4.3.2 第2课时 直线与平面垂直的判定-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直的判定”核心知识点，先通过定义明确直线与平面垂直需与平面内所有直线垂直，辨析“所有直线”与“无数条直线”的区别，再结合判定定理（线垂直于平面内两条相交直线则线面垂直），构建从概念理解到推理应用的学习支架。 该资料突出核心素养培养，通过判断正误、例题变式（如四棱锥中证明线面垂直及变条件练习）等设计，发展数学抽象（定义辨析）、逻辑推理（定理应用）和直观想象（翻折问题）。课中助力教师引导学生层层推理，课后学生可通过习题和探究点巩固，有效查漏补缺。

第2课时　直线与平面垂直的判定 学习目标 1.了解直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用判定定理判定线面垂直，发展数学抽象、逻辑推理和直观想象核心素养. 知识点一　直线与平面垂直 1.定义：如果直线l与平面α相交，并且与平面α内的所有直线都垂直，那么就称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. 2.概念 垂线 直线l叫作平面α的垂线 垂面 平面α叫作直线l的垂面 垂足 直线与平面的交点 3.性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. [点拨]　定义中的“所有直线”与“任意一条直线”是同义语，不同于“无数条直线”，定义的实质就是直线和平面内所有直线都垂直，另外根据线面垂直的定义知道如果直线与平面垂直，那么该直线一定垂直于平面内的任意一条直线，符号语言：l⊥α，a⊂α⇒l⊥a. 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 [点拨]　若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直.(　　) (2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线一定不与这个平面垂直.(　　) (3)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2.已知平面α及α外一条直线l，给出下列说法： ①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α； ②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α； ③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α； ④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α. 其中正确说法的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确. 3.如图，在四棱锥P􀆼ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为　　　　. 答案：4 解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.同理得CD⊥PD. 故共有4个直角三角形. 4.有下列四种说法，正确的序号是　　　　. ①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α. 答案：① 解析：①正确；对于②，若直线n⊂α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，注意a，b需相交；④显然错误，因为不平行即相交，而垂直只是相交的一种特殊情况，故只有①正确. 学生用书⬇第106页 探究点一　直线与平面垂直定义的理解 (多选)下列四个命题中，其中正确的是(　　) A.若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 答案：CD 解析：l与平面α内的所有直线都垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确.故选CD. 直线与平面垂直定义的理解 1.直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直； 2.“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义.但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样. 对点练1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是　　　　.(填序号) 答案：①③④ 解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件. 探究点二　直线与平面垂直的判定 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F. (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD. 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC. 又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC. 又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF. (2)由(1)知，PC⊥平面AEF， 又AG⊂平面AEF， 所以PC⊥AG， 同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG. 又PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD. 所以AG⊥PD. 线线垂直和线面垂直的相互转化 对点练2.(变条件)在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH. 证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 又PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA. 因为PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 又FH⊂平面PAC， 所以BD⊥FH. 对点练3.(变条件)若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG. 证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， 所以DC⊥PA， 又因为ABCD是矩形， 所以DC⊥AD. 又PA∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD. 又AG⊂平面PAD， 所以AG⊥DC. 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD. 又DC∩PD＝D， 所以AG⊥平面PCD. 所以PC⊥AG. 又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A， 所以PC⊥平面AFG. 对点练4.(变条件)将本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD. 证明：取PD的中点G，连接AG，FG(图略). 因为G，F分别是PD，PC的中点， 所以GF∥CD，又AE∥CD， 所以GF∥AE. 所以四边形AEFG是平行四边形. 所以AG∥EF. 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD， 所以EF⊥PD， 易知CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，所以EF⊥CD. 因为PD∩CD＝D， 所以EF⊥平面PCD. 学生用书⬇第107页 1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是(　　) A.若l⊥α，l∥m，则m⊥α B.若l∥α，m⊂α，则l∥m C.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α D.若l∥α，m∥α，则l∥m 答案：A 解析：易知A正确.对于B，l与m可能异面，也可能平行.对于C，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.对于D，l与m可能平行、异面或相交. 2.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 答案：C 解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥菱形ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C. 3.如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(　　) A.150° B.135° C.90° D.60° 答案：C 解析：依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α， 所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°. 故选C. 4.如图，AB为☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 证明：(1)因为AB为☉O的直径， 所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM. (2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ. 学科网（北京）股份有限公司 $