7.2 平行线-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

12.B 选项 分析 正误 A 表示，点B到AC的垂线段 B 表示，点A到BC的垂线段 C 不能表示，点A到BC的垂线段 十 D 表示，点C到AB的垂线段 13.B根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则 汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短” 14.A当AM⊥BC时，AM最小，此时S=角形ABC B·AC=2BC·A,所以×6x8=× 10x4M,解得AM=4.8,即AM的最小值为4.8. 15.解：(1)如图，PC即为所求 B (2)如图，PH即为所求 (3)PH<PC,PC<OC.理由如下： 因为线段PH的长度是点P到直线OA的距 离，所以PH<PC; 因为线段PC的长度是点C到直线OB的距 离，所以PC<OC 16.解：按方案一铺设管道更节省材料.理由 如下： 因为CE⊥AB,DF⊥AB,且AB与CD不垂 直，所以根据“垂线段最短”，可知CE<CP, DF<DP,所以CE+DF<CP+DP,所以按方案 一铺设管道更节省材料. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 1.C直线a,b被直线c截，∠1与∠4在截 线c的同侧，且分别在直线a,b的同一侧，则 ∠1和∠4是同位角. 2.A 3.CC.观察∠1与∠2，它们的两边并非互为 反向延长线，不满足对顶角的定义，以∠1 与∠2不是对顶角，该选项说法错误， 4.解：(1)题图中直线AB,CD被直线EF所截， ∠1和∠7分别在直线AB,CD的外侧，且分 别在直线EF的两侧，故另一对外错角为∠1 和∠7. (2)因为∠1的外错角是∠7，且∠1的度数是 它的外错角度数的2倍，所以∠1=2∠7. 因为∠7=4∠2，∠1+∠2=180°， 所以2×4∠2+∠2=180°，解得∠2=20°， 所以∠7=4×20°=80°. 因为∠2+∠3=180°，∠6+∠7=180°， 所以∠3=180°-20°=160°，∠6=180°-80°=100° 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 1.D①笔直的马路上的斑马线，②笔直的火车 铁轨，③50m直跑道线，④长方形门框的上、 下边，都属于平行线，共4个 2.D 3.C不相交的线段，其延长线可能相交，故选 项A,B说法错误.在同一平面内，不重合的 两条直线的位置关系可能是平行或相交，垂 直是相交的一种特殊情况，故选项D说法 错误 4.D 5.解：(1)直线1，如图所示. (2)直线12如图所示 B 31 (3)直线1，与12相交形成的角有四个：∠1， ∠2，∠3，∠4.经测量∠0=40°，∠1=40， ∠2=140°，∠3=140°，∠4=40°，故∠1= ∠4=∠0，∠2+∠0=180°，∠3+∠0=180°， 所以直线1，与12相交形成的角与∠0相等或 互补. 6.B根据平行线的基本事实（平行公理）》 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行，以及基本事实的推论一如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行可知，说法①②错误，说法③④正确， 7.C根据题意可知，当∠MPB=∠PBA时，PM∥ AB;当∠NPA=∠PAB时，PN∥AB,故可以根 据“过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行”，确定点N,P,M在同一条直线上 8.解：由题意可知，AG∥CE,AG∥BH,CEDF,所 以AGBH∥CE∥DF,所以与AG平行的棱为 BH,CE,DF. 7.2.2平行线的判定 1.解：AB∥CD.理由如下： 如图，标记点H. A G 220 D H ·GF⊥EF, ∴.∠CFH=90°-∠2=90°-52°=38° ∴.∠EFD=∠CFH=38°. 又∠1=38°， .∠1=∠EFD, .AB∥CD. 2.解：AB∥CD.理由如下： ,GH⊥CD, .∴.∠CHG=90°. ∠2=30°， .∴.∠3=∠CHG-∠2=60°， ∴.∠4=∠3=60° ∠1=60°， .∠1=∠4， .AB∥CD. 3.解：BD平分ABC,∠1=25°， ∴.∠ABC=2∠1=50°. .∠2=50°， .∠ABC=∠2， .DE//BC. 4.解：BD;同位角相等，两直线平行；已知； 125°；125°；∠FBG:BF;同位角相等，两直线 平行 提示：.∠1=35°，∠2=35°（已知）， .∠1=∠2（等量代换）， ∴.AC∥BD(同位角相等，两直线平行). 又AC⊥AE(已知)， ∴.∠EAC=90°， ∴.∠EAB=∠EAC+∠1=125°（等式的性质）. 同理可得∠FBG=∠FBD+∠2=125°， .∠EAB=∠FBG(等量代换)， ∴.AE∥BF(同位角相等，两直线平行). 5.C①∠1=∠2，由“同位角相等，两直线平 行”能说明纸条两边互相平行；②∠5+∠3= 180°，∠5与∠3互为邻补角，无法说明纸条 两边互相平行；③∠2+∠3=90°，又∠2+∠4 =90°，故∠3=∠4，由“内错角相等，两直线平 行”能说明纸条两边互相平行；④∠4=∠1， 无法说明纸条两边互相平行.综上，①③一定 能说明纸条两边互相平行， 6.解：易知∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°， .∠5=180°-45°×2=90°，∠6=180°-45°× 2=90°， ∴.∠5=∠6， “.进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是 平行的 7.解：AB与CD平行.理由如下： .∠B=60°，∠C=120°， .∠B+∠C=180°， ∴.ABCD(同旁内角互补，两直线平行) 根据已知条件，无法判断AD与BC是否平行. 8.解：AB∥CD.理由如下： :BE平分∠ABD, .∴.∠ABD=2∠a. 'DE平分∠BDC, .∠BDC=2∠B, .∠ABD+∠BDC=2∠ax+2∠B=2(∠ax+∠B) 又∠+∠B=90°， .∴.∠ABD+∠BDC=180°， .AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)： 9.C①.∠3=∠4，.由“同位角相等，两直线 平行”，可得AD∥BC,符合题意；②.·∠3+∠5= 180°，∠4+∠5=180°，·.∠3=∠4，同①可得 ADBC,符合题意；③.·∠1=∠2，.AB∥CD, 无法得出AD∥BC,不符合题意；④.∠4+ ∠BCD=180°，∠D=∠4，∴.∠D+∠BCD= 180°，.由“同旁内角互补，两直线平行”，可 得AD∥BC,符合题意.综上，能推出AD∥BC 的条件为①②④， 10.解：∠1和∠3是内错角，∠1=∠3， .AB//CD .·∠1和∠CDE是对顶角， ∴.∠1=∠CDE. .∠1+∠2=180°，∴.∠CDE+∠2=180°， ∴.AC∥BD 11.解：AB∥CD.理由如下： 由题意可知∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°， ∴.∠ABC=180°-30°-30°=120°， ∠BCD=180°-60°-60°=60°， .∠ABC+∠BCD=180°， .AB∥CD. 12.解：(1)AD∥BC.理由如下： .AB⊥AC,.∠BAC=90° 又∠2=50°，.∠ACB=90°-50°=40° 又∠1=40°，.∠ACB=∠1，.AD∥BC (2)根据题中的条件不能判断AB与CD平 行，可添加一个条件：AC⊥CD(答案不唯 一)，使它们平行 AB⊥AC,∴.∠BAC=90° .AC⊥CD,.∠ACD=90°， ∴.∠BAC=∠ACD,.AB∥CD. 7.2.3平行线的性质 1.D如图，标示∠3.AB∥CD,∠2=75°， .∠3=∠2=75°，∴.∠1=180°-∠3=105. D 2.A.AC⊥AB,∴∠BAC=90°，∴.∠ABC= 180°-∠BAC-∠1=180°-90°-60°=30°.：a∥ b,∴.∠2=∠ABC=30° 3.解：.DC∥0B,∴.∠ADC=∠0=35° ∠ODE=∠ADC,∴.∠ODE=35°， .∴.∠CDE=180°-∠ADC-∠ODE=180°-35°- 35°=110， 4.解：DE∥BC.理由如下： .FG∥DC, .∠2=∠3. 又∠1=∠2， ∴.∠1=∠3， ∴.DE∥BC 5.解：由题意可知，ACEF∥BD, ∴.∠APE=∠CAP=45°，∠DBP=∠EPB, .∴.∠DBP=∠EPB=∠APB-∠APE=100°- 45°=55° 6.D.AB∥CD,∠ABC=137°，.∠BCD= ∠ABC=137°. 7.C.∠1=∠2=40°，∴.∠4=180°-∠1- ∠2=180°-40°-40°=100°..AB∥CD,∴.∠3= ∠4=100°. 8.C如图，标示点E,F 14 -B F3 D .AB∥CD,.∠BEF+∠EFD=180°，∠BEF= ∠3，∠4=∠EFD,∴，∠3+∠4=180°，故选项 C符合题意：由题意无法证明∠1=∠4，∠3= ∠4和∠2+∠3=180°. 9.解：如图，过点E作FE∥AB. .'ABCD,∴.FE∥ABCD, .∠FED+∠D=180°，∠FEB+∠B=180°. ∠D=120°，∠B=155°， .∠FED=180°-120°=60°， ∠FEB=180°-155°=25°， ∴.∠DEB=∠FED-∠FEB=60°-25°=35° F B C 10.解：如图，标示∠3. .纸板的对边互相平行，∴.∠3=∠1=a. ·光线是平行的，.∠2+∠3=180°， .∠2+a=180°， 即∠2=180°-a. 11.115°如图，延长AB交直线b于点E,标示 ∠5..∠2=∠3，.AB∥CD,∴.∠4+∠5= 180°.当a∥b时，∠5=∠1=65°，∴.∠4= 180°-∠5=180°-65°=115°. -a 2 54 E D 12.127°，∠2=∠3，∠3=∠EMF=80°， .CP∥NF,∠2=80°， .∴.∠C=∠DNF. ∠C=∠1， .∠DNF=∠1， .AB∥CD, .∴.∠DEF=∠CDE=47°， .∴.∠AEP=∠CEF=∠2+∠DEF=80°+ 47°=127°. 13.解：CD⊥AB于点E, ∴.∠AED=90°， .∴.∠A+∠EDA=90° .∠A+∠FBG=90°， ∴.∠EDA=∠FBG. .·CG∥AF, .∠C=∠EDA,∠F=∠FBG, ∴.∠C=∠F 14.解：.AB∥CD, ∴.∠B=∠C .∠B+∠CDE=180°， ∴.∠C+∠CDE=180°， ∴.BCDE, ∴.∠BFD=∠EDH. ,·∠AFC=∠BFD, ∴.∠AFC=∠EDH. 15.解：如图，标示点M,E,Q,设经过水平线且 与AB相交的光线为E0,则E0⊥AB,即 ∠B0E=90°. .∠E0M=62°， ∴.∠B0M=∠B0E-∠E0M=90°-62°=28°. 要使AB∥CD,需将电池板CD逆时针旋转 a°，此时∠MQD=∠B0M=28°，∴.a=48- 28=20. 水平线 620 48o 7.3定义、命题、定理 1.D2.B3.B 4.解：(1)如果一个图形是三角形，那么它的内 角和是180°.题设是“一个图形是三角形”， 结论是“它的内角和为180°”. (2)如果两个角是同一个角的余角，那么这 两个角相等.题设是“两个角是同一个角的余 角”，结论是“这两个角相等”。 (3)如果两条直线被第三条直线截得的内错 角相等，那么这两条直线平行.题设是“两条 直线被第三条直线截得的内错角相等”，结论 是“这两条直线平行”， 5.解：由题意知，符合条件的真命题有三个： (1)如果DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2= 180°，那么BF⊥AC; (2)如果DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,BF⊥AC, 那么∠1+∠2=180°； (3)如果DE⊥AC,∠1+∠2=180°，BF⊥AC, 那么∠AGF=∠ABC. 选择真命题(1)，证明过程如下： ·∠AGF=∠ABC, ∴.GF∥BC, ∴.∠1=∠CBF .·∠1+∠2=180°， ∴.∠CBF+∠2=180°， ∴.BF∥DE. ·DE⊥AC,BF∥DE, .∴.BF⊥AC 真命题(2)和(3)的证明略 6.C定理可以作为继续推理的依据，故选项C 符合题意 7.解：题图(1)：∠B=∠D. 题图(2)：∠B+∠D=180°. 证明如下： 如题图(1).：ABDE, ∴.∠B=∠EHC. 又BCDF,∴.∠EHC=∠D, ∴.∠B=∠D 如题图(2).，ABDE, ∴.∠B=∠DHC. 又BCDF ..∠DHC+∠D=180°， ∴.∠B+∠D=180°Q新学期对照学数学七年级下册 7.2 平行线 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 除相交外，平行也是直线之间的基本位置关系，本节我们将研究平 行线.与相交线类似，我们借助两条直线被第三条直线所截形成的角，研 究平行线的判定与性质， 7.2.1平行线的概念 交思考 利用三根木条构造两条直线被第三条直线所裁模型 如图7.2-1，将两根木条，b分别与木条c钉在一起，并把 它们想象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线.固定木条b 和c,转动木条a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在 可思考答案 c的右侧与直线b相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a 有直线a与直线b不相交 与直线b不相交的位置呢？ 的位置 1) 2) (3) 图7.2-1 ”前提条件 ☒易错提醒 可以发现，在木条a转动的过程中，存在直线a与b不相交的位置. 两条线段或射线平行是指 在同一平面内，当直线a,b不相交时，我们说直线a与b互相平行 这两条线段或射线所在的 (parallel),记作“a∥b”.在同一 直线平行. 平面内，不重合的两条直线只 有两种位置关系：相交与平行 在实际生活中，平行线随 处可见，例如农田中平行的田 垄、建筑物表面平行的栅格线 图7.2-2 (图7.2-2).你还能举出其他 例子吗？习操场上的双在、黑板相对的两条边等 14|中小学A1教辅引领者 第七章相交线与平行线 可以借助直尺和三角尺画平行线.如图7.2-3，保持直尺不动，沿直 敲黑板多 尺推动三角尺，分别画直线a,b,则a仍. 因方法点拨 过直线外一点画已知直线 的平行线的步骤： (1)落：把三角尺的一边 落在已知直线上，完全重 合.(2)靠：用直尺紧靠 图7.2-3 角尺的另一边，固定直尺 (3)推：沿着直尺推动三 交思考 角尺，使三角尺与已知直 在图7.2-1转动木条a的过程中，有几 C。 线重合的边过已知点 个位置使得直线a与b平行？ B。 (4)画：沿三角尺过已知 如图7.2-4，过点B画直线a的平行线， 点的边画直线，即为已知 图7.2-4 能画出几条？过点C呢？ 直线的平行线。 同思考答案 一般地，有如下关于平行线的基本事实： 个；一条：一条 前提条件 ·存在且雅一 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 由以上基本事实，可以进一步得到如下结论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行，→平行线具有传递性 也就是说：如果ba,c∥a,那么bc(图7.2-5). b 图7.2-5 。练习答案 凸练习 (1)如图①所示 如图，用直尺和三角尺画平行线： M-- (1)过点A画MNBC: (2)过点C画CE∥DA,与AB交于点E;过点C画CF∥DB,与AB的延长 线交于点F (2)如图②所示 (2 中小学A1教辅引领者|15 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板函 7.2.2平行线的判定 我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条 直线平行.但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所 以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行.那么，有没有其 他判定方法呢？ 可思考答亲 意思考 构造相等的同位角， 在如图7.2-3利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角 尺起着什么样的作用？ 网拓展提升 记图7.2-3中紧贴三角尺的直尺的边所在直 前面已经学过利用位置关 线为c,得到图7.2-6.可以看出，画互相平行的直 系判定两直线平行的方 线a和b,实际上就是分别画相等的∠1和∠2的 法：(1)平行线的定义 一条边，而∠1和∠2正是直线a,b被直线c截得 (2)平行线基本事实的推 的同位角.这说明，如果同位角∠1=∠2，那么 论（平行线的传递性）. 图7.2-6 a6. (3)在同一平面内，垂直 于同一条直线的两条直线 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的基本事实： 平行 判定方法1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行.前面讲的平行线的画法，应用的就是这种判定方法 简单说成：同位角相等，两直线平行. 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角. 由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来 判定两条直线平行呢？ 可探究 。探究答案 如图7.2-7，直线a,b被直线c所截. (1)∠1=∠2 (1)内错角∠1与∠2满足什么条件时，能 /2)∠1+∠3=180 得出a仍？想象把∠1挪到∠4的位置 (2)同旁内角∠1与∠3满足什么条件时， 能得出a仍？ 图7.2-7 如果∠1=∠2，由判定方法1，能得到a%,理由如下：因为∠1=∠2， 而∠2=∠4（为什么？），所以∠1=∠4，即同位角相等，从而a%. 对顶角相等 16|中小学A教辅引领者 第七章相交线与平行线 这样，就得到了利用内错角判定两条直线平 敲黑板多 行的方法： 遇到一个新问题时，常 判定方法2两条直线被第三条直线所截， 常把它转化为已知的 如果内错角相等，那么这两条直线平行 (或已解决的)问题 简单说成：内错角相等，两直线平行 区易错提醒 类似地，如果∠1与∠3互补，由判定方法1或判定方法2，能得到α仍 教材上的三种判定方法都 (为什么？)，这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法： 是建立在“三线八角”这 、判定方法1：∠1+∠3=180°，∠3+∠4=180°，∴.∠1=∠4，∴.a/%: 个基本图形之上的，都是 判定方法2：∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，.∠1=∠2，.a/% 根据角的相等或互补推得 判定方法3两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么 两条直线平行，是利用数 量关系判定两直线平行的 这两条直线平行 方法 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 例1在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条 直线平行吗？为什么？ b h2 a 图7.2-8 分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条 直线是否平行. 解：这两条直线平行.理由如下： 如图7.2-8， .b⊥a, ∴.∠1=90. 同理∠2=90° 此处符号“·”表示 ∴.∠1=∠2. “因为”，符号“” 又∠1和∠2是同位角， 表示“所以” .bc(同位角相等，两直线平行). 你还能利用其他方法说明b吗？ 还可以利用内酷角相等或同旁内角互补来说明b∥ 零练习答亲 凸练习 L.(1)AB∥CD.理由：同位 1.如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC的延长线上一点 角相等，两直线平行 (1)如果∠B=∠DCG,那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ (2)AD/BG.理由：内错角 (2)如果∠D=∠DCG,那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ 相等，两直线平行 中小学A教辅引领者|17 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 (3)如果∠D+∠DFE=180°，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？ 零练习答案 E 1.(3)AD∥EF理由：同旁 内角互补，两直线平行 2.同位角相等，两直线 2.如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？ 平行 3.∠3，∠4或∠5.理 由略 4.两条道路互相垂直的交 叉路口的平面示意图如 图(1)所示 3.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠2是直角，要 判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？ (1) 两条道路成45°角的交叉 钢轨 路口的平面示意图如 3 图(2)所示 45° 轨枕 4.如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出它的平面示意图（用 两条平行线段表示一条道路)吗？你能用类似的方法，画出两条道路 成45°角的交叉路口的平面示意图吗？ 7.2.3平行线的性质 列拓展提升 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两 平行线的判定和性质是直 条直线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有 线的位置关系和角的数量 什么关系呢？这就是下面要学习的平行线的性质 关系之间的相互转换 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被 第三条直线截得的同位角的关系. 181 中小学AI教辅引领者 第七章相交线与平行线 ?探究 敲黑板多 如图7.2-9，画两条平行线a%,然后 任意画一条截线c与这两条平行线相交， 21 。探究答案 度量所形成的八个角的度数 3V4 ∠1和∠5，∠2和∠6，∠3 在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？ 和∠7，∠4和∠8是同位 6h5 它们的度数有什么关系？由此猜想两条平 角.它们的度数分别相等 78 b 猜想两条平行线被第三条 行线被第三条直线截得的同位角有什么 图7.2-9 直线截得的同位角相等 关系 成立. 利用信息技术工具改变截线℃的位置，同样度量并比较各对 同位角的度数，你的猜想还成立吗？ 一般地，平行线具有性质： ·注意前提是“两条平行直线”，而不是“两条直线” 性质1两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 简单说成：两直线平行，同位角相等。 交思考 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相 等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三 条直线截得的内错角之间的关系吗？ 如图7.2-10，直线a%,c是截线.根据“两直线平 行，同位角相等”，可得∠1=∠2.而∠3和∠2互为对 02 顶角，所以L3=L2.所以∠3=∠1.这样就得到了平行a 39 线的另一个性质：对顶角相等 b 性质2两条平行直线被第三条直线所截，内错 图7.2-10 角相等 简单说成：两直线平行，内错角相等 类似地，由性质1或性质2，可以推出平行线关于同旁内角的性质 (请你自己完成推理过程)： 区易错提醒 .…a/b,.∠1=∠2. 只有当被截的两条直线平 .∠2+∠4=180°，∴，∠1+∠4=180 行时，才有同位角相等、内 性质3两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 错角相等、同旁内角互补 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 例2图7.2-11是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B= 115°，梯形的另外两个角∠D,∠C分别是多少度？ 