4.3.2 第3课时 直线与平面垂直的性质、距离及所成的角-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

本高中数学讲义聚焦直线与平面垂直的性质定理、距离及所成的角，以性质定理（垂直于同一平面的两直线平行）为基础，延伸至点到平面、直线到平面的距离（转化为垂线段长度），再到直线与平面所成角（斜线与射影夹角），构建递进式学习支架。 资料通过正方体、正四面体等实例设计探究点与对点练，结合判断、计算等题型，培养数学抽象、直观想象与数学运算核心素养。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后练习题帮助学生强化应用，查漏补缺，提升空间几何问题解决能力。

第3课时　直线与平面垂直的性质、距离及所成的角 学习目标 1.通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理证明一些简单的空间线面关系的问题，培养数学抽象核心素养，发展逻辑推理核心素养. 2.理解点到平面的距离及直线与平面的距离，直线与平面所成角的概念，并会求相关的距离及直线与平面所成的角，培养数学直观想象与数学运算核心素养. 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行，②作平行线 [点拨]　(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论； (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)； (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. 知识点二　距离 1.点与平面的距离：过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称垂线段SA的长度为点S到平面ABC的距离. 学生用书⬇第108页 2.直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线与这个平面的距离. [点拨]　由直线到平面的距离的定义知，可以转化为点到平面的距离，注意前提必须说明直线与平面平行. 知识点三　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，则直线l叫作这个平面α的一条斜线 斜足 斜线l和平面α的交点A叫作斜足 射影 过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线l在平面α上的射影 直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在该平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0° 取值 范围 [点拨]　(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的； (2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(　　) (2)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°.(　　) (3)直线上任意一点到这个平面的距离，就是这条直线到这个平面的距离.(　　) (4)如果直线l与平面α所成的角为60°，且m⊂α，则直线l与m所成的角也是60°.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　) A.b∥α B.b⊂α C.b⊥α D.b与α相交 答案：C 解析：由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.故选C. 3.如图，在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，对角线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：如图，连接AC，由题知AA1⊥平面ABCD，且A1C∩AA1＝A1，所以∠A1CA为A1C与平面ABCD所成的角.设正方体的边长为a，则A1C＝a.在Rt△A1AC中，sin ∠A1CA＝＝.故选D. 4.已知正方体ABCD􀆼A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为　　　　. 答案： 解析：由于E是BB1的中点，故点B1到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离，如图，过B作BF⊥AE于点F，由于BF⊥AD，AD∩AE＝A，故BF⊥平面ADE.在直角三角形ABE中，AB＝1，BE＝，AE＝，所以·AB·BE＝·AE·BF，解得BF＝，即点B1到平面ADE的距离为. 探究点一　直线与平面垂直的性质应用 如图所示，在正方体ABCD􀆼A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D. 又CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC. 又MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 学生用书⬇第109页 证明线线平行的方法 1.利用线线平行的定义，证共面且无公共点； 2.利用基本事实4，证两直线同时平行于第三条直线； 3.利用线面平行的性质定理，把证线线平行转化为证线面平行； 4.利用线面垂直的性质定理，把证线线平行转化为证线面垂直. 对点练1.如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG. 证明：因为AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A， 所以AD⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC， 所以AD⊥BC. 连接DE(图略)，又AE⊥BC，AD∩AE＝A， 所以BC⊥平面ADE. 因为D为FG的中点，AF＝AG，EF＝EG， 所以FG⊥AD，FG⊥DE. 又AD∩DE＝D， 所以FG⊥平面ADE， 所以BC∥FG. 探究点二　点到平面的距离 (1)正四面体A-BCD的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离是(　　) A. B. C. D.a (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，则点M到平面A1B1D的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)如图，在正四面体A-BCD中，△ABD，△ACD均为正三角形，所以BE⊥AD，CE⊥AD.因为BE∩CE＝E，所以AD⊥平面BCE，则DE的长即为所求，DE＝＝，故选B. (2)取D1D的中点N，连接MN. 由题意知，MN∥A1B1. 因为A1B1⊂平面A1B1D，MN⊄平面A1B1D， 所以MN∥平面A1B1D， 过点N作NP⊥A1D交A1D于点P. 因为B1A1⊥平面A1ADD1， NP⊂平面A1ADD1， 所以A1B1⊥NP，又因为A1D∩A1B1＝A1， 所以NP⊥平面A1B1D，则NP的长即为所求.因为ND＝，所以NP＝，故选A. 求点到平面的距离的两种方法 1.直接法：直接法求点到平面的距离是根据点到平面距离的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段的长度而求得点到平面的距离. 2.转化法：有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时利用转化法将点到平面的距离转化为另一点到平面的距离. 对点练2.如图，已知ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b，PA⊥平面ABCD，PA＝2c，Q是PA的中点，连接QB，QD，BD.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离. 解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足，连接QE，因为QA⊥平面ABCD，所以QA⊥BD，又AE∩QA＝A，所以BD⊥平面AEQ，得QE⊥BD，所以QE的长为Q到BD的距离. 在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，所以AE＝. 在Rt△QAE中，QA＝PA＝c， 所以QE＝＝ . 所以Q到BD的距离为 . (2)因为平面BQD经过PA的中点Q， 所以P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离.在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足.因为BD⊥AE，BD⊥QE，且AE∩QE＝E，所以BD⊥平面AQE.所以BD⊥AH，又BD∩QE＝E，所以AH⊥平面BQD，即AH为A到平面BQD的距离. 在Rt△AQE中，因为AQ＝c，AE＝， 所以AH＝. 所以P到平面BQD的距离为. 探究点三　直线与平面所成的角 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值. 解：由题意知A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC. 所以MC在平面CAB内的射影为AC. 所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角. 又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°， 所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝. 在Rt△MAB中，MA＝＝＝3. 在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝＝＝. 即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为. 学生用书⬇第110页 求直线与平面所成的角的步骤 对点练3.自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫作棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录.现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥PO模型，经测量底面圆O的直径AB＝48 cm，母线AP＝30 cm，若点C在上，且∠CAB＝， D为AC的中点. (1)证明：BC∥平面POD； (2)求直线AP与平面POD所成角的正弦值. 解：(1)证明：如图连接BC， 因为AB为底面圆O的直径，所以O为AB的中点， 因为点D为AC的中点，所以OD∥BC， 因为OD⊂平面POD，BC⊄平面POD，所以BC∥平面POD. (2)因为AB为底面圆O的直径，所以BC⊥AC， 又OD∥BC，则AC⊥OD， 又PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC， 而OD∩PO＝O，且PO，OD⊂平面POD，所以AC⊥平面POD，即AD⊥平面POD， 所以∠APD是直线AP与平面POD所成角的平面角， 因为AB＝48 cm，AP＝30 cm，∠CAB＝， 所以AD＝AC＝ABcos＝12， 所以在Rt△PAD中，sin∠APD＝＝＝， 所以直线AP与平面POD所成角的正弦值为. 1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于(　　) A.AD B.CD C.PC D.PD 答案：B 解析：连接AC，BD交于点O.连接NO，MO(图略). 因为四边形ABCD为矩形， 所以AO＝OC. 因为N，O分别为PC，AC的中点， 所以NO∥PA. 因为PA⊥矩形ABCD，所以NO⊥平面ABCD. 又因为CD⊂平面ABCD， 所以NO⊥CD. 又因为M，O分别为AB，AC的中点，所以MO⊥CD. 又NO∩MO＝O，所以CD⊥平面MNO， 所以CD⊥MN.故选B. 2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB上的点，且AB＝4EB，则直线C1E与平面ADD1A1所成的角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，连接BC1，因为EB⊥平面BB1C1C，所以∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4a，则EB＝a，BC1＝4a，所以tan∠EC1B＝＝＝，即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为. 3.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为　　　　. 答案： 解析：因为SA⊥底面ABC，AB，BC⊂平面ABC， 所以SA⊥BC，SA⊥AB， 又因为∠ABC＝90°，且AB∩SA＝A， 所以BC⊥平面SAB. 在平面SAB中，作DE⊥SB，故BC⊥DE，又因为SB∩BC＝B， 所以DE⊥平面SBC，DE即为所求. 由△BDE∽△BSA，SA＝4，AB＝3， D为AB的中点，得： ＝，即＝. 解得，DE＝. 4.如图，在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点. (1)求证：BN⊥平面AMB1； (2)求直线AB与平面AMB1所成角的余弦值. 解：(1)证明：因为在正三棱柱ABC􀆼A1B1C1中，AB＝AC且M为BC的中点，所以AM⊥BC. 又BB1⊥平面ABC，所以BB1⊥AM. 又BB1∩BC＝B， 所以AM⊥平面BCC1B1. 又BN⊂平面BCC1B1，所以AM⊥BN. 因为M，N分别为BC，CC1的中点，所以BM＝CN＝2， 又BB1＝CB＝4，∠MBB1＝∠NCB＝90°， 所以△MBB1≌△NCB， 所以∠BMB1＝∠CNB，∠BB1M＝∠CBN. 所以∠BMB1＋∠CBN＝∠CNB＋∠CBN＝90°， 所以BN⊥B1M. 又AM∩B1M＝M，所以BN⊥平面AMB1. (2)设BN∩B1M＝O，连接AO(图略)， 由(1)可知BO⊥平面AMB1， 所以AO为斜线AB在平面AMB1内的射影， 所以∠BAO为直线AB与平面AMB1所成的角， 连接AN，由题意知AN＝BN＝＝2， 所以△ABN为等腰三角形， 作NE⊥AB交AB于点E，则E为AB的中点， 所以NE＝＝4， 所以AO＝＝＝， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 所以cos∠BAO＝＝＝， 所以直线AB与平面AMB1所成的角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $