第十章 复数单元复习（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

该高中数学复数单元复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖复数概念、几何意义、四则运算及三角形式，用对比表格呈现数系扩充、运算公式等内容，突出代数运算、几何意义等重点，明晰三角形式互化等难点，构建逻辑联系。 讲义亮点是“即学即练+题型分类”设计，如题型03复数四则运算结合例题与变式题，培养运算能力与推理意识，题型08模的最值问题通过几何意义引导用数学眼光分析，支持分层提升，助力教师精准教学与学生自主复习。

第十章 复数单元复习 教学目标 1．理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式、实部与虚部、复数分类及复数相等的条件，理清数系扩充关系。 2．掌握复数的几何意义，理解复平面、共轭复数与复数模的概念，能进行复数与点、向量的相互转化。 3．熟练进行复数的加减乘除四则运算，掌握运算律，理解复数加减法对应的平行四边形与三角形法则。 4．了解复数三角形式的结构，掌握三角形式下的乘、除、乘方运算，初步理解其旋转与伸缩的几何意义。 教学重难点 重点：复数的概念、分类与代数运算；复数的几何意义及模、共轭复数的计算；四则运算法则的应用。 难点：复数几何意义的理解与转化；复数除法运算；复数三角形式与代数形式的互化及运算 知识点01 复数的概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 【即学即练】 1．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 2．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积小于0，可得，解得， 所以实数x的取值范围为． 知识点02 复数的几何意义 一、复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 二、复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即 【即学即练】 3．（多选）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】根据题意可得 解得 因此m的取值可以为，，0. 4．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又， 所以向量对应的复数为． 知识点03 复数的运算 一、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 减法 乘法 除法 二、复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即）对应. 三、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 乘法运算律 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 【即学即练】 5．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由题意知， 所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限． 6．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】，故. 知识点04 复数的三角形式及其运算 一、复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式．其中,是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 规定,满足条件的辐角叫做辐角的主值,通常记为,即. 叫做复数的三角表示式,简称三角形式．为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式． 二、复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1．运算法则． 设的三角形式分别是)． 复数的乘法 复数的乘方 复数的除法 2．几何意义． 复数对应的向量分别为． （1）复数乘法的几何意义． 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． （2）复数除法的几何意义． 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按顺时针方向旋转角(如果,就要把绕点0按逆时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义． 【即学即练】 7．___________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 8．，则___________. 【答案】 【详解】. 故答案为： 题型01 复数的实虚部及分类 【例1】若复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 【答案】A 【详解】由是纯虚数，可得，解得. 【例2】若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 【变式1-1】已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以复数z的虚部为1. 【变式1-2】已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（        ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设复数，其中，，为的虚部。 ∵ ， ∴ 该复数的虚部为0，即，解得， 即的虚部为。 【变式1-3】设复数，当实数________时，是实数. 【答案】 【详解】因为复数是实数， 所以，解得， 所以当时，z是实数． 题型02 复数的几何意义 【例3】已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】复数在复平面内对应的点为， 所以且，解得， 则的取值范围为. 【例4】设，在复平面内对应的点为，那么下列选项中符合如图的式子是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图可知，对应的点为的集合是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界， 所以符合如图的式子是． 【变式2-1】已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，复数在复平面内对应的点为，则， 所以，，因此. 【变式2-2】在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，其对应点为， 复数对应的点与复数对应的点关于直线对称， 对应点为，则． 【变式2-3】已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】由题意得，，则，则． 题型03 复数的四则运算 【例5】已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则， 其虚部为. 【例6】已知，且，其中，为实数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，则， ， 即，解得，. 【变式3-1】若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得， 分子分母同乘分母的共轭复数： 分子： ， 分母： ， 因此 ， 因此的虚部为. 【变式3-2】（多选）已知复数 （为虚数单位），则下列说法正确的是（　　） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AB 【详解】由， 对于A，所以的虚部为，故A正确； 对于B，所以 ，故B正确； 对于C，所以的共轭复数，故C错误； 对于D，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，故D错误． 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式． （3）原式． 题型04 复数的高次方计算 【例7】（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由，则， 所以． 【例8】若为虚数单位，则________． 【答案】/ 【详解】因为，所以的周期为4，且， 所以. 【变式4-1】已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以的虚部为. 【变式4-2】（多选）已知复数，则（   ） A．复数的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若复数是方程的一个根，则 【答案】BC 【详解】因为，所以复数的虚部为2，故A错误； ，故B正确； ，是纯虚数，故C正确； 若复数是方程的一个根，则另一个根为， 则可得即故D错误． 【变式4-3】已知，则复数的虚部是______． 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以，所以， 所以，即复数的虚部是． 题型05 复数的模 【例9】已知，则（   ） A．5 B． C． D．50 【答案】B 【详解】由题得， 所以. 【例10】已知，且满足，，则的最大值是_________． 【答案】 【详解】设，则，那么 ， 即 所以的几何意义为圆上的点到的距离， 又在圆外 故的最大值为. 【变式5-1】设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为复数，， 所以， 又为纯虚数，所以，解得， 所以，，则. 【变式5-2】已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设复数（），则， 代入得，整理得， 则，解得，，所以，则. 【变式5-3】已知复数，． (1)求证：； (2)若，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）设，，a，b，c，， ． （2）因为，所以， 由（1）得，所以，故． 题型06 复数相等 【例11】若，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，故，， ． 【例12】已知复数满足，则__________. 【答案】2 【详解】设，且， 所以， 所以，得，所以. 【变式6-1】已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设复数 ，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 【变式6-2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知复数满足，等式两边同时乘以，得， 移项得，即，故D正确. 【变式6-3】已知复数满足，则______. 【答案】 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，故. 题型07 复数范围内方程的根 【例13】已知，若复数是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知是方程的根，将代入方程： ，， 即，解得. 【例14】已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 【变式7-1】在复数范围内解方程，解得_______． 【答案】或 【详解】因为， 所以或， 所以或. 【变式7-2】设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________. 【答案】20 【详解】由题意知，，所以. 解方程，得. 所以，， 在复平面内对应的点为，，点. 若为直角顶点，，， ，解得（不合题意，舍去）. 若为直角顶点，，， ，解得（不合题意，舍去）. 若为直角顶点，，， ，解得，满足. 综上，. 【变式7-3】已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 题型08 与复数模有关的最值 【例15】复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：由题意得，又，所以， 根据复数的几何意义，复数表示复平面上，以原点为圆心，半径的圆， 而的几何意义为，圆上的点到点的距离， 因为圆心到的距离，所以点在圆外， 因此，圆上一点到圆外一定点的最大距离为，即的最大值为. 【例16】已知复数满足，则的范围是_____. 【答案】 【详解】由，则复数对应的点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 而表示复数对应的点到点的距离， ， 所以， 所以的范围是. 故答案为：. 【变式8-1】若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 【变式8-2】若满足，则的最大值是_______. 【答案】/ 【详解】表示到点的距离为3的点的集合， 由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值 ，因为的长度等于，所以的最大值是. 【变式8-3】已知复数满足，则的最小值是______． 【答案】4 【详解】设，由得，即， 所以复数表示的点在以为圆心，1为半径的圆上， 表示点与点的距离， 所以的最小值为. 题型09 复数三角形式的运算 【例17】已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则. 【例18】任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 【变式9-1】在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 【答案】 【详解】已知点A，点B，可得. 将向量绕点A逆时针旋转得到向量， 则对应的复数为，所以三角形式为 . 【变式9-2】已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， ，即， 即 ∴或， 根据各项复数的三角表示，只有D符合. 【变式9-3】（多选）设 ，则以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A： ，A正确; 对于B： ，故B正确; 对于C：因为， 所以 ，故 C 错误; 对于 D： ，故 D 正确. 一、单选题 1．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为. 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 3．设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 4．已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 【答案】A 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 5．若复数，满足，则（   ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由和，得是方程的两个根， 解得，它们互为共轭复数，设， 所以. 6．已知复数，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】∵ ，， ∴ . ∵ ，，∴ . ∴ . ∴ . 7．在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 【答案】A 【详解】由，得，所以或， 又是的一个根，所以或， 所以或. 8．设、为共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以，则，可得， 因为，且，所以，故， 故，则. 二、多选题 9．已知复数满足，则（   ） A．在复平面内所对应的点是 B．的虚部是 C． D． 【答案】AC 【详解】因为，整理可得. 对于选项A：在复平面内所对应的点是，故A正确； 对于选项B：的虚部为，故B错误； 对于选项C：对任意复数，，则，， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误. 10．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】A，设，， ， 所以 所以，正确； B，由上， 由，得， 所以成立，正确； C，若，不妨取，， 此时，但不成立，错误； D，若，不妨取，，则，错误. 三、填空题 11．在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 【答案】/ 【详解】由题意知，则， 所以，故虚部为. 12．设，若复数，满足，，则__________． 【答案】 【详解】已知，，. . 所以. 所以. 13．设、为共轭复数，若，，则__________ . 【答案】 【详解】设，则， 所以，则，可得， 因为，且， 所以，故，故，则． 四、解答题 14．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） （2） 15．已知复数. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】【小题1】由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得. 【小题2】由复数在复平面内对应的点位于第三象限，则满足，解得，即的取值范围为. 16．已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则， 即， 所以或且，， 解得，所以m的值为3. （2）由（1）知，又，，，， 则（）， 所以 17．设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 复数在复平面内对应点的坐标为， 第一象限的点满足实部、虚部均大于0，因此，. 解得，即的取值范围是. （2）由得共轭复数，则 ， 根据复数模的计算公式得. 因为为实数，，当时，取最小值20，因此： ，即最小值为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 复数单元复习 教学目标 1．理解复数的基本概念，掌握复数的代数形式、实部与虚部、复数分类及复数相等的条件，理清数系扩充关系。 2．掌握复数的几何意义，理解复平面、共轭复数与复数模的概念，能进行复数与点、向量的相互转化。 3．熟练进行复数的加减乘除四则运算，掌握运算律，理解复数加减法对应的平行四边形与三角形法则。 4．了解复数三角形式的结构，掌握三角形式下的乘、除、乘方运算，初步理解其旋转与伸缩的几何意义。 教学重难点 重点：复数的概念、分类与代数运算；复数的几何意义及模、共轭复数的计算；四则运算法则的应用。 难点：复数几何意义的理解与转化；复数除法运算；复数三角形式与代数形式的互化及运算 知识点01 复数的概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如_______的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且._______ （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的_______,叫做复数的_______. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是_______. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是_______;当且仅当时,它是_______;当时,它叫做_______;当且时,它叫做_______. 这样,复数可以分类如下: 【即学即练】 1．若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 2．已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积小于0，则实数x的取值范围是______． 知识点02 复数的几何意义 一、复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做_______,单位是1,实轴上的点都表示_______. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做_______,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示_______. （4）原点:原点表示实数0. 2.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为_______时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. （2）表示:复数的共轭复数表示为,即若,则_______. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于_______对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 二、复数的模 ①复数的几何意义： ②复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，即_______ 【即学即练】 3．（多选）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 4．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 知识点03 复数的运算 一、复数的四则运算 设是任意两个复数 运算 计算公式 加法 _______ 减法 乘法 _______ 除法 _______ 二、复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即_______）对应. 三、复数的加法运算律，乘法运算律 对于任意，有 加法运算律 交换律 结合律 _______ 乘法运算律 交换律 _______ 结合律 _______ 乘法对加法的分配律 _______ 【即学即练】 5．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 知识点04 复数的三角形式及其运算 一、复数的三角形式 一般地,任何一个复数都可以表示成的形式．其中,是复数的_______;是以轴的非负半轴为始边,向量_______所在射线(射线)为终边的角，叫做复数的辐角． 规定,满足条件的辐角叫做辐角的_______,通常记为,即. 叫做复数的三角表示式,简称三角形式．为了与三角形式区分开来,叫做复数的代数表示式,简称代数形式． 二、复数三角形式的乘法、除法运算法则及其几何意义 1．运算法则． 设的三角形式分别是)． 复数的乘法 _______ 复数的乘方 _______ 复数的除法 _______ 2．几何意义． 复数对应的向量分别为． （1）复数乘法的几何意义． 两个复数相乘时,如图,把向量绕点O按_______方向旋转角(如果,就要把绕点0按_______方向旋转角),再把它的模变为原来的_______倍,得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． （2）复数除法的几何意义． 两个复数相除时,如图,把向量绕点O按_______方向旋转角(如果,就要把绕点0按_______方向旋转角),再把它的模变为原来的_______倍,得到向量表示的复数就是商．这是复数除法的几何意义． 【即学即练】 7．___________. 8．，则___________. 题型01 复数的实虚部及分类 【例1】若复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 【例2】若复数，则实数的取值为__________. 【变式1-1】已知复数，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】已知为虚数单位，若复数满足： ，则的虚部为（        ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】设复数，当实数________时，是实数. 题型02 复数的几何意义 【例3】已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 【例4】设，在复平面内对应的点为，那么下列选项中符合如图的式子是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知复数与分别对应向量与，其中O为坐标原点，则________． 题型03 复数的四则运算 【例5】已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知，且，其中，为实数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）已知复数 （为虚数单位），则下列说法正确的是（　　） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第四象限 【变式3-3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 复数的高次方计算 【例7】（    ） A．1 B． C． D．2 【例8】若为虚数单位，则________． 【变式4-1】已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）已知复数，则（   ） A．复数的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若复数是方程的一个根，则 【变式4-3】已知，则复数的虚部是______． 题型05 复数的模 【例9】已知，则（   ） A．5 B． C． D．50 【例10】已知，且满足，，则的最大值是_________． 【变式5-1】设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．3 【变式5-2】已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-3】已知复数，． (1)求证：； (2)若，且，求． 题型06 复数相等 【例11】若，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【例12】已知复数满足，则__________. 【变式6-1】已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知复数满足，则______. 题型07 复数范围内方程的根 【例13】已知，若复数是方程的根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【变式7-1】在复数范围内解方程，解得_______． 【变式7-2】设，是关于的方程的两个虚数根，若，，2在复平面内对应的点构成直角三角形，则________. 【变式7-3】已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 题型08 与复数模有关的最值 【例15】复数z满足（i为虚数单位），则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例16】已知复数满足，则的范围是_____. 【变式8-1】若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若满足，则的最大值是_______. 【变式8-3】已知复数满足，则的最小值是______． 题型09 复数三角形式的运算 【例17】已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【例18】任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 【变式9-2】已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（多选）设 ，则以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 5．若复数，满足，则（   ） A．-1 B．1 C． D． 6．已知复数，，则（   ） A． B．1 C． D． 7．在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 8．设、为共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数满足，则（   ） A．在复平面内所对应的点是 B．的虚部是 C． D． 10．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为__________. 12．设，若复数，满足，，则__________． 13．设、为共轭复数，若，，则__________ . 四、解答题 14．计算： (1)； (2). 15．已知复数. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16．已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. (1)求m的值； (2)求的值. 17．设是实数，复数，（是虚数单位）. (1)若在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)求的最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $