专题04 平面内的两条直线的压轴题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04平面内的两条直线的压轴题型 目录 典例详解 类型一、平行线中的“拐点”模型.1 类型二、动态几何问题（动点与旋转） 9 类型三、角平分线与平行线的综合探究 21 压轴专练 32 典例详解 类型一、平行线中的“拐点”模型 常见图形：两条平行线之间夹着折线，形成M形、“W形或“形。 核心考点：平行线的性质、角的和差倍分。 解题通法（辅助线大法）： 过拐点作平行线：过每一个拐点作已知直线的平行线。 利用性质转化：利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”，将分散的角集中到一起。 结论规律：开口向左的角之和=开口向右的角之和（针对M型W型）。 例1.如图1，A是直线EF上一点，C是直线GH上一点，B是直线EF、GH之间的一点，且 ∠EAB+∠ABC+∠GCB=360°. E 图1 图2 (1)求证：EFWGH; 1/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，过点C作直线CD,使∠BCD=∠BCH,且直线CD与∠PFAB的平分线交于点D,若2∠B-∠D=75°， 求∠BAF的度数， 【答案】(1)见解析 (2)∠BAF=50 【分析】(1)过点B作3M IEF,根据平行线的性质得出∠EAB+∠ABM=180°，根据平行线的判定得出 BM II GH,最后根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，即可得出结论： (2)过点B作BM WEF,过点D作DN IEF,根据平行线的性质证明∠ADC=∠DAF+∠DCH, ∠ABC=∠BAF+∠BCH,根据2LABC-∠ADC=75°，得出2(LBAF+LBCH)-(LDAF+∠DCH)=75°，整理 得出4BAF=75,求出结果即可. 【详解】(1)证明：过点B作BM II EF,如图所示： E F B G 则∠EAB+∠ABM=180°， :∠EAB+∠ABC+∠GCB=360°，∠ABM+∠CBM=∠ABC, ∴.∠CBM+∠GCB=360°-180°=180°， ∴BM IGH, .BM I EF, ..EFGH, (2)解：过点B作BM IEF,过点D作DN IEF,如图所示： W--- EF GH, ..EF II DN II BM II GH, .∠DAF=∠ADN,∠CDN=∠DCH .∠ADC=∠ADN+∠CDN=∠DAF+∠DCH, 2/51 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理得：∠ABC=∠BAF+∠BCH, AD平分∠BAF, ∠DAP=∠BAD=BAF, LBCD=∠BCH, BCD=2BCH=-DCH, 2LABC-∠ADC=75°， 2(LBAF+∠BCH)-(∠DAF+∠DCHD=75°， 即2∠BAF+2∠BCH-∠DAF-∠DCH=75°， 1 2LBAF+LDCH-∠BAF-LDCH=75°， BAF=75, ∠BAF=50° 变式1-1，如图将一块含有30°、60°、90的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：① ∠2=2∠1，②∠1+∠2=90°，③∠ACB=∠3+∠1，④∠ABC=∠2-∠1，⑤∠1=25°，∠2=55°，能判断 mln的有 (填序号) A m B 【答案】③④⑤ 【分析】对于①②可证明∠1+∠ABC=∠2不一定成立，则m和n不一定平行；对于③过点C作CE‖m, 则∠3=∠4，根据角的和差关系可得∠1=∠5，则ECIn,即可得到mIn:对于④⑤可证明 ∠1+∠ABC=∠2，则mIn. 【详解】解：~∠2=2∠1，且∠1与∠ABC不一定相等， ∠1+∠ABC=∠2不一定成立 m和n不一定平行，故①不符合题意； ∠1+∠2=90°， ∠2=90°-∠1 ∠ABC=30°， 3131 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠1+∠ABC=∠1+30， ∠1+30°=90°-∠1不一定成立， ∴∠1+∠ABC=∠2不一定成立， ∴m和n不一定平行，故②不符合题意； 如图所示，过点C作CEIm, 2 -m E C n .∠3=∠4， ∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5， ∴∠1=∠5， EC lln, mln,故③符合题意： ∠ABC=∠2-∠1， ∠2=∠ABC+∠1， ∴mln,故④符合题意； ∠1=25°，∠2=55°，∠ABC=30°， ∠ABC+∠1=55°=∠2， ∴mln,故⑤符合题意； 变式1-2.将一套三角板△GEL和△GHT如下图所示放置于线段AB与线段CD之间，AB IICD,点L在AB上， 点H在CD上，∠GEL=∠GHI=90°，∠HG1=∠HIG=45°，∠EGL=60°，∠ELG=30°. A A GK C-G 图1 图2 B D 图3 (1)如图1，点E在AB上，点I在CD上，则∠LG1=°； (2)如图2，将两个三角板进行如图调整，∠ALE+∠CHG=60°，求证：GI平分LLGH; 4/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (B)如图3，在(2)的条件下，LR平分LALG,HR平分LGHC,延长RL和HI交于点S,RSH+∠SRH=号 5 ∠EGH,求LRSH的度数， 【答案】(1)75 (2)见解析 (3)∠RSH的度数为22° 【分析】(1)根据平角和已知角求出结果即可； (2)过点G作GM IAB,根据平行线的性质得出∠LGM=∠ALG=30°+m,∠MGH=∠CHG=60°-m,求出 ∠LGH=∠LGM+∠MGH=30°+m+60°-m=90°，得出∠LG1=∠1GH,即可得出答案； (3)设∠ALE=2n,则∠ALG=30°+2n,得出∠CHG=60°-2n,求出∠SKB=∠DHS=30°+2n,过点R作 RMI AB,过点S作SN II AB,求出∠SRH=∠LRM+∠MRH=45,∠RSH=∠WSK-∠NSL=15+n,根据 ∠RSH+∠SRH=EGH,列出方程(15°+)+45°=100，解方程即可. 【详解】(1)解：∠EGH=180°，且∠EGL=60°，∠EG1=45°， ∠LG1=180°-∠EGL-∠HG1=180°-60°-45°=75°， (2)证明：∠ALE+∠CHG=60°， 设∠ALE=m,∠CHG=60°-∠ALE=60°-m, ∠CHD=180°， ∴.∠GHD=∠CHD-∠CHG=180°-(60°-m)=120°+m, 过点G作GM IAB, M ∠LGM=∠ALG=30°+m, AB II CD, :.GM ICD, ∴∠MGH=∠CHG=60°-m, .∠LGH=∠LGM+∠MGH=30°+m+60°-m=90°， :∠1GH=45°， :.∠LG1=∠LGH-∠IGH=90°-45°=45°， ∴∠LGl=∠IGH, 5/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 GI平分∠LGH, (3)解：设∠ALE=2n,则∠ALG=30°+2n, ∠ALE+∠CHG=60°， .∠CHG=60°-2n, LR平分∠ALG,HR平分∠GHC, 1 ∴∠CHR=∠GHR=∠CHG=30°-n, 1 ∠ALR=∠RLG=∠ALG=15°+n, 2 ∠SLB与∠ALR是对顶角， ∠SLB=∠ALR=15°+n, ,∠CHD=180°， .∠DHS=∠CHD-LCHG-∠GHS, =180°-(60°-2m)-90° =30°+2n, AB II CD, ∠SKB=∠DHS=30°+2n, 过点R作RM IAB,过点S作SN II AB,如图所示： W-- B H ∴.∠LRM=∠ALR=15°+n, AB II CD, RM II CD, ∠MRH=∠CHR=30°-n, ∠SRH=∠LRM+∠MRH=15°+n+30°-n=45°， .SN II AB, ∴.∠NSK=∠SKB=30°+2n,∠NSL=∠SLB=15°+n, ∴LRSH=∠NSK-∠NSL=30°+2n-(15°+n)=15°+n, 6/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据(2)可得：∠LGH=90°， 则∠EGH=∠EGL+∠LGH=60°+90°=150°， 小号E6H=150×号=100， RSH+∠sRH=EGH, 5 z(15°+n)+45°=100， 解得n=7°， ∴.∠RSH=n+15°=7°+15°=22°. 变式1-3如图，已知ABICD,点E在AB上，点H在CD上，点F在AB,CD之间，连接EF,FH. M A D H 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠AEF+∠CHF=270°，求证EF1FH. (2)如图2，EG平分∠AEF,交CD于点G,且∠EFH=∠CHF=110°，求证EGUFH. (B)如图3，HM平分∠CHF,交FE的延长线于点M,且∠AEF+∠CHF=∠EFH,求∠FHD-2∠FMH的度 数.（不写过程，直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12° 【分析】(1)过点F作AB的平行线，则ABNCDIPF,∠AEF+∠EFP=180°，∠PFH+∠CHF=180°，进而 可得∠EFP+∠PFH=90°，即可得出结论； (2)利用“两直线平行，内错角相等"及角平分线的性质得出∠EGH=∠FEG,再结合四边形的内角和为 360°，求出∠EGH=70°，根据平角的定义得出∠FHD=70°，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结 论： (3)连接EH,根据平行线的性质及三角形的内角和定理得出∠AEF+∠CHF+∠EFH=360°，再结合所给 条件可求出∠EFH的度数，最后用∠MHF分别表示出∠FHD和∠FMH即可解决问题， 7/57 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：过点F作AB的平行线FP, B D H 图1 .ABIPF,ABIICD, ∴ABICDUPF, ∴.∠AEF+∠EFP=180°，∠PFH+∠CHF=180°， LAEF+∠EFP+∠PFH+∠CHF=360°， ,∠AEF+∠CHF=270°， ∴∠EFP+∠PFH=90°，即∠EFH=90°， EF⊥FH; (2)证明：ABIICD, LAEG=∠EGH, ~EG平分∠AEF, LAEG=∠FEG, ∠EGH=∠FEG, ∠EFH=∠CHF=110°， ∴∠EGH+∠FEG=360°-2×110°=140°，∠FHD=180°-∠CHF=70°， :∠EGH=70°， LFHD=∠EGH, ..EGWFH; (3)解：连接EH, M E B H 图3 ABIICD, 8/51 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AEH+∠CHE=180°， 又~∠HEF+∠EFH+∠FHE=180°， .∠AEF+∠CHF+∠EFH=360°， 又：ZAEP+LCHF=￥EFH, 15 EFH=360, LEFH=96°， :HM平分∠CHF, 1 ∴LCHM=∠FHM=-∠CHF, 2 .∠FHD=180°-∠CHF=180°-2∠MHF, :∠FMH+∠MHF+∠MFH=180°，∠MFH=96°， ∠FMH=84°-∠MHF, ∴∠FHD-2∠FMH=180°-2∠MHF-2(84°-∠MHF)=12°， 类型二、动态几何问题（动点与旋转） 常见形式： 动点问题： 点P在直线上运动，或者在平行线之间运动，问LA、∠B、P之间的关系如何变化。 旋转问题： 一条直线绕着某点旋转，导致角度发生变化，求满足特定条件（如平行、垂直）时的旋转角 度。 解题策略： 分类讨论：动点可能在平行线内部，也可能在外部；旋转可能顺时针也可能逆时针。必须分情况画图。 设未知数：设运动时间为t或旋转角为，用代数式表示角度，建立方程求解。 例2.如图，已知AB II CD,点G,F分别在直线AB,CD上，FE平分∠GFD交AB于点E,GH平分LEGF交EF于 点H. 9/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图 图2 图3 备用图 (1)如图1，求∠GHF的度数； (2)如图2，已知点I为直线AB上一点，若点I位于点G的左侧，且满足∠B1P-IPG+∠GFD=60. ①线段IF,GH有何位置关系？请说明理由； ②如图3，若LGEF=60°，过F作FI平分∠IFG交AB于点J,过I作IK平分JIF交JF于点K.线段1K绕点I以10°/S 的速度顺时针旋转；线段EF绕点F以10°/s的速度逆时针旋转，点E的对应点为E;线段JF绕点J以30°/s的速 度顺时针旋转，点F的对应点为F,当JF与射线/A重合时，立刻改变旋转方向，当与射线JB重合时，再次改 变方向，速度始终保持不变，如此循环往复，己知三条线段同时开始旋转，且当线段F回到原位置时，三 条线段同时停止转动.设运动时间为t,请问是否存在时间t,使得IK⊥JF且JF'IFE?若存在，请直接写出 所有满足要求的t的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)90 20F1G1,理由见解折：②存在，t= 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，结合角平分线的性质得到∠GFH+∠FGH的度数，再根据 三角形内角和定理求得∠GHF的度数； (2)①根据平行线的性质得到∠BIF=∠IFC,∠BGF=∠GFC,∠BIF+∠GFD+∠IFG=180°，结合已知的 ∠B1P-子IFG+GFD=60°等量代换得到∠BIP=∠IFG,最后根据平行线的判定定理即可得证②根据线 段的旋转规律，分情况讨论： 0<t<,<t<号，号<t<15s,15s<t<号，号<t<30s,限摇K1F且F1FB列等量关系， 99 解方程即可得解。 【详解】(1)解：AB II CD, ∴∠GFD+∠EGF=180°， 10/57 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~FE平分LGFD,GH平分∠EGF, LGFH=GFD,∠FGH=EGF, 1 ∴∠GFH+∠FGH=∠GFD+∠EGF=(LGFD+∠EGF)=,×180°=90°， ∠GHF=180°-(LGFH+∠FGH)=90°； (2)解：①1FIGH,理由如下： AB II CD, .∠BIF=∠IFC,∠BGF=∠GFC,∠BIF+∠GFD+∠IFG=180°， ∠BIF+∠GFD=180°-∠IFG, ∠BIF-IFG+GFD=60, 1 ∴.3∠BIF-∠IFG+∠GFD=180°， .2∠B1F-∠IFG+180°-∠IFG=180°， .2∠BIF=2∠IFG ∠BIF=∠IFG, 1 LIFC=LIFG =4GFC, "LBGF=∠GFC,FGH=BGF, .∠IFG=∠FGH, .IF IGH; ②AB IICD,∠GEF=60°， ∴.∠GFE=∠EFD=∠GEF=60°， .∠GFD=2∠EFD=120°，∠FGH=90°-∠GFE=30°， .∠IFG=∠FGH=30°， ∠B1F-IFG+GFD=60, ∠B1F=60°+IFG-GFD=60+×30°×120=30， 1 1 3 3 IK平分IF,F]平分IFG, ÷1K=2之B1F=15,∠F1=3IFG=15, ∠GF=∠B1F+JF1=30°+15°=45°， 11/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~线段IK绕点I以10°/s的速度顺时针旋转，线段EF绕点F以10°/s的速度逆时针旋转，点E的对应点为E,线 段JF绕点J以30°/s的速度顺时针旋转，点F的对应点为F',设运动时间为t, 180°-∠GJF180°-45°9 ÷当F与射线JA重合时，立刻改变旋转方向，此时t=30: =3015=259 当F与射线B里合时，再次改变旋转方向，此时：=+-兰： 360° 当线段FE回到原位置时，三条线段同时停止转动，此时t=10°5=36s: 9 当0s<t<2s时，∠GJF=45°+30t,J1K=15°+10t,∠EFD=60°+10t, ∴∠JFD=∠JF=180°-∠GJF'=135°-30t, G EB IK⊥JF,JF FE, ∴LF'+∠JIK=90°，∠JFD=∠EFD, 025击19a90,解海是.放此情况不行在 8 号<t<号时，∠P1A=45°+30t-180°=30t-135,∠A1K=180°-15+100=165-106，∠E FD=60°+10t, F D IK⊥JF,JF FE, ∠FJA+∠AIK=90°，∠EFD+∠FJA=180°， t=3 即0+配中063010，解得 51,故此情况不存在， 8 当<t<(+)时， <t<15s,∠GF=45°+30t-360°=30t-315%,∠A1K=180°-(15°+10) =165°-10t,∠E'FD=360°-(60°+10t)=300°-10t, 12/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AJ G B D E ~IK⊥JF,JF FE, ∠GF+∠AIK=90°，∠GF=∠EFD, (t=12 即303025志165000090，解得化长，故此情况不存在， 8 当15s<t<(15+)s时，即15s<t<2,F=180°-(45)=630-306,41K=15°+10t,∠E 51 FD=60°+10t, 15°+10t+630°-30t=90° 630°-30t=60°+10t 此情况不存在， 当5<t<(g+9s时，号<t<30s,4FP=30(e-》-180=30e-945,4K=15+10,∠E FD=60°+10t, r15°+10t+30t-945°=90° 30t-945°=60°+10t 此情况不存在， 当30s<t<36s时，∠JF'=180°-30(t-30)=1080°-30t,∠1K=15°+10t,∠E'FD=60°+10t, 15°+10t+1080°30t三90°，此情况不存在， 1080°-30t=60°+10t 综上，存在，满足要求的t的取值为 变式2-1.如图1，AB,AC被直线BC所截，点D在线段BC上，过点D作DE II AB,过点B作BEI‖AC. 图1 图2 (1)求证：∠A=∠E; (2)如图2，若∠A=50°，点P为直线BC上一动点（点P不与点B,D重合），过点P在直线BC的下方作线 段PF,使得PF I BE,PF=BE. ①若DE⊥DF,求LPFD的度数； 13/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若∠BED的平分线和∠PFD的平分线交于点Q,其中∠PFD=a心，请用a表示LEQF的度数. 【答案】(1)见解析； 21040,②25°+或25°或a-25 1 【分析】(1)根据平行线的性质得出E+∠ABE=∠A+∠ABE=180°，即可证明LA=∠E; (2)①过点D作DG NBE.由平行于同一条直线的两条直线平行，可得DG BE,由平行线的性质得 ∠EDG=∠E=50°.由垂直的定义得∠EDF=90°，进而即可求解； ②分三种情况：点P在点D的右侧，点P在点B和点D之间，点P在点B的左侧，过点Q作QG BE, 利用平行线的判定定理与性质定理分别求解即可， 【详解】(1)证明：~DE II AB,BE‖AC, .∴∠E+∠ABE=∠A+∠ABE=180°. ∴LA=∠E; (2)解：①LA=∠E,∠A=50°， ∠E=50°. 过点D作DG II BE .BE PF, :.DG II PF, .DG BE, ∴.∠EDG=∠E=50° DE⊥DF, ∠EDF=90°」 ∠GDF=40°. DG NI PF, ∠PFD=∠GDF=40. ②分三种情况讨论： 14/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()当点P在点D的右侧时，如图， E 过点Q作QG I BE. BE WI PF, .QG I PF. ∴LBEQ=∠EQG,∠PFQ=∠FQG. ∴LEQF=∠EQG+∠FQG=∠BEQ+∠PFQ. EQ平分LBED,FQ平分∠PFD,∠BED=50°，∠PFD=a, ∠BEQ=25°，PFQ=a 2EQF=25°+. ()当点P在点B和点D之间时，如图， 过点Q作QG W BE. .BE W PF, .QG WI PF. ∴LBEQ=∠EQG,∠PFQ=∠FQG. ∴∠EQF=∠EQG-∠FQG=∠BEQ-∠PFQ ~EQ平分∠BED,FQ平分∠PFD,∠BED=50°，∠PFD=a, BEQ=25,∠PFQ=a 15/31 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠EQF=25°20. (i)当点P在点B的左侧时，如图， G 过点Q作QG I BE .BE WI PF, QG PF. ∠BEQ=LEQG,∠PFQ=∠FQG. ∴.∠EQF=∠FQG-∠EQG=∠PFQ-∠BEQ EQ平分LBED,FQ平分∠PFD,∠BED=50°，∠PFD=a, BEQ-25,PFQ-ia. EQF=a-25 综上，LBQF可能是25°+0或25°0或对a-25 变式2-2.如图1，已知直线AB II CD,点E,F是直线CD上两点，点E在点F左侧，点G是直线AB上一点，连接 FG,FH平分∠EFG交AB于点H. A H GBA HR G B AIH GB M N D CE D CE F D 图1 图2 图3 (1)若∠HGF=a,则∠HFD= (2)如图2，点M是线段HF上一点，连接EM,FN平分LEFH交EM于点N.作FR交AB于点R,点R在线段HG上， 且满足∠HFR=FHG,当∠HMN+NFR=180时，求证：EM IFG; (3)如图3，若∠HGF=36°，点I是射线HA上一点，射线FG以每秒4的速度绕点F逆时针转动，射线HI以每秒 16的速度绕点H逆时针转动，当射线HI转至与射线HB重合时立即以相同速度绕点H顺时针回转，若它们同 16/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 时开始转动，设转动时间为t秒，当射线HI回到出发时的位置时，射线FG,HI同时停止转动，则在转动过程 中，当射线FG所在直线与射线HI所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的t的值，并写出求解t的 值的其中一种情况的过程 【答案】90°+0 (2)见解析 (3)t的值是10.5秒或11.7秒或20.7秒，见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用 (1)根据AB ICDR得到∠GFD=∠HGF=a,进而得到∠GFC=180°-a,根据角平分线的定义得到∠GFH= LGFC=90°-之a,即可求出LHFD的值； (2)设∠HFR=B,则∠FHG=4邱，根据AB II CD:得到∠HFE=∠PFHG=4邱，根据角平分线的定义得到 ∠HFN=2B,即∠NFR=3B,根据∠HMN+∠NFR=180°得到∠HMN=180°-4B,即∠EMF=4B,根据角 平分线的定义得到∠HFG=∠HFE=4B,即∠EMF=∠HFG,即可证明EM IFG; (3)分三种情况分别列方程求解即可， 【详解】(1)解：AB II CD, ∠GFD=∠HGF=a, .∠GFC=180°-a, ,FH平分∠EFG, GFH=GFC-9 1 1 2HFD=902+a=90°+2a. 1 故答案为：90°+Q; (2)证明：设∠HFR=B, LHFR=FHG. ∠FHG=4β， AB II CD, ∠HFE=∠FHG=4B, FN平分∠HFE, 17/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ∴∠HFN=∠HFE=2B, ∠NFR=3B, 4 ∠HMN+3∠NFR=180, 4 LHMN=180°-3NFR=180°-4p, ∴∠EMF=180°-∠HMN=4β， ~FH平分∠EFG, ∴∠HFG=∠HFE=4β， ∠EMF=∠HFG, EM FG; (3)解：当射线H1转至与射线HB重合，则t=180÷16=11.25(秒)，当FG1CD时，t=54÷4=13.5 (秒)， 0≤t≤11.25，如图， 16t=90+4t+36, t=10.5; A HG B C D 当11.25<t≤13.5时，如图， 16t-180+4t+36=90, t=11.7: A HG B C龙 F D 当13.5<t≤22.5时，如图， 360-16t+90=4t+36, t=20.7; A GH B D 18/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 综上：t的值是10.5秒或11.7秒或20.7秒 变式2-3，如图，已知直线ABIICD,E,F分别是AB,CD上的点，点G在直线AB,CD内部，且∠AEG=30°， ∠CFG=45° A 图1 图2 备用图 (1)求∠EGF的度数. (2)如图2，射线EG绕点E以每秒5的速度逆时针旋转，交直线CD于点P,设运动时间为t秒(0<t<30),当 t=21时，试探究EP与GF的位置关系，并说明理由 (3)如图2，射线EG绕点E以每秒5°的速度逆时针旋转，交直线CD于点P,设运动时间为t秒(0<t<30)·射 线FG绕点F同时以每秒10°的速度顺时针旋转得到射线FQ.当FQWEP时，请直接写出t的值. 【答案】(1)75 (2)EPWGF,见解析 (3)7或19 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系， (1)过点G作HGIAB,根据平行线的性质可知∠EGF=∠AEG+∠CFG求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知∠BEP=45°，根据平行线的性质可得∠GFC=∠CPE,根据同位角相等，两直 线平行可知EPWGF; (3)当FQMEP时，要分射线FG绕点F旋转小于180°和大于180两种情况求解 【详解】(1)解：如图所示，过点G作HGAB, E B D ABIICD, .GHICD, ∠AEG=30°，∠CFG=45°， .∠EGH=∠AEG=30°，∠HGF=∠CFG=45°， .∴.∠EGF=30°+45°=75°； (2)EPGF, 19/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 理由如下， ~射线EG绕点E以每秒5的速度逆时针旋转，t=21, .∠GEP=21×5°=105°， ∠AEP=30°+105°=135°， ∠BEP=45°， ABMCD, ∠CPE=∠BEP=45°， 又∠GFC=45, ∠GFC=∠CPE, .EPNIGF; (3)如图所示，当射线FG绕点F旋转小于180时， E O B CPF D÷∠GFQ=10t°，∠GEP=5t°，∠AEG=30°，LCFG=45°， ∠AEP=(30+5t)°，∠CFQ=(45+10t)°， ABIICD, ∴.∠AEP=∠EPD, 又~EPWFQ, ∠EPF+∠CFQ=180°， ∴.30+5t+45+10t=180, 解得：t=7, 如图所示，当射线FG绕点F旋转大于180时， ∠GFQ=10t°>180°，∠GEP=5t°，∠AEG=30°，∠CFG=45°， .∠AEP=(30+5t)°，∠CFQ=360°-(45+10t)°=(315-10t)°， ABIICD,EPIIFQ, 20/57 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠AEP+∠CPE=180°，∠EPC=∠PFQ, 又∠CFQ+PFQ=180°， ∠CFQ=∠AEP, 30+5t=315-10t, 解得：t=19, 综上所述，t的值为7或19. 类型三、角平分线与平行线的综合探究 这类题目通常涉及复杂的角平分线网络，结合平行线判定。 常见形式：已知AB II CD,∠B和∠D的平分线相交于点E,探究∠E与LB、D的关系。 解题技巧： 设小角：设角平分线分出的小角为x、y,则大角为2x、2y。 构造模型：依然通常需要通过“过拐点作平行线”来建立Xy与中间角的关系。 结论示例：若两角平分线在平行线内部相交，往往有E=(B+∠D)或类似关系（具体视图形开口 方向而定)。 例3.将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ‖MN,点A、F、C、E在同一直线上， ∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=LABC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°. D P E B M B M B M 图1 图2 图3 (1)若三角板如图1摆放时，则∠= (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作LPEA和LMBC的 角平分线交于点H,求LEHB的度数： (3)将(2)中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中， 当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值， 【答案】(1)15,150 (2)135 21/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)2或6或8 【分析】(1)如图1，过点E作EJ II PQ,证明∠DEA=a+∠BAC,可得结论： (2)同法可证∠EHB=∠PEH+∠MBH,利用角平分线的定义求出∠PEH,∠MBH,可得结论； (3)分三种情形：当BC II DE时，当BC I EF时，当BC II DF时，分别求出∠BAM的度数，即可求出t的值， 【详解】(1)解：如图1，过点E作EIPQ, MB 图1 PQ I MN,PQ II EJ, :.EJ II MN II PQ. ∠a=∠DEI,JEA=∠BAC=45°. LDEF=a+∠BAC. ∠DEF=60°， a=60°-45°=15°. ∠DFE=30°， ÷β=180°-30°=150°. (2)解：同法可证∠EHB=∠PEH+∠MBH, PQ II MN, ∠QEA=∠BAC=45°. ∠AEP=180°-45=135° ∠CBA=45°， ∠CBM=180°-45°=135°. HE,HB分别平分∠AEP,∠CBM, .PEH =PEA 67.5,MBH =CBM=67.5. .∠EHB=∠PEH+∠MBH=135° (3)如图3-1，当BC II DE时，设DF与BC交于点G, 22/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P E Q 图3-1 ÷∠EDF=∠BGF=90°. ∠BGF=∠BCA=90°. .DF I AC. .∠CAE=∠DFE=30°， LBAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE, ∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°. t=3 15=2. 如图3-2，当BC I EF时， P E G 图3-2 此时∠BAE=∠ABC=45°， ∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°. 90° t=15=6, 如图33，当BC II DF时，过点A作AH DF, P E O G B M 图3-3 .AH II DF II BC. ∴∠DFE=∠HAE=30°，∠HAB=∠ABC=45°. 23/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠BAM=∠HAB+∠HAE+∠EAM=45°+30°+45°=120° ts1200 150=8. 综上所述，满足条件的t的值为2或6或8. 变式3-1.如图，直线ABI‖CD,点E,F分别在直线AB,CD上，点P为直线AB与CD间一动点，连接EP, FP,且∠EPF=140°，∠AEP的平分线与LPFC的平分线交于点Q,则∠EQF的度数为 B B A C D 【答案】70°或110 【分析】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义；解题的关键是利用平行线间的折线模型，推导角之 间的数量关系，再结合角平分线计算.过点P、Q分别作平行线，分两种情形讨论，利用平行线的“折线模型”， 先由AB II CD得到∠AEP+∠CFP=∠EPF或LAEP+∠CFP=360°-∠EPF,再根据角平分线定义，得到 LAEQ+∠CFQ=(LAEP+∠CFP),从而求出∠EQF的度数. 【详解】解：过点P作PM IAB,过点Q作2N II AB,分两种情形讨论： 情形一如图 A E B P --M C D .AB II CD, .AB II PM I QN I CD, .∠AEP=∠EPM,∠CFP=∠FPM, ∠EPF=140°， .∠AEP+∠CFP=∠EPM+∠FPM=∠EPF=140°， ~EQ平分∠AEP,FQ平分LCFP, ÷∠AEQ=AEP,∠CFQ=CFP, ∴LAEQ+LCFQ=(LAEP+∠CFPD=2×140°=70， ∠4/51 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 QN II AB II CD, ∠AEQ=∠EQN,∠CFQ=∠FQN, ÷∠EQF=∠EQN+∠FQN=∠AEQ+∠CFQ=70°. 情形二，如图 E B A 0 N M D .AB II CD, .AB II PM I QN I CD, .∠AEP=∠EPM,∠CFP=∠FPM, ∠EPF=140°， .∠AEP+∠CFP=∠EPM+∠FPM=360°-∠EPF=220°， ~EQ平分∠AEP,FQ平分∠CFP, ·∠AEQ=AEP,∠CFQ=∠CFP, ∠AEQ+∠CFQ=(∠AEP+∠CFP)=×220°=110°， ×QN IAB ICD, ·∠AEQ=∠EQN,∠CFQ=∠FQN, ∠EQF=∠EQN+∠FQW=∠AEQ+∠CFQ=110. 故答案为：70或110°。 变式3-2如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB,在直线AB的右 侧取一点C,满足∠ABC=45°，∠BAC=30°. A系用 (图1) (图2) (图3) (1)如图1，若∠NAC=2LCBQ,求∠MAB的度数； (2)如图2，在直线MN上方平面内取一点F,直线AF交PQ于E,使得∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C,求 25/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠F. (3)如图3，作LMAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T,作射线SW和TW交于W,且使得LTSW=与 LTSU,LSTW=STV,当四边形ASWT的一边与BC平行时，直接写出LMAB的度数. 【答案】(1)80° (2)30° (3)10°或90或96 【分析】(1)设∠CBQ=x,则∠NAC=2x,解得∠ABQ=45°+x,∠NAB=30°+2x,得到 ∠MAB=180°-∠NAB=150°-2x,再根据平行线的性质列出方程求出x的值即可求解； (2)过点F作FHIPQ,设∠NAC=a,∠CBQ=B,可得a+B=105°，由角平分线的定义得∠EAN=2a, ∠FBQ=2B,利用平行线的性质得∠FEQ=180°-∠EAN=180°-2a,∠BFH=180°-∠FBQ=180°-2B, ∠EFH+∠FEQ=180°，即得180°-2a+180°-2B+∠EFB=180°，即可求解； (3)设∠MAS=m,∠CBQ=n,可得∠MAB=2m,∠AST=∠MAS=m,∠TSU=180°-∠AST=180°-m, n=2m-45,NAT=∠CAT=NAC=75P-m,∠ATS=∠NAT=75°-m, ∠STV=180°-∠ATS=105°+m,再分WTIBC,ASIBC,SWIIBC和ATIBC四种情况解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键， 【详解】(1)解：设∠CBQ=x, ∠NAC=2∠CBQ, ∴.∠NAC=2x, .∠ABC=45°，∠BAC=30°， ∴.∠ABQ=45°+x,∠NAB=30°+2x, ∴∠MAB=180°-∠NAB=180°-(30°+2x)=150°-2x, MNIPQ, ∠MAB=∠ABQ, 即150°-2x=45°+x, 解得x=35°， .∠MAB=150°-2×35°=80°： (2)解：如图，过点F作FHIPQ, 26/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M PE 设∠NAC=a,∠CBQ=B, MNIIPQ, ∠NAB+∠ABQ=180°， ∠ABC=45°，∠BAC=30°， 2NAC+∠CBQ=105°，即a+B=105°， LNAE和∠FBQ的角平分线交于点C, ∠EAC=∠NAC,∠FBC=∠QBC, ∠EAN=2a,∠FBQ=2B, .FHIPQ,MNIPQ, ∠FEQ=180°-∠EAN=180°-2a,∠BFH=180°-∠FBQ=180°-2B,∠EFH+∠FEQ=180°， ∴LBFH+∠EFB+∠FEQ=180°， 180°-2a+180°-2β+∠EFB=180°， ∴∠EFB=2(a+β)-180°=2×105°-180°=30°； (3)解：设∠MAS=m,∠CBQ=n, AS平分∠MAB, .∠MAB=2m, MNIPQ, ∴LAST=∠MAS=m, ∴.∠TSU=180°-∠AST=180°-m, ~MNIIPQ,∠ABC=45, ∴∠MAB=∠ABQ=∠ABC+∠CBQ,即2m=45°+n, ∴n=2m-45°， :AT平分∠NAC,∠BAC=30, ∠NAT=LCAT=2NAC=(180°-LMAB-∠BAO=75-m, 29 -MNIPQ, ∠1/31 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ATS=∠NAT=75°-m, ∠STV=180°-∠ATS=105°+m, 如图，当NTIBCE时，则∠CBQ=∠STW=STV, M TO W 2m-45°=(105°+m), 1 解得m=48°， ∠MAB=2m=96°； 如图，当ASIIBC时，则∠SAB=∠ABC=45°， M TO B W ∠MAB=2∠SAB=90°； 如图，当SWIIBC时，则∠TSW=∠TBC, M P S W LTBC=LABC-LABT,LTSW=TSU, 1 LABC-LABT=5∠TSU, ∠ABT=∠MAB=2m,∠TSU=180°-m, 45°-2m=(180°-m, 解得m=5, ∠MAB=2m=10°； 当ATIIBC时，则∠BAT+∠ABC=∠BAC+∠CAT=180°， 28/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即45°+30°+75°-m=180°， 解得m=-30°（不合题意，舍去）： 综上，当四边形ASWT的一边与BC平行时，∠MAB的度数为10或90°或96°. 变式3-3.如图①所示，某江两岸的主道路MN、PQ上安装了两座可旋转射灯A、B,已知，PQ‖MN,且 ∠BAM=2LBAN,灯A发出的光束从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B发出的光束从BP开始顺时 针旋转至BQ便立即回转，己知灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度， B O M B M P M A ① ② 备用图 (1)填空：∠BAN= 0 (2)如图②，如果灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在转动过程中，灯A光束与PQ交于点M', 灯B光束与MW交于点P',设灯A转动t秒(t>O). ①当0<t<90时，则∠MAM=°，∠PBP'=°（用含t的式子表示）. ②当灯A转动秒时，两灯发出的光束第一次互相平行； 当灯A转动 秒时，两灯发出的光束第二次互相平行. (3)已知点G在直线MN上且在点A右侧，连接BG,如果两灯同时转动，在灯B光束到达BQ之前，两灯光束 交于点O,O恰好是∠ABG与LAGB的角平分线交点，求∠AGB的度数. 【答案】(1)60 (2)①2t,30+t;②30,110 (3)30°或90° 【分析】1)根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM=2∠BAN,即可得到∠BAN的度数； (2)①根据路程=速度×时间即可求出；②当0<t<90,两灯发出的光束第一次互相平行，当 90≤t<150,两灯发出的光束第二次互相平行，进而求解； (3)分0<t<90,90≤t<180,两种情况讨论即可 【详解】(1)解：∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:∠BAN=2:1, 1 ·∠BAN=180°×3=60， (2)解：①设灯A转动t秒(0<t<90), 29/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠MAM=(2t)°，∠PBP'=(30+t)°； ②灯A发出的光束从AM开始顺时针旋转至AN时，则180°÷2=90（秒）， 灯B发出的光束从BP开始顺时针旋转至BQ时，则(180°-30×1)÷1=150（秒） 当0<t<90,两灯发出的光束第一次互相平行时，如图， B M A 则AM'I BP, ∠MAM=∠BP'A, 又QP I MN, ∠PBP'=∠BPA, .∠PBP'=∠MAM', 2t=30+t, t=30; 当90≤t<150,两灯发出的光束第二次互相平行时，如图，此时AM从AN折回， M'P MP 此时，∠MAN=(2t-180)°，∠PBP'=(30+t)° AM'll BP', ∠MAN=∠BP'N, 又QPII MN, ∠BPN=180°-∠PBP, .∠MAN=180°-∠PBP', .2t-180=180-(30+t), ×t=110: (3)解：如图，当0<t<90时， 30/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M P G ~点O恰好是LABG与LAGB的角平分线交点， A0平分LBAG, .∠BAG=∠BAN=60°， MAG-BAG-30, ∠MAM=180°-∠MAG=150°， …2t=150 t=75, ∠PBP=75°， 又QP II MN, ∠MBA=180°-∠BAN=120° ∠ABP'=∠MBA-∠PBP'=45°， ∴.∠ABG=2∠ABP=90°， ∴.∠M'BG=∠MBA-∠ABG=30°， LAGB=∠MBG=30; 如图，当90≤t<180时， B M M APG 同理，得2t-180=30,解得t=105, ∠PBP=105, 又~QPII MN, .∠MBA=180°-∠BAN=120°， LABP'=∠MBA-∠PBP'=15°， 31/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LABG=2∠ABP=30°， ∠MBG=∠MBA-LABG=90°， ∠AGB=∠MBG=90°； 综上，∠AGB的度数为30°或90 9 压轴专练 1,如图，ABIICD,点E在直线BC左侧，BE⊥CE,∠ABE=60°，射线BM从射线BE出发，绕点B以每秒3的 速度按顺时针方向旋转，同时射线CN从射线CE出发，绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向旋转，当射线BM 旋转240时两条射线都停止旋转.射线BM与射线CN交于点P,若∠BPC=42°，则射线BM旋转了 秒. A D 【答案】24或66/66或24 【分析】分点P在直线BC左侧和点P在直线BC右侧两种情况，利用平行线的性质及角的和差关系分别列方程 求解即可 【详解】解：如图，当点P在直线BC左侧时，设BE与PC交于点F,运动时间为t,过点F作FG PB, FH ICE, D A G BM绕点B以每秒3的速度按顺时针方向旋转，CN绕点C以每秒1的速度按顺时针方向旋转， .∠ECP=t,∠EBP=3t, .FG WIPB,FH WICE, ∴∠BPC=∠GFC,∠PBE=∠BFG,∠BFH=∠E,∠ECP=∠CFH, 32/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~LBFC=∠BFG+∠GFC=∠BFH+∠CFH ∴LBPC+LEBP=∠BEC+∠ECP BE1CE,∠BPC=42°， ∠E=90 .42°+3t=90°+t, 解得：t=24: 如图，当点P在直线BC右侧时，过点P作PQ IAB,过点E作EK ICD, N M 0.---- .ABICD, :.PQ II AB WI EK WI CD, LBEK=∠ABE=60°，∠QPC=∠PCD,∠QPB=180°-∠ABP, ∴∠CEK=30°，∠ECD=180°-∠CEK=150°， ~BM绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，CN绕点C以每秒1的速度按顺时针方向旋转， .∠ABP=3t-60°，∠ECP=t, ∠QPB=180°-(3t-60)=240°-3t,∠PCD=150°-t, ∠BPC=42°， ∴.240°-3t+42°=150°-t, 解得：t=66; 综上所述：射线BM旋转了24或66秒 2.一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ,碰到PQ上的点B后便反弹而滚向桌边 RS,碰到RS上的点C便反弹而滚入点Q,一共反弹两次，已知AB,BC,CQ都是直线，PQ IIRS,且∠ABC的平 分线BN垂直于PQ,∠BCQ的平分线CM垂直于RS,若∠CQR=33°，则∠ABP的度数为_ 33/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M R 【答案】57°/57度 【分析】根据角平分线的定义可得∠BCM=∠QCM,∠ABN=∠CBN,根据平行线的性质可得 ∠BCM=∠ABN=33°，最后由垂直的概念可得答案. 【详解】解：BN⊥PQ,CM⊥RS, .BNICM, BN平分∠ABC,CM平分∠BCQ, ∠BCM=∠QCM,∠ABN=∠CBN, 由题意可知：BNIICMIIQR, ∠CQR=33°， ∴.∠BCM=∠QCM=∠CQR=33°， .∠ABN=∠CBN=∠BCM=33°， BN⊥PQ ∠ABP=90°-∠ABN=57°. 3.如图①所示，某江两岸的主道路MN、PQ上安装了两座可旋转射灯A、B,己知，PQ IIMN,且 ∠BAM=2∠BAN.灯A发出的光束从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B发出的光束从BP开始顺时 针旋转至BQ便立即回转，己知灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度， B P M M A N ① ② 备用图 (1)填空：∠BAN=. (2)如图②，如果灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在转动过程中，灯A光束与PQ交于点M', 灯B光束与MN交于点P',设灯A转动t秒(t>O). 34/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①当0<t<90时，则∠MAM=°，∠PBP'=。(用含t的式子表示). ②当灯A转动秒时，两灯发出的光束第一次互相平行； 当灯A转动秒时，两灯发出的光束第二次互相平行 (3)已知点G在直线MN上且在点A右侧，连接BG,如果两灯同时转动，在灯B光束到达BQ之前，两灯光束 交于点O,O恰好是LABG与LAGB的角平分线交点，求LAGB的度数. 【答案】(1)60 (2)①2t,30+t;②30,110 (3)30°或90 【分析】1)根据LBAM+∠BAN=180°，∠BAM=2LBAN,即可得到∠BAN的度数； (2)①根据路程=速度×时间即可求出：②当0<t<90,两灯发出的光束第一次互相平行，当 90≤t<150,两灯发出的光束第二次互相平行，进而求解： (3)分0<t<90,90≤t<180,两种情况讨论即可 【详解】(1)解：∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:∠BAN=2:1, ∠BAN=180°×3=609， (2)解：①设灯A转动t秒(0<t<90), 则∠MAM=(2t)°，∠PBP'=(30+t)°； ②灯A发出的光束从AM开始顺时针旋转至AN时，则180°÷2=90（秒）， 灯B发出的光束从BP开始顺时针旋转至BQ时，则(180°-30×1)÷1=150（秒） 当0<t<90,两灯发出的光束第一次互相平行时，如图， OM B M 则AM'I BP, ∠MAM=∠BPA, 又~QP II MN, .∠PBP'=∠BPA, ·∠PBP'=∠MAM, ∴.2t=30+t, 35/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 t=30; 当90≤t<150,两灯发出的光束第二次互相平行时，如图，此时AM从AN折回， M'P MP 此时，∠MAN=(2t-180°，∠PBP'=(30+t)° AM'Il BP', ∠MAN=∠BP'N, 又QP II MN, .∠BPN=180°-∠PBP, ∠MAN=180°-∠PBP', .2t-180=180-(30+t), t=110: (3)解：如图，当0<t<90时， D -N ~点O恰好是∠ABG与LAGB的角平分线交点， AO平分LBAG, ∠BAG=∠BAN=60°， LM'AG -BAG =30, .∠MAM=180°-∠MAG=150°， 2t=150, t=75, ∠PBP=75°， 又QPII MN, .∠MBA=180°-∠BAN=120°， 36/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LABP'=∠MBA-∠PBP'=45°， ∠ABG=2LABP=90°， ∴∠MBG=∠MBA-∠ABG=30°， ∴LAGB=∠MBG=30°： 如图，当90≤t<180时， B M AP'G 同理，得2t-180=30,解得t=105, ∠PBP'=105°， 又~QPII MN, ∴.∠MBA=180°-∠BAN=120°， LABP'=∠MBA-∠PBP'=15°， LABG=2∠ABP=30°， .∠M'BG=∠MBA-∠ABG=90°， LAGB=∠MBG=90°； 综上，∠AGB的度数为30或90° 4.如图，直线EF分别交直线AB,CD于点G,H,且LAGE+∠CHF=180°.点M,,P,Q分别在射线GE ,HF,GB,HD上，连接并延长MP,NQ交于点K. E E M G 10 备用图 (1)求证：ABICD; (2)若∠MPB+∠NQD=260°，求LMKN的度数； 37/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如备用图，在(2)的条件下，连接KH,过点K作STWEF交AB于点S,交CD于点T,若 ∠MKH:LHKN=7:3,∠1=a,∠2=B,求∠EMK的度数，（用含a,B的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)∠MKN=100°； (3)∠EMK=250°-a-B. 【分析】(1)根据同位角相等，两直线平行即可证明： (2)作KCD,利用平行线的性质结合对顶角相等即可求解， (3)作KJCD,MRICD,利用平行线的性质即可求解 【详解】(1)证明：~∠AGF+∠AGE=180°，且LAGE+∠CHF=180°， ∠AGF=∠CHF, ..ABIICD; (2)解：作KICD, M B P J.--------K D F .ABICD, .ABIKJMCD, ∠BPK=∠PKI,∠DQK=∠QKI, ∠BPK=180°-∠MPB,∠DQK=180°-∠NQD, LMKN=∠PKJ+∠QK =∠BPK+∠DQK =180°-∠MPB+180°-∠WQD =360°-(LMPB+∠NQD), ∠MPB+∠NQD=260°， ∠MKN=360°-260°=100°： 38/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：作KICD,MRICD, ABICD, ..ABIKIIMRIICD, E M --R A B G 9/2 H STWEF,∠2=B, ∠EHD=180°-β， ∠EMR=∠EHD=180°-B, KJCD, JKH=∠1=a, ∠MKN=100°，且∠MK:∠HKN=7:3, 4MKH=3×10=70 .∴∠MK1=70°-∠IKH=70°-a, KJMMR, ∴∠RMK=∠MK=70°-a, ∠EMK=∠EMR+∠RMK=180°-B+70°-a=250°-a-阝. 5,某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多 样，在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解 决问题. 为此，老师给出如下问题：如图①，ABICD,EF⊥AB,交AB于点Q,FG交CD于点P.请判断LEFG与∠DPG 有怎样的数量关系， 如图②，明明同学通过在点F处作MN II CD,利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作QNFG,同样也有着异曲同工之妙. 39/57 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 告去兰 图① ✉⑤ 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，ABICD,反向延长LABP的平分线BE,交直线CD于点F,点H在直线CD上，连接PH,若 ∠EFC=50°，∠PHC=70°，求∠P的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，ABICD,DN平分∠CDP,且AP⊥PD,∠PAB+2∠PAN=180°，求∠DNA的度数. 【答案】(1)见解析： (2)30°； (3)450 【分析】(1)根据不同同学的方法提示，运用平行线的性质分别推理即可； (2)过点P作PM IICD,依次求出∠MPH,∠ABP,∠MPB即可得解； (3)过点P作PM IAB,过点N作VT II CD延长BA交DP于点A,则∠APD=∠CDP-∠QAP=90°，由于 ∠PAB+2∠PAN=180°，∠PAB+∠PAN+∠NAQ=180°得到∠NDC-∠NAQ=45°，由NT IICD IIAB可得 ∠AND=∠TND-∠TNA=∠NDC-∠NAQ=45°. 【详解】(1)解：选择明明同学， 在点F处作MN/CD, B P D AB II MN II CD, ∴.∠DPG=∠NFG, EF⊥AB, 40/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠EQB=90 AB II MN ∠EFN=∠EQB=90°， :∠EFG=∠EFN+∠NFG=90°+∠DPG, 即∠EFG=90°+∠DPG: 选择欣欣同学， 过点Q作QN IFG,交CD于点M, B MD P G ∠EFG=∠EQN,∠DPG=∠DMN, AB II CD, ∠DMN=∠BQN, EF⊥AB, ÷LEQB=90°， .∠EFG=∠EQN=90°+∠BQN=90°+∠DPG, 即∠EFG=90°+∠DPG: (2)解：过点P作PM IICD, M B C FH D.:AB II CD,PM CD AB II PM II CD, ∴∠MPH=180°-∠PHC=110°，∠ABE=∠EFC=50°，∠MPB+∠ABP=180°， ~BE平分∠ABP, ∠ABP=2LABE=2×50°=100°， .∠MPB=180°-∠ABP=80°， .∠BPH=∠MPH-∠MPB=30°， 41/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即∠P的度数为30°， (3)解：过点P作PM IAB,过点N作NT II CD,反向延长BA得射线AQ, --M AB II CD, ∴.AB IIPM IICD IINT, ∴∠MPD=∠CDP,∠PAQ=∠MPA, ∴∠APD=∠MPD-∠MPA=∠CDP-∠QAP, AP⊥PD, .∠APD=90°， ∠CDP-∠QAP=90°， ∠PAB+2∠PAN=180°，∠PAB+∠PAN+∠NAQ=180°， 2∠PAN=∠PAN+∠NAQ, ÷LPAN=∠NAQ=PAQ,即∠PAQ=2NAQ, ND平分∠CDP, .∠CDP=2∠NDC, ·.2∠NDC-2∠NA0=90°， ÷∠NDC-∠NAQ=45°， NT II CD II AB, ∴.∠TND=∠NDC,LANT=∠NAQ, ∠AND=∠TND-∠TNA =∠NDC-∠NAQ =45°， 即∠DNA的度数为45. 6.对于平面内的∠N和∠M,若存在一个常数k>1,使得∠N+kLM=360°，则称∠N为∠M的“k倍补充周 角”.例如∠N=90°，∠M=45°，则∠N为∠M的“6倍补充周角”. 42/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B A E B C D D 图1 备用图 (1)若乙M=120°，则∠M的总倍补充周角"的度数为·； (2)如图，在平面内ABICD,点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点.连接PE,PF; ①点E、F分别在线段AB、CD上（如图1)·若点P在直线AB上方，先探究∠PEA,∠EPF,，∠PFC这三个角 的数量关系.再求当∠EPF是∠PEA的“7倍补充周角”且∠PFC=60时，∠EPF的度数， ②如图，若点P为平行线AB、CD之间一个动点，连接EF,∠EFP和LFEP的角平分线交于点Q.若 LAEP=m°，∠CFP=n°，∠Q是∠G的“4倍补充周角”，求LG的度数（用含m和n的代数式表示）· 【答案】(1)40 (2)①∠EPF+∠PEA=LPFC,∠EPF的度数为10°； 1 1 ②z6=67.5°gm°-an或z6=22.5°+gm°+a0 【分析】(1)根据倍补充周角"的定义求解即可： (2)①根据平行线的性质与判定求出三个角之间的关系，再根据“7倍补充周角"的定义求出∠EPF的度数 即可； ②分点P在EF左侧和点P在EF右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可. 【详解】(1)解：设∠M的倍补充周角"的为∠N, 由题意得2N+120°×号=360， 解得∠N=40°， 2M的倍补充周角"的度数为40； (2)解：①过点P作GH IAB, ~∠EPF是∠PEA的"7倍补充周角”， .∠EPF+7∠PEA=360°， 如图， 43/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G P H B C D ABICD,GH II AB, ∴GH IIAB IICD ∠GPF+∠PFC=180°，∠GPE+∠PEA=180°， .∠EPF=∠GPE-∠GPF=180°-∠PEA-(180°-∠PFC), ∴LEPF+∠PEA=∠PFC; ∠PFC=60°， ∠PEA+∠EPF=60, 又~∠EPF+7∠PEA=360°， ∠EPF=10°： ②如图，当点P在EF左侧时，过点P作PT Il AB, B C .PT II AB,CD I AB, ..CD II AB II PT, ∠EPT=∠AEP=m°，∠FPT=∠CFP=n, ∴.∠EPF=∠EPT+∠FPT=m°+n°， ∠PEF+∠PFE=180°-∠EPF=180°-m°-n°： LEFP和∠FEP的角平分线交于点Q, QEF-PEF,LQFE-PFE, 1 1 ∴zQEF+∠QFE=PBF+2PFE=(PEF+∠PFE)=90°2m°-2n, 2Q=180°-QEF-4QFE=90°+m°+2n°， ∠Q是∠G的“4倍补充周角”， ∠Q+4∠G=360°， 44/51 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 90°+m°+2n°+42G=360, 2G=67.59gm°-8n: 1 如图，当点P在EF右侧时，过点P作PT I AB, A B C D PT II AB,CD I AB, ..CD II AB II PT, .∠EPT=180°∠AEP=180°-m°，∠FPT=180°-∠CFP=180°-n°， ∠EPF=∠EPT+∠FPT=360°-m°-n°， ∠PEF+∠PFE=180°-∠EPF=m°+n°-180°； LEFP和LFEP的角平分线交于点Q, LQEF =PEF,4QFE=4PFE LQEF+∠QFE=PEF+PFE=(PEF+∠PFE)=m°+°-90， 2Q=180°-QEF-QFB=270°7m-, ∠Q是∠G的“4倍补充周角”， ∴.∠Q+4∠G=360°， 1 1 270°2m°-2+4G=360, 1 1 z6=22.5°+gm°+gn: 综上所述，6=67.5言-宫或26=25+m+0 1 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，利用分类讨论 的思想求解是解题的关键， 7,已知直线AB II CD,点E,F分别在直线AB,CD上点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF,∠EFD=a, LPEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H. 45/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A B a 一D D -D 图1 备用图 (1)如图1，点P在射线EA上，0°<a<90°， ①当a=70°，∠PFC=50时，∠EHF=°： ②探究∠PEH,∠EHF,∠HFC之间的数量关系，并证明你的结论， (2)当90°<a<180时，请直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含a的式子表示)， 【答案】(1)①60，②LEHF=∠PEH+∠HFC,证明见解析 22∠EHP-LEPp=a或2∠BHP+∠EPP=a或∠BHF-EPp=180°0 【分析】(1)①先根据平行线的性质得到∠PEF=a=70°，再根据角平分线的定义求出 ∠AEH=35°，∠CFH=25°，过点H作HQ II AB,利用平行线的性质推出∠AEH=∠EHQ,LCFH=∠FHQ,由 ∠EHF=∠EHQ+∠FHQ即可解答；②同理①证明即可； (2)分点P在射线EA上，点P在射线EB上，且点H在直线AB上方，点P在射线EB上，且点H在直线AB下 方，三种情况讨论即可。 【详解】(1)①解：AB II CD,a=70°， ∴.