8.2 立方根-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 8.2 立方根 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 在上一节，我们通过研究平方的逆运算学习了平方根，本节来研究 立方的逆运算. 交思考 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 因为23=8，所以这个数可以是2.除2以外，任何一个数的立方都不 ☑易错提醒 等于8.因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2 任意一个数都有立方根， 般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那 并且只有一个，注意不要 么这个数x叫作a的立方根(cube root)或三次方根.例 到了高中，我 和平方根混淆。 如，2是8的立方根.求一个数的立方根的运算，叫作开 们将学习一般 立方：，开立方时，被开方裁可以是正数，负数或0 的开方运算。 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算 根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根 ?探究 根据立方根的意义填空： 可探究答案 因为13=1，所以1的立方根是()； 1:0.40.4:-2:-2；-2 因为( )3=0.064,所以0.064的立方根是() 因为( 20:0 )3=-8,所以-8的立方根是()； 因为( g所以日的立方根是( 因为( )3=0,所以0的立方根是( ) 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？0的立方 根是多少？ 9归纳 Dedcebedeeeedee8e888 你能说一说数的立 贝拓展提升 正数的立方根是正数，】一个非零数的立方 方根与数的平方根 开立方中的两个重要关 负数的立方根是负数，」根和被开方裁同号 有什么不同吗？ 系式： 0的立方根是0.，立方根等于它本身 概念不同、个裁 (1)-a=-a 的数是1,0，-1 不同、表示方法止 (2)(a)3=a=a. 不同、被开方髮 的范围不同 52 |中小学A教辅引领者 第八章实数 类似于平方根，一个数a的立方根记为 敲黑板多 ,a可以取任意裁 “a”,读作“三次根号a”,其中a是被开方数， √a实际上省略了a中 3是根指数.例如，8表示8的立方根，8=2： 的根指数2，因此√ā也可 区易错提醒 -8表示-8的立方根，-8=-2.ā中的根指 以读作“二次根号a”. a中的根指数3不能省 略，省略了会被误认成√a 数“3”不能省略 (a的算术平方根). 将所给的裁转化为一个 例12求下列各数的立方根：·麦的立方即可解决问题 (1)(-2)3; (2)343; (3)-64; e罗 方法点拔 解：(1)(-2)3的立方根是-2，即(-2)3=-2； 开立方与立方互为逆运 (2)因为73=343，所以343的立方根是7，即343=7； 算，根据这种互逆关系，可 以求一个数的立方根 (3)因为(-4)3=-64，所以-64的立方根是-4，即-64=-4： ④因为广罗所以空的立方根是即 √273 凸练习 1.判断题 一练习答泉 (1)-3是-27的立方根； (2)±3是27的立方根； L.(1)(3)正确.(2)(4) (3)(-1)3的立方根是-1： (4)8的立方根是-2. 错误 2.求下列各数的立方根： ·等于-2 2.(1)-1.(2)0.2 (3) 64 (1)-1; (2)0.008; 27 3.6cm. 3.如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为216cm3, (第3题) 它的棱长是多少？ 下面，我们探究互为相反数的两个数的立方根的关系 可探究 。探究答案 计算8和8，它们有什么关系？27和27呢？你能从 8=-8,互为相反数 中发现什么规律？ /27=--27,互为相 反数 规律：互为相反数的两个 般地，-a=-a 3 数的立方根也互为相 ·对于任意戴都成立，求负数的立方根时可以先求 反数 出这个负慧的绝对值的立方根，再取它的相反裁 中小学A教辅引领者|53 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国 例2求下列各式的值： (1)-512; (2)-9-0.001: (3)9-4 因方法点拨 解：(1)-512=-9512=-8： 用计算器求立方根的按键 顺序为：先按⑥键，再输入 (2)--0.001=0.001=0.1; 被开方数，最后按键. (3)-4=-④=-4. 在例1、例2中，我们是利用开立方与立方的关系求立方根的.实际 上，很多有理数的立方根（如2,3,4等）是无限不循环小数，我们可以 用有理数近似地表示它们， 些计算器设有@键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似 值).例如，用计算器求2197，只需依次按键⑥②①⑨⑦曰，显示：13，所 以2197=13.用计算器求3，只需依次按键G③曰，显示3的近似值： 1.442249570,所以3≈1.442. 有些计算器需要调用备用功能⊙求一个数的立方根，具体操作参见 计算器的使用说明， ·不同型号的计算器，按健顺序可能不同，使用时应以使用说明为主 一探究答案 探究 被开方数的小数点每向右 (或向左)移动三位，开立 用计算器计算…，0.000216,0.216,216,216000，…， 方后的结果的小数点向相 你能发现什么规律？用计算器计算100（结果保留小数点后三 同的方向移动一位。 由100≈4.642，得 位)，并利用你发现的规律求出0.1,90.0001,100000的近 0.T≈0.4642. 似值 3/0.0001=0.04642 /100000≈46.42. 凸练习 1.求下列各式的值： 一练习答案 (1)0.027: (2)(-7); 38 (3 27 1.(1)0.3.(2)-7. 号 2.用计算器求下列各式的值： (1)6859: (2)68921; 2.(1)19.(2)41. (3)0.304 (3)0.028092(结果保留小数点后三位) 3.(1)1.2(2)4.5.(3)8.9 3.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (4)-4,-3 (1)7; (2)99: (3)635: (4)3-28 54|中小学A1教辅引领者 第八章实数 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 正数的立方根是正数 性质 负数的立方根是负数 若x=a,则r叫作a的立方根 定义 0的立方根是0 立方根 a的立方根记为a 表示方法 求一个数的立方根的 。开立方 运算，叫作开立方 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照8.2立方根 一、立方根的概念及求法 (3)-1; (4)0.008. 1已知（石广=216则下列说法正确的 是() . 一是的立方根 1 6 B名是的立方根 6 3.求下列各式中x的值： 是2的立方 C.± 1 (1)x3=125; D6是名的立方根 2.重点题求下列各数的立方根： (2)27 (2)27x3-512=0: (1)1000; 125: (3)(x+2)3=64. 中小学A1教辅引领者|55 Q新学期对照学数学七年级下册 二、立方根的性质 8.若1-2x与3y-1互为相反数，且x≠0， 4.下列说法正确的是() A.一个数的平方根有两个，它们互为相反数 y≠0，求"的值. B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么 这个数是-1,0或1 5.若m<0,则m的立方根是() A.m B.-9m C.±m 9.已知5a-1的算术平方根是7，b-3的立方根 D.-m 6.下列计算正确的是() 是-2，c是/21的小数部分.求2a-4b+c-√/21 A.(-2)3=2 的平方根 B.-0.064=-0.4 C.-21=21 n-- 7.比较下列各组数的大小： (1)10与2： 10.在一个长、宽、高分别为8cm、4cm、2cm的 长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒 入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的 厚度忽略不计)，求正方体容器的棱长， (2)-42与-3.4. 56|中小学A1教辅引领者 第八章实数 三、用计算器求立方根 14.(1)填表： 11.若用计算器依次按键⑥①②⑤，则结果显示 a 0.001 1000 1000000 为( 1 10 A.5 B.3 a C.25 D.15 (2)由上表你发现了什么规律？用语言叙述 12.用计算器计算时按键顺序为©②⑤○⑥⑥④ 这个规律 的式子的结果为 (3)根据你发现的规律解答下列问题. 四、立方根的规律探究题 ①已知3≈1.442，求0.003的值； 13.(1)已知27=3,27000=30,0.027= ②已知0.000456≈0.07697，求456 0.3,求27000000的值； 的值， (2)已知64=4,64000=40,0.064= (4)用铁皮制作一个封闭的体积为0.125m3 0.4,求0.000064的值； 的正方体，最少要用多大面积的铁皮？ (3)从以上的结果可以看出：若被开方数的 小数点向左（或右）移动3位，则其立方根的 小数点向 移动 位： (4)已知源=a,求70和00的值 (用含a的式子表示) 中小学A1教辅引领者|57.√16<J18<√/25，.4<18<5 .这个大正方形的边长不是整数，它介于4 和5之间. 15.解：设兴趣小组给出的设计方案中生态园的 长与宽分别为2xm和xm. 根据边长与面积的关系，得2x·x=48, .x2=24 由边长的实际意义，得x=2√6， ∴.生态园的长与宽分别为4v6m和26m. 46>9, .兴趣小组给出的设计方案不符合要求 设智慧小组给出的设计方案中生态园的长 与宽分别为3ym和2ym. 根据边长与面积的关系，得 3y·2y=6y2=48, .y2=8. 由边长的实际意义，得y=√8=2√2， ∴.生态园的长与宽分别为6√2m和4√2m. 62<9, .智慧小组给出的设计方案符合要求。 篱笆的总长度为6√2+2×42=14√2(m). 8.2立方根 31-1 石是216的立方根 2.解：(1)因为103=1000， 所以1000的立方根是10，即1000=10. (②因为（号广忍 3273 所以的立方根是子，积 (3)因为(-1)3=-1， 所以-1的立方根是-1，即-1=-1. (4)因为0.23=0.008， 所以0.008的立方根是0.2，即0.008=0.2. 3.解：(1)因为53=125 所以125的立方根是5，即x=5. (2)因为27x3-512=0, 所以27x3=512,所以x=512 27 因为()广 所以号的立力根是即：一 (3)因为43=64，所以64的立方根是4， 所以x+2=4,所以x=2. 4.D负数没有平方根，0的立方根是0，故选项 A,B错误；任何实数都有立方根，故选项C错 误；立方根是它本身的数是-1,0,1，故选项D 正确。 5.A任意一个数m的立方根都可以记为m. 6.B 选项 分析 正误 A 3-2)=-2 × B 3-0.064=-0.4 3-21=-321 × D × W8-2 7.解：(1)(10)3=10,2=8,10>8，.310>2. (2)-342=42,1-3.41=3.4. .（42)3=42,3.43=39.304,42>39.304, .42>3.4,-342>1-3.41, 2 -42<-3.4. 8.解：因为91-2x与3y-1互为相反数，所以1- 2x与3y-1互为相反数，所以1-2x+3y-1=0, 即3y=2x. 又因为x≠0，y≠0， 所以七=3 9.解：.：5a-1的算术平方根是7，b-3的立方根 是-2， .5a-1=49,b-3=-8, 解得a=10,b=-5. c是√21的小数部分，且4<√21<5， ∴.c=√/21-4， .2a-4b+c-21=2×10-4×(-5)+√21-4- √21=36. 62=36,.36的平方根是±6， ∴.2a-4b+c-√21的平方根是±6. 10.解：因为将装满水的长方体容器中的水全部 倒入正方体容器中，恰好倒满， 所以它们的体积相等。 因为长方体容器的体积为8×4×2= 64(cm3), 所以正方体容器的体积为64cm3. 设正方体容器的棱长为xcm, 根据棱长与体积的关系，得x3=64. 解得x=64=4. 因此正方体容器的棱长为4cm. 11.A12.1 13.(1)解：已知27=3,27000=30,0.027= 0.3,则27000000=300. (2)解：已知64=4,64000=40,0.064= 0.4,则0.000064=0.04. (3)左（或右）；1. (4)解：因为x=a,所以1000x=10a, a W100010 14.解：(1)填表如下 0.001 1000 1000000 a 0.1 10 100 (2)被开方数的小数点每向右（或向左）移 动三位，它的立方根的小数点向右（或向 左)移动一位 (3)①.5≈1.442，.90.003≈0.1442. ②.：0.000456≈0.07697， .456≈7.697. (4)设正方体的棱长为am. 根据题意，得a3=0.125, ∴.a=0.5, .6a2=6×0.52=1.5. 答：最少要用1.5m2的铁皮 8.3实数及其简单运算 1.DA.0.1010010001是有理数，故此选项 不符合题意；B.无限小数中的循环小数能转 化为分数，故此选项不符合题意；C.无理数是 无限不循环小数，故此选项不符合题意；D.无 限不循环小数就是无理数，故此选项符合 题意 2D02626,石=016，是有限小数，不是无 理数；7=3，是整数，不是无理数：牙是无