10.3 复数的三角形式及其运算（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算 知识点一 复数的三角表示 1、复数的三角表示式：一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 2、辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． 3、三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）把复数，分别表示为三角形式． 【答案】， 【分析】利用复数三角形式的定义求解即可 【详解】由于复数三角形式为,其中,为复数的辐角（辐角通常取主值，范围为）； 由于，辐角的主值为， ． 由于，，又对应点为在第二象限，所以辐角的主值为， ． 知识点二 复数三角形式的运算 1、复数三角形式的乘法运算 （1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 （2）复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． 2、复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将复数转化为三角形式，再结合三角运算即可化简； （2）利用以及复数的三角运算化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）因为， 所以原式 ． 题型01 复数的三角表示 复数的三角表示是用距离、方向角来确定点，取代直角坐标，任何一个非零复数 都可以写成： 其中： 是模，表示点到原点的距离。 是辐角：表示从正实轴逆时针旋转到该点的角度，通常取或（后者称为主值）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 【答案】 【分析】先设，再依次根据结合其辐角及其定义即可计算求解参数. 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设，利用复数的模的计算公式即可求出. 【详解】由题意可设，所以， 则， 故当时取最小值，最小值为． 故选：B 2．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复数的三角形式，可设，，化简整理后比较系数即可求得的值，进而可求得复数. 【详解】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 3．（25-26高一下·全国·单元测试）若动点对应的复数为，且满足，则的辐角主值的范围为__________，取得最大值时，__________． 【答案】 【分析】根据题意，复数对应的点在以为圆心，半径为2的圆上，根据图形即可得解. 【详解】如图，复数对应的点在以为圆心，半径为2的圆上． 由图可知，， 根据复数模的意义，当时，取得最大值． 故答案为：； 题型02 复数三角形式的乘除运算 三角形式把复数变成了"长度转盘"，让乘除变成了模的代数运算与辐角的几何旋转。 乘法：模相乘，辐角相加。 除法：模相除，辐角相减。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）若复数（i是虚数单位），复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘方运算可得，即可确定，，一一判断各选项即可得答案. 【详解】由题意知复数， 则， ，．则， 故ABD不正确，C正确． 故选：ABD 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数乘方及复数的三角运算求解. 【详解】 . 题型03 求辐角主值 求辐角主值，本质上就是找点、定位、算角、判象限的过程。给定复数 ，求辐角主值（通常取 或）：(取正值,) 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角. 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法法则化简复数，再分别求出各选项角的范围，结合辐角主值的定义可判断. 【详解】 ， 因为，所以， 则，，， 因为辐角主值满足，故B不符合题意，ACD符合题意. 故选：ACD 2．（多选）（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设方程的复数根为（，），根据条件，利用复数相等得或，再转化成三角形式，即可求解. 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 3．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 【答案】 / 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 题型04 复数三角形式的乘方与开方 1、乘方：模长取，辐角变为原来的 n 倍。棣莫弗定理（乘方）： 2、开方：模长取，辐角，其中 。复数 的  次方根有  个，这  个根均匀分布在以原点为圆心、为半径的圆上，形成一个正 边形。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先将复数化为三角形式，再根据复数的幂运算法则求出，最后根据建立等式求解. 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， ，即， 即 ∴或， 根据各项复数的三角表示，只有D符合. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．当时，n的最小值为_____________． 【答案】4 【分析】将复数化为三角形式，利用三角形式的乘方运算以及复数的定义可求出. 【详解】， 则，得，即， 又，故的最小值为4． 故答案为：4 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 题型05 欧拉公式 利用欧拉公式，三角形式可以写成更紧凑的形式： 用指数形式做乘除，变成指数法则： 乘法： 除法： 典｜例｜精｜析 1．（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 【答案】ACD 【分析】根据欧拉公式以及复数的运算求解即可. 【详解】选项A.当时，则，A正确. 选项B.若，可得且，即，B错误. 选项C.，， 二者实部相等、虚部互为相反数，因此互为共轭复数，C正确. 选项D.对任意， . 2．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 【答案】ACD 【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 【详解】A．设，因为，所以，所以， 所以．所以．所以，， 所以，，因此A正确． B．复平面上表示，的点关于实轴对称，因此B不正确； C．，因此C正确； D．由A的解析可知：互为共轭复数，因此D正确． 故选：ACD． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 复数 10.3 复数的三角形式及其运算 知识点一 复数的三角表示 1、复数的三角表示式：一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 2、辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． 3、三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）把复数，分别表示为三角形式． 知识点二 复数三角形式的运算 1、复数三角形式的乘法运算 （1）两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 （2）复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． 2、复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型01 复数的三角表示 复数的三角表示是用距离、方向角来确定点，取代直角坐标，任何一个非零复数 都可以写成： 其中： 是模，表示点到原点的距离。 是辐角：表示从正实轴逆时针旋转到该点的角度，通常取或（后者称为主值）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为_________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若复数z满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）若动点对应的复数为，且满足，则的辐角主值的范围为__________，取得最大值时，__________． 题型02 复数三角形式的乘除运算 三角形式把复数变成了"长度转盘"，让乘除变成了模的代数运算与辐角的几何旋转。 乘法：模相乘，辐角相加。 除法：模相除，辐角相减。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）若复数（i是虚数单位），复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：. 题型03 求辐角主值 求辐角主值，本质上就是找点、定位、算角、判象限的过程。给定复数 ，求辐角主值（通常取 或）：(取正值,) 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 题型04 复数三角形式的乘方与开方 1、乘方：模长取，辐角变为原来的 n 倍。棣莫弗定理（乘方）： 2、开方：模长取，辐角，其中 。复数 的  次方根有  个，这  个根均匀分布在以原点为圆心、为半径的圆上，形成一个正 边形。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．当时，n的最小值为_____________． 3．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 题型05 欧拉公式 利用欧拉公式，三角形式可以写成更紧凑的形式： 用指数形式做乘除，变成指数法则： 乘法： 除法： 典｜例｜精｜析 1．（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）欧拉公式巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，揭示了它们之间的深刻关联，在复变函数论中占据核心地位，被誉为“数学中的天桥”．下列结论中正确的有（   ） A．，使得 B．当且仅当时成立 C．与互为共轭复数 D．，， 2．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·月考）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式是瑞士数学家欧拉在复变函数领域的突出成就，它是最完美的数学公式之一．在这个公式中，当时，它就是欧拉恒等式，它将这五个神奇的数字包含其中，在数学爱好者眼里，宛若一行诗，道尽了数学的美好． 复数可以用表示出来，称为复数的指数形式（其中称为复数的模，是以实轴非负半轴为始边，以表示的向量为终边的角，称为复数的辐角），利用复数的指数形式，可以求诸如方程的根．如，设，则，由两个复数相等的条件可知，所以，当时，，当时，，方程的的根是．依此方法可以求得方程的三个根是1，，则下列结论正确的是（   ） A． B．复平面上表示，的点关于虚轴对称 C． D．，互为共轭复数 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $