3)系数化为1，得x≥-8. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图③ 所示. -8 0 ③ 1 (4)系数化为1，得x≥ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图④ 所示. 01 2 ④ 4 20.解：800m=0.8km,64s= h. 225 根据题意，得x≥0.8÷ 25’ .x≥45. .x≤60， .∴.45≤x≤60. 21.解：因为“已有水的体积+新注入水的体积 V≤容器的体积”，所以4×2×1+V≤4×2×7， 解得V≤48.又因为新注入水的体积V不能 是负数，所以V的取值范围是0≤V≤48. 22.解：设甲厂每天处理垃圾xt 由题意可知，甲厂处理每吨垃圾的费用为 55=10(元)， 550 3 乙厂处理每吨垃圾的费用为=1（元）， 45 则有10x+11(700-x)≤7370， 解得x≥330. 答：甲厂每天处理垃圾至少330t 23.解：设使用优惠二购买x盒爆米花和x杯饮 料，剩余(16-x)杯饮料使用优惠一购买 根据题意，得80×16+30x+16(16-x)≤ 1600, 解得：号 又x为正整数， .x的最大值为4. 答：最多可买4盒爆米花 11.2一元一次不等式 1.A①x<5是一元一次不等式；②x(x-5)<5 不满足“未知数的次数是1”的条件，不是一 元一次不等式；③1<5不满足“含有未知数 的式子都是整式”的条件，不是一元一次不等 式，④a-2<5是一元一次不等式，⑤x≤号不 满足“只含有一个未知数”的条件，不是一元 一次不等式 2.A·(k+3)x1-2+5<k-4是关于x的一元一 次不等式，.1k|-2=1且k+3≠0， 解得k=3. 3.2x≥-8（答案不唯一） 4B名>1号，去分母，得6-2+4，放甲错 误x>6-2x-4,移项，得x+2x>6-4,故乙错 .3 误.x-2x>6-4,合并同类项，得-x>2,故丙正 确.-x>2,系数化为1，得x<-2.故丁正确！ 5.C解不等式2451≤2-，得x≤号解不等 4 式30-+5>5x+2m+),得<2：不 等式251≤2-x的解集中x的每一个值， 都能使关于x的不等式3(x-1)+5>5x+2(m+ 到成立2号解得m<号 3 6.10根据题意，得3x-1>26,解得x>9.又x为 整数，∴.x的最小整数值为10 7.x≤4原不等式可变形为4(4-x)+1≥1，解 得x≤4. 8.解：(1)整理，得2(x-1)-4(2+1)≥18， 3 去分母，得6(x-1)-4(2x+1)≥54， 去括号，得6x-6-8x-4≥54， 移项，得6x-8x≥54+6+4， 合并同类项，得-2x≥64， 系数化为1，得x≤-32. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图① 所示 -32 0 ① (2)整理，得写+了22， 去分母，得x+x-6<6, 移项，得x+x<6+6, 合并同类项，得2x<12, 4