10.4 三元一次方程组的解法-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 *10.4三元一次方程组的解法 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都 敲黑板多 前面我们通过列二元一次方程组解决了一些问题 问题含有更多的未知数，类比二元一次方程组的研究方法，我们来解决 这样的问题， 看下面的问题 问题在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分， 且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得 3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？ ☑易错提醒 解决这个问题的一个自然的想法是，设这个球队胜、平、负的场数分 三元一次方程组中的某个 别为x,y,z,根据题意，可以得到下面三个方程：x+y+z=22,3x+y=47,x= 方程，可以是一元一次方 4z+2. 有三个未知裁，须我到三个等量关系来求解 程、二元一次方程或三元 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方 一次方程，只需要保证方 [x+y+z=22, 程组中一共有三个未知 程合在一起，写成3x+y=47, 数，且含有未知数的项的 x=4z+2. 次数都是1即可。 三元一次方程组必须同时满足这3个条件 这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有 未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元 次方程组 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代 入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解.那么，能不能按 照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数， 把它化成二元一次方程组呢？ x+y+z=22, ① 让我们看前面列出的三元一次方程组3x+y=47,② x=4z+2.③ 也可由②-①，得到2x-z=25,④ 仿照前面学过的代入法，可以把③分 再将③代入④，得到2(4z+2)-z 别代入①②并化简，得到两个只含y,z的 25,解得z=3,⑤将⑤代入③求 方程y+5z=20和y+12z=41,它们组成方 出x后，再代入②求出y 程组+5=20，解这个二元一次方程 a.ccobdccoccccecec0 你还能用其他方 y+12z=41. 法解这个三元一 组，可以求出y和名，进而可以求出x 次方程组吗？ 本节内容为选学内容 114|中小学A1教辅引领者 第十章二元一次方程组 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代 敲黑板国多 入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化 为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方 因方法点拨 程组的思路是一样的.基本思路仍是消元，消元的方法是代入法或加减法 准确、快速地解三元一次 三元一次方程组 消元 消元 二二元一次方程组 一元一次方程 方程组的方法： 消元消去的是“ (1)优先消去某个方程中 同一个未知裁 3x+4z=7,① 未出现的未知数 例10解三元一次方程组2x+3y+z=9,② (2)优先消去系数最简单 5x-9y+7z=8.③ 的未知数 分析：方程①只含x,z,因此，可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方 (3)优先消去系数成整数 倍的未知数。 程，与方程①组成一个二元一次方程组. (4)注意运用整体加减或 解：②×3+③，得11x+10z=35. ④ 先消去系数成整数倍的未知裁 整体代入的技巧 3x+4z=7, ①与④组成方程组 11x+10z=35. x=5, 解这个方程组，得 z=-2. 把x=5,z=-2代入②，得2×5+3y-2=9,y= [x=5, doddccccedcceececece 你还有其他解法吗？ 因此，这个三元一次方程组的解为y= 3, 试一试，并与这种解 z=-2. 法进行比较 凸练习 零练习答案 解下列三元一次方程组： x=22 31 [x-2y=-9, 4x-9z=17, (1) =2 (1)y-z=3, (2)3x+y+15z=18, 25 2 2z+x=47; x+2y+3z=2; [x=5, x+y=3, 3x-y+z=4, (2) y=-2 (3)y+z=4, (4)2x+3y-z=12, 1 z+x=5; x+y+z=6. =3 x=2, (3)=1 在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程 z=3 组，通过解方程组获得问题的答案 x=2 例2在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=0;当x=2时，y=3;当x= (4)3y=3 5时，y=60.求a,b,c的值. 中小学A1教辅引领者|115 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板多 分析：把a,b,c看作三个未知数，分别把已知的x,y值代入原等式，就 可以得到一个三元一次方程组.…”关于a,b,c的三元一次方程组 [a-b+c=0,① 解：根据题意，列得三元一次方程组4a+2b+c=3,② 25a+5b+c=60.③ ②-①，得a+b=1.④ ·,消去系数相同的未知数© ③-①，得4a+b=10.⑤ ④与⑤组成二元一次方程组a+=L, 4a+b=10. 解这个方程组，得a=3, (b=-2. 把a=3,b=-2代入①，得c=-5. 因此a,b,c的值分别为3，-2，-5. 因方法点拨 例3一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十 利用方程组解决数字问题 时，一般不直接设这个数 位上的数的差是个位上的数的了如果把这个三位数个位上的数与百位 本身，而是设这个数各个 上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数 数位上的数字，再根据数 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个 的表示规则表示出这 相等关系，可以列三元一次方程组， 个数 解：设这个三位数百位上的数为x,十位上的数为y,个位上的数为根 ,三位数的表示方法为100x+10y+z x+y+z=14,① 1 据题意，列得三元一次方程组2x-y=3, ② 网拓展提升 当题目中有三个未知数， 100z+10y+x+99=100x+10y+z.③ 但仅能列出两个方程时： [x=4, 可通过消元法消去其中一 解这个方程组，得y=7, 个未知数，将其转化为一 z=3. 个二元一次方程，再结合 因此这个三位数是473， 题意求该二元一次方程的 凸练习 特殊解。 1.甲，乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的号等于丙数 的求这三个数 ①提示：设x,y,z分别表示甲、乙、丙三个数， x+y+z=35, 零练习答亲 则 2x-y=5, 11 1.甲数为10，乙数为15， 3=2 丙数为10. 2.在等式z=ax+by+c中，当x=1,y=2时，z=8;当x=2,y=1时，z=5;当 2.a,b,c的值分别为-1 x=-1,y=-1时，z=4.求a,b,c的值 a+2b+c=8, 2,5. ①提示：根据题意，得2a+b+c=5, -a-b+c=4 116|中小学Al教辅引领者 第十章二元一次方程组 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 方程组中含有三个未知数 定义 共有三个整式方程 含有未知数的项的次数都是1 三元一次 代入消元法 方程组 解法 加减消元法 一消去一个未知数，将其转化 为二元一次方程组再求解 ○实际应用 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照10.4三元一次方程组的解法 一、三元一次方程组的概念 掉未知数：，则下列应对方程组作的变形正确 1.下列是三元一次方程组的是( 的为( x+y=2, x+y-z=5, A.①+③，①×2-② A.y+z=7, B.{xy+z=4, B.①+③，③×2+② x+z=10 x-y=4 C.②-①，②-③ 3x=6, 4 D.①-②，①×2-③ =y+z, C.{x2+y=9, D. 三、解三元一次方程组 x-y=6, x+y+z=8 4.解下列方程组： y=1 3x+2y+z=2, 二、解三元一次方程组的基本思路 (1)2x-y+z=7, 3x-y+2z=3, 2x+2y-z=-5; 2.观察方程组2x+y-4z=11,中各方程的系数的 7x+y-5z=1 特点，若要使运算简便，消元的方法应选 择( A.先消去x [4x+9y=12, B.先消去y (2) 3y-2z=1, C.先消去z D.以上说法都不对 7x+5=43 [x+y+z=3,① 3.解三元一次方程组3x+2y+z=10,② 若要消 2x-y+z=-1,③ 中小学A1教辅引领者|117 Q新学期对照学数学七年级下册 4x-9z=17, 7.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=4;当x= (3)3x+y+15z=18, 2时，y=3;当x=-1时，y=0. x+2y+3z=2; (1)求a,b,c的值； (2)求当x=-3时，y的值. x-y= (4) 235 x-2y+3z=22. [x+y=3a,① 8.已知方程组{y+z=5a,②(a为常数)的解也是 x+z=4a③ 方程x-2y+3z=-10的解，求a的值 四、三元一次方程组的应用 x+y=3, 5.已知方程组y+z=-6,则x+y+z的值 z+x=9, 是() A.3 B.4 C.5 D.6 4x-5y+2z=0, 6.已知yz≠0，且 则x:y:z等 x+4y-3z=0, 于() A.3:2:1 B.1:2:3 C.4:5:3 D.3:4:5 118|中小学Al教辅引领者 第十章二元一次方程组 五、列三元一次方程组解决实际问题 个蓝牙耳机.经核算，B盒的成本（每种礼盒 9.一个三位数各个数位上的数的和为10，百位 的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳 上的数比十位上的数大1.如果百位上的数与 机的成本之和)为100元，C盒的成本为155 个位上的数对调后所得的新数比原数的3倍 元，则A盒的成本为( 还大61，那么原来的三位数是( A.140元 B.145元 A.325 B.217 C.150元 D.165元 C.433 D.541 13.某校为开展体育活动，购买同样的篮球7个， 10.为迎接“艺术节”，学校组织了一场游戏：每 排球5个，足球3个，共花费450元，后来又 位选手朝特制的靶子上各投三支飞镖，每支 购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共 飞镖在同一圆环内得分相同.如图所示，小 花费170元，购买同样的篮球、排球、足球各 明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和 1个，共需 元 33分，则小华的成绩是( 14.中考新角度分类讨论在数学知识竞赛中， 为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元 钱购买甲、乙、丙三种奖品（三种奖品都要购 小明 小君 买).甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10 小红 A.31分 B.33分 元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过 C.36分 D.38分 2个且钱全部用完的情况下，有几种购买 11.春节来临之际，某花店老板购进了大量的康 方案？ 乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭 配成花束，分别取名为“眷恋”“永恒”“守 候”.每一束“眷恋”“永恒”“守候”的成本分 别为a元，b元和c元.已知销售每束“眷恋” 的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为 20%,每束“守候”的利润率为30%，当售出 的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得 到的总利润率为25%；当售出的三种花束数 量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率 为20%，则a:b:c为( A.1:2:3 B.1:3:4 C.2:3:5 D.3:4:5 12.某商家将若干电子手表、保温杯、蓝牙耳机 搭配成A,B,C三种礼盒，其中A盒中有1 个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B 盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙 耳机：C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1 中小学A1教辅引领者|11911.(1)每天每台A机器人比每台B机器人多 搬运货物25t. 提示：由“3台A机器人和2台B机器人每 天共搬运货物450t”可列得方程3x+ 2y=450. ·方程组中的另一个方程为x-y=25, ∴.▲表示的条件是每天每台A机器人比每 台B机器人多搬运货物25t x-y=25,① (2)解： 3x+2y=450,② (①×2+②)÷5，得x=100 将x=100代入①，得100-y=25, 解得y=75. 答：x的值为100，y的值为75. 12.(1)(x+y);(x-y) 12.5(x+y)=9750, (2)解：根据题意，得 13(x-y)=9750, (x=765, 解得 (y=15. 答：这架飞机无风时的平均速度为765km/h, 风速为15km/h. 13.(1)260;29000. 提示：由y=290,010可知，荣荣所 列方程组中未知数x表示甲工程队修建机 场快速路的长度，未知数y表示乙工程队修 建机场快速路的长度， “品试表示甲、乙两个工程队修继机场 快速路的总天数， 即+，=260. 100150 28 由x+y=260,100x,150y可知，恒恒所列方 程组中未知数x表示甲工程队修建机场快 速路的天数，未知数y表示乙工程队修建机 场快速路的天数， ∴.100x+150y表示甲、乙两个工程队修建机 场快速路的总长度， 即100x+150y=29000. (2)甲工程队修建机场快速路的长度；乙工 程队修建机场快速路的长度：甲工程队修建 机场快速路的天数；乙工程队修建机场快速 路的天数 (3)解：（方法不唯一，任选一种即可）选择 荣荣的方法解答.解答过程如下： 设甲工程队修建机场快速路的长度为xm, 乙工程队修建机场快速路的长度为ym. [x+y=29000, (x=20000, x y 解得 =260. 100'150 y=9000. 答：甲工程队修建机场快速路的长度为 20000m,乙工程队修建机场快速路的长度 为9000m. ·10.4三元一次方程组的解法 1.A 选项 分析 正误 A 满足三元一次方程组的定义 y+z=4,未知数的项的次数为2， × 不满足三元一次方程组的定义 x2+y=9,未知数的项的次数为2， 不满足三元一次方程组的定义 4 D =y+z,不是整式方程 2.B [x+y+z=3,① 3.c 3x+2y+z=10,②②-①，得2x+y=7.②- 2x-y+z=-1,③ 2x+y=7, ③，得x+3y=11.方程组变形为 刚 x+3y=11, 好消去x. 3x+2y+z=2,① 4.解：(1)2x-y+z=7,② 2x+2y-z=-5,③ ①+③，得5x+4y=-3.④ ②+③，得4x+y=2.⑤ 5x+4y=-3, ④与⑤组成二元一次方程组 4x+y=2, x=1, 解得 y=-2. 把x=1,y=-2代人①，得3-4+z=2, 解得z=3. x=1, .原方程组的解为y=-2, z=3. [4x+9y=12,① (2) 3y-2z=1,② 7+5=4子，周 ②×3，得9y-6z=3.④ ①-④，得4x+6z=9.⑤ ⑤×7-③×4，得22z=44, 解得z=2. 把z=2代人②，得3y-4=1, 解得y子 29 把z=2代人③，得7x+10=4 3 41 3 解得x=- 4 = 4 .原方程组的解为 Y= 3 z=2. [4x-9z=17,① (3)3x+y+15z=18,② x+2y+3z=2,③ ②×2-③，得5x+27z=34.④ ①x3+④，得17x=85, 解得x=5. 把x=5代人①，得20-9z=17, 1 解得z二3 把=5，a号代人国，得542+1=2， 解得y=-2. x=5, 原方程组的解为 y=-2, 1 2=3 x-2y+3z=22.② 3 由①，得y=2*,③= 2*,④ 把③，④代人②，得x-3x+15 x=22, 解得x=4. 把x=4分别代入③，④，得y=6,z=10. [x=4, .原方程组的獬为y=6, z=10. x+y=3,① 5.A y+z=-6,②①+②+③，得2x+2y+2z=3+ z+x=9,③ (-6)+9,∴.x+y+z=3. 4x-5y+2z=0,① 6.B x+4y-3z=0,② ①×3+②×2，得14x-7y=0,即y=2x,①×4+ ②×5，得21x-7z=0,即z=3x,∴.x:y:z=x: 2x:3x=1:2:3. 7.解：（1)根据题意，列得三元一次方程组 a+b+c=4, a=-1, 4a+2b+c=3,解得b=2, a-b+c=0, c=3. 因此a,b,c的值分别为-1,2,3. (2)由(1)知，y=-x2+2x+3, 当x=-3时，y=-(-3)2+2×(-3)+3=-12 8.解：②-①，得z-x=2a.④ ③+④，得2z=6a,z=3a. 把z=3a分别代入②和③，得y=2a,x=a. [x=a, 所以原方程组的解为{y=2a, z=3a. 把x=a,y=2a,z=3a代入x-2y+3z=-10,得 a-2×2a+3×3a=-10. 解得6=子 9.B设个位、十位、百位上的数分别为x,y,.依 x+y+z=10, 题意，得zy=1, 3(100z+10y+x)+61=100x+10y+z, .3 x=7, 解得y=1,∴.原来的三位数是217. z=2. 10.C设将飞镖投到最里面的圆环中得x分， 投到中间的圆环中得y分，投到最外面的圆 2y+z=29, 环中得z分.根据题意，得2x+z=43,解得 3y=33, x=18, y=11,则小华的成绩是18+11+7=36（分）. z=7, 11.A根据题意，得 2x10%a+3×20%b+4X30%c=25%(2a+3b+4c), 3×10%a+2x20%b+1×30%c=20%(3a+2b+c), b=2a, 解得 .a:b:c=a:2a:3a=1:2:3. c=3a, 12.B设1个保温杯的成本为x元、1个电子 手表的成本为y元、1个蓝牙耳机的成本为 z元.根据题意列三元一次方程组，得 (x+2y+z=100, 则(2x+3y+z)-(x+2y+z)= 2x+3y+z=155, 155-100,化简，得x+y=55.由x+2y+z= 100,得z=100-x-2y,则A盒成本为x+3y+ 2z=x+3y+2(100-x-2y)=x+3y+200-2x- 4y=-x-y+200=-55+200=145.故A盒的成 本为145元. 13.110设篮球的单价为x元，排球的单价为 y元，足球的单价为z元.根据题意，得 7x+5y+3z=450,① ①-②×2，得x+y+z= 3x+2y+z=170,② 110.∴.购买同样的篮球、排球、足球各1个， 共需110元： 14.解：设分别购买甲、乙、丙三种奖品x个，y 个，z个 根据题意列方程，得5x+10y+15z=100, 即x+2y+3z=20 由题意得，x,y,z均为正整数 ①当z=1时，x+2y=17, .x=17-2y, ∴y分别取1,2,3,4,5,6,7,8时，x为正整 数，共有8种购买方案 ②当z=2时，x+2y=14, .x=14-2y, ∴y分别取1,2,3,4,5,6时，x为正整数，共 有6种购买方案 综上所述，共有8+6=14（种）购买方案 第十一章不等式与不等式组 11.1不等式 11.1.1不等式及其解集 1.B①3>0是不等式；②4x+5>0是不等式； ③x<3是不等式：④x2+x是代数式，不符合题 意；⑤x=-4是方程，不符合题意；⑥x+2>x+1 是不等式 2.D3.C4.C 5.解：(1)根据题意，得a2≤25 (2)根据题意，得x≥30 (3)根据题意，得27≤x≤35. 6.D由4x-1>5x,可得x<-1.选项中满足条件 的只有-2. 7.B 8.C 3 9.C 选项 分析 正误 不等式x<2的正整数解是1，只 A 有一个 2×(-2)-1<0,故-2是2x-1<0 B 的一个解 C 不等式-3x>9的解集是x<-3 不等式x<10的整数解是9,8,7，…， D 有无数个 10.A11.x≤3 12.解：(1)x>-4在数轴上的表示如图①所示. 0 ① (2)x≤3.5在数轴上的表示如图②所示. 0 3.5 ② (3)-2.5<x≤4在数轴上的表示如图③ 所示 -2.5 0 ③ 11.1.2不等式的性质 1.D若2x+1<x,则x<-1,故选项A不符合题 意；若a>b,则c-a<c-b,故选项B不符合题 意；若2>2，则a<-4,故选项C不符合题 意；若ac2>bc2,则a>b,故选项D符合题意. 2.AA.若b=d,a-b>c-d,则a>c,故此选项符 合题意；B.若a=c,a-b>c-d,则b<d,故此选 项不符合题意；C.若b<d,a-b>c-d,则a>c不 一定成立，如当a=1,b=2,c=3,d=5时，a>c 1