精品解析：湖南长沙市明德天心中学2025-2026学年第二学期九年级期中考试数学试卷

九年级期中考试数学试卷25-26学年第二学期 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 2025年10月1日，国家航天局发布了与地球距离约千米的“天问二号”行星探测器与地球合影图像，探测器上的五星红旗与地球同框，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：根据题意，得． 2. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的意义，解答即可； 【详解】解：根据题意，得几何体的主视图是； 3. 中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5个红算筹记作，那么3个黑算筹应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，用正负数表示具有相反意义的量，根据题目给出的计数规则直接推导即可． 【详解】解：∵规则为红算筹记正，黑算筹记负，且5个红算筹记作 ∴3个黑算筹应记作． 4. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、去括号、单项式乘除法运算法则，逐项判断得到结果． 【详解】解：选项A，与不是同类项，无法合并，故计算错误； 选项B，，故计算错误； 选项C，，故计算正确； 选项D，，故计算错误； 故选：C． 5. 为响应“低碳生活，和谐长沙”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取7名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，95，98，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 96，97 B. 97，97 C. 97，96 D. 94，97 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义先对数据排序，再分别得到中位数和众数即可，中位数是排序后，奇数个数据的中间位置的数，众数是一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：将原数据从小到大排列得. ∵这组数据共有个数，个数为奇数， ∴中位数为排在第位的数，即中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为． 6. 某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了．如果明年还能按这个速度增长，则该企业明年的年产值能达到多少亿元？下列代数式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据去年产值和增长率求出今年产值，再按相同增长率计算明年产值，即可得到正确代数式． 【详解】解：∵去年年产值为亿元，今年比去年增长了 ∴今年的年产值为 亿元 ∵明年还按的速度增长 ∴明年的年产值为 亿元． 7. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，即可求解． 【详解】解：如图， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为90度，可知，结合同弧所对的圆周角相等，可得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ∵， ， ． 9. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得 ，，从而得出 ，在  中利用角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，结合  即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ， 在  中，， ， ， ，即 ，  ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C， ∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5， ∴，AB∥OD， ∴AB⊥y轴， ∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，先找出多项式的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解： 故答案为． 12. 某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有25名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为______人． 【答案】1800 【解析】 【分析】根据题意得到样本中持“赞成”意见的学生占比，再将全校总人数乘以该占比即可得到答案.熟练掌握由样本估计总体的方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，全校持“赞成”意见的学生人数约为． 13. 分式方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．通过寻找最简公分母去分母，将分式方程转化为整式方程求解，并对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 14. 如图是一条隧道的横截面，它是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，的半径长为5米，则隧道的高为______米． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理，勾股定理求解即可； 【详解】解：连接， 是中弦的中点， ， 米，的半径长为5米， ， 根据勾股定理，得， 故（米）． 15. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第种完美五边形的示意图，其中，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ， ， ． 16. 2025年湖南省足球联赛一度火爆，在全省14个市州掀起体育与文旅融合的热潮．在小组循环赛中，四支球队进行单循环足球小组赛（每两支球队之间仅比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．所有比赛结束后，满足以下条件： ①队胜了队，且队积5分； ②队一共只得到1分； ③队没有胜场； ④四支球队的最终积分均不相同，且没有球队全败， 根据以上条件，积分最高的球队为_____（用字母表示）． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了先明确单循环赛每支球队比赛场数，再根据题目给出的积分胜负条件，逐步推导各队可能的战绩，结合积分不同、无球队全败的要求排除不符情况，得到最终结果，即可作答． 