∠PEF=a=70°， EH平分∠PEF,FH平分∠PFC,∠PFC=50°， LAEH=PEF=35CFH-PFC=25 过点H作HQ I AB,则HQ AB CD, P E H D ∴LAEH=∠EHQ=35°，∠CFH=LFHQ=25°， ∴∠EHF=∠EHQ+∠FHQ=60: ②∠EHF=∠PEH+∠HFC,证明如下： 证明：EH平分∠PEF,FH平分LPFC, 46/31 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 ∴2PEH=PEF,LHFC=PFC, 过点H作HQ I AB,则HQ AB I CD, P E A B C -D ∴LPEH=∠EHQ,∠HFC=∠FHQ, LEHF=∠EHQ+∠FHQ=∠PEH+∠HFC; (2)解：当点P在射线EA上时，如图， E H C -D F AB I CD, ∠PEF=a,∠EPF=∠PFC, EH平分∠PEF,FH平分∠PFC, 1 1 1 ∴LPEH=∠PEF=-a,∠HFC=LPFC, 2 LHFC=LEPF, 同理(1)②得∠EHF=∠PEH+∠HFC, 1 LEHF =a+EPF, 2LEHF-∠EPF=a; 当点P在射线EB上，且点H在直线AB上方时，如图，过点H作HQ II AB,则HQ IAB I CD, 47/57 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …2 E B -D F 则∠PEF=180°-∠EFD=180°-a, 同理，得AEH=之PEF=90a,∠HFC=PFC, HQ lI AB II CD, LAEF=∠EFD=a,∠FHQ=∠HFC,∠EHQ=∠AEH,∠EPF+∠PFC=180°， :FHQ=PFC,∠EHQ=90°2a,∠PFC=180°-∠EPF, 1 ∠EHF=∠FHQ-∠EHQ, EMF-(100-EPF)-(90-)--EPF, 2LEHF+∠EPF=a 当点P在射线EB上，且点H在直线AB下方时，如图，过点H作HQ AB,则HQ AB II CD, E P H Q D F 则∠PEF=180°-∠EFD=180°-a, ~EH平分PEF,FH平分∠PFC, PEH-PEF-90HFC-PFC, HQ II AB II CD, 2EHQ=∠PEH=90,∠FHQ=180-∠HFC,∠EPF+∠PpC=180, ∴☑FH0=180°2PFC=180°(180°-∠EPp=90°+EPp, ∠EHF=∠EHQ+∠FHQ, EHF=(90-)+(90+EPr)=180a+EPF, 4ǒ/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴LEHF-2EPF=180°a: 1 1 综上，LEPF与LEHF的数量关系为2∠EHF-∠EPF=a或2zEHF+∠EPF=a或∠EHF-之BPF=180~ 1 20 8.如图，已知AB ICD,M,N分别是直线AB,CD上一点，点E在直线AB,CD之间. A M A (D) H 图1 图2 图3 (1)如图1，探究LBME,∠DNE,∠MEN之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长NE交AB于点F,连接MN,恰有∠END=∠ENM,若LEMN=∠EMF,∠MEN的平分线与直 线CD交于点G,且∠MNG=∠HNG,求∠EGN的度数， (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点C和顶点D重合，且B、C、D、E位于同一直线上，将三角板 ABC,三角板CEF分别以每秒4°，每秒9°绕点A和点D顺时针旋转，三角板CEF运动20秒后立即以原速返回， 设运动时间为t(0<t≤40)，当AB II DER时求出t值 【答案】(1)∠MEN=∠BME+∠DNE,理由见解析 (2)15 e=18或2留骏智 【分析】(1)过点E作直线EF I AB,利用平行线的性质求解； (2)设∠EWD=∠ENM=x,则可得∠MNG=∠HNG=180°-2x,列方程求得 ∠END=∠ENM=∠MNG=60°，根据平行线的性质可得∠EMN=∠EMF=30°，再利用平行线的性质求得 ∠EGN即可； (3)分类讨论，画出图形，利用平行线的性质，逐一列方程求解即可. 【详解】(1)解：∠MEN=∠BME+∠DNE,证明如下： 如图，过点E作直线EF I AB, 49/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B E D 图1 EF AB, ∠BME=∠MEF, AB I CD, :EF II CD. ∠FEN=∠DNE, ∴∠MEN=∠MEF+∠FEN=∠BME+∠DNE; (2)解：设∠END=∠ENM=x, 则∠MNG=180°-2x, ,∠MNG=∠HNG, ∴.∠MNG=∠HNG=180°-2x, ~∠HNG=∠END(对顶角相等)， 180°-2x=x, 解得x=60, ·.∠END=∠ENM=∠MNG=60°， AB II CD, ∠FMN=∠MNG=60°， ∠EMN=∠EMF=FMN=30, 如图，过点E作EP II AB, A \M F B P-------- D H ∠MEP=∠EMF=30°， AB II CD, ..AB II CD II EP, ∠PEN=∠END=60°， 50/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴∠MEN=∠MEP+∠PEN=90°， ~∠MEN的平分线与直线CD交于点G, MEG=∠NEG=MEN=45, ∠PEG=∠MEG-∠MEP=15°， PE CD. ∠EGW=∠PEG=15 (3)解：如图，过点D作DP,过点A作AH W DP,过点D作DG⊥DP, H G 当0<t<20时，延长DE交AH于点Q, 根据题意可得∠EDG=9t,∠BAQ=4t, ∠QDP=9t-90, AH II PD, ∠MQD=∠QDP=9t-90°， AB II DE, ∠QAB=∠MQD=∠QDP, 可得9t-90=4t, 解得t=18; 当20≤t<22.5时，延长DE交AH于点Q1, G 此时∠EDG=360°-9t,∠BAQ1=4t, ÷∠Q1DP=270°-9t, 51/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AH I PD, ∠MQ1D=∠Q1DP=270°-9t, AB II DE, ∴∠Q1AB=∠MQ1D=∠Q1DP, 可得270°-9t=4t, 解得= 当22.5≤t<40时，延长ED交AH于点Q2, H M 0 D 此时∠EDG=360°-9t,∠BAQ2=4t, ∴∠MDQ2=∠EDG=360°-9t, ÷∠Q2DP=∠MDQ2+90°=450°-9t, AH II PD, ∠MQ2D=180°-∠Q2DP=9t-270°， AB II DE, 六∠Q2AB+∠MQ2D=180°， 可得9t-270°+4t=180°， 解得：=铝 综上，当ABBDEE时，t=18或器或智 9,已知AB II CD,点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG,NG, M B M A- G◇ >G 一D 图1 图2 (1)如图1，若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数； 52/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP,ND平分LGNP,且∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度 数 【答案】(1)90°； (2)90°. 【分析】(1)过G作GH AB,则GH AB I CD,所以∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN,然后通过垂直定义 与角度和差即可求解； (2)过G作GK IAB,过点P作PQ IIAB,设∠GND=a,则GK CD,所以LKGN=LGND=a,然后通过角 平分线定义与角度和差即可求解。 【详解】(1)解：如图，过G作GH IAB, M A G ------…H C D AB II CD, ..GH II AB II CD, ∴∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN, ~MG⊥NG, ∴.∠MGN=90°， .∠AMG+∠CNG=∠HGM+∠HGN=∠MGN=90° (2)解：如图，过G作GK IIAB,过点P作PQ IAB, M B 设∠GND=a, .GK II AB,AB II CD, ..GK I CD, .∠KGN=∠GND=a, .GK IAB,∠BMG=30°， ∠MGK=∠BMG=30°， 53/57 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠MGN=∠MGK+∠KGN=30°+a, MG平分∠BMP,ND平分LGNP, ∴.∠GMP=∠BMG=30°， .∠BMP=60°， PQ II AB, ∴LMPQ=∠BMP=60°， ND平分∠GNP, ∠DNP=∠GND=a, AB II CD,PQ WI AB, :.PQ II CD, ∴∠QPN=∠DNP=a, ∠MPN=∠MPQ-∠QPN=60°-a, ∴.∠MGN+∠MPN=30°+a+60°-a=90° 10.将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ IIMN,∠ACB=∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°. D P P E M B B 图1 图2 图3 (1)若三角板如图1摆放时，则∠α=_°，∠B=_°. (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作LPEA和LMBC 的角平分线交于点H,求LEHB的度数： (3)将(2)中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程 中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值. 【答案】(1)15,150 (2)135 (3)2或6或8 【分析】(1)如图1中，过点E作EJ I PQ,证明LDEA=a+∠BAC,可得结论： 54/51 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2中，同法可证∠EHB=∠PEH+∠MBH.利用角平分线的定义求出LPEH,∠MBH,可得结论； (3)分五种情形：如图3-1，当BC II DE时.如图3-2，当BC II EF时，如图3-3，当BC II DF时，如图3-4， 当AB II DF时，如图3-5中，当ABIDE时，分别求出∠MBA的度数. 【详解】(1)解：如图1中，过点E作EIPQ, P D E M B 图1 PQ II MN,PQ WI EJ, :.EJ II MN, ∠Qa=∠DE,∠JEA=LBAC=45°， .∠DEF=a+∠BAC, ,∠DEF=60°， ∠a=60°-45°=15°， ∠DFE=30°， β=180°-30°=150°： (2)解：如图2中，过H点作GH WPQ, PQ II MN, :.GH II MN, ∴∠EHG=∠PEH,∠BHG=∠MBH, ∴∠EHG+∠BHG=∠PEH+∠MBH, 即∠EHB=∠PEH+∠MBH, D E B 图2 PQ II MN, ∠QEA=∠BAC=45°， 53/31 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AEP=180°-45°=135°， ∠CBA=45°， .∠CBM=180°-45°=135°， HE,HB分别平分∠AEP,∠CBM, ÷∠PEH=PEA=67.5,∠MBH=CBM=67.5, ∴.∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°： (3)解：如图3-1，当BC I DE时， P E M A 图3-1 此时∠CAE=∠DFE=30°， 30 ∠BAM+∠BAC=∠MAE+∠CAE,∠BAM=∠MAE+∠CAE-∠BAC=45°+30°-45°=30°，t=iG=2 (秒)， t=2; 如图3-2，当BC II EF时， P E M 图3-2 此时∠BAE=∠ABC=45°， 90 六∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90，t=15=6(秒)， t=6; 如图3-3，当BC WI DF时， 56/57 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D P E Q ⊙ B M A 图3-3 此时，AC I DE,∠CAN=∠DEG=15°， 六∠BAM=LMAN-∠CAN-∠BAC=180°-15-45=120，t-=8(秒)， t=8, 满足条件的t的值为2或6或8. 57/57 专题04 平面内的两条直线的压轴题型 目录 1 类型一、平行线中的“拐点”模型 1 类型二、动态几何问题（动点与旋转） 9 类型三、角平分线与平行线的综合探究 21 32 类型一、平行线中的“拐点”模型 0. 常见图形： 两条平行线之间夹着折线，形成“M”形、“W”形或“ ”形。 0. 核心考点： 平行线的性质、角的和差倍分。 0. 解题通法（辅助线大法）： 0. 过拐点作平行线： 过每一个拐点作已知直线的平行线。 0. 利用性质转化： 利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”，将分散的角集中到一起。 0. 结论规律： 开口向左的角之和 = 开口向右的角之和（针对M型/W型）。 例1．如图1，是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，且． (1)求证：； (2)如图2，过点作直线，使，且直线与的平分线交于点，若，求的度数． 变式1-1．如图将一块含有的三角尺如图放置，点、分别在直线、上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，，能判断的有_____（填序号） 变式1-2．将一套三角板和如下图所示放置于线段与线段之间，，点L在上，点H在上，，，，． (1)如图1，点E在上，点I在上，则________； (2)如图2，将两个三角板进行如图调整，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，平分，平分，延长和交于点S，，求的度数． 变式1-3 如图，已知，点E在上，点H在上，点F在之间，连接． (1)如图1，若，求证． (2)如图2，平分，交于点G，且，求证． (3)如图3，平分，交的延长线于点M，且，求的度数．（不写过程，直接写出结果） 类型二、动态几何问题（动点与旋转） 常见形式： 动点问题： 点 在直线上运动，或者在平行线之间运动，问 、 、 之间的关系如何变化。 旋转问题： 一条直线绕着某点旋转，导致角度发生变化，求满足特定条件（如平行、垂直）时的旋转角度。 解题策略： 分类讨论： 动点可能在平行线内部，也可能在外部；旋转可能顺时针也可能逆时针。必须分情况画图。 设未知数： 设运动时间为 或旋转角为 ，用代数式表示角度，建立方程求解。 例2．如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 变式2-1．如图1，，被直线所截，点D在线段上，过点D作，过点B作． (1)求证：； (2)如图2，若，点P为直线上一动点（点P不与点B，D重合），过点P在直线的下方作线段，使得，． ①若，求的度数； ②若的平分线和的平分线交于点Q，其中，请用表示的度数． 变式2-2．如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 变式2-3．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 类型三、角平分线与平行线的综合探究 这类题目通常涉及复杂的角平分线网络，结合平行线判定。 常见形式： 已知 ， 和 的平分线相交于点 ，探究 与 、 的关系。 解题技巧： 设小角： 设角平分线分出的小角为 、 ，则大角为 、 。 构造模型： 依然通常需要通过“过拐点作平行线”来建立 与中间角的关系。 结论示例： 若两角平分线在平行线内部相交，往往有 或类似关系（具体视图形开口方向而定）。 例3．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点、、、在同一直线上，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则________，________． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为秒，请求出符合条件的值． 变式3-1．如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为________． 变式3-2如图，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，在直线上方平面内取一点，直线交于，使得和的角平分线交于点，求． (3)如图，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，直接写出的度数． 变式3-3．如图①所示，某江两岸的主道路上安装了两座可旋转射灯A、B，已知，，且．灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，已知灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． (1)填空：______． (2)如图②，如果灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在转动过程中，灯A光束与交于点，灯B光束与交于点，设灯A转动t秒． ①当时，则______，______（用含t的式子表示）． ②当灯A转动______秒时，两灯发出的光束第一次互相平行； 当灯A转动______秒时，两灯发出的光束第二次互相平行． (3)已知点G在直线上且在点A右侧，连接．如果两灯同时转动，在灯B光束到达之前，两灯光束交于点O，O恰好是与的角平分线交点，求的度数． 1．如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 2．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边，碰到上的点B后便反弹而滚向桌边，碰到上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为 ． 3．如图①所示，某江两岸的主道路上安装了两座可旋转射灯A、B，已知，，且．灯A发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，已知灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． (1)填空：______． (2)如图②，如果灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在转动过程中，灯A光束与交于点，灯B光束与交于点，设灯A转动t秒． ①当时，则______，______（用含t的式子表示）． ②当灯A转动______秒时，两灯发出的光束第一次互相平行； 当灯A转动______秒时，两灯发出的光束第二次互相平行． (3)已知点G在直线上且在点A右侧，连接．如果两灯同时转动，在灯B光束到达之前，两灯光束交于点O，O恰好是与的角平分线交点，求的度数． 4．如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 5．某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样．在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题． 为此，老师给出如下问题：如图①，，，交于点交于点．请判断与有怎样的数量关系． 如图②，明明同学通过在点处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，，反向延长的平分线，交直线于点，点在直线上，连接，若，求的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，，平分，且，，求的度数． 6．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的“倍补充周角”．例如，，则为的“6倍补充周角”． (1)若，则的“倍补充周角”的度数为_____°； (2)如图，在平面内，点为直线上一点，点为直线上一点．连接，； ①点、分别在线段、上（如图1）．若点在直线上方，先探究，，这三个角的数量关系．再求当是的“7倍补充周角”且时，的度数． ②如图，若点为平行线、之间一个动点，连接，和的角平分线交于点．若，，是的“4倍补充周角”，求的度数（用含和的代数式表示）． 7．已知直线，点E，F分别在直线上点P是直线上的动点（不与E重合），连接，，和的平分线所在直线交于点H． (1)如图1，点P在射线上，． ①当，时，______； ②探究之间的数量关系，并证明你的结论． (2)当时，请直接写出与的数量关系（用含α的式子表示）． 8．如图，已知，，分别是直线，上一点，点在直线，之间． (1)如图1，探究，，之间的数量关系（有证明过程） (2)如图2，延长交于点，连接，恰有，若，的平分线与直线交于点，且，求的度数． (3)把一副标准三角板如图放置，三角板顶点和顶点重合，且、、、位于同一直线上，将三角板，三角板分别以每秒，每秒绕点和点顺时针旋转，三角板运动20秒后立即以原速返回，设运动时间为，当时求出值． 9．已知，点分别是上两点，点在之间，连接，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，且，求的度数． 10．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则 ， ． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当的边与的一条边平行时，所需的时长为t秒,请求出符合条件t的值． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $