7.3 定义、命题、定理-【新学期对照学】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

Q新学期对照学数学七年级下册 7.3 定义、命题、定理 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的 描述.例如： (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴： (2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解： (3)从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作 这个角的平分线； (4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 这样的描述称为数学对象的定义(definition).一个数学对象的定义 揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断： 例如，“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和 单位长度：根据方程的解的定义，可以判断x= 2是方程2x=3的解 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如： 区易错提醒 (1)等式两边加同一个数，结果仍相等； 一个词语、疑问句、感 (1)命题通常是陈述句， 叹句、祈使句及表示画 (2)对顶角相等； 图的语句都不是命题 是对某件事情作出肯定或 (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 否定判断的句子 (4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补： (2)说明一个命题是真命 (5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. 题，需要从已知出发，经过 一步步推理，最后得出正 容易判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的，像这样可以 确的结论. 判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题(proposition).被 判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作 假命题， 数学中的命题常可以写成“如果…那么…”的形式，这时“如果” 后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.例如，在上面的命题(3) 中，“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行” 是结论 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它 们写成“如果…那么…”的形式.例如，命题“对顶角相等”可以写成 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， 由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样 的命题就是正确的：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题 就是错误的.例如，命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的！ 命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”是错误的. 301 中小学AI教辅引领者 第七章相交线与平行线 凸练习 敲黑板多 1.举出一些学过的定义的例子 2.举出一些学过的真命题的例子 零练习答案 3.指出下列命题的题设和结论： 1,略 (1)若a=b,则5a=5b: 2.略 (2)如果AB⊥CD,垂足为0，那么∠AOC=90°： 3.(1)题设：a=b. (3)如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3； 结论：5a=5b. (4)两直线平行，同位角相等 (2)题设：AB⊥CD,垂足为 0.结论：∠AOC=90° 在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题 (3)题设：∠1=∠2，∠2= 是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线 ∠3.结论：∠1=∠3 与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直 (4)题设：两直线平行.结 线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理 论：它们被第三条直线截 (theorem).定理也可以作为继续推理的依据。定理是真命题，但真， 得的同位角相等 命题不一定是定理 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这 个推理过程叫作证明(proof).下面以证明命题“在同一平面内，如果一条 直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明 什么是证明.推理和证明是有区别的，推理是证明过程的组成部分 例如图7.3-1，已知直线a⊥b,b/c,求证a⊥c. 6 证明：，a⊥b(已知)， .∠1=90°（垂直的定义）. h1 bc(已知)， 一练习答案 .∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. 图7.3-1 1.同旁内角互补，两直线 “.∠2=90°（等式的基本事实）. 平行：两直线平行，同旁内 .a⊥c(垂直的定义). 角互补 由例题可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然” 2.命题“同位角相等”是 这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等 错误的.例如，下图中的 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例）， A ∠1和∠2是直线a,6被 它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 直线c截得的同位角，但 例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，可0 2 它们不相等 以举出如下反例：在图7.3-2中，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角. B 凸练习 图7.3-2 1.在下面的括号内，填上推理的依据. D 如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180. 证明：.∠A+∠B=180°， ∴.ADBC( (第1题) ∴.∠C+∠D=180°( 2.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出 反例. 中小学A1教辅引领者|31 Q新学期对照学数学七年级下册 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 0定义 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清 晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义 定义、命 定义一可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句 0命题 题、定理 分类一真命题和假命题一判断一个命题是假命题 只要举出一个反例即可 定理 经过推理证实得到的真命题叫作定理，定理也可以 作为继续推理的依据 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照7.3 定义、命题、定理 一、定义 (2)同角的余角相等： 1.下列属于定义的是( (3)内错角相等，两直线平行. A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等 C.等角的补角相等 D.方程的解指的是使方程左、右两边的值相 等的未知数的值 二、命题 2.下列语句是命题的是( A.今天星期几？ 5.重点题如图，已知点G,D,F分别在AB,BC B.相等的角是对顶角 和AC上，DE⊥AC于点E.给出下面三个条 C.在直线AB上任取一点C 件：①∠AGF=∠ABC:②∠1+∠2=180°： D.过点A作直线BC的垂线 ③BF⊥AC.请你在以上三个条件中选两个作 3.下列命题是真命题的是( 为已知条件，另一个作为结论，写出所有的真 A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 命题，并任选其中一个真命题进行证明 B.如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线也互相平行 C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D.两点之间，垂线段最短 4.将下列命题改写成“如果…那么…”的形 式，并分别指出命题的题设与结论： (1)三角形的内角和是180°： 32|中小学AI教辅引领者 第七章相交线与平行线 三、定理与证明 四、命题与证明 6.下列说法不正确的是() 8.如图，已知D,E,F分别是线段AC,AB,BC上 A.在很多情况下，一个命题的正确性需要经 的点，DF∥AB,∠DFE=∠A. 过推理才能作出判断，这个推理过程叫作 证明 B.可以判断为正确（或真）或错误（或假）的 B 陈述语句，叫作命题 (1)求证：∠EFB=∠C; C.定理不能作为继续推理的依据 (2)若把原题设中“DF∥AB”与结论“∠EFB= D.要判断一个命题是假命题只要举出一个反 ∠C”互换，所得命题是真命题吗？请说明 例即可 理由。 7.如图，∠B与∠D的两边分别平行，即AB∥ DE,BC∥DF,BC与ED交于点H.分别猜想 图(1)、图(2)中∠B与∠D的大小关系，并给 予证明， B H (2) 9.中考新角度发散性试题)如图，已知点E,F 分别在线段AB,CD上，连接EC,BF,分别交 AD于点G,H.有以下三个条件：①∠1=∠2； ②∠B=∠C:③AB∥CD (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为 结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真 命题还是假命题： (2)任选(1)中的一个真命题加以证明. 中小学A1教辅引领者|33.·CG∥AF, .∠C=∠EDA,∠F=∠FBG, ∴.∠C=∠F 14.解：.AB∥CD, ∴.∠B=∠C .∠B+∠CDE=180°， ∴.∠C+∠CDE=180°， ∴.BCDE, ∴.∠BFD=∠EDH. ,·∠AFC=∠BFD, ∴.∠AFC=∠EDH. 15.解：如图，标示点M,E,Q,设经过水平线且 与AB相交的光线为E0,则E0⊥AB,即 ∠B0E=90°. .∠E0M=62°， ∴.∠B0M=∠B0E-∠E0M=90°-62°=28°. 要使AB∥CD,需将电池板CD逆时针旋转 a°，此时∠MQD=∠B0M=28°，∴.a=48- 28=20. 水平线 620 48o 7.3定义、命题、定理 1.D2.B3.B 4.解：(1)如果一个图形是三角形，那么它的内 角和是180°.题设是“一个图形是三角形”， 结论是“它的内角和为180°”. (2)如果两个角是同一个角的余角，那么这 两个角相等.题设是“两个角是同一个角的余 角”，结论是“这两个角相等”。 (3)如果两条直线被第三条直线截得的内错 角相等，那么这两条直线平行.题设是“两条 直线被第三条直线截得的内错角相等”，结论 是“这两条直线平行”， 5.解：由题意知，符合条件的真命题有三个： (1)如果DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2= 180°，那么BF⊥AC; (2)如果DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,BF⊥AC, 那么∠1+∠2=180°； (3)如果DE⊥AC,∠1+∠2=180°，BF⊥AC, 那么∠AGF=∠ABC. 选择真命题(1)，证明过程如下： ·∠AGF=∠ABC, ∴.GF∥BC, ∴.∠1=∠CBF .·∠1+∠2=180°， ∴.∠CBF+∠2=180°， ∴.BF∥DE. ·DE⊥AC,BF∥DE, .∴.BF⊥AC 真命题(2)和(3)的证明略 6.C定理可以作为继续推理的依据，故选项C 符合题意 7.解：题图(1)：∠B=∠D. 题图(2)：∠B+∠D=180°. 证明如下： 如题图(1).：ABDE, ∴.∠B=∠EHC. 又BCDF,∴.∠EHC=∠D, ∴.∠B=∠D 如题图(2).，ABDE, ∴.∠B=∠DHC. 又BCDF ..∠DHC+∠D=180°， ∴.∠B+∠D=180° 8.（1)证明：，DF∥AB, ∴.∠CDF=∠A. .∠DFE=∠A,∴.∠CDF=∠DFE, ∴.EF∥AC,∴.∠EFB=∠C. (2)解：所得命题是真命题.理由如下： ∠EFB=∠C,∴.EF∥AC, .∠DFE=∠CDF .∠DFE=∠A,∴.∠A=∠CDF, .DF∥AB. 9.(1)解：选择①②为题设，③为结论，命题为 若∠1=∠2，∠B=∠C,则AB∥CD.该命题是 真命题 选择①③为题设，②为结论，命题为若∠1= ∠2，AB∥CD,则∠B=∠C.该命题是真命题 选择②③为题设，①为结论，命题为若∠B ∠C,AB∥CD,则∠1=∠2.该命题是真命题. (2)选择①②为题设，③为结论.证明如下： :∠1=∠2，∠1=∠CGD, .∴.∠2=∠CGD, .CE∥BF,∴.∠C=∠BFD. .∠B=∠C, .∴.∠B=∠BFD, .AB∥CD. 或选择①③为题设，②为结论.证明如下： .∠1=∠2，∠1=∠CGD, .∴.∠2=∠CGD, .CE//BF, ∴.∠C=∠BFD. .AB∥CD, .∠B=∠BFD, ∠B=∠C 或选择②③为题设，①为结论.证明如下： :AB∥CD,∴.∠B=∠BFD. ∠B=∠C, .∠C=∠BFD, .CE//BF. ∴.∠2=∠CGD. 又∠1=∠CGD, .∴.∠1=∠2. 7.4平移 1.B2.D 3.C由“在平面内，将一个图形按某一方向移 动一定的距离，这样的图形运动叫作平移”可 知，只有选项C中的甲骨文能用平移来分析 其形成过程 4.C由平移只改变图形的位置，不改变图形的 形状和大小可知，四个选项中只有选项C中 的图案符合题意。 5.C由题意可知，AB=DE,∴.AB-AE=DE-AE, 即BE=AD.BD=10,DE=7,∴.BE=AD=BD- DE=10-7=3,∴.AE=DE-AD=7-3=4. 6.B,四边形ABCD是长方形，AB=140m, BC=90m,∴.小路的总长约为140+90×2= 320(m). 7.D由题图可知，甲种图形所用铁丝的长度为 2a+2b,乙种图形所用铁丝的长度为2a+2b, 丙种图形所用铁丝的长度为2a+2b,故三种 图形所用铁丝一样长. 8.C由题意得，购买地毯的面积至少是(3+6)× 2=18(m2). 9.B:将长方形ABCD先向右平移2个单位 长度，再向上平移2个单位长度，长方形 ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分的长为 9-2=7(cm),宽为6-2=4(cm),则阴影部分 的面积是9×6-7×4=26(cm2). 10.解：.·将三角形ABC沿BC方向平移acm