10.1 二元一次方程组的概念-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 第十章 二元一次方程组 10.1 二元一次方程组的概念 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 我们来看本章引言中的问题， 交思考 列方程要先找到相等关系.本章引言中的问题包含了哪些必 ☒易错提醒 须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采 棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？ x+2xy=0不是二元一次方 程，因为2xy的次数为2. 容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系： 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数， 大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总 面积 这两个相等关系可以分别用方程x+y=6和2x+y=8表示 @观察 上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么 因名师点拨 不同？ (1)二元一次方程组不一 定由两个二元一次方程组 二元一次方程女须同时满是这3个条件 3x-3=6, 可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和 成，例如 也是二 2x+y=52 y),且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这 元一次方程组（注：第一个 样的方程叫作二元一次方程(linear equation with two unknowns). 方程虽然为一元一次方 上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x, 程，但方程组整体含两个 y必须同时满足方程 x+y=6 ① 未知数，符合二元一次方 程组的定义). 和 2x+y=8. ② (2)方程组的每个方程 把这两个方程合在一起，写成 中，相同字母必须表示同 x+y=6, 并非每个方程都贴 一未知量 2x+y=8,,+须含有两个未知数 (3)二元一次方程组中的 就组成了一个方程组.这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的 各个方程均为整式方程. 式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样 的方程组叫作二元一次方程组(system of linear equations with two unknowns). ”(1)方程组中只有两个整式方程 (2)每个方程都是一次方程. (3)方程组中共含有两个未知数，相同字母代表同一量 901 中小学AI教辅引领者 第十章二元一次方程组 ?探究 敲黑板多 ,隐含条件 一探究答亲 满足方程①，且符合问题的实际意义的x,y的值有哪些？把 第1行：1.2.3,4,5： 它们填入表中 第2行：5,4,3.2,1. x=2,y=4. 上表中哪对x,y的值还满足方程②？ 因方法点拨 判断一对数值是不是二元 显然，x=1,y=5;x=2,y=4;;x=5,y=1满足方程①，也就是使方 一次方程的解，只需将这 对数值分别代入方程的两 程x+y=6两边的值相等，它们都是方程x+y=6的解.如果不考虑方程x+ 边：若方程两边的值相等， y=6与上面实际问题的联系，那么x=-1,y=7;x=0.1,y=5.9；…也都是 则这对数值是该方程的 这个方程的解 解：若方程两边的值不相 般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二 等，则这对数值不是该方 元一次方程的解 程的解。 我们还发现，x=2,y=4既满足方程①，又满足方程②.也就是说，x=2, y=4是方程①与方程②的公共解.我们把x=2,y=4叫作二元一次方程组 回拓展提升 x+y=6, 2x+y=8 的解，这个解通常记作任=2， 一般地，二元一次方程有 y=4. 无数个解，即有无数多对 二元一次方程组的解都是成对的两个裁，一般用“大括号”联立表示 数值满足这个二元一次方 联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小 程.如果对未知数的取值 型采棉机 附加某些限制条件，那么 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程 可能只有有限个解 组的解 既是第一个方程的解：又是第二个方程的解 区易错提醒 凸练习 二元一次方程组的解是方 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题 程组中每个方程的解，但 的解。 方程组中单个方程的解不 1.某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t, 一定是这个方程组的解。 后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t,前后共用8天完 成全部加工任务.这个项日改进加工方法前、后各用了多少天？ 可练习答案 ·设用了x天·设用了y天 1.2天：6天 2.在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得 2.胜6场：负4场 1分.某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？ 设胜x场“ ·设负y场 中小学A1教辅引领者|91 Q新学期对照学数学七年级下册 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 “元”指未知裁 “次”指含有未知 裁的项的次数 方程中含有两个未知数 含有未知数的项的次数是1 三元一次 定义 二元一次 使二元一次方程两边的值 方程 方程的解 相等的两个未知数的值 整式方程 方程组中共含有两个未知数 二元一次方程组的 含有未知数的项的次数都是1 定义 二元一次 二元一次 方程组 方程组的解 两个方程的公共解 共有两个整式方程 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照10.1 二元一次方程组的概念 一、二元一次方程的概念 x+y=5,xy=1, 中，是二元一次方程组的 1.下列等式是二元一次方程的是( y=7+z,(x+2y=3 A.x+2y=3 B.x2+y=1 有( A.2个B.3个 C.4个 D.5个 C.y+1=2 D.2x-1=5 6.若方程组+y=2,是二元一次方程组，则 2.已知方程2x+O=1是二元一次方程，则“O” “.”可以是( ) 可能是() A.x=2y B.xy=1 A.x B.y C.xy D.x2 c.1+1-2 D.x2=1 3.若关于x,y的方程2xm+(m-1)y=3是二元 x y 一次方程，则m的值为() 7.若方程组x+y1-2=0, 1a-3x+90a为常数)是二元- A.0 B.-1 C.1 D.1或-1 次方程组，求a的值. 二、二元一次方程组的概念 4.下列方程组是二元一次方程组的是( [x-2y=4, x+y=5, A. (xy=6 B.11=5 + x y C./y1, 2x+y=3, D. (x+3y=4 x+z=4 11 5.在方程组 x=1, +=1，x=2, y=1, x y (3y-x=1, x+y=1, 92|中小学A1教辅引领者 第十章二元一次方程组 三、二元一次方程的解 3ax+4by=c 的解是() 8.重点题下列二元一次方程，有一个解为 (3ax+4b2y=c2 x=4, ’的是() x=-3, x=-4, A. B. y=-3 (y=-4 y=-3 A.x-y=1 B.3x-y=9 (x=-1, x=-5, C.x+y=1 D.3x+y=-9 C. D. y=-1 y=-5 9.二元一次方程kx+2y=5(k为常数)有一个解 14写出一个解为、=2年 的二元一次方程组 ’则k的值是 0利是=元-改方程2y4的 15.已知方程：①x-y=-1;②2x+y=0;③x+2y= -3:④3x+2y=1.任选其中两个组成二元一 解吗？为什么？ 次方程组，若任三-1 是该方程组的解，则选 y=2 择的两个方程是 ·(填序号)》 五、二元一次方程的整数解 16.二元一次方程2x+y=5的正整数解 有( A.1组 B.2组 四、二元一次方程组的解 C.3组 D.4组 11.重点题数学课堂上，老师要求写出一个以 17.已知二元一次方程5x+3y=22. 任=2为解的二元一次方程组，下列方程组 (1)把方程写成用含x的代数式表示y的形 =3 式，即y= 符合条件的是( ) (2)填表，使x,y的值是方程5x+3y=22 (3x+y=2, (3x-y=3, A. B. 的解； (4x-y=11 2x+y=1 2 3 5 x+y=-1, x-y=-1, C. D. (2x-y=11 2x-y=1 12若任2是方程组 2x+(m-1)y=2 (3)求出方程的非负整数解， 的解，则 y=1 nx+y=1 m+n的值是( A.1 B.2 C.-1 D.-2 13.已知关于x和y的方程组 ax+b)=G'的解 (azx+b2y=c2 x=-3, 是 ’则关于x和y的方程组 y=-4, 中小学A1教辅引领者|938 A 6 5 B 432-10 3456 由图可得，A1(4,7),B1(6,4),C1(1,2) ②三角形ABC的面积为5x5 25x31 2× 37×52=9 (2)3a+2b=±16. 提示：由题意可得，线段AB沿水平方向平移 所扫过的图形为平行四边形，高为3，底边 长为Ial,面积为3Ial;沿竖直方向平移所 扫过的图形为平行四边形，高为2，底边长 为1b1,面积为21b1. 由两次平移扫过的图形没有重叠部分可知， 两次平移的方向是先向左，再向下或先向 右，再向上 .线段AB扫过的面积为16， .31a|+21bl=16. 当线段AB先向左，再向下平移时，a,b同为 负，故3a+2b=-16.当线段AB先向右，再向 上平移时，a,b同为正，故3a+2b=16.综上 3a+2b=±16. 12.(2n,0)由题图可知，当n=1时，4×1=4， 点A4的坐标为(2,0)；当n=2时，4×2=8， 点A8的坐标为(4,0)；当n=3时，4×3=12， 点A2的坐标为(6,0)，所以点A4的坐标为 (2n,0). 2 13.解：根据题意可以发现规律：顺序数为偶数 的点都在第一象限，对应点的纵坐标为跳动 次数的)，且纵坐标比横坐标小1， 易知点A2n的坐标为(n+1,n), ∴.点A226的坐标为(1014,1013). 14.獬：(1)点A(1,3),A1(2,3),A2(4,3), A3(8,3);点B(2,0),B1(4,0),B2(8,0), B3(16,0), ∴.点A4的横坐标是点A3的横坐标的2倍， 纵坐标相同；点B,的横坐标是点B,的横坐 标的2倍，纵坐标是0， .点A4(16,3),B4(32,0). (2)由点A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8, 3),可得横坐标为平移前对应点的横坐标的 2倍，纵坐标为3，则点An的横坐标为1×2”， 纵坐标为3，即点A（2”,3) 由点B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16, 0),可得横坐标为平移前对应点的横坐标的 2倍，纵坐标为0，则点Bn的横坐标为2×2”， 纵坐标为0，即B（2×2”,0) 1 (3)S三角形0A,Bn=2 ×2×2"×3=3×2 第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 1.A 2.B2x+O=1是二元一次方程，.“O”表 示的是不同于x的另一个未知数的项，且该 项的次数为1，故选项B符合题意 3.B由题意得，|ml=1且m-1≠0，∴.m=±1 且m≠1，∴.m=-1. 4.CA.方程y=6中，含有未知数的项的次数 是2，故该选项不符合题意；B.方程1+1-5 x y 不是整式方程，故该选项不符合题意；D.两 个方程共含有3个未知数，故该选项不符合 题意.故选C 5.A二元一次方程组 x=1,x=2, 共2个 y=1,3y-x=1, 6.A方程x=2y与x+y=2能组成二元一次方 程组，符合题意 x+ya1-2=0, 7.解：方程组 是二元一次方程 (a-3)x+9=0 组，∴.|al-2=1且a-3≠0，∴.a=-3. x=4, 8.C把 逐个代入验证，可知C符合. y=-3 9号把代人方程=5，得+2X (y=2 2=5懈得=号 x=3, (x=3, 10解：当y-2时，2xy=62=4, 是 y=-2 二元一次方程2x+y=4的解； x=1, (x=1, 当时，2x+y=3,3≠4，故 不是二 (y=1 y=1 元一次方程2x+y=4的解。 x=2 -y=-1, 1.D把-”代人方程组 ’可得两 x-y=1, 个方程两边的值均相等，故此选项符合 题意 (x=2 2x+(m-1)y=2, 12.C. 是方程组 的解， (y=1 (nx+y=1 .∴.2×2+(m-1)×1=2,n×2+1=1,解得m= -1,n=0,∴.m+n=-1. ● x=-3, 13.C.方程 a,x+b,y=c1'的解是 azx+b2y=C2 y=-4. 3a1x+4b1y=C1, (3x=-3, 方程组 的解为 3a2x+4b2y=c2 (4y=-4, 解得 y=-1. (x+y=1, 14.{(答案不唯一) (x-y=-3 x=-1, 15.②④把 代入方程①x-y=-1,可得 (y=2 方程两边的值不相等，不成立；把 =代 (y=2 入方程②2x+y=0,可得方程两边的值相等， 立；把。'代人方程③x+2y=-3,可得 方程两边的值不相等，不成立；把 =1代 y=2 入方程④3x+2y=1,可得方程两边的值相 等，成立.综上，只能选择方程②④组成二元 一次方程组. 16.B2x+y=5,∴.y=5-2x.当x=1时，y=3; 当x=2时，y=1.故原方程的正整数解有 2组. 17.(1)-3+3 5,22 提示：由5x+3y=22,得3y=22-5x, 所以y=子+号 5.22 （2747号-1 提示将：的值123,45分别代入y=了+ 学得)的值分别为号4好号1 (3)解：由上表可知，方程的非负整数解 x=2, 为 y=4. 10.2消元—解二元一次方程组 10.2.1代入消元法 1.B 2.D由题意可知，②中y的系数为-1，由②， 得y=2x-5,将其代入①化简比较简便， (y=3x+3,①. 3.C 把①代入②，得2x-(3x+3)= 2x-y=5,② 5,整理，得2x-3x-3=5. 4.BA.将①变形后是x=2-y,变形错误，故该 选项不符合题意；B.先将①变形为x=2-y, 再代入②，变形和代人均正确，故该选项符合 题意；C.将②变形后是y=2x-7,变形错误， 故该选项不符合题意；D.将②变形后是x= 7宁，变形错误，故该选项不符合题意 5.A:把①代入②消去y后所得到的方程是 3x-x-5=8,∴.3x-(x+5)=8,∴.y=x+5. y=2x,① 6.解：(1) 2x+y=4,② 将①代入②，得2x+2x=4,解得x=1. 将x=1代人①，得y=2. (x=1, 所以这个方程组的解为 y=2. 2x+4y=5,① (2) (x=1-y,② 将②代入①得21y)*4=5解得号 2 31 将y三2代人②，得x=12 -2 1 21 所以这个方程组的解为 -2 3x-5y=3,① (3) 2x-y=16,② 由②，得y=2x-16,③ 把③代入①，得3x-5(2x-16)=3, 整理，得-7x=-77, 解得x=11. 把x=11代入③，得y=22-16=6. (x=11, 所以这个方程组的解为 (y=6. 7.(1)代入. (2)一. 提示：恒恒在解方程组时，在第一步首次出现 错误，移项没有变号。 (3)解：由①，得y=8-2x.③ 把3代人②，得-1， 解得x=2 把代人③，得y-1 9 x= 所以这个方程组的解为 2 y=-1. 8.解：根据题意，可列得二元一次方程 (2k+b=-1,① 组 -2k+b=3,② 由①，得b=-2k-1,③ 3