中小学A1教辅引领者|19 Q新学期对照学数学七年级下册 敲黑板国多 解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据D “两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D 方法点拨 互补，∠B与∠C互补.于是 看到两直线平行时，应联 ∠D=180°-∠A=180°-100°=80°， 图7.2-11 想到平行线的三个性质， ∠C=180°-∠B=180°-115°=65°， 由两条直线平行的位置关 所以梯形的另外两个角∠D,∠C分别是80°，65. 系得到两个相关角的数量 关系，由角的数量关系求 凸练习 相应角的度数 同旁内角 1.如图，直线a%,∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？ 互为对顶角·同位角 可练习答某 1.54°，126°，549 2.(1)DE和BC平行. ·∠ADE=∠B=60°， .DE∥BC (2)∠C=40°..·DE∥BC ∠C=∠AED=40. (第1题) (第2题) (第3题) 3.①②3④. 2.如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°， ∠B=60°，∠AED=40°， (1)DE和BC平行吗？为什么？ (2)∠C是多少度？为什么？ 3.将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是 (填序号) 两条直线平行 ①∠1=∠2： ②∠4+∠5=180°； ③∠1+∠4=90°； ④∠4+90°=∠3. 前面我们学习了平行线的判定和性质，在解决问 题时，经常需要把它们结合起来使用. 例3如图7.2-12，已知直线a%,∠1=∠3，那么b 直线c与d平行吗？为什么？ ∠1和∠2是内借角， 图7.2-12 ∠2和∠3是同位角 分析：由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的同位角，所以如 果能推出∠2=∠3，就可以判断直线c和d是平行的.而已知∠1 =∠3，所以只需由直线a∥%，推出∠1=∠2 20中小学A1教辅引领者 第七章相交线与平行线 解：直线c与d平行.理由如下： 敲黑板多 如图7.2-12， ,a6, 见拓展提升 .∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） eecccccccccccecccce 你能用其他方 平行线的性质以“两直线 又∠1=∠3， 法判定直线c 平行”为条件，即由平行得 .∠2=∠3. 与d平行吗？ 到角相等或互补：平行线 ∴.c∥（同位角相等，两直线平行）. 的判定以“两直线平行” 还可以借助同旁内角互 为结论，即由角相等或互 补证明直线c与d平行 补得到两直线平行. 例4如图7.2-13，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于 4人3 多少度？ a ∠1和∠2是内错角，* ∠3和∠ABC是同位角 分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导 图7.2-13 ∠ABC与∠3的大小关系.而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥ b,从而可以得到∠ABC=∠3. 解：∠1=∠2， ∴.a仍（内错角相等，两直线平行） ∴.∠3=∠ABC(两直线平行，同位角相等). 又∠3=50°， ∴.∠ABC=50° 凸练习 1.如图，如果直线a∥b,∠1+∠2=180°，那么直线b和c平行吗？为 一练习答案 1.b∥c..·∠1+∠2=180 什么？ .ac.又ab..bc 2.BE∥CF..·AB∥CD .∠ABC=∠BCD 又∠1=∠2，∠EBC= ∠BCF,.BECF 2.如图，AB∥CD,且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？ E 中小学A1教辅引领者|21 Q新学期对照学数学七年级下册 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 ①平行线的定义 (不常用) ②平行线的基本事 实的推论 在同一平面内，当直 平行线 ③同位角相等，两 线a,b不相交时，我 的概念 判定方法 直线平行 们说直线a与b互相平行 ④内错角相等，两 直线平行 一 “落”；二“靠” 平行线 ⑤同旁内角互补， 三“推”；四“画” 两直线平行 的画法 ⑥在同一平面内，垂 平行线 过直线外一点 直于同一条直线的两 有且只有一条 平行线的基本事实 条直线平行 直线与这条直 (平行公理) 线平行 ①两直线平行，同 位角相等 如果两条直线都与第三 平行公理 条直线平行，那么这两 的推论 性质 ②两直线平行，内 条直线也互相平行 错角相等 ③两直线 旁内角互才 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 7.2.1 平行线的概念 一、平行线的概念 二、同一平面内两直线的位置关系 1.恒恒列举了生活中的几个例子：①笔直的马 3.下列说法正确的是( 路上的斑马线；②笔直的火车铁轨：③50m直 A.在同一平面内，不相交的两条线段是平 跑道线；④长方形门框的上、下边.其中，属于 行线 平行线的有( B.在同一平面内，两条线段不相交就平行 C.在同一平面内，没有公共点的两条直线是 A.1个 B.2个 平行线 C.3个 D.4个 D.在同一平面内，不重合的两条直线的位置 2.下列图形中，AB与CD不平行的是( 关系不是平行就是垂直 B D 4.重点题在同一平面内，平行、垂直和相交的 关系可以表示为( 0000000000000 垂直 平行人垂直 B 平行 相交 相交 A C A B B 平行 相交 相交 垂直) 平行 、垂直 D D 22|中小学A1教辅引领者 第七章相交线与平行线 三、平行线的画法 7.重点题一个可折叠的晾衣架如图(1)所示， 5.如图，在∠A0B内有一点P. 图(2)是其示意图，AB是地平线.当∠MPB= B ∠PBA时，PM∥AB;当∠NPA=∠PAB时，PN∥ AB.这样就可以确定点N,P,M在同一条直线 P 上，判断的依据是( A (1)过点P画直线L∥OA; (2)过点P画直线L,∥OB; (3)用量角器量一量，直线U与，相交形成 的角与∠0的大小有怎样的关系？ (1) (2 A.两点确定一条直线 B.内错角相等，两直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行 D.如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行 8.一长方体纸箱如图(1)所示，其抽象出来的示 意图如图(2)所示，写出示意图中与AG平行 的棱 (1 (2) 四、平行线的基本事实及其推论 6.在同一平面内，有下列说法：①一条直线的平 行线只有一条：②过一点与已知直线平行的 直线只有一条：③如果两条直线都与第三条 直线平行，那么这两条直线也互相平行；④过 直线外一点有且只有一条直线与这条直线平 行.其中，正确的说法有( )》 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 中小学A1教辅引领者|23 Q新学期对照学数学七年级下册 知识对照7.2.2 平行线的判定 一、同位角相等，两直线平行 3.重点题如图，BD平分∠ABC,若∠1=25°， 1.如图，已知直线EF与直线AB,CD分别相交 ∠2=50°.试说明DE∥BC. 于点E,F,GF⊥EF于点F.若∠1=38°，∠2= 52°，直线AB与CD平行吗？请说明理由. 2 A G D B 2.如图，已知直线AB,CD被直线EF所截，H为4.请根据下面的推理过程填空 CD与EF的交点，GH⊥CD于点H,∠2=30°， 如图，已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°，∠2 ∠1=60°，直线AB与CD平行吗？为什么？ 35°，则AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？ E E C D A B 2 D B G 入■ 解：.∠1=35°，∠2=35（已知）， .∠1=∠2（等量代换）， .AC∥ ( 又AC⊥AE( ), ∴.∠EAC=90°， .·.∠EAB=∠EAC+∠1= (等式的性 质) 同理可得∠FBG=∠FBD+∠2= ·.∠EAB= (等量代换)， .AE∥ 24|中小学A1教辅引领者 第七章相交线与平行线 二、内错角相等，两直线平行 三、同旁内角互补，两直线平行 5.将一个直角三角尺与纸条按如图示的方式7.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C= 放置，有下列条件：①∠1=∠2；②∠5+∠3= 120°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？ 180°：③∠2+∠3=90°：④∠4=∠1.其中， 定能说明纸条两边互相平行的是( A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①④ 6.重点题潜水艇下潜后，潜水艇内人员可以用 潜望镜来观察水面上的情况.其实它的原理 非常简单，如图，潜望镜中的两个平面镜与光 线的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1= ∠2，∠3=∠4.你能解释为什么进入潜望镜的 光线和离开潜望镜的光线是平行的吗？ 光 线8.如图，BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠a+ ∠B=90°，探究AB与CD是否平行？为什么？ A 4 中小学A1教辅引领者|25 Q新学期对照学数学七年级下册 四、平行线判定方法的综合运用 11.跨学科整合◆物理)如图，一束光线在两面垂 9.重点题如图，给出下列条件：①∠3=∠4： 直的玻璃墙内进行传播，路径为A→B→C→ ②∠3+∠5=180°：③∠1=∠2：④∠4+∠BCD= D.若∠1=30°，∠3=60°，直线AB与CD是 180°，且∠D=∠4.其中，能推出AD∥BC的条 否平行？为什么？ 件为( A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 10.一个落地书架如图(1)所示，其部分示意图 如图(2)所示.已知∠1=∠3，∠1+∠2= 180°，试说明AB与CD,AC与BD的位置 关系 12.中考新角度发散性试题)如图，AB⊥AC, ∠1=40°，∠2=50°. (1) (2 B2 (1)AD与BC平行吗？为什么？ (2)根据题中的条件，能判断AB与CD平行 吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一 个条件，使它们平行 26|中小学A1教辅引领者 第七章相交线与平行线 知识对照7.2.3 平行线的性质 一、两直线平行，同位角相等 4.如图，已知FG∥DC,∠1=∠2.直线DE与BC 1.某相框支架的实物图如图(1)所示，其示意图 平行吗？为什么？ 如图(2)所示，其中AB∥CD.若∠2=75°，则 ∠1的度数为( (1) (2) A.75° B.85° C.95° D.105° 2.如图，直线a∥b,AC⊥AB,AB,AC分别交直线 b于点B,C.若∠1=60°，则∠2的度数 是() A 二、两直线平行，内错角相等 5.真实任务情境抛物线形灯具)生活中常见的 一5 C 探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如 A.30° B.35 图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA, C.45 D.50° PB经反射以后沿着与EF平行的方向射出. 3.跨学科整合物理)根据光的反射定律知，入 若∠CAP=45°，∠APB=100°，求∠DBP的 射光线和平面镜的夹角等于反射光线和平面 度数. 镜的夹角.如图，笔直的墙面OB上E点处的 灯泡发出的一束光线照在平面镜OA上的D 点处，∠ADC=∠ODE,反射光线DC恰好和墙 面OB平行.若∠AOB=35°，求∠CDE的 度数 中小学A1教辅引领者|27 Q新学期对照学数学七年级下册 6.如图，街道AB与CD平行，若拐角∠ABC=9.重点题如图，AB∥CD,∠B=155°，∠D= 137°，则拐角∠BCD的度数为() 120°，求∠E的度数. D A B B A.43° D B.53° C.107° D.137° 7.跨学科整合物理)将两个平面镜按如图所示 的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光 线平行（即AB∥CD).若∠1=∠2=40°，则∠3 的度数为( D A.120° B.110° C.100° D.95° 10.真实任务情境平行光线如图，在一束平行 三、两直线平行，同旁内角互补 光线中插入一张对边互相平行的纸板，若 8.选材新风向吉他)吉他是一种弹拨乐器，通 ∠1=a,求∠2的度数 常有六条弦.弦与品柱（品柱是沿着琴颈嵌入 的金属条，它们将指板分成不同的音高区域) 相交，品柱与品柱互相平行（如图(1）)，其部 分示意图如图(2)所示，若AB∥CD,则下列结 论正确的是() 4 -B C (1) (2) A.∠1=∠4 B.∠3=∠4 C.∠3+∠4=180° D.∠2+∠3=180° 28丨中小学A1教辅引领者 第七章相交线与平行线 四、平行线的判定和性质的综合应用 14.如图，已知AB∥CD,射线AH交BC于点F, 11.重点题如图，∠2=∠3，∠1=65°，当a∥b 交CD于点D,从点D引一条射线DE.若 时，∠4的度数是 ∠B+∠CDE=180°，试说明∠AFC=∠EDH. R 9 4 D b 12.如图，已知点E,F在直线AB上，点N在线 段CD上，ED与FN交于点M.若∠C=∠1， ∠2=∠3，∠CDE=47°，∠EMF=80°，则 ∠AEP= D F M 15.真实任务情境太阳能电池板)为响应国家新 13.如图，CG∥AF,点B在CG上，CD⊥AB于点 能源建设，某市公交站亭装上了太阳能电池 E,交AF于点D.若∠A+∠FBG=90°，试说 板.该市某一季节的太阳光（平行光线）与水 明∠C=∠F. 平线最大夹角为62°，如图，电池板AB与最 G 大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板 CD与水平线夹角为48°，要使AB∥CD,需将 电池板CD逆时针旋转a°(0°<a°<90)，求 a的值. 水平线 62 48o B D 中小学A1教辅引领者|29