专题02整式乘法17大题型（期中复习专项训练）2025-2026学年七年级数学下学期期中复习专项训练（苏科版）

专题02 整式乘法 （期中复习专项训练，全章17大题型） 题型导览 题型1 单项式乘法 题型10 乘法公式计算题 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型11 平方差公式与几何图形 题型3 单项式乘多项式的应用 题型12 完全平方公式与几何图形 题型4 多项式乘法计算 题型13 通过对完全平方公式变形求值 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型6 多项式乘法的化简求值 题型15 利用乘法公式的非负性求值 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型16 乘法公式的新定义运算 题型8 多项式乘法与图形面积 题型17 乘法公式中的配方法求值 题型9 多项式乘法中的规律性问题 题型汇总 题型1 单项式乘法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．要使的展开式中不含项，则a应等于（） A．6 B． C． D．0 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 6．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 7．已知，求代数式的值． 8．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 题型3 单项式乘多项式的应用 9．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 10．实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动． 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． 【初步尝试】 (1)当，，时，请求出长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当a，b满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时a，b应满足怎样的数量关系． 11．如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 12．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 题型4 多项式乘法计算 13．计算： (1)； (2) 14．计算： (1) (2) 15．计算： (1)； (2) 16．计算： (1)； (2)． 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 17．观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 18．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 19．回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 20．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 题型6 多项式乘法的化简求值 21．先化简，再求值．，其中，． 22．先化简，再求值：的值，其中． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中，． 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 25．若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 26．已知代数式与的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，则的值为_______． 27．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 28．若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 题型8 多项式乘法与图形面积 29．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 30．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 31．在整式乘法的学习中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明，借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． 例如，图1中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式： (1)图2中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式：___________； (2)计算的值，并画出几何图形进行说明． 32．如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个篮球场的总占地面积． (2)若篮球场每平方米的造价为300元，其余场地每平方米的造价100元，求整个长方形场地的造价． 题型9 多项式乘法中的规律性问题 33．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数……当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（   ）个 ①第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②的展开式中各项系数和为1024； ③的展开式中的系数是7； A．0 B．1 C．2 D．3 34．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似地，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（    ） 1 1    1 1    2    1 1   3    3    1 1    4    6    4   1                                             ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 35．【阅读观察】 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般，如下所示： ①； ②； ③； …… 【归纳猜想】 (1)由此可得__________； 【问题解决】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算的值． (3)若，求的值． (4)【迁移拓展】比较与的大小． 36．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 题型10 乘法公式计算题 37．计算： (1)； (2)． 38．计算：． 39．用乘法公式计算： (1)； (2)． 40．计算： (1)； (2)． 题型11 平方差公式与几何图形 41．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，计算阴影部分的面积，可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 42．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 43．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（   ）；（请选择正确的一个） A. B. C. (2)若，则的值是_________； (3)计算：． 44．阅读理解： 【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． (1)【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． ①由图（4），你能得到的等量关系式是___________； ②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： （I）已知，，则___________． （II）已知，则___________． (2)【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________． (3)【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________． 题型12 完全平方公式与几何图形 45．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 46．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 47．将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则________； （2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________． 48．理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是______ (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值．设，，则，． ∴ 请仿照上面的方法求解下面问题： 若，求的值； (3)【解决问题】有两类正方形纸片，，其边长分别为，，图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形．则图2中阴影部分的面积为______，图3中阴影部分的面积为______，（用含，列出代数式并化简）； (4)【迁移应用】在（3）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为4和48，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 题型13 通过对完全平方公式变形求值 49．若，，则等于（    ） A． B．4 C．2 D． 50．已知，，则（    ） A．84 B．74 C．64 D．54 51．已知，，则的值是________． 52．【阅读材料】 整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题、解决问题的目的． 如：已知，求的值． 解：将和分别看作一个整体， 令，， 则，， 所以，即， 所以． (1)【直接应用】 已知，请仿照上例，求的值． (2)【变式应用】 已知，求的值． (3)【迁移应用】 如图，点是线段上的一点，分别以和为边作正方形和正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为_________． 题型14 求完全平方式中的字母系数 53．已知多项式可以写成某个多项式的平方的形式，则常数k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 54．若是完全平方式，那么a的值是________． 55．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 56．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 题型15 利用乘法公式的非负性求值 57．已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______． 58．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当____时，y有最___值（填“大”或“小”），这个值是____ ． 59．阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 60．观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 题型16 乘法公式的新定义运算 61．对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 62．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 63．【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 64．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 题型17 乘法公式中的配方法求值 65．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 66．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 67．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 68．【阅读理解】 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式．我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中局部出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．因为平方具备非负性，所以配方法能解决一些代数式的最值问题． 例如：． 因为，即． 所以，当．即时，有最小值，最小值是 【探究应用】 完成下列多项式的配方（先在括号内配方、再去括号）、并仿照上面例子：说明多项式有最大值还是最小值的理由．以及当为何值时．多项式有最值、最值是多少？ （1）… （2）… 【拓展实践】 （3）华师版《数学》七下第19页《5.3实践与探索》问题1：用一根长的铁丝围成一个长方形，怎么围才能使长方形的面积最大． ①设长方形的一边长，则长方形的面积为______； ②证明：当长和宽相等，即成为正方形时，长方形的面积最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法 （期中复习专项训练，全章17大题型） 题型导览 题型1 单项式乘法 题型10 乘法公式计算题 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型11 平方差公式与几何图形 题型3 单项式乘多项式的应用 题型12 完全平方公式与几何图形 题型4 多项式乘法计算 题型13 通过对完全平方公式变形求值 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型14 求完全平方式中的字母系数 题型6 多项式乘法的化简求值 题型15 利用乘法公式的非负性求值 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型16 乘法公式的新定义运算 题型8 多项式乘法与图形面积 题型17 乘法公式中的配方法求值 题型9 多项式乘法中的规律性问题 题型汇总 题型1 单项式乘法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘法法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积即可得到结果. 【详解】解：． 2．要使的展开式中不含项，则a应等于（） A．6 B． C． D．0 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项，令的系数为0即可求出a的值． 【详解】解： ， 展开式中不含项， 项的系数为，即， 解得． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）使用乘法分配律将单项式与多项式相乘，展开后合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 6．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 7．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先求出，再把所求式子利用单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 8．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 题型3 单项式乘多项式的应用 9．如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为m、n．设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，当时，的值为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，正确表示出和是解题关键． 利用图形得出，，作差得到，再代入计算求值即可． 【详解】解：图①中阴影部分面积， 图②中阴影部分面积， ， 当时，的值为． 故选：B． 10．实践与探究 数学活动课上，老师准备了不同规格的长方形纸片，组织同学们进行数学探究活动． 【动手操作】 小睿将6张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． 【初步尝试】 (1)当，，时，请求出长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； 【拓展提升】 (3)小睿换一张新的长方形纸片继续探究，其中长度不变，变长，将这6张小长方形纸片按照同样的方法放在新的长方形内，小睿发现，当a，b满足一定的数量关系时，的值总保持不变，求此时a，b应满足怎样的数量关系． 【答案】(1)160 (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再根据长方形面积公式求解即可； （2）易得，，由图可知，，，根据长方形面积公式得出，，即可求解； （3），，，，根据长方形面积公式得出，，则，根据的值总保持不变，得出的值与无关，则． 【详解】（1）解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴长方形的面积； （2）解：对图形作字母标记如图， ∵， ∴，， 由图可知，，， ，， ； （3）解：对图形作字母标记如图， 由图可知：，，，， ，， ， 的值总保持不变， 的值与无关， ，即． 11．如图是小明家房子的结构图，小明的爸爸打算把卧室和客厅铺上地板砖． (1)至少需要买多少平方米的地板砖？ (2)当，时，且每平方米的地板砖价格为320元，小明爸爸要花多少钱？ 【答案】(1)至少需要买平方米的地板砖； (2)元． 【分析】（1）根据题意求各部分的面积之和即可； （2）求出实际面积，再用实际面积乘以单价即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， （平方米）， 即至少需要买平方米的地板砖； （2）解：当，时，（平方米）， （元）， 即小明爸爸要花元． 12．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意：，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 题型4 多项式乘法计算 13．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 15．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂的运算法则计算后合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5 （x+p）（x+q）型多项式乘法 17．观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 18．在整式的乘法中，不少运算是有规律可循的，只要细心探究，总结出规律．阅读下面的计算过程，回答问题 计算下列各式： ①；②． 解：①原式 ； ②原式 ． (1)观察上式，比较它们的计算结果，并填空：________． (2)用你发现的规律直接写出下列各式运算结果． ①________；     ②________； ③________；  ④________． 【答案】(1) (2)①②③④ 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察阅读材料得到结果即可； （2）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④． 故答案为：①；②；③；④． 19．回答下列问题： (1)计算： ①______； ②______． ③______． (2)总结公式______ (3)已知，，均为整数，且．求的所有可能值． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3)8或 【分析】本题主要考查整式运算的知识，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的性质： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据（2）可得，结合都是整数，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）①； ②； ③； 故答案为：①；②；③； （2） ， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∵都是整数，， ∴或或或， ∴或． 20．观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 题型6 多项式乘法的化简求值 21．先化简，再求值．，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 22．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先计算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项后代数求解． 【详解】解： ∵， ∴原式． 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 25．若的结果中不含x项，则a的值为（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先展开原式合并同类项，再令x项的系数为0，即可求解a的值． 【详解】解： ∵ 结果中不含x项， ∴ x项的系数为，即， 解得∶． 26．已知代数式与的积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，则的值为_______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项将化简，再根据积是一个关于x的三次多项式，且化简后含项的系数为，进而求得m，n的值，将其代入中计算即可． 【详解】解： ， 由题意得，与积是一个关于x的三次多项式，且含项的系数为， ∴不含项， ∴，， ∴， ∴． 27．已知代数式，． (1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值； (2)先化简，再将（1）中的结果代入求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 28．若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵的积中不含x项与项， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴ ∴ 题型8 多项式乘法与图形面积 29．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算及几何图形面积，理解拼图的过程，得出拼成长方形的长与宽是解决问题的关键． 根据拼图的过程可得出长方形的长与宽，进而表示长方形面积即可． 【详解】解：由拼图可知，长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为． 30．【阅读理解】我们在学习整式乘法时，常常通过数形结合来理解掌握运算方法．如图1反映了单项式与多项式的乘法运算方法，即：． (1)【类比应用】任务一：观察图2，完成填空： ． (2)【综合应用】任务二： ①由图3，可以得到等式： ． ②若实数满足：，，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）数形结合求解即可； （2）①数形结合求解即可；②由①中得到的等式，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： 表示长方形面积，等于四部分面积和为， 则或； （2）解：①如图所示： ； ②∵，，， ∴， ∴． 31．在整式乘法的学习中，我们常常利用图形的面积对运算结果加以说明，借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． 例如，图1中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式： (1)图2中利用大长方形面积的两种不同表示形式可以得到等式：___________； (2)计算的值，并画出几何图形进行说明． 【答案】(1) (2)，图和说明见解析 【分析】本题主要考查多项式与多项式相乘与几何图形结合进行验证多项式法则，理解并学会作出合适的图形是解题难点． （1）利用等面积法，使用两种方法求出面积，一种是直接计算大图形的面积，二是根据图形求出四个小图形面积，二者相同即可； （2）根据题意可作出如图所示矩形，同（1）类似，求各个小图形面积和即可． 【详解】（1）解：图2面积可表示为：， 面积还可表示为：， ∴可得：； （2）解：如图所示： 根据图形求面积可得，大面积可表示为：， 四个小矩形面积和为：， 二者表示为同一图形面积， ∴， 说明：根据作出如图所示图形，根据图形分别计算四个矩形面积求和即可得． 32．如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个篮球场的总占地面积． (2)若篮球场每平方米的造价为300元，其余场地每平方米的造价100元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)这两个篮球场的总占地面积是平方米 (2)整个长方形场地的造价为元 【分析】（1）把篮球场平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）根据篮球场每平方米的造价为300元，其余场地每平方米的造价100元，列出代数式即可． 【详解】（1）解： 平方米． 答：这两个篮球场的总占地面积是平方米． （2）解：平方米， 平方米， 元． 答：整个长方形场地的造价为元． 题型9 多项式乘法中的规律性问题 33．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数……当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（   ）个 ①第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②的展开式中各项系数和为1024； ③的展开式中的系数是7； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据求出的展开式可判断①；令，则的展开式中各项系数和，据此可判断②；求出的展开结果，令，则，找到含的项的系数即可判断③． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ∴第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1，故①正确； 令，则的展开式中各项系数和，故②正确； ， ∴ ， 令，则， ∴的展开式中的系数为7，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个． 34．贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似地，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（    ） 1 1    1 1    2    1 1   3    3    1 1    4    6    4   1                                             ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查数字变化规律，根据贾宪三角的二项展开式系数规律，逐一判断各结论即可得到答案. 【详解】解：根据题意中的变化规律，可得到：， 故展开式的第三项的系数是15； 根据题意，可得到展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 故， 令得 ； 根据题意，可到展开式中第二项的系数就是中的指数n， 故展开式中含项的系数是2026； 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 故； 35．【阅读观察】 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般，如下所示： ①； ②； ③； …… 【归纳猜想】 (1)由此可得__________； 【问题解决】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算的值． (3)若，求的值． (4)【迁移拓展】比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干信息，可得规律，得出结果； （2）将原式转换为，即可根据（1）中规律得解； （3）由得，即可解出的值，经检验后得出，即可得出的值； （4）将与利用上述规律可变形为，，根据幂的乘方运算，得，，即可比较出式子大小． 【详解】（1）解：由上述计算可得规律， 即； （2）解：原式 ； （3）∵， ∴， ∴， 当时，，排除； 当时，， 故， ∴； （4）解：， ， ∵，， ∵， ∴， ∴． 36．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第6个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可； （3）将每个括号内式子通分，利用规律改写每个分子后，约分即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： ． （2）解：猜想第个等式为： ． 证明： ． （3）解： ． 题型10 乘法公式计算题 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 38．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 39．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)4 【分析】（1）原式化为，然后利用完全平方公式计算即可； （2）原式化为，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11 平方差公式与几何图形 41．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，计算阴影部分的面积，可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图1的阴影部分面积为， 图2的阴影部分的面积为， ∴可以验证的等式是． 42．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 43．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是（   ）；（请选择正确的一个） A. B. C. (2)若，则的值是_________； (3)计算：． 【答案】(1)A (2)2 (3)5050 【分析】（1）用代数式表示出图1中剩余部分的面积及图2中长方形的面积，根据这两部分面积相等即可得出答案； （2）利用（1）中的结论代入进行计算即可； （3）利用（1）中的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即， 将剩余的部分拼成一个长方形，则长方形的长为，宽为，因此面积为， ； （2）解：，， ， ； （3）解： ． 44．阅读理解： 【知识生成】如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分沿虚线拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． (1)【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． ①由图（4），你能得到的等量关系式是___________； ②结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： （I）已知，，则___________． （II）已知，则___________． (2)【问题解决】如图5，某中学前不久举办了第十七届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型，其中大正方形与小正方形的边长分别为和（）．已知两正方形边长之和，边长之积，且为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是___________． (3)【问题解决】两个边长分别为和的正方形按图6所示的方式放置，其未叠合的部分（阴影部分）面积为，若如图7所示，再在图6中边长为大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形，此时阴影部分的面积为．若，，则的值是___________． 【答案】(1)①；②（I）24；（II）3； (2)4； (3) 【分析】（1）①利用两种方法求出阴影部分的面积即可得到等式； ②（I）将变形成，代入进行计算即可； （II）令，求出，，根据即可得到答案； （2）根据阴影部分的面积为，求出即可得到答案； （3）由题意可知：，，根据，，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：①方法一：用大正方形的面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法二：用小正方形的边长列式可得：， ， 故等量关系式是； ②（I），， ， 将，代入，原式； （II）， 令， 故， ， ， ； （2）解：阴影部分的面积和为， ， ， 阴影部分的面积和为； （3）解：由题意可知：，， ，， ， ． 题型12 完全平方公式与几何图形 45．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意． 46．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用两种方法表示出图2中阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为 ∴验证的恒等式是． 47．将完全平方公式进行适当变形，可以解决很多数学问题，例如：若，，求的值．可将公式变形为，再将，代入，求得，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则________； （2）如图，校园劳动教育基地内有两个正方形场地（），它们面积和为，为（在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．图中摆放花卉场地的面积是________． 【答案】 【分析】（1）由材料中的方法得到，将代数式代入计算即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且，由题意得出，，变形求出，代入图中摆放花卉场地的面积计算即可． 【详解】解：（1）由得， 将，代入上式得，； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，且， 则，， 由题意可得，， 则， ， 则， 联立，解得， 图中摆放花卉场地的面积是． 48．理解图形，完成下列各题： (1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等式是______ (2)【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，求的值．设，，则，． ∴ 请仿照上面的方法求解下面问题： 若，求的值； (3)【解决问题】有两类正方形纸片，，其边长分别为，，图2是由两张正方形纸片和两张正方形纸片排成的一个正方形，其中两张型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将，纸片并列放置后构造出来的新的正方形．则图2中阴影部分的面积为______，图3中阴影部分的面积为______，（用含，列出代数式并化简）； (4)【迁移应用】在（3）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为4和48，将两个正方形纸片和三个正方形纸片如图4摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)9 (3)； (4)76 【分析】（1）整体图形是一个边长为的正方形，其面积为；图形有一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长为a，宽为b的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可； （2）依照示例进行解答即可； （3）图2和3阴影部分的面积=大正方形的面积-纸片总面积即可得出结论； （4）根据题意得，，求出阴影面积，整理得，再代入，计算即可． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分是两个边长为“a、b的正方形，面积和为； 方法2：大正方形边长为，面积为，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即，因此等式为：． （2）解：设，，则： ，且， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：图2阴影面积： 阴影部分的边长为的正方形， ∴阴影面积； 图3阴影面积 新正方形边长为，面积为；一张A型和一张B型的总面积为； ∴阴影面积=新正方形面积-纸片总面积． （4）解：由（3）得， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 图4大正方形边长为，面积为；两张A型和三张B型 的总面积为； ∴阴影面积=大正方形面积-纸片总面积： ． 题型13 通过对完全平方公式变形求值 49．若，，则等于（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 50．已知，，则（    ） A．84 B．74 C．64 D．54 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含和的形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：由完全平方公式可得， 变形得 ， ， ． 51．已知，，则的值是________． 【答案】 10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 【详解】解：， ∴，， ， 整理得， ∴． 52．【阅读材料】 整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题、解决问题的目的． 如：已知，求的值． 解：将和分别看作一个整体， 令，， 则，， 所以，即， 所以． (1)【直接应用】 已知，请仿照上例，求的值． (2)【变式应用】 已知，求的值． (3)【迁移应用】 如图，点是线段上的一点，分别以和为边作正方形和正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，模仿题干的过程，求解即可； （2）根据完全平方公式，模仿题干的过程，求解即可； （3）根据直角三角形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，模仿题干求解即可. 【详解】（1）解：令 ∴，， ∴即：， ∴即：； （2）解：令， ∴，， ∴，即：， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 题型14 求完全平方式中的字母系数 53．已知多项式可以写成某个多项式的平方的形式，则常数k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方式的结构求解即可． 【详解】解：∵多项式可以写成某一个式子的平方的形式， ，即， 解得：， 故选：B． 54．若是完全平方式，那么a的值是________． 【答案】 5或 【分析】根据完全平方式的结构，即可列出等式求解的值． 【详解】解：是完全平方式． 约去得 当时，解得 当时，解得 55．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方式的特征进行求解即可； （2）利用配方法化简、，进而比较即可； （3）根据题意得到，进而得到，利用完全平方公式和提取公因式对所求式子化简求值即可． 【详解】（1）解：是一个完全平方式， ， ， ， ； （2）解：、 则； （3）解：由题意得：， 得：， ， ． 56．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 题型15 利用乘法公式的非负性求值 57．已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______． 【答案】 2 大 4 【分析】先把配成完全平方式与一个常数和的形式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ ∴当时，式子有最大值，这个值为4； 故答案为2，大，4； 【点睛】本题考查了利用完全平方公式求代数式的最值，解题的关键是掌握利用平方法对代数式进行变形，并掌握的性质求最值， 58．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵， 当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1； ∴的最小值是1． 根据上述方法，解答问题： 知识运用：若，当____时，y有最___值（填“大”或“小”），这个值是____ ． 【答案】 3 大 6 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用；将化为，仿照已知，即可求解；会仿照已知进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解： ， ∵ 当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是； ∴的最大值是． 故答案：，大，． 59．阅读：我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ①， 因为， 所以， 所以当时，原式有最小值是； ②， 因为， 所以 所以当时，原式有最大值是． (1)已知是一个完全平方式，则____________． (2)①代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； ②代数式有最____________（填“小”或者“大”）值为____________； (3)当，为何值时，有最值，最值是多少？ 【答案】(1)4 (2)①小，5②大， (3)当时，有最小值，最小值为 【分析】本题考查完全平方式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）形如的式子是完全平方式，据此解答即可； （2）①代数式，根据平方的非负性可求得代数式的最小值；②代数式，根据平方的非负性可得代数式有最大值； （3），根据平方的非负性可得代数式有最小值，此时，据此求出的值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义是完全平方式， ∴是一个完全平方式，则． 故答案为：4； （2）解：①， ∵， ∴， ∴当时，原式有最小值是5； 故答案为：小，5； ②， ∵， ∴， ∴当时，原式有最大值是． 故答案为：大，； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时， 即当时， 有最小值，最小值为． 60．观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【答案】(1)的最大值为25 (2)长方形面积的最大值为 (3)有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 题型16 乘法公式的新定义运算 61．对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：☆ ， 故选：D． 62．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 63．【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 64．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：44 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)不是 (2)“和谐数”能被8整除．见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，不是整数， ∴44不是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：阴影部分的面积           ， 答：阴影面积为20000． 题型17 乘法公式中的配方法求值 65．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值， （1），仿照例题配方即可； （2），将等式的左边化成3个完全平方公式和的性质，再求出字母的值，然后代入计算． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）， 整理，得， 则， 即， ，，， ，，， ． 66．把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 67．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值是6 (2)代数式的最大值是29 (3)当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方式的非负性解答即可； （2）将代数式配方为，可得出答案； （3）设，则，花圃的面积，再利用完全平方式的非负性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值是29； （3）解：设，则， ∴花圃的面积， ∵， ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是． 68．【阅读理解】 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式．我们常做如下变形：先添加一个适当的项．使式子中局部出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．因为平方具备非负性，所以配方法能解决一些代数式的最值问题． 例如：． 因为，即． 所以，当．即时，有最小值，最小值是 【探究应用】 完成下列多项式的配方（先在括号内配方、再去括号）、并仿照上面例子：说明多项式有最大值还是最小值的理由．以及当为何值时．多项式有最值、最值是多少？ （1）… （2）… 【拓展实践】 （3）华师版《数学》七下第19页《5.3实践与探索》问题1：用一根长的铁丝围成一个长方形，怎么围才能使长方形的面积最大． ①设长方形的一边长，则长方形的面积为______； ②证明：当长和宽相等，即成为正方形时，长方形的面积最大． 【答案】（1）当时，有最小值，最小值是2；（2）当时，有最大值，最大值是10；（3）①；②见解析 【分析】此题考查配方法求多项式的最值，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照例题利用配方法求最值即可； （2）仿照例题利用配方法求最值即可； （3）①设长方形的一边长，则邻边为，根据面积公式计算；②将表示面积的多项式配方，利用平方的非负性解答即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值是2； （2） ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值是10； （3）①设长方形的一边长，则邻边为， 长方形的面积 故答案为： ② ∵， ∴当时，长方形的面积最大， 此时长方形的一边长为，邻边长为，即成为正方形时，长方形的面积最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $