9.1 用坐标描述平面内点的位置-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 第九章 平面直角坐标系 9.1 用坐标描述平面内点的位置 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 “有序”指两个数的位置不能随意变换，如(2,3) 与(3,2)不同，“裁对”指有且只有两个数 本章引言中的点位是用小学学过的有序数对表示的，它刻画了天安门 广场表演区内点的位置.本节我们继续学习刻画平面内点的位置的方法. 9.1.1平面直角坐标系的概念 ,规定了原点、正方向和单位长度的直线 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一 个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标.例如，在图9.1-1的数轴 上，点A的坐标为-4，点B的坐标为2.反过来，知道数轴上一个点的坐标， 这个点在数轴上的位置也就确定了.例如，在图9.1-1的数轴上，坐标为5 的点是点C.这样，利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置 ☑易错提醒 平面直角坐标系的三要 3210134； 素：①有两条数轴.②两条 图9.1-1 数轴互相垂直.③两条数 女思考 轴有公共原点。 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法 来确定平面内点的位置呢（例如图9.1-2中A,B,C,D,E各，点）？ 轴 习拓展提升 平面直角坐标系中两坐标 轴的特征：①互相垂直. I R ②原点重合.③通常取向上、 图9.1-2 图9.1-3 向右为正方向.④两坐标 如图9.1-3，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组 轴上的单位长度一般相 同，在有些实际问题中，两 成平面直角坐标系(rectangular plane coordinates system).水平的数轴称为 坐标轴上的单位长度可以 x轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上 不同，但原点必须重合 取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点 原点既在x轴上，又在y轴上 681 中小学AI教辅引领者 第九章平面直角坐标系 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示 敲黑板函 了.例如，如图9.1-3，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上 的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐 标是4，有序数对(3,4)就叫作点A的坐标，记作“A(3,4)”.类似地，请你 ·坐标平面内任意一点都能用难一的一个有序数对来表示 写点的坐标时，注意横坐标在前，纵坐标在后 写出点B,C,D,E的坐标：B(-3,-4),C(0,2),D(0, -3),E(-2,0). 交思考 原，点0的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么 特点？ 区易错提醒 可以看出，原点0的坐标为(0,0)；x轴上的点的纵坐标为0，例如 点的坐标是有序数对，(a, (1,0),(-1,0),;y轴上的点的横坐标为0，例如(0,1)，(0，-1)，. b)与(b,a)虽然数字相同. 但顺序不同，所以当a≠b 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I,Ⅱ， 时，这两个坐标表示两个 Ⅲ，Ⅳ四个部分（图9.1-4），每个部分称为象限，它们分别叫作第一象 不同的点 限、第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限. y 点A的纵坐标 y A4.5) 第二象限 第一象限 3 I 32 点A的 ·横坐标 -5-4-3-2-1,12345x 345 D Ⅲ -2 -3引 W 第三象限 第四象限 图9.1-4 图9.1-5 任意一个有序数对在坐标平 例1在平面直角坐标系中描出下列各点：，面内都表示唯一的一个点 A(4,5),B(-2,3),C(-2.5,-2),D(4,-2),E(0,-4) 解：如图9.1-5，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的 @拓展提升 点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A, 类似地，可在图9.1-5中描出点B,C,D,E这两个点对应的裁分别 点的坐标的几何意义：点 是点A的横、纵坐标 A(a,b)到x轴的距离是 类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点M, 1bl,到y轴的距离是|al. 都有唯一的一个有序实数对(x,y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对 于任意一个有序实数对(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为 (x,y)的点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对 应的.这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置 横、纵坐标与0的大小关系决定了这个点所在的象限或坐标轴 中小学A1教辅引领者丨69 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 凸练习 1.写出图中点A,B,C,D,E,F的坐标 零练习答案 1.A(-2,-2),B(-5,4) C(5,-4),D(0,-3), E(2.5).F(-3.0) 2.如题图 3.-;+； (第1,2题) 2.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点： L(-5,-3),M(4,0),N(-6,2), P(5,-3.5),Q(0,5),R(6,2) 3.根据点所在的位置，用“+”“-”填表。 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 + 在第二象限 在第三象限 在第四象限 9.1.2用坐标描述简单几何图形 几何图形都是由点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，因而就 可以描述一些几何图形 ?探究 +x轴y轴头过原点A,据此判断y轴位置 如图9.1-6，正方形ABCD的边长为6， 如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建 立平面直角坐标系，那么以哪条线为y轴？ 写出正方形的顶点A,B,C,D的坐标 请另建立一个平面直角坐标系，这时正A@B 图9.1-6 方形的顶，点A,B,C,D的坐标又分别是什么？ 与同学交流一下 ,同一个点在不同的平面直角 坐标系中的坐标可能不同 显然，这样建立的平面直角坐标系以AD所在直线为y轴.当取1个 单位长度代表长度“1”时，正方形的顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,0)， (6,0),(6,6),(0,6).若以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立 平面直角坐标系，当取1个单位长度代表长度“1”时，则正方形的顶点A, B,C,D的坐标分别是(-3,0)，(3,0)，(3,6)，（-3,6) 70|中小学A教辅引领者 第九章平面直角坐标系 一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形.在用 敲黑板多 坐标描述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置. 这时，建立的平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同.为了能方便 地写出图形上点的坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状 因方法点拨 特征 用坐标描述简单几何图形 类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点（例如顶 的一般步骤：(1)选原点 根据条件选择合适的点作 点)的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形 为原点.(2)定两轴.过原 例2在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为A(-3, 点作两条互相垂直的数 2),B(-3,-2),C(3,-2),D(3,2).画出长方形ABCD 轴，分别记为x轴、y轴，标 利用坐标平面内点的坐标确定平面内点的位置 上正方向.(3)选单位长 分析：一个长方形四个顶点的位置确定了，这个 度.根据具体情况标上单 长方形就确定了.在平面直角坐标系中， 位长度.(4)定坐标.注意 由顶点坐标描出长方形ABCD的四个顶 点的坐标的符号特点. 点，就可以画出这个长方形 +3■ C 解：如图9.1-7，由长方形ABCD的顶点坐标分 图9.1-7 别为A(-3,2),B(-3,-2),C(3,-2),D(3,2),描出点A,B,C,D, 连接AB,BC,CD,DA,就可以画出长方形ABCD 溯源M一 17世纪，法国数学家笛卡儿(Descartes,1596一1650)引 入坐标系，用方程表示曲线，开了用代数方法解决几何问题 同练习答案 的先河.从那以后，数学的面貌发生了划时代的变化，代数和 1.B. 几何两大领域更加密切地联系起来 2.答案不唯一.如题图，以 点C为原点，CA,CB所在 凸练习 的直线分别为x轴y轴， 1.方格纸上有A,B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A 取1个单位长度代表长度 的坐标为(-2,1).若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐 “1”,建立平面直角坐标 标为(). 系，则三个顶点的坐标分 (A)(-2,1) (B)(2,-1) (C)(-2,-1) (D)(2,1) 别为A(3,0),B(0,4) 2.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.建立平面直角坐 C(0.0) 标系，写出三角形ABC三个顶点的坐标， 3.答案不唯一，如题图，以 片，横坐标为0 点B为原点，AB,BC所在 的直线分别为x轴、y轴， 取1个单位长度代表1cm B 长，建立平面直角坐标系， A-x 则角钢各顶点的坐标分别 D 纵尘标为0 为A(-20,0),B(0,0) (第2题) (第3题) C(0,-20),D(10,-20) 3.如图是一个角钢的横截面，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示 E(10,10),F(-20.10) 角钢各顶点的位置（图中小正方形的边长代表10cm长）. 中小学A1教辅引领者|71 Q新学期对照学数学七年级下册 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 平面直角_ 在平面内画两条互相 坐标系 直、原点重合的数轴， 组成平面直角坐标系 相关 由，点的位置确 概念 轴 水平的数轴称为x轴或横轴， 习惯上取向右为正方向 定点的坐标 应用 用坐标 y轴一竖直的数轴称为轴或纵轴， 由点的坐标确 习惯上取向上为正方向 定点的位置 描述平 面内点 第一象限(+，+) 第二象限(-，+) 用坐标描述简单几何图形 的位置 象限内 的点 第三象限(-，-) 坐标平面内 点的特征 第四象限(+，-) 坐标轴 x轴上的点（x,0) 上的点 -y轴上的点(0，y) 不属于任何象限· 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 9.1.1 平面直角坐标系的概念 一、平面直角坐标系的概念 A.A 1.下列语句不正确的是( B.B A.在平面直角坐标系中，两坐标轴的交点是 C.C D 原点 D.D B B.凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直 3.下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画 角坐标系 法正确的是( C.平面直角坐标系所在的平面叫作坐标平面 32 D.两坐标轴的单位长度一般是相同的，但在 某些实际问题中可以不同 -3-2-1 76123末 3210--2-3文 2.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 -2 它能够与另一个图形重合，那么就说这两个 -3 A B 图形关于这条直线成轴对称.如图，在3×3的 正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中 m 一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建 1 立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两 -3-2-10123x -3-2-10123文 个点关于一条坐标轴对称，则原点可能 -2 -2 -3 是( D 72丨中小学AI教辅引领者 第九章平面直角坐标系 二、点的坐标及所在象限 A.(-2,1) B.(2,1) 4.如图，在平面直角坐标系中有A,B,C,D四 C.(-1,1) D.(1,1) 点，根据各点位置判断，在第四象限的点8.在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限， 是() 且点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等 于3，则点P的坐标为( A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4) 9.真实任务情境冰壶比赛)如图，这是某场冰 壶比赛中红、黄两队某局掷冰壶结束后的场 A.点A B.点B 景.以冰壶大本营的中心点作为原点，构建平 C.点C D.点D 面直角坐标系.若比赛规则是哪队的一个冰 5.重点题在平面直角坐标系中，若点A(a,b)在 壶距离原点更近，哪队就是本局的胜方，则胜 第四象限，则点B(-a,ab)在( 方最靠近原，点的冰壶位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.选材新风向传统文化象棋在中国有着数千 年的历史，由于用具简单、趣味性强，成为流 红 行极为广泛的传统智力竞技运动.下图是一 黄 局象棋残局的一部分示意图，已知表示棋子 红 “车”的点的坐标为(-1,0)，表示棋子“炮”的 点的坐标为(2,2)，则表示棋子“马”的点的 A.第一象限 B.第二象限 坐标是( C.第三象限 D.第四象限 楚河 汉界 10.设点P的坐标为(x,y),根据下列条件判断 炮 马 点P在坐标平面内的位置： （1)xy=0; （2)xy>0. 卒 A.(3,2) B.(4,2) C.(5,2) D.(6,2) 7.如图，某小区有3处健身休闲广场S,S2,S3, 为加强对健身休闲广场的管理，小区物业将 其中的2处位置用坐标表示为S(-2,3), S2(1,4),则第3处健身休闲广场S3的位置用 坐标表示为( 中小学A1教辅引领者|73 Q新学期对照学数学七年级下册 知识对照9.1.2用坐标描述简单几何图形 一、用坐标描述简单几何图形 y 3 1.正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如 (-1,212 1 图所示，它的边长是4，则点A的坐标 -2-012345x 是() (-1,-1) (3,-1) -2 VA B A.(2,2) B.(3,2) C.(3,3) D.(2,3) 5.已知长方形的两条边长分别为4和6. D O (C) (1)如图，建立适当的平面直角坐标系，使它 A.（-4,4) B.（4,-4) 的一个顶点的坐标为(-2，-3)； C.(4,4) D.(-4,-4) (2)在(1)的条件下，写出其他三个顶点的 2.在三角形ABC中，若点B和点C的坐标如图 坐标. 所示，则点A的坐标是( B5,5) A C(9,3 A.(5,3) B.(9,5) C.(3,5) D.(2,2) 3.如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边 长均为1，点O,A,B在方格线的交点（格点） 上.在第四象限内的格点上找一点C,使三角 形ABC的面积为3，则这样的点C共有( 210 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.一个长方形在平面直角坐标系中，其三个顶 点的坐标分别是(-1，-1)，(-1,2)，（3，-1)， 如图所示，则该长方形第四个顶点的坐标 是() 74|中小学A1教辅引领者 第九章平面直角坐标系 6.如图，在平面直角坐标系中描出A(-2,1),8.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各 B(2,-2),C(2,3),D(0,1)四个点，连接AB, 点，再把它们顺次连接成封闭的图形，看看你 BD,DC,CA.求所连线段围成的图形的面积. 得到的图形像什么？求出这个图形的面积 (0,0),(1,3),(2,3),(3,2),(3,0),(1, 4 3 -1),(2,-1),(1,-3),(0,-1),(-1,-3), 2 (-2,-1),(-1,-1),(-3,0),(-3,2),（-2, 3),（-1,3),（(0,0) 4-B-2-1 1234x -4-B-1 2 2 7.跨学科整合地理)如图，在平面直角坐标系 中描出一系列点，点的坐标分别为(-5,1)， (-4.5,-2),(-1.5,-3),(0,0),(2,0.5), (3.5,1),(6,0),并将所得的点用线段顺次 连接起来.观察所得的图形，你觉得它像什 么？在地理上这个图形的名称是什么？ 6 5 4 2 165-4-B-2- 23 61 6 7升 中小学A1教辅引领者|75题意；C.-迈与迈互为相反数，故该选项符 合题意；D.-√（-2)2=-2，故该选项不符合 题意 28.D由题意得，AB=√5-（-1)=√5+1..点 C到点A的距离与点B到点A的距离相等， ∴.AC=AB=3+1,∴.0C=√3+(3+1)=2W3+ 1,即点C对应的实数是2√5+1. 29.3+√2 30.解：(1)原式=-2×+7-3= 32 (2)原式2-2+2-1(-05)-2 (3)原式=-(4)）1子= (4)原式=-93+2-5+3+2×(2)=-3+ 2-1=-2. 31.解：当x<27时，x⑧27=√+27=4，即x+ 3=4,则x=1; 当x≥27时，x⑧27=√x-/27=4,即x-3= 4,则x=49 综上所述，x的值为1或49. 32.解：设烧杯内部的底面半径为rcm. 根据题意，得π2×0.6=40，所以2=200 37 200 因为r>0,所以r= ≈4.61. N3π 设正方体铁块的棱长为acm. 根据题意，得a3=40,所以a=/40≈3.42. 答：烧杯内部的底面半径约是4.61cm,正方 体铁块的棱长约是3.42cm. 第九章平面直角坐标系 9.1用坐标描述平面内点的位置 9.1.1平面直角坐标系的概念 1.B2.D 3.DA.两条数轴不互相垂直，故此选项不符合 题意：B.横轴的正方向向右，则原点左侧为负， 右侧为正，故此选项不符合题意；C.两条数轴 都没有正方向，故此选项不符合题意；D.符合 平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意 4.D由题图可知，点D在第四象限. 5.C点A(a,b)在第四象限，∴.a>0,b<0, ∴.-a<0,ab<0,∴.点B(-a,ab)在第三象限 6.C根据表示棋子“车”的点的坐标为(-1， 0),表示棋子“炮”的点的坐标为(2,2)，建立 如图所示的平面直角坐标系，则表示棋子 “马”的点的坐标是(5,2) 楚河 汉界 气炮 (马) 卒 (帅 7.C如图，根据已知点的坐标建立平面直角坐 标系，则S3的位置用坐标表示为(-1,1) 6 -4-3-2-10123x 6 8.C点P在第二象限，且第二象限内点的 横坐标小于0，纵坐标大于0，点P的横坐 标小于0，纵坐标大于0.点P到x轴的距 离等于4，到y轴的距离等于3，.点P的坐 标是(-3,4). 9.B由题图可知，最靠近原点的冰壶属于红 队，故红队为本局胜方，由平面直角坐标系可 知，胜方最靠近原点的冰壶位于第二象限。 10.解：(1)xy=0,∴.x=0或y=0或x=y=0, .点P在坐标轴上 （2).y>0,∴.x,y同号，即x>0,y>0或x< 0,y<0, ∴.点P在第一象限或第三象限 9.1.2用坐标描述简单几何图形 1.A.·四边形ABCD是正方形，边长是4， .AB=AD=4,∠ABC=∠ADC=90°.又点A 在第二象限，.点A的坐标是(-4,4). 2.A.点A,B在同一条竖直的直线上， .点A,B的横坐标相同，即点A的横坐标 为5. .点A,C在同一条水平的直线上， .点A,C的纵坐标相同，即点A的纵坐标 为3. 故点A的坐标为(5,3) 3.B由题图知AB=3,要使三角形ABC的面积 为3，则AB边上的高为2， 即点C到AB所在直线的距离是2. 又点C在第四象限，且在格点上，故点C的坐 标可以是(1，-1)，（2，-1)，(3，-1)，共有 3个（如图所示） B 2-10 4.B如图，过(-1,2)，(3，-1)两点分别作 x轴、y轴的平行线，交点为(3,2)，即(3,2) 为该长方形第四个顶点的坐标 3 (-1,2m2 3,2) -2-@12345元 (-1,-1) -21 (3,-1) 5.解：（答案不唯一）(1)如图，建立平面直角坐 标系，此时长方形ABCD的顶点A的坐标为 （-2,-3). 4 3 D 2 C 4-B-1 23 45 2 A B (2)由(1)可知，长方形ABCD的其他三个顶点 的坐标分别是B(4,-3),C(4,1),D(-2,1). 6.解：如图，连接AD,则所连线段围成的图形的 1 1 面积为S三角形0+S三角影0=2×2×3+乞×2× 2 2=5. 3 AD -4-3-2-10 234x B 3 7.解：如图所示，它像勺子，名称是北斗七星 6 5 3 2 6 5-4-B-2-10 234567x 8.解：如图所示，得到的图形像一只蝴蝶 3 2 -4-B-210 1234x 1 面积为6×6-2×。×1×1-2×。×1×3-6×。× 1×2-2×2×1=36-1-3-6-4=22. 9.2坐标方法的简单应用 9.2.1用坐标表示地理位置 1.A如图，取1个单位长度代表50m长，建立 平面直角坐标系，则公园在此平面直角坐标 系中的坐标是(4，-4). 北 学校 4 2 车站10 -1 1234 -1[荣荣家 -2i -3 -4i 公园 2.D由题图可知，小七孔古桥在第四象限.因 为选项中只有(9，-7)在第四象限，所以可以 表示小七孔古桥位置的坐标是(9，-7) 3.(3,-3)如图，由已知点的坐标建立平面直 角坐标系，则表示学校位置的点的坐标是 (3,-3). 3 2 书店 2 34 5 2 邮局 学校 4.解：以学校为原点，正东方向为x轴的正半 轴，正北方向为y轴的正半轴建立平面直角 坐标系。 按照比例尺1：10000标出学校、工厂、体育 馆和百货商店的位置，如图所示. 18