【详解】解：∵四支球队进行单循环赛，每支球队踢场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分 ∴根据条件①，队胜队且积分， 可得队战绩为胜平，即胜，与是平场，与是平场，积分； ∴根据条件②，队总积分， ∵输给了，故得分， 因此对阵、的战绩为平负； ∴根据条件③，队没有胜场， 因此不可能战胜， 当战胜， 则总积分超过分，不符合条件， 因此只能是与是平场，输给， 此时总积分分，符合条件； 此时已经打平、打平，对阵无胜场，分两种情况讨论： 情况1：与是平场，则总积分为分， 总积分为（与是平场）（胜）（与是平场）分， 此时与积分相同，不符合四队积分均不同的条件，排除该情况； 情况2：输给了，则总积分为分，总积分为（与是平场）（胜）（胜）分； 此时四队积分分别为 分，分， 分， 分，满足积分均不同，且没有球队全败，符合所有条件． 因此积分最高的球队为． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线与分别相交于和，连接． （1）若，平分，求的度数． （2）若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和求解即可； （2）根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得直线是线段的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：根据题意，得直线是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为． 20. 今年“五一”假期，长沙文旅消费潜力不断释放，爬岳麓、品美食、访省博、游橘子洲成为假日热点．文旅局对本次“五一”假期选择岳麓山、橘子洲、长沙世界之窗、湖南省博物馆（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图，请回答下列问题． （1）______，______； （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C景点的扇形所对的圆心角的度数为_____； （3）某名同学在五一假期随机选择A、B、C、D四个景点中的两个，请用列表法或画树状图法，求A、B两个景点同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用选择A景区的人数除以其人数占比即可求出参与调查的游客人数；再根据D景点游客占调查的游客人数的，用总人数乘以求出a；然后用参与调查的总人数减去A、C、D三个景点的人数得出B景点游客人数，再求百分比即可得b的值； （2）根据B景点游客人数补合条形统计图；用乘以C景区人数的占比即可求出C所在扇形的圆心角的度数； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，然后得出A、B两个景点同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次参与调查的游客人数为：（人）， ∴， B景点游客人数为：（人）， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如下： C景点的扇形所对的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中A、B两个景点同时被选中的有2种， ∴A、B两个景点同时被选中的概率为． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，过点作交的延长线于点，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ， 是直角三角形斜边上的中线， ． 22. 某商店购进甲、乙两种型号的手机支架进行销售，甲种型号支架的进价为30元/个，乙种型号支架的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 3个 5个 420元 第二周 5个 10个 800元 （1）求甲、乙两种型号手机支架的销售单价； （2）设该商店购进甲、乙两种型号手机支架共60个，总利润不低于800元，则至多购进甲种支架多少个？ 【答案】（1）甲种型号手机支架的销售单价为40元/个，乙种型号手机支架的销售单价为60元/个 （2）至多购进甲种支架20个 【解析】 【分析】（1）通过设未知数，根据两周的销售收入条件列出二元一次方程组求解销售单价； （2）设购进甲种支架的数量，结合进价、售价算出单个利润，再根据总利润不低于800元的要求列出一元一次不等式，求解得到甲种支架的最大购进数量． 【小问1详解】 解：设甲种型号手机支架的销售单价为元/个，乙种型号手机支架的销售单价为元/个， 根据表格中的销售情况，可得方程组  ， 解得 ， 答：甲种型号手机支架的销售单价为40元/个，乙种型号手机支架的销售单价为60元/个； 【小问2详解】 解：设购进甲种支架个，则购进乙种支架个， 甲单个利润为（元）， 乙单个利润为（元） 根据总利润不低于800元，列不等式得 ， 解得 ， 答：至多购进甲种支架20个． 23. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 【答案】（1）283米 （2）经过点到达点较近 【解析】 【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【小问1详解】 解：过作的垂线，垂足为， ∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°， ∴四边形ACHE是矩形， ∴米， 根据题意得：∠D=45°， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∴DH=EH=200米， ∴（米）； 【小问2详解】 解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°， 在中， ∴米， ∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米， ∴（米）， ∴（米）， ∴经过点到达点，总路程为， ∴经过点到达点较近． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． （1）判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是_____（填序号）； （2）若直线的解析式为：，此函数的“友好函数”与抛物线交于，两点，当，满足时，直线总经过一个定点，试求该定点的坐标； （3）若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义，利用中点坐标公式，然后逐个函数进行判断即可； （2）先得出的友好函数，根据题意，联立方程组，得，故，又因为，整理得，即，此时，对于任意m恒成立，令，解得，即可作答． （3）先整理得出函数的“友好函数”为，从而有，，由可得，根据点M，P的纵坐标相等，可得，所以，设，可得，根据恒成立得出，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， ∴①是“友好函数”； ∵，， ∴， 故②不是“友好函数”； ∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， 故③是“友好函数”； 【小问2详解】 解：设直线的友好函数为， 故， 即， ∴， 依题意，， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 把代入直线， 得， 依题意，对于任意m恒成立，则令， 解得， 此时， 故直线总经过定点． 【小问3详解】 解：依题意，设函数的友好函数为， 则， ∴， ∵，在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则， 由解得， 由解得， 即， 即， ∵点M，P的纵坐标相等， ∴， 即， ∴， ∴， 设， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 25. 如图1，已知四边形是内接四边形，对角线与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，若是的直径，与相切于点，交的延长线于点，已知，，求的值； （3）如图3，若与相切，，平分，设，，请求出与之间的函数关系式． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理证明，，进而可证； （2）连接并延长交于点H，连接，先证明，证明求出，证明求出，然后根据求解即可； （3）证明得，可求出，，由（1）知，由相似三角形的性质得，再由面积法证明，求出，整理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：如图2，连接并延长交于点H，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵平分， ∴点E到、的距离相等，设为h，点到的距离设为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中考试数学试卷25-26学年第二学期 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 2025年10月1日，国家航天局发布了与地球距离约千米的“天问二号”行星探测器与地球合影图像，探测器上的五星红旗与地球同框，其中数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果5个红算筹记作，那么3个黑算筹应记作（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 为响应“低碳生活，和谐长沙”号召，某班开展了相关知识竞赛．现随机抽取7名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，97，95，98，则这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 96，97 B. 97，97 C. 97，96 D. 94，97 6. 某企业去年的年产值为a亿元，今年比去年增长了．如果明年还能按这个速度增长，则该企业明年的年产值能达到多少亿元？下列代数式表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有25名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为______人． 13. 分式方程的解为_____． 14. 如图是一条隧道的横截面，它是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，的半径长为5米，则隧道的高为______米． 15. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第种完美五边形的示意图，其中，则等于_____． 16. 2025年湖南省足球联赛一度火爆，在全省14个市州掀起体育与文旅融合的热潮．在小组循环赛中，四支球队进行单循环足球小组赛（每两支球队之间仅比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．所有比赛结束后，满足以下条件： ①队胜了队，且队积5分； ②队一共只得到1分； ③队没有胜场； ④四支球队的最终积分均不相同，且没有球队全败， 根据以上条件，积分最高的球队为_____（用字母表示）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线与分别相交于和，连接． （1）若，平分，求的度数． （2）若，的周长为，求的周长． 20. 今年“五一”假期，长沙文旅消费潜力不断释放，爬岳麓、品美食、访省博、游橘子洲成为假日热点．文旅局对本次“五一”假期选择岳麓山、橘子洲、长沙世界之窗、湖南省博物馆（以下分别用A、B、C、D表示）的游客人数进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下不完整的两幅统计图，请回答下列问题． （1）______，______； （2）请将条形统计图补充完整，并计算表示C景点的扇形所对的圆心角的度数为_____； （3）某名同学在五一假期随机选择A、B、C、D四个景点中的两个，请用列表法或画树状图法，求A、B两个景点同时被选中的概率． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，过点作交的延长线于点，连接，求的长． 22. 某商店购进甲、乙两种型号的手机支架进行销售，甲种型号支架的进价为30元/个，乙种型号支架的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 甲种型号 乙种型号 第一周 3个 5个 420元 第二周 5个 10个 800元 （1）求甲、乙两种型号手机支架的销售单价； （2）设该商店购进甲、乙两种型号手机支架共60个，总利润不低于800元，则至多购进甲种支架多少个？ 23. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． （1）判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是_____（填序号）； （2）若直线的解析式为：，此函数的“友好函数”与抛物线交于，两点，当，满足时，直线总经过一个定点，试求该定点的坐标； （3）若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围． 25. 如图1，已知四边形是内接四边形，对角线与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，若是的直径，与相切于点，交的延长线于点，已知，，求的值； （3）如图3，若与相切，，平分，设，，请求出与